Урок по геометрии 8 класс.

"Теорема Пифагора"

Учитель: Науменко Н.М.

• Образовательная цель: ознакомится с биографией Пифагора, изучение теоремы Пифагора, ее роли в геометрии; использование теоремы в решении задач.
• Развивающая цель:
• Воспитательная цель: культуры математической речи .

План урока:

• Организационный момент.
• Актуализация знаний.
• Изучение нового материала
• Историческая справка о Пифагоре (презентация)
• Первичное закрепление знаний.
• Итоги урока.
• Домашнее задание.
• Веселая минутка

Оборудование: портрет Пифагора, доска, мультимедийное оборудование (ПК, проектор, экран), презентационный материал, раздаточный материал (по количеству обучающихся).

Ход урока:

(Приложение 1 )

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята, садитесь,

А работать не ленитесь.

Тетради и ручки взяли,

Число в тетрадях 19.11.15. вмиг написали.

Сегодня на уроке у нас гости. И мне бы хотелось, чтобы у нас им было хорошо. А это зависит от нас с вами. Я надеюсь, что мы сделаете все, чтобы гости ушли от нас с хорошими впечатлениями.

Начнём урок с повторения изученного материала.

II. Актуализация опорных знаний.

Слайд 2 – прямоугольный треугольник.

Слайд 3 –равенство треугольников по двум катетам

Слайд 4 –свойство площадей

Слайд 5 –нахождение угла

Слайд 6 –задача.

Слайд 7

И, чтобы нам с вами определиться,

Чему на уроке должны научиться,

Устно чертеж на доске рассмотри,

Площадь фигуры каждой найди.

1.Дан ∆АВС- прямоугольный, гипотенуза АВ=12 см., катет СВ-3 см.

Найти S ∆.

2. Какая фигура изображена?

Чему равна S трапеции - ?

Что нам неизвестно? (высота)

Как найти высоту?

(Ставится проблема)

Нам дан ∆АВС- прямоугольный, гипотенуза АВ=5м.,катет СВ-3м.

Найти S ∆.

Чему равна S ∆ -?

Что нам известно? (катает, гипо-тенуза, угол 90 0 )

В этой задаче мы можем найти катет АС?

Можем или не можем?

На сегодняшний урок мы не знаем, как найти.

Так какая сегодня наша задача? Узнать что? (Найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника).

Т.о. мы с вами сформулировали цель нашего урока: Научиться находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника.

III. Изучение нового материала.

Ученик:

Истории завесы открываем и

В древний мир мы тотчас попадаем

4-й век до н.э. идет,

А в древней Греции ученый Пифагор ни ест, ни спит, ни пьет.

Учитель:

О, боги, мой ум прошу вас одарить.

Чтоб истину, что всех дороже мне открыть,

Я, в жертву 100 быков готов отдать,

Чтоб эту теорему доказать.

Я не один? Сюда народ пришел?

Тогда, друзья, мне помогайте,

Чтоб истину, что всех дороже я нашел.

А если ошибусь, пожалуйста, исправьте.

Слайд 8

Всем треугольники равные, прямоугольные раздам,

Себе и вам вопрос задам –

Возможно ли их так расположить, чтобы квадрат в итоге получить?

Пожалуйста, возьмите белые листы, 4 треугольника, и попробуйте составить из них квадрат на белом листе. Из 4-х треугольников должны составить квадрат.

Есть варианты?

Все, получился у нас квадрат,

И этому я очень рад!

На доске учитель выкладывает квадрат с ромощью 4-х треугольников и магнитов.

Теперь на доску все внимательно смотрите

И площадь полученного квадрата все найдите.

Все способы, что вы найдете – хороши!

Я вам успеха всем желаю от души!

Положите и приклейте полученный квадрат на белый лист. Подпишите, где катеты, а где гипотенуза (катеты - а, в, гипотенуза – с), вершины А, В, С, Д.

Работаем быстро и аккуратно.

Скажите, а почему данная фигура – квадрат? (определение)

1. Углы по 90 0 ;
2. Стороны равны (а+в);
3. Итак, как найти S квадрата АВСД?

S кв = квадрату стороны. Чему равна длина стороны нашего квадрата?

S АВСД = (а+в) 2 – запишем.

А, чему это равен квадрат суммы? Вызываем ученика к доске.

S АВСД = (а+в) 2 =а 2 +2ав+в 2 (1)

А, как еще можно найти S кв ? Думаем. Эта фигура состоит из каких фигур?

Из 4-х треугольников и фигуры MNLK (подписать вершины), т.е.

S АВСД = 4 S тр + S MNLK

Чему равна S ∆ -? S = ∆ ав

Т.о. S АВСД = 4 ав + S MNLK =2ав + S MNLK

Почему MNLK – квадрат?

Стороны равны, но это может быть и ромб. Чем ромб отличается от квадрата? (углами)

Почему угол равен 90 0 ? Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 и треугольники равны по 2-м катетам.

Чему равна S MNLK ? S MNLK = с 2

Получили, S АВСД = 2ав + с 2 (2)

Что мы теперь можем сделать с вами? Мы можем приравнять равенства (1) и (2)? 2ав + с 2 = а 2 +2ав+в 2 Как мы упростим это равенство? (ученик к доске )

с 2 = а 2 +в 2

С - ? а - ? в - ? (гипотенуза, катет, катет)

Не называя буквами, назови то, что мы получили для прямоугольного треугольника.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Слайд 9

Все доказал! Хвала богам!

Что обещал, отдать придется,

И 100 быков всех в жертву вам,

Пусть теорема именем моим зовется!

Записываем тему урока: «Теорема Пифагора».

Многие люди считают, что Пифагор - это миф, что его придумали, и он является человеком - легендой. Но мы исходим из той позиции, что реальным является реальным человеком, великим человеком в истории всего человечества.

Слайд 10. Послушаем рассказ об этом математике, именем которого названа теорема (ученик). Сообщение нам приготовила Орлова Дарья.

ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Еще в детстве он проявлял незаурядные способности, а когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Он отправился в Египет. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Постиг науку египетских жрецов, и засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Но жрецы не желали, чтобы их знания распространялись за территорию их храмов и не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели в Египте. Вавилоняне изобрели и применили при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые кубические уравнения.

Пифагор прожил в Вавилоне 10 лет и вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго, и поселился в одной из греческих колоний Южной Италии. Там Пифагор организовал тайный союз молодежи.

Слайд 11. В этот союз новых членов принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Пифагорейцы, как их стали позднее называть, занимались математикой, философией, естественными науками. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

Геометрические решения квадратных уравнений;

Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные;

Теорема о сумме углов треугольника и мн. др.

Пифагор участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе, и в возрасте восьмидесяти лет, по одной из версий, Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

Слайд 12. Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum “ослиный мост” или elefuga – “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Слайд 13. (учитель) Итак, теорема Пифагора.

Слайд 14. (ученик). Приготовил Булгаков

Учитель:

Слайд 15. Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:

“Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”.

Смотрите, а вот и “Пифагоровы штаны во все стороны равны”.

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие. Слайд 16.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Решим несколько задач.

Слайд 17. Задача № 483. Возьмем раздаточный материал и вместе рассмотрим решение данной задачи.

∆АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ.

По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²

С²=а²+b²

С²=6²+8²

С²=36+64

С²=100

C=10

Ответ: 10

Слайд 18 . Задача № 483.(сам-но)

Слайд 19. Задача № 484.

Слайд 20 . Задача № 486.

Слайд 21. Задача № 487.

Слайд 22.

Рефлексия .(2 мин)

• Что нового вы узнали сегодня на уроке? (Сегодня на урок мы познакомились с теоремой Пифагора, с некоторыми сведениями из жизни ученого. Решили несколько простейших задач)
• Для каких треугольников применяется теорема Пифагора?
• В чём заключается теорема Пифагора?

Молодцы, ребята. Вы сегодня славно потрудились

Слайд 23. Домашнее задание.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести множество теорем геометрии и решить много задач.

К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

• П.54, задачи 483 (в), 484 (б,г), 486 (б).

• Подготовить сообщение «Египетский треугольник».

Слайд 22 . Веселая минутка (с вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?) – приложение 2 .

Эмоциональная разрядка:

• нахмуриться, как осенняя туча, рассерженный человек, злая волшебница
• улыбнуться, как кот на солнце, Буратино, хитрая лиса, ребенок, который увидел чудо
• устать, как папа после работы, человек, поднявший груз, муравей, притащивший большую муху
• отдохнуть как турист, снявший тяжелый рюкзак, ребенок, который много потрудился, уставший воин.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема Пифагора Геометрия 8 класс Науменко Н.М.,учитель МКОУ «Солнечная СОШ» Алейского района Алтайского края

Что изображено? Вопросы Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?  А +  В = 90° Чему равна площадь этого треугольника? Как называются стороны АС и ВС? C A B a b с

B C A C 1 A 1 B 1 Докажите, что треугольники равны.

A B C D E S ABCDE = S ABC + S ADC + S ADE

1 3 2 Найти  3, если  1+  2 = 90°.

Решите устно C A B Дано: ∆ ABC,  C=90°, AB=18 см, ВC=9 см Найти:  B,  А 1. 18 9 60 12 10

Устно чертеж на доске рассмотри, площадь фигуры каждой найди.

Пифагор Самосский о. Самос

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Пифагор Самосский

«Ослиный мост» Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора с b а c ²=a²+b² Итак, Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем. c ²=a²+b²

История теоремы Пифагора Пифагор Самосский ок. 580 – ок. 500 до н.э.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры. Шаржи из учебника XVI века Ученический шарж XIX века

№ 483 6 8 ? С А В Дано: ∆АВС, С=90 º , а=6, b =8 Найти: с. Решение: ∆АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ ² =АС ² +ВС ² с ² =а ² + b² с ² = 6² + 8² с ² = 36+64 с ² = 100 c=10 Ответ: 10

с ² = а 2 + b 2 8 6 5 10 8 6 c b а а в с С А В № 483 √61 с =√ а 2 + b 2

с ² = а 2 + b 2 а в с С А В № 484 2 3b 2b 12 13 5 12 c b а 13 ² = 12 2 + b 2 169 = 144 + b 2 b 2 =169-144= 25 b = 5 4 b ² = 12 2 + b 2 3b ² = 144 b ² = 48 b = √ 48 √ 48 а 2 + b 2 =c ² а 2 =c ²-b² b 2 =c ²-a² а = √ c ²-b² b = √ c ²-a² Запишем формулы для нахождения катетов прямоугольного треугольника:

с ² = а 2 + b 2 № 48 6 A C B D 5 13 AD ²=AC²-CD² AD =12

№ 487 Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BD AC Найти: BD. Решение. 1. AD=DC=AC: 2=8 c м 2. Рассмотрим ∆ADB . BD²=AB²-AD² BD=√289-64 BD=15 (см) Ответ: 15 см А С B D

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице Активность высокая средняя низкая тему Усвоил хорошо Усвоил частично Усвоил слабо Объяснить товарищу Могу сам Могу, но с подсказками затрудняюсь

Домашнее задание П.54, задачи 483 (в), 484 (б, г,), 486 (б). Подготовить сообщение «Египетский треугольник».

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Предварительный просмотр:

Слайд 13 (ученик). Интересна история теоремы Пифагора.

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

Предварительный просмотр:

Раздаточный материал

с²=а²+b²

№ 483

Решение :

Вывод:

№ 484

Решение:

С²=а²+b²	С²=а²+b²	С²=а²+b²	а²+b²=с²
13²=12²+b²			а²= с²- b²
b² =			b²=с² -а²

Вывод:

С²=а²+b² № 486

Дано: АВСD – прямоугольник,
АВ=5 см, АС=13 см

Найти: АD.

Решение:

№ 487

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см,
АС=16 см, BD ⊥ AC

Найти: BD.

Решение:

Предварительный просмотр:

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице.

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице.

Активность	высокая	средняя	низкая
тему	Усвоил хорошо	Усвоил частично	Усвоил слабо
Объяснить товарищу	Могу сам	Могу, но с подсказками	затрудняюсь
Активность	высокая	средняя	низкая
тему Развивающая цель: развитие логическое мышление, познавательного интереса, творческого поиска. Воспитательная цель: воспитание устойчивого интереса к предмету, культуры математической речи . Урок соответствует тематическому планированию рабочей программы по геометрии 8 класса, разработанному по авторской программе Л.С Атанасяна. Урок тесно связан с ранее изученным материалом, проводится сразу после изучения темы «Площади параллелограмма, треугольника и трапеции» и является первым по данной теме, в каждом следующем классе ученики будут применять знания, полученные в 8 классе. Теорема Пифагора является одной из важных теорем геометрии. Теорема Пифагора позволяет значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение теоретического курса. Тип урока – изучение и первичное закрепление новых знаний. Цель учителя: Организовать деятельность учащихся совместно с учителем для выведения, доказательства и первичного закрепления теоремы Пифагора Структура урока направлена на создание благоприятных условий для изучения этой темы. Этап актуализации знаний организован в виде презентации, что дает учащимся ярко и образно повторить изученный материал, который готовит их к изучению новой темы, позволяет быстро включиться в работу. На следующем этапе создаю проблемную ситуацию для определения цели урока. На этапе изучения нового материала , организую деятельность учащихся для доказательства теоремы Пифагора (составление модели и обсуждения доказательства). На этапе первичного применения теоремы Пифагора были разобраны простейшие задачи, возвратились к решению задачи, которая вызвала затруднения в начале урока. Поставленная мною цель урока полностью достигнута, обучающиеся были мотивированы и вовлечены в учебно-познавательную деятельность на уроке. Взаимодействие на уроке было продуктивным, обучающиеся проявили самостоятельность, интерес и умение решать геометрические задачи. Все задания разобраны и выполнены полностью. Приемы и методы обучения применялись в логической последовательности, четко вписываясь в структуру урока. На данном уроке я не ставила целью решение более сложных задач, т.к. это первый урок из трех по программе и всего многообразия уроков, где используется теорема Пифагора. Рефлексивный этап урока проводила в виде фронтальных вопросов: Объяснить товарищу	Могу сам	Могу, но с подсказками	затрудняюсь

1

Шаповалова Л.А. (ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11)

1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, – М: Просвещение, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: Просвещение, 1989.

3. Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики». – М.: Просвещение, 1981.

4. Литцман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.

5. Волошинов А.В. «Пифагор». – М., 1993.

6. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры». – М., 1990.

7. Земляков А.Н. «Геометрия в 10 классе». – М., 1986.

8. Газета «Математика» 17/1996.

9. Газета «Математика» 3/1997.

10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. «Сборник задач по элементарной математики». – М., 1963.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике». – М., 1973.

12. Щетников А.И. «Пифагорейское учение о числе и величине». – Новосибирск, 1997.

13. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. – Томск, 1997.

14. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 класс. – М.: Просвещение, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

В этом учебном году я познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Я заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Актуальность темы: Теорема Пифагора имеет огромное значение: применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Я считаю, что труды Пифагора до сих пор актуальны, ведь куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные отрасли современной жизни.

Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор, и какое отношение он имеет к этой теореме.

Изучая историю теоремы, я решила выяснить:

Существуют ли другие доказательства этой теоремы?

Каково значение этой теоремы в жизни людей?

Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский - великий греческий учёный. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего неизвестно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н.э на острове Самос.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - «убеждающий речью»).

В 550 году до н.э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.

После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.

Пифагор и пифагорейцы

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

Учения о числах - арифметике,

Учения о фигурах - геометрии,

Учения о строении Вселенной - астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».

Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.

В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

Из истории создания теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

Пять способов доказательства теоремы Пифагора

Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

Приравнивая данные выражения, получаем:

Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a + b), можно разбить на части либо как на рис. 12. а, либо как на рис. 12, б. Ясно, что части 1, 2, 3, 4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.

Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Применение теоремы Пифагора

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.

Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Я узнала, что существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора. Я изучила ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и поняла, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2. Поэтому для её доказательства часто используют наглядность. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор - замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Библиографическая ссылка

Туманова С.В. НЕСКОЛЬКО СПОСОБОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА // Старт в науке. – 2016. – № 2. – С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата обращения: 10.01.2020).

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника .

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

треугольник прямоугольный.

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений ).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H .

Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения:

получаем:

,

что соответствует -

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

​

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим:

В одном можно быть уверенным на все сто процентов, что на вопрос, чему равен квадрат гипотенузы, любой взрослый человек смело ответит: «Сумме квадратов катетов». Эта теорема прочно засела в сознании каждого образованного человека, но достаточно лишь попросить кого-либо ее доказать, и тут могут возникнуть сложности. Поэтому давайте вспомним и рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Краткий обзор биографии

Теорема Пифагора знакома практически каждому, но почему-то биография человека, который произвел ее на свет, не так популярна. Это поправимо. Поэтому прежде чем изучить разные способы доказательства теоремы Пифагора, нужно кратко познакомиться с его личностью.

Пифагор - философ, математик, мыслитель родом из Сегодня очень сложно отличить его биографию от легенд, которые сложились в память об этом великом человеке. Но как следует из трудов его последователей, Пифагор Самосский родился на острове Самос. Его отец был обычный камнерез, а вот мать происходила из знатного рода.

Судя по легенде, появление на свет Пифагора предсказала женщина по имени Пифия, в чью честь и назвали мальчика. По ее предсказанию рожденный мальчик должен был принести много пользы и добра человечеству. Что вообще-то он и сделал.

Рождение теоремы

В юности Пифагор переехал с в Египет, чтобы встретиться там с известными египетскими мудрецами. После встречи с ними он был допущен к обучению, где и познал все великие достижения египетской философии, математики и медицины.

Вероятно, именно в Египте Пифагор вдохновился величеством и красотой пирамид и создал свою великую теорию. Это может шокировать читателей, но современные историки считают, что Пифагор не доказывал свою теорию. А лишь передал свое знание последователям, которые позже и завершили все необходимые математические вычисления.

Как бы там ни было, сегодня известна не одна методика доказательства данной теоремы, а сразу несколько. Сегодня остается лишь гадать, как именно древние греки производили свои вычисления, поэтому здесь рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Прежде чем начинать какие-либо вычисления, нужно выяснить, какую теорию предстоит доказать. Теорема Пифагора звучит так: «В треугольнике, у которого один из углов равен 90 о, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».

Всего существует 15 разных способов доказательства теоремы Пифагора. Это достаточно большая цифра, поэтому уделим внимание самым популярным из них.

Способ первый

Сначала обозначим, что нам дано. Эти данные будут распространяться и на другие способы доказательств теоремы Пифагора, поэтому стоит сразу запомнить все имеющееся обозначения.

Допустим, дан прямоугольный треугольник, с катетами а, в и гипотенузой, равной с. Первый способ доказательства основывается на том, что из прямоугольного треугольника нужно дорисовать квадрат.

Чтобы это сделать, нужно к катету длиной а дорисовать отрезок равный катету в, и наоборот. Так должно получиться две равные стороны квадрата. Остается только нарисовать две параллельные прямые, и квадрат готов.

Внутри получившейся фигуры нужно начертить еще один квадрат со стороной равной гипотенузе исходного треугольника. Для этого от вершин ас и св нужно нарисовать два параллельных отрезка равных с. Таким образом, получиться три стороны квадрата, одна из которых и есть гипотенуза исходного прямоугольного треугольники. Остается лишь дочертить четвертый отрезок.

На основании получившегося рисунка можно сделать вывод, что площадь внешнего квадрата равна (а+в) 2 . Если заглянуть внутрь фигуры, можно увидеть, что помимо внутреннего квадрата в ней имеется четыре прямоугольных треугольника. Площадь каждого равна 0,5ав.

Поэтому площадь равна: 4*0,5ав+с 2 =2ав+с 2

Отсюда (а+в) 2 =2ав+с 2

И, следовательно, с 2 =а 2 +в 2

Теорема доказана.

Способ два: подобные треугольники

Данная формула доказательства теоремы Пифагора была выведена на основании утверждения из раздела геометрии о подобных треугольниках. Оно гласит, что катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное для его гипотенузы и отрезка гипотенузы, исходящего из вершины угла 90 о.

Исходные данные остаются те же, поэтому начнем сразу с доказательства. Проведем перпендикулярный стороне АВ отрезок СД. Основываясь на вышеописанном утверждении катеты треугольников равны:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Чтобы ответить на вопрос, как доказать теорему Пифагора, доказательство нужно проложить возведением в квадрат обоих неравенств.

АС 2 =АВ*АД и СВ 2 =АВ*ДВ

Теперь нужно сложить получившиеся неравенства.

АС 2 + СВ 2 =АВ*(АД*ДВ), где АД+ДВ=АВ

Получается, что:

АС 2 + СВ 2 =АВ*АВ

И, следовательно:

АС 2 + СВ 2 =АВ 2

Доказательство теоремы Пифагора и различные способы ее решения нуждаются в разностороннем подходе к данной задаче. Однако этот вариант является одним из простейших.

Еще одна методика расчетов

Описание разных способов доказательства теоремы Пифагора могут ни о чем не сказать, до тех самых пор пока самостоятельно не приступишь к практике. Многие методики предусматривают не только математические расчеты, но и построение из исходного треугольника новых фигур.

В данном случае необходимо от катета ВС достроить еще один прямоугольный треугольник ВСД. Таким образом, теперь имеется два треугольника с общим катетом ВС.

Зная, что площади подобных фигур имеют соотношение как квадраты их сходных линейных размеров, то:

S авс * с 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(с 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S всд)

с 2 -в 2 =а 2

с 2 =а 2 +в 2

Поскольку из разных способов доказательств теоремы Пифагора для 8 класса этот вариант едва ли подойдет, можно воспользоваться следующей методикой.

Самый простой способ доказать теорему Пифагора. Отзывы

Как полагают историки, этот способ был впервые использован для доказательства теоремы еще в древней Греции. Он является самым простым, так как не требует абсолютно никаких расчетов. Если правильно начертить рисунок, то доказательство утверждения, что а 2 +в 2 =с 2 , будет видно наглядно.

Условия для данного способа будет немного отличаться от предыдущего. Чтобы доказать теорему, предположим, что прямоугольный треугольник АВС - равнобедренный.

Гипотенузу АС принимаем за сторону квадрата и дочерчиваем три его стороны. Кроме этого необходимо провести две диагональные прямые в получившемся квадрате. Таким образом, чтобы внутри него получилось четыре равнобедренных треугольника.

К катетам АВ и СВ так же нужно дочертить по квадрату и провести по одной диагональной прямой в каждом из них. Первую прямую чертим из вершины А, вторую - из С.

Теперь нужно внимательно всмотреться в получившийся рисунок. Поскольку на гипотенузе АС лежит четыре треугольника, равные исходному, а на катетах по два, это говорит о правдивости данной теоремы.

Кстати, благодаря данной методике доказательства теоремы Пифагора и появилась на свет знаменитая фраза: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Доказательство Дж. Гарфилда

Джеймс Гарфилд - двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Кроме того, что он оставил свой след в истории как правитель США, он был еще и одаренным самоучкой.

В начале своей карьеры он был обычным преподавателем в народной школе, но вскоре стал директором одного из высших учебных заведений. Стремление к саморазвитию и позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения выглядит следующим образом.

Сначала нужно начертить на листе бумаги два прямоугольных треугольника таким образом, чтобы катет одного из них был продолжением второго. Вершины этих треугольников нужно соединить, чтобы в конечном итоге получилась трапеция.

Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

S=а+в/2 * (а+в)

Если рассмотреть получившуюся трапецию, как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти так:

S=ав/2 *2 + с 2 /2

Теперь необходимо уравнять два исходных выражения

2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2

с 2 =а 2 +в 2

О теореме Пифагора и способах ее доказательства можно написать не один том учебного пособия. Но есть ли в нем смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?

Практическое применение теоремы Пифагора

К сожалению, в современных школьных программах предусмотрено использование данной теоремы только в геометрических задачах. Выпускники скоро покинут школьные стены, так и не узнав, а как они могут применить свои знания и умения на практике.

На самом же деле использовать теорему Пифагора в своей повседневной жизни может каждый. Причем не только в профессиональной деятельности, но и в обычных домашних делах. Рассмотрим несколько случаев, когда теорема Пифагора и способы ее доказательства могут оказаться крайне необходимыми.

Связь теоремы и астрономии

Казалось бы, как могут быть связаны звезды и треугольники на бумаге. На самом же деле астрономия - это научная сфера, в которой широко используется теорема Пифагора.

Например, рассмотрим движение светового луча в космосе. Известно, что свет движется в обе стороны с одинаковой скоростью. Траекторию АВ, которой движется луч света назовем l . А половину времени, которое необходимо свету, чтобы попасть из точки А в точку Б, назовем t . И скорость луча - c . Получается, что: c*t=l

Если посмотреть на этот самый луч из другой плоскости, например, из космического лайнера, который движется со скоростью v, то при таком наблюдении тел их скорость изменится. При этом даже неподвижные элементы станут двигаться со скоростью v в обратном направлении.

Допустим, комический лайнер плывет вправо. Тогда точки А и В, между которыми мечется луч, станут двигаться влево. Причем, когда луч движется от точки А в точку В, точка А успевает переместиться и, соответственно, свет уже прибудет в новую точку С. Чтобы найти половину расстояния, на которое сместилась точка А, нужно скорость лайнера умножить на половину времени путешествия луча (t").

А чтобы найти, какое расстояние за это время смог пройти луч света, нужно обозначить половину пути новой буковой s и получить следующее выражение:

Если представить, что точки света С и В, а также космический лайнер - это вершины равнобедренного треугольника, то отрезок от точки А до лайнера разделит его на два прямоугольных треугольника. Поэтому благодаря теореме Пифагора можно найти расстояние, которое смог пройти луч света.

Этот пример, конечно, не самый удачный, так как только единицам может посчастливиться опробовать его на практике. Поэтому рассмотрим более приземленные варианты применения этой теоремы.

Радиус передачи мобильного сигнала

Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?!

Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.

Допустим, нужно найти приблизительную высоту стационарной вышки, чтобы она могла распространять сигнал в радиусе 200 километров.

АВ (высота вышки) = х;

ВС (радиус передачи сигнала) = 200 км;

ОС (радиус земного шара) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Применив теорему Пифагора, выясним, что минимальная высота вышки должна составить 2,3 километра.

Теорема Пифагора в быту

Как ни странно, теорема Пифагора может оказаться полезной даже в бытовых делах, таких как определение высоты шкафа-купе, например. На первый взгляд, нет необходимости использовать такие сложные вычисления, ведь можно просто снять мерки с помощью рулетки. Но многие удивляются, почему в процессе сборки возникают определенные проблемы, если все мерки были сняты более чем точно.

Дело в том, что шкаф-купе собирается в горизонтальном положении и только потом поднимается и устанавливается к стене. Поэтому боковина шкафа в процессе подъема конструкции должна свободно проходить и по высоте, и по диагонали помещения.

Предположим, имеется шкаф-купе глубиной 800 мм. Расстояние от пола до потолка - 2600 мм. Опытный мебельщик скажет, что высота шкафа должна быть на 126 мм меньше, чем высота помещения. Но почему именно на 126 мм? Рассмотрим на примере.

При идеальных габаритах шкафа проверим действие теоремы Пифагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС=√2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходится.

Допустим, высота шкафа равна не 2474 мм, а 2505 мм. Тогда:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Следовательно, этот шкаф не подойдет для установки в данном помещении. Так как при поднятии его в вертикальное положение можно нанести ущерб его корпусу.

Пожалуй, рассмотрев разные способы доказательства теоремы Пифагора разными учеными, можно сделать вывод, что она более чем правдива. Теперь можно использовать полученную информацию в своей повседневной жизни и быть полностью уверенным, что все расчеты будут не только полезны, но и верны.

Класс: 8

Цели урока:

• Образовательная: добиться усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным, научить применять теорему Пифагора к решению простейших задач
• Развивающая: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора
• Воспитательная: формирование потребности в знаниях, интереса к математике

Тип урока: урок изложения нового материала

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку (Приложение 1 )

План урока:

1. Организационный момент
2. Устные упражнения
3. Исследовательская работа, выдвижение гипотезы и проверка ее на частных случаях
4. Объяснение нового материала
   a) О Пифагоре
   b) Формулировка и доказательство теоремы
5. Закрепление изложенного через решение задач
6. Задание на дом, подведение итогов урока.

Ход урока

Слайд 2: Выполните упражнения

1. Раскройте скобки: (3 + х) 2
2. Вычислите 3 2 + х 2 при х = 1, 2, 3, 4
   – Существует ли натуральное число, квадрат которого равен 10, 13, 18, 25?
3. Найдите площадь квадрата со стороной 11 см, 50 см, 7 дм.
   – По какой формуле находится площадь квадрата?
   – А как найти площадь прямоугольного треугольника?

Слайд 3: Вопрос-ответ

– Угол, градусная мера которого равна 90°. (Прямой)

– Сторона, лежащая напротив прямого угла треугольника. (Гипотенуза)

– Треугольник, квадрат, трапеция, круг – это геометрические … (Фигуры)

– Меньшая сторона прямоугольного треугольника. (Катет)

– Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. (Угол)

– Отрезок перпендикуляра, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. (Высота)

– Треугольник, у которого две стороны равны. (Равнобедренный)

Слайд 4: Задача

Построить прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 6 см.

Задание разбивается по рядам.

	1 ряд	2 ряд	3 ряд
Катет a	3	3
Катет b	4		4
Гипотенуза с		6	6

Вопросы:

– Получился ли у кого-нибудь треугольник с заданными сторонами?

– Какой можно сделать вывод? (Прямоугольный треугольник нельзя задать произвольным образом. Между его сторонами существует зависимость).

– Измерьте получившиеся стороны. (Примерный средний результат от каждого ряда заносится в таблицу)

	1 ряд	2 ряд	3 ряд
Катет a	3	3	~4,5
Катет b	4	~5,2	4
Гипотенуза с	~5	6	6

– Попробуйте установить связь между катетами и гипотенузой в каждом из случаев.

(Предлагается вспомнить устные упражнения и проверить такую же зависимость между остальными числами).

– Обращается внимание на то, что точного результата не получится, т.к. измерения нельзя считать точными.

– Учитель просит высказать предположения (гипотезы) : учащиеся формулируют.

– Да, действительно, между гипотенузой и катетами существует зависимость и первым ее доказал ученый, имя которого вы назовете сами. В честь него эта теорема и названа.

Слайд 5: Расшифруйте

Слайд 6: Пифагор Самосский

– Кто назовет тему сегодняшнего урока?

Учащиеся в тетрадях записывают тему урока: “Теорема Пифагора”

– Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии. С ее помощью доказываются многие другие теоремы и решаются задачи из различных областей: физики, астрономии, строительства и др. Она была известна задолго до того, как ее доказал Пифагор. Древние египтяне использовали ее при построении прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 единиц с помощью веревки для построения прямых углов при закладке зданий, пирамид. Поэтому такой треугольник называют египетским треугольником.

Существует более трехсот способов доказательства этой теоремы. Мы рассмотрим сегодня один из них.

Слайд 7: Теорема Пифагора

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

Прямоугольный треугольник,

a, b – катеты, с – гипотенуза

Доказать:

Доказательство.

1. Продолжим катеты прямоугольного треугольника: катет а – на длину b , катет b – на длину а.

– До какой фигуры можно достроить треугольник? Почему до квадрата? Чему будет равна сторона квадрата?

2. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b .

– Как можно найти площадь этого квадрата?

3. Площадь квадрата равна

– Разобьем квадрат на части: 4 треугольника и квадрат со стороной с.

– Каким образом еще можно найти площадь исходного квадрата?

– Почему равны получившиеся прямоугольные треугольники?

4. С другой стороны,

5. Приравняем получившиеся равенства:

Теорема доказана.

Существует шуточная формулировка этой теоремы: “Пифагоровы штаны во все стороны равны”. Вероятно, такая формулировка связана с тем, что первоначально эта теорема была установлена для равнобедренного прямоугольного треугольника. Причем, звучала она немного по-другому: “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”.

Слайд 8: Другая формулировка теоремы Пифагора

А я приведу вам еще одну формулировку этой теоремы в стихах:

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путем
К результату мы придем.

– Итак, сегодня вы познакомились с самой известной теоремой планиметрии – теоремой Пифагора. Как же формулируется теорема Пифагора? Как еще ее можно сформулировать?

Первичное закрепление материала

Слайд 9: Решение задач по готовым чертежам.

Слайд 10: Решение задач в тетради

Три учащихся одновременно вызываются к доске для решения задач.

Слайд 11: Задача индийского математика XII века Бхаскары

Подведение итогов урока:

– Что нового вы узнали сегодня на уроке?

– Сформулируйте теорему Пифагора.

– Что вы научились делать на уроке?

Домашнее задание:

– Выучить теорему Пифагора с доказательством

– Задачи из учебника № 483 в, г; № 484 в, г.

– Для более подготовленных учащихся: найти другие доказательства теоремы Пифагора, выучить одно из них.

Оценивается работа класса в целом, выделяя отдельных учеников.