Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство :

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Рис. 2

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3

Доказательство :

Рис. 4

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство :

Рис. 5

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Рис. 6

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:

Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Рис. 7

Доказательство :

Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

1. Омский государственный университет ().
2. Справочный портал calc.ru ().
3. Учительский портал ().

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

(Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе)

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 ,

∠C=90°, ∠C 1 =90°,

BC=B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 ,

Доказать:

ΔABC= ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство:

I. На луче BC с другой стороны от точки C отложим отрезок CD, CD=CB.

Соединим точки A и D отрезком.

На луче B 1 C 1 с другой стороны от точки C 1 отложим отрезок C 1 D 1 , C 1 D 1 =C 1 B 1 .

Проведём отрезок A 1 D 1 .

II. В треугольниках ACD и ACB:

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD=AB.

Аналогично доказывается равенство треугольников A 1 C 1 D 1 и A 1 C 1 B 1 и равенство их сторон A 1 D 1 =A 1 B 1 .

III. Так как AB=A 1 B 1 , то и AD=A 1 D 1 .

IV. В треугольниках ABD и A 1 B 1 D 1:

1) AB=A 1 B 1 (по условию);

2) AD=A 1 D 1 (по доказанному);

3) BD=2BC=2B 1 C 1 =B 1 D 1 .

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠B=∠B 1 .

Разделы: Математика

Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников”

Цель: закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников.

Ход урока:

I. Оргмомент.

II. Устно.

1. Ответить на вопросы:

1. Назвать элементы прямоугольного треугольника.
2. Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
3. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.
4. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30 0 .
5. Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин).

Рисунок 1.

Составили слово “признак”.

III. Изучение нового материала

Изучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.

Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?

Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.

№1. (По двум катетам)

Рисунок 2.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №1)

№2. (По катету и прилежащему к нему острому углу)

Рисунок 3.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , ВС = В 1 С 1, С= С 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №2)

№3. (По гипотенузе и острому углу)

Рисунок 4.

Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АС = А 1 С 1, А= А 1

Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Как прозвучит признак? (Затем задача №3)

Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство.

Рисунок 5.

IV. Закрепление изученного на уроке.

Решить следующую задачу.

Рисунок 6.

Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 , DAB=CBA=90 0 , АD = BD

Доказать: CAB=DBA.

Обсуждение в четверках (3 мин).

Зачем задача из учебника №261 с записью.

Рисунок 7.

Дано: АВС – равнобедренный, AD и CE – высота АВС

Доказать: AD = CE

Доказательство:

V. Задание на дом.

П.35 (три признака), №261 (доказать, что АОС - равнобедренный), №268 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу).

На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по результатам за 2 урока.

Дополнительно. Найти равные треугольники.

Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).

Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проиллюстрируем данный случай:

Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники

Доказательство :

Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.

Рис. 2

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:

.

Треугольники равны по первому признаку.

Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3

Доказательство :

Рис. 4

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:

Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:

Треугольники равны по второму признаку.

Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство :

Рис. 5

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Рис. 6

Данные треугольники равны, если:

Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:

Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.

Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:

Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.

Рис. 7

Доказательство :

Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:

Рис. 8

В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:

Рис. 9

Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.

Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.

Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).

Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.

1. Омский государственный университет ().
2. Справочный портал calc.ru ().
3. Учительский портал ().

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.

3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.

4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.

Известны три признака равенства любых треугольников:

1. по двум сторонам и углу между ними;
2. по двум угла и стороне между ними;
3. по трем сторонам.

У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу - это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.

Первый признак равенства треугольников для прямоугольных треугольников сокращается до равенства двух катетов: если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то эти треугольники равны . Действительно, ведь между катетами лежит прямой угол, который у обоих треугольников равен 90°.

На основе второго признака равенства треугольников утверждается, что если в у одного прямоугольного треугольника катет и прилежащий к нему непрямой угол равны катету и прилежащему к нему непрямому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны . Действительно, ведь катеты получаются лежащим между равными углами. С одной стороны равны острые углы, а с другой - прямые.

Поскольку острые углы в прямоугольных треугольниках в сумме всегда равны 90°, то если у двух прямоугольных треугольников равен один острый угол, то значит будет равен и другой. Например a - один угол, то 90° – a другой угол у обоих треугольников.

Поэтому прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного равен гипотенузе и острому углу другого , так как по-сути нам известны все острые углы прямоугольных треугольников. И получается равенство по двум углам и стороне между ними.

Также в следствие того, что если известен один острый угол прямоугольного треугольника, то известен и другой, вытекает равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу . В этом случае «работает» второй признак равенства треугольников: по стороне и прилежащей к ней двум углам (один прямой, другой вычисленный).

Кроме перечисленных признаков равенства прямоугольных треугольников существует еще один, которые напрямую не вытекает из трех признаков равенства треугольников: если у прямоугольных треугольников равны по одному катету и гипотенузы, то такие треугольники равны .

Этот признак равенства можно доказать.

Приложим прямоугольные треугольники друг к другу равными катетами так, чтобы прямые углы оказались по разные стороны от полученной общей стороны, а гипотенузы по разные стороны от нее. Эти гипотенузы равны по условию, а значит мы получили равнобедренный треугольник. Значит углы при вершинах, которые отстоят от общей стороны (которой они были приложены друг к другу), равны. Это в свою очередь значит, что у треугольников равны гипотенуза, катет и противоположный ему угол. Но существуют признаки равенства по гипотенузе и острому углу, по катету и противолежащему углу. Значит данные прямоугольные треугольники, у которых равны катет и гипотенуза, равны.