Общие делители

Пример 1

Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.

Решение .

Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.

Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.

Ответ : у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.

Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.

Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.

Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.

Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.

Определение наибольшего общего делителя (НОД)

Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.

В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.

Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.

Пример 2

Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..

Решение .

Найдем делители каждого из чисел:

$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.

$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.

$НОД (12, –30)=6$.

Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.

НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.

Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.

Пример 3

Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.

Решение .

Найдем все делители каждого из чисел:

$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;

$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;

$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.

Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1

$НОД(–12, 32, 56)=4$.

В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.

Взаимно простые числа

Определение 3

Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые , если $НОД(a, b)=1$.

Пример 4

Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.

Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок математики в 5 А классе по теме:

(по учебнику Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон)

Учитель математики: Данилова С.И.

Тема урока: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цель урока: Получить универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя чисел. Научиться находить НОД чисел методом разложения на множители.

Формируемые результаты :

Предметные: составить и освоить алгоритм нахождения НОД, тренировать способность к его практическому применению.

Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.

Метапредметные: формировать умение находить НОД чисел, применять признаки делимости, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы.

Планируемые результаты:

Учащийся научится находить НОД чисел с помощью разложения чисел на простые множители.

Основные понятия: НОД чисел. Взаимно простые числа.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер учителя, проектор, интерактивная доска.

Структура урока.

Организационный момент.

Устная работа. Гимнастика для ума.

Сообщение темы урока. Изучение нового материала.

Физкультминутка.

Первичное закрепление нового материала.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание. Рефлексия деятельности.

Ход урока

Организационный момент. (1 мин.)

Задачи этапа: обеспечить обстановку для работы обучающихся класса и психологически подготовить их к общению на предстоящем уроке

Приветствие:

Здравствуйте, ребята!

Друг на друга поглядели,

И тихонечко все сели.

Прозвенел уже звонок.

Начинаем наш урок.

Устная работа. Гимнастика ума. (5 мин.)

Задачи этапа: вспомнить и закрепить алгоритмы ускоренных вычислений, повторить признаки делимости чисел.

В старину на Руси говорили, что умножение- мучение, а с делением беда.

Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался великим математиком.

Давайте проверим можно ли вас назвать великими математиками.

Проведем гимнастику ума.

1) Выберите из множества

А={716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175}

числа, кратные 2, кратные 5, кратные 3.

2) Вычислите устно:

5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =

2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =

Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели и задач урока. (4 мин.)

Цель:

1) включение учащихся в учебную деятельность;

2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: новые способы нахождения НОД чисел;

3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

– Ребята, над какой темой вы работали на прошлых уроках? (Над разложением чисел на простые множители) Какие знания нам при этом понадобились? (Признаки делимости)

Открыли тетради, проверим домашний номер № 638.

В домашней работе вы определяли с помощью разложения на множители делится ли число а на число b и находили частное. Давайте проверим, что у вас получилось. Проверяем № 638. В каком случае а делится на b ? Если а делится нацело на b , то чем является b для а? Чем является b для а и b ? А как вы думаете, как найти НОД чисел, если одно из них не делится на другое? Какие у вас предположения?

А теперь давайте рассмотрим задачу: «Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «белочка» и 36 шоколадок «вдохновение», если надо использовать все конфеты и шоколадки?»

На доске и в тетрадях запись:

36=2*2*3*3

48=2*2*2*2*3

НОД(36,48)=2*2*3=12

Как мы можем применить разложение на множители для решения этой задачи? Что мы фактически находим? НОД чисел. Какова цель нашего урока? Научиться находить НОД чисел новым способом.

4. Сообщение темы урока. Изучение нового материала. (3.5 мин.)

Запишите число и тему урока: «Наибольший общий делитель».

(наибольший общий делитель – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных натуральных чисел). Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель – число 1.

Однако многие числа имеют несколько общих делителей. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители.

Запишем алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.

Разложить данные числа на простые множители.

Найти одинаковые множители и подчеркнуть их.

Найти произведение общих множителей.

Физкультминутка (встали из-за парт)- флэш ролик. (1.5 мин.)

(Запасной вариант:

Вверх мы дружно потянулись,

И друг другу улыбнулись.

Раз – хлопок и два – хлопок.

Ногой левой – топ, и правой - топ.

Покачали головой –

Разминаем шею.

Топ ногой, теперь – другой

Вместе все успеем.)

Первичное закрепление нового материала. ( 15 мин.)

Реализация построенного проекта

Цель:

1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;

2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;

3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);

4) организовать фиксацию преодоления затруднения;

5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса: № 650(1-3), 651(1-3)

№ 650 (1-3).

№ 650 (2) разобрать подробно, т.к. общих простых делителей нет.

Первый пункт выполнен.

2. D (а ; b ) = нет

3. НОД (а ; b ) = 1

Что интересного вы заметили? (Числа не имеют общих простых делителей.)

В математике такие числа называются взаимно простыми числами. Запись в тетрадях:

Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.

а и b взаимно простые  НОД (a ; b ) = 1

Что вы можете сказать о наибольшем общем делители взаимно простых чисел?

(Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.)

№ 651 (1-3)

Задание выполняется у доски с комментарием.

Разложим числа на простые множители, используя известный алгоритм:

75 3 135 3

25 5 45 3

5 5 15 3

1 5 5

НОД (75; 135) =3*5= 15.

180 2*5 210 2*5

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

НОД (180, 210)=2*5*3=30

125 5 462 2

25 5 231 3

5 5 77 7

1 11 11

НОД (125, 462)=1

7. Самостоятельная работа. (10 мин.)

Как доказать, что вы научились находить наибольший общий делитель чисел новым способом? (Надо выполнить самостоятельную работу.)

Самостоятельная работа.

Найдите наибольший общий делитель чисел с помощью разложения на простые множители.

Вариант 1 Вариант 2

a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7

b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19

60 и 165 2) 75 и 135

81 и 125 3) 49 и 125

4) 180, 210 и 240 (дополнительный)

Ребята, попробуйте применить свои знания при выполнении самостоятельной работы.

Ученики сначала выполняют самостоятельную работу, затем взаимопроверка и проверка с образцом на слайде.

Проверка самостоятельной работы:

Вариант 1 Вариант 2

НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21

НОД(60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15

НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1

8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)

Что нового вы узнали на уроке? (Новый способ нахождения НОД, используя разложения на простые множители, какие числа называются взаимно простые, как найти НОД чисел, если большее число делится на меньшее число.)

Какую цель вы ставили перед собой?

Вы достигли цели?

Что вам помогло в достижении цели?

– Определите истинность для себя одного из следующих утверждений (Р-1).

Что вам необходимо сделать дома, чтобы лучше разобраться в данной теме? (Прочитать пункт, и потренироваться в нахождении НОД новым методом).

Домашнее задание:

п.2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.

Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:

«Я понял, как находить НОД чисел»,

«Я знаю, как находить НОД чисел, но еще допускаю ошибки»,

«У меня остались нерешенные вопросы».

Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа. В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу. После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Определение 1

Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД (a , b) = 1 .

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа - 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД (8 , − 9) = 1 , то 8 и - 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть - 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Пример 1

Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .

Ответ: поскольку НОД (84 , 275) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Определение 2

Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17 .

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Пример 2

Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Пример 3

Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = НОД (14 , 105 , 2 107 , 91) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Определение 3

Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) будут взаимно простыми.

Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.

Определение 4

Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u 0 и v 0 , при которых равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным.

Доказательство 1

Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b . Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a · u 0 + b · v 0 = НОД (a , b) . Из него получим, что a · u 0 + b · v 0 = 1 . После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным, в таком случае, если НОД (a , b) делит и a , и b , то он будет делить и сумму a · u 0 + b · v 0 , и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости). А такое возможно только в том случае, если НОД (a , b) = 1 , что доказывает взаимную простоту a и b .

В самом деле, если a и b являются взаимно простыми, то согласно предыдущему свойству, будет верным равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 . Умножаем обе его части на c и получаем, что a · c · u 0 + b · c · v 0 = c . Мы можем разделить первое слагаемое a · c · u 0 + b · c · v 0 на b , потому что это возможно для a · c , и второе слагаемое также делится на b , ведь один из множителей у нас равен b . Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b , а поскольку эта сумма равна c , то c можно разделить на b .

Определение 5

Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .

Доказательство 2

Докажем, что НОД (a · c , b) будет делить НОД (c , b) , а после этого – что НОД (c , b) делит НОД (a · c , b) , что и будет доказательством верности равенства НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .

Поскольку НОД (a · c , b) делит и a · c и b , а НОД (a · c , b) делит b , то он также будет делить и b · c . Значит, НОД (a · c , b) делит и a · c и b · c , следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a · c , b · c) , который будет равен c · НОД (a , b) = c . Следовательно, НОД (a · c , b) делит и b и c , следовательно, делит и НОД (c , b) .

Также можно сказать, что поскольку НОД (c , b) делит и c , и b , то он будет делить и c , и a · c . Значит, НОД (c , b) делит и a · c и b , следовательно, делит и НОД (a · c , b) .

Таким образом, НОД (a · c , b) и НОД (c , b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.

Определение 6

Если числа из последовательности a 1 , a 2 , … , a k будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b 1 , b 2 , … , b m (при натуральных значениях k и m), то их произведения a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m также являются взаимно простыми, в частности, a 1 = a 2 = … = a k = a и b 1 = b 2 = … = b m = b , то a k и b m – взаимно простые.

Доказательство 3

Согласно предыдущему свойству, мы можем записать равенства следующего вида: НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = НОД (a 2 · … · a k , b m) = … = НОД (a k , b m) = 1 . Возможность последнего перехода обеспечивается тем, что a k и b m взаимно просты по условию. Значит, НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Обозначим a 1 · a 2 · … · a k = A и получим, что НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = НОД (b 1 · b 2 · … · b m , A) = НОД (b 2 · … · b · b m , A) = … = НОД (b m , A) = 1 . Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = 1 , с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.

Определение 7

Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a 1 , a 2 , … , a k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14 , 9 , 17 , и − 25 . Здесь все пары (14 и 9 , 14 и 17 , 14 и − 25 , 9 и 17 , 9 и − 25 , 17 и − 25) взаимно просты. Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях. Например, в последовательности 8 , 16 , 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.

Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71 , 443 , 857 , 991 . В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter