Обчислення довірчого інтервалу виходить з середньої помилці відповідного параметра. Довірчий інтервал показує, в яких межах із ймовірністю (1-a) знаходиться справжнє значення параметра, що оцінюється. Тут a – рівень значущості (1-a) називають також довірчою ймовірністю.
У першому розділі ми показали, що, наприклад, для середнього арифметичного, справжнє середнє за сукупністю приблизно 95% випадків лежить у межах 2 середніх помилок середнього. Отже, межі 95% довірчого інтервалу для середнього відстоятиме від вибіркового середнього на подвійну середню помилку середнього, тобто. ми множимо середню помилку середнього певний коефіцієнт, залежить від довірчої ймовірності. Для середнього та різниці середніх береться коефіцієнт Стьюдента (критичне значення критерію Стьюдента), для частки та різниці часток критичне значення критерію z. Добуток коефіцієнта на середню помилку можна назвати граничною помилкою цього параметра, тобто. максимальну, яку ми можемо отримати при оцінці.
Довірчий інтервал для середнього арифметичного : .
Тут – вибіркове середнє;
Середня помилка середньої арифметичної;
s –вибіркове середнє квадратичне відхилення;
n
f = n-1 (Коефіцієнт Стьюдента).
Довірчий інтервал для різниці середніх арифметичних :
Тут – різниця вибіркових середніх;
- середня помилка різниці середніх арифметичних;
s 1 ,s 2 –вибіркові середні квадратичні відхилення;
n 1 ,n 2
Критичне значення критерію Стьюдента при заданому рівні значимості a та числі ступенів свободи f=n 1 +n 2-2 (Коефіцієнт Стьюдента).
Довірчий інтервал для частки :
.
Тут d – вибіркова частка;
- Середня помилка частки;
n- Обсяг вибірки (чисельність групи);
Довірчий інтервал для різниці часток :
Тут - різниця вибіркових часток;
- Середня помилка різниці середніх арифметичних;
n 1 ,n 2- Обсяги вибірок (чисельності груп);
Критичне значення критерію z за заданого рівня значущості a ( , , ).
Обчислюючи довірчі інтервали для різниці показників, ми, по-перше, безпосередньо бачимо можливі значення ефекту, а чи не лише його точкову оцінку. По-друге, можемо зробити висновок про прийняття чи спростування нульової гіпотези і, по-третє, можемо зробити висновок про потужність критерію.
При перевірці гіпотез за допомогою довірчих інтервалів слід дотримуватись наступного правила:
Якщо 100(1-a)-відсотковий довірчий інтервал різниці середніх немає нуля, то відмінності статистично значимі лише на рівні значимості a; навпаки, якщо цей інтервал містить нуль, то відмінності статистично значущі.
Справді, якщо цей інтервал містить нуль, то, отже, порівнюваний показник може бути як і більше, і менше у одній із груп, проти інший, тобто. спостерігаються відмінності випадкові.
За місцем, де знаходиться нуль усередині довірчого інтервалу, можна судити про потужність критерію. Якщо нуль близький до нижньої чи верхній межі інтервалу, то можливо за більшої чисельності порівнюваних груп, відмінності досягли статистичної значимості. Якщо нуль близький до середини інтервалу, то, отже, рівноймовірне збільшення і зменшення показника в експериментальній групі, і, ймовірно, відмінностей дійсно немає.
Приклади:
Порівняти операційну летальність при застосуванні двох різних видів анестезії: із застосуванням першого виду анестезії оперувалося 61 особа, померло 8, із застосуванням другого – 67 осіб, померло 10.
d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Різниця летальностей порівнюваних методів перебуватиме в інтервалі (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) або (-0,14; 0,104) з ймовірністю 100(1-a) = 95%. Інтервал містить нуль, тобто. гіпотезу про однакову летальність при двох різних видаханестезії відкинути не можна.
Отже, летальність може зменшиться до 14% і збільшитися до 10,4% з ймовірністю 95%, тобто. нуль знаходиться приблизно посередині інтервалу, тому можна стверджувати, що, швидше за все, дійсно не відрізняються за летальністю ці два методи.
У розглянутому раніше прикладі порівнювався середній час натискання при тепінг-тесті в чотирьох групахстудентів, що відрізняються за екзаменаційною оцінкою. Обчислимо довірчі інтервали середнього часу натискання для студентів, які склали іспит на 2 та 5 і довірчий інтервал для різниці цих середніх.
Коефіцієнти Стьюдента знаходимо за таблицями розподілу Стьюдента (див. додаток): першої групи: = t(0,05;48) = 2,011; для другої групи: = t(0,05; 61) = 2,000. Таким чином, довірчі інтервали для першої групи: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для другої групи (156,55- 2,000 * 1,88; 156,55 +2,000 * 1,88) = (152,8; 160,3). Отже, для тих, хто склав іспит на 2, середній час натискання лежить в межах від 157,8 мс до 166,6 мс з ймовірністю 95%, для тих, хто склав іспит на 5 - від 152,8 мс до 160,3 мс з ймовірністю 95%.
Перевіряти нульову гіпотезу можна і за довірчими інтервалами для середніх, а не лише для різниці середніх. Наприклад, як і нашому разі, якщо довірчі інтервали для середніх перекриваються, то нульову гіпотезу відкинути не можна. Для того, щоб відкинути гіпотезу на вибраному рівні значущості, відповідні довірчі інтервали не повинні перекриватися.
Знайдемо довірчий інтервал для різниці середнього часу натискання у групах, які склали іспит на 2 і 5. Різниця середніх: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коефіцієнт Стьюдента: = t(0,05; 49 +62-2) = t (0,05; 109) = 1,982. Групові середні квадратичні відхилення дорівнюватимуть: ; . Обчислюємо середню помилку різниці середніх: . Довірчий інтервал: = (5,64-1,982 * 2,87; 5,64 +1,982 * 2,87) = (-0,044; 11,33).
Отже, різниця середнього часу натискання в групах, які склали іспит на 2 і 5, буде в інтервалі від -0,044 мс до 11,33 мс. До цього інтервалу входить нуль, тобто. Середній час натискання у добре склали іспит, може збільшитися і зменшиться проти незадовільно склали, тобто. нульову гіпотезу відкинути не можна. Але нуль знаходиться дуже близько до нижньої межі, час натискання набагато швидше все-таки зменшується у добре здали. Таким чином, можна зробити висновок, що відмінності в середньому часу натискання між тими, хто здав на 2 і на 5 все-таки є, просто ми не змогли їх виявити при даній зміні середнього часу, розкид середнього часу та обсягах вибірок.
Потужність критерію – це можливість відкинути неправильну нульову гіпотезу, тобто. знайти відмінності там, де вони є.
Потужність критерію визначається з рівня значимості, величини відмінностей між групами, розкиду значень у групах та обсягу вибірок.
Для критерію Стьюдента та дисперсійного аналізу можна скористатися діаграмами чутливості.
Потужність критерію можна використовувати при попередньому визначенні необхідної кількості груп.
Довірчий інтервал показує, в яких межах із заданою ймовірністю знаходиться справжнє значення параметра, що оцінюється.
За допомогою довірчих інтервалів можна перевіряти статистичні гіпотези та робити висновки про чутливість критеріїв.
ЛІТЕРАТУРА.
Гланц С. - Розділ 6,7.
Реброва О.Ю. - С.112-114, с.171-173, с.234-238.
Сидоренко Є. В. – с.32-33.
Запитання для самоперевірки студентів.
1. Що таке потужність критерію?
2. У яких випадках слід оцінити потужність критеріїв?
3. Методи розрахунку потужності.
6. Як перевірити статистичну гіпотезу за допомогою довірчого інтервалу?
7. Що можна сказати про потужність критерію при розрахунку довірчого інтервалу?
Завдання.
Побудуємо в MS EXCEL довірчий інтервал для оцінки середнього значення розподілу у разі відомого значеннядисперсії.
Зрозуміло, вибір рівня довіриповністю залежить від розв'язуваного завдання. Так, ступінь довіри авіапасажира до надійності літака, безсумнівно, має бути вищим за ступінь довіри покупця до надійності електричної лампочки.
Формулювання завдання
Припустимо, що з генеральної сукупностімає взята вибіркарозміру n. Передбачається, що стандартне відхилення цього розподілу відомо. Необхідно на підставі цієї вибіркиоцінити невідоме середнє значення розподілу(μ, ) та побудувати відповідний двосторонній довірчий інтервал.
Точкова оцінка
Як відомо з , статистика(позначимо її Х ср) є незміщеною оцінкою середньогоцією генеральної сукупностіта має розподіл N(μ;σ 2 /n).
Примітка: Що робити, якщо потрібно збудувати довірчий інтервалу разі розподілу, який не є нормальним?У цьому випадку на допомогу приходить , яка говорить, що за досить великого розміру вибірки n із розподілу що не є нормальним, вибірковий розподіл статистики Х порбуде приблизновідповідати нормальному розподілуіз параметрами N(μ;σ 2 /n).
Отже, точкова оцінка середнього значення розподілуу нас є – це середнє значення вибірки, тобто. Х ср. Тепер займемося довірчим інтервалом.
Побудова довірчого інтервалу
Зазвичай, знаючи розподіл та його параметри, ми можемо обчислити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення заданого нами інтервалу. Зараз зробимо навпаки: знайдемо інтервал, у який випадкова величина потрапить із заданою ймовірністю. Наприклад, із властивостей нормального розподілувідомо, що з ймовірністю 95%, випадкова величина, розподілена по нормальному закону, потрапить в інтервал приблизно +/- 2 від середнього значення(Див. статтю про ). Цей інтервал, послужить нам прототипом для довірчого інтервалу.
Тепер розберемося, чи ми знаємо розподіл , щоб визначити цей інтервал? Для відповіді на запитання ми маємо вказати форму розподілу та його параметри.
Форму розподілу ми знаємо – це нормальний розподіл(нагадаємо, що йдеться про вибірковому розподілі статистики Х ср).
Параметр μ нам невідомий (його якраз потрібно оцінити за допомогою довірчого інтервалу), але у нас є його оцінка Х пор,обчислена на основі вибірки,яку можна використати.
Другий параметр – стандартне відхилення вибіркового середнього будемо вважати відомим, Він дорівнює σ/√n.
Т.к. ми не знаємо μ, то будуватимемо інтервал +/- 2 стандартних відхиленьне від середнього значення, а від відомої його оцінки Х ср. Тобто. при розрахунку довірчого інтервалуми не будемо вважати, що Х српотрапить в інтервал +/- 2 стандартних відхиленьвід μ з ймовірністю 95%, а вважатимемо, що інтервал +/- 2 стандартних відхиленьвід Х срз ймовірністю 95% накриє μ - Середня генеральна сукупність,з якого взято вибірка. Ці два твердження еквівалентні, але друге твердження нам дозволяє побудувати довірчий інтервал.
Крім того, уточнимо інтервал: випадкова величина, розподілена по нормальному закону, з ймовірністю 95% потрапляє в інтервал +/- 1,960 стандартних відхилень,а не+/- 2 стандартних відхилень. Це можна розрахувати за допомогою формули =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2), Див. файл прикладу Лист Інтервал.
Тепер ми можемо сформулювати ймовірнісне твердження, яке послужить нам для формування довірчого інтервалу:
«Ймовірність того, що середня генеральна сукупністьзнаходиться від середньої вибіркив межах 1,960 « стандартних відхилень вибіркового середнього», дорівнює 95%».
Значення ймовірності, згадане у твердженні, має спеціальну назву , який пов'язаний зрівнем значимості α (альфа) простим виразом рівень довіри =1 -α . У нашому випадку рівень значущості α =1-0,95=0,05 .
Тепер на основі цього ймовірнісного твердження запишемо вираз для обчислення довірчого інтервалу:
де Z α/2 – стандартного нормального розподілу(Таке значення випадкової величини z, що P(z>=Z α/2 )=α/2).
Примітка: Верхній α/2-квантильвизначає ширину довірчого інтервалув стандартних відхиленнях вибіркового середнього. Верхній α/2-квантиль стандартного нормального розподілузавжди більше 0, що дуже зручно.
У нашому випадку при α=0,05, верхній α/2-квантиль дорівнює 1,960. Для інших рівнів значення α (10%; 1%) верхній α/2-квантиль Z α/2 можна обчислити за допомогою формули =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) або, якщо відомий рівень довіри, =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.довіри)/2).
Зазвичай при побудові довірчих інтервалів для оцінки середньоговикористовують тільки верхній α/2-квантильі не використовують нижній α/2-квантиль. Це можливо тому, що стандартне нормальний розподілсиметрично щодо осі х ( щільність його розподілусиметрична щодо середнього, тобто.). Тому немає потреби обчислювати нижній α/2-квантиль(його називають просто α /2-квантиль), т.к. він дорівнює верхньому α/2-квантилюзі знаком мінус.
Нагадаємо, що, незважаючи на форму розподілу величини х, відповідна випадкова величина Х сррозподілено приблизно нормально N(μ;σ 2 /n) (див. статтю про ). Отже, у загальному випадку, вищезгадане вираз для довірчого інтервалує лише наближеним. Якщо величина х розподілена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то вираз для довірчого інтервалує точним.
Розрахунок довірчого інтервалу в MS EXCEL
Розв'яжемо завдання.
Час відгуку електронного компонента на вхідний сигнал є важливою характеристикою пристрою. Інженер хоче побудувати довірчий інтервал для середнього відгуку при рівні довіри 95%. З попереднього досвіду інженер знає, що стандартне відхилення часу відгуку складає 8 мсек. Відомо, що з оцінки часу відгуку інженер зробив 25 вимірів, середнє значення становило 78 мсек.
Рішення: Інженер хоче знати час відгуку електронного пристрою, але він розуміє, що час відгуку є не фіксованою, а випадковою величиною, яка має свій розподіл. Отже, найкраще, на що він може розраховувати, це визначити параметри та форму цього розподілу.
На жаль, з умови завдання форма розподілу часу відгуку нам не відома (вона не обов'язково має бути нормальним). , цього розподілу також невідомо. Відомо лише його стандартне відхиленняσ=8. Тому, поки ми не можемо порахувати ймовірності та побудувати довірчий інтервал.
Однак, незважаючи на те, що ми не знаємо розподілу часу окремого відгуку, ми знаємо, що згідно ЦПТ, вибірковий розподіл середнього часу відгукує приблизно нормальним(вважатимемо, що умови ЦПТвиконуються, т.к. розмір вибіркидосить великий (n=25)) .
Більш того, середняцього розподілу дорівнює середнього значеннярозподілу одиничного відгуку, тобто. μ. А стандартне відхиленняцього розподілу (σ/√n) можна обчислити за формулою =8/КОРІНЬ(25) .
Також відомо, що інженером було отримано точкова оцінкапараметра μ дорівнює 78 мсек (Х пор). Тому, ми можемо обчислювати ймовірності, т.к. нам відома форма розподілу ( нормальне) та його параметри (Х ср і σ/√n).
Інженер хоче знати математичне очікуванняμ розподілу часу відгуку. Як було сказано вище, це μ дорівнює математичному очікуванню вибіркового розподілу середнього часу відгуку. Якщо ми скористаємося нормальним розподілом N(Х ср; σ/√n), то шукане μ перебуватиме в інтервалі +/-2*σ/√n з ймовірністю приблизно 95%.
Рівень значущостідорівнює 1-0,95 = 0,05.
Нарешті, знайдемо лівий та правий кордон довірчого інтервалу.
Ліва межа: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРІНЬ(25) =
74,864
Права межа: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРІНЬ(25)=81,136
Ліва межа: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРІНЬ(25))
Права межа: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРІНЬ(25))
Відповідь: довірчий інтервалпри рівні довіри 95% та σ=8мсекдорівнює 78+/-3,136 мсек.
У файл прикладу на аркуші Сигмавідома створена форма для розрахунку та побудови двостороннього довірчого інтервалудля довільних вибірокіз заданим σ та рівнем значимості.
Функція ДОВЕРИТ.НОРМ()
Якщо значення вибіркизнаходяться в діапазоні B20: B79
, а рівень значущостідорівнює 0,05; то формула MS EXCEL:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; РАХУНОК(B20:B79))
поверне лівий кордон довірчого інтервалу.
Цей же кордон можна обчислити за допомогою формули:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРІНЬ(РАХУНОК(B20:B79))
Примітка: Функція ДОВЕРИТ.НОРМ() з'явилася в MS EXCEL 2010. У попередніх версіях MS EXCEL використовувалася функція ДОВЕРИТ() .
Ймовірності, визнані достатніми для того, щоб впевнено судити про генеральні параметри на підставі вибіркових характеристик, називають довірчими .
Зазвичай, як довірчі ймовірності вибирають значення 0,95; 0,99; 0,999 (їх прийнято виражати у відсотках – 95%, 99%, 99,9%). Що міра відповідальності, то більше високий рівеньдовірчої ймовірності: 99% чи 99,9%.
Довірча ймовірність 0,95 (95%) вважається достатньою в наукових дослідженняхв області фізичної культурита спорту.
Інтервал, у якому із заданою довірчою ймовірністю знаходиться вибіркове середнє арифметичне генеральне сукупність, називається довірчим інтервалом .
Рівень значущості оцінювання- мале число α, значення якого передбачає ймовірність того, що виходить за межі довірчого інтервалу. Відповідно до довірчих ймовірностей: α 1 = (1- 0,95) = 0, 05; α 2 = (1 - 0,99) = 0, 01 і т.д.
Довірчий інтервал для середнього (математичного очікування) aнормального розподілу:
,
де – надійність (довірча ймовірність) оцінювання; - вибіркове середнє; s - виправлене середньоквадратичне відхилення; n – обсяг вибірки; t γ - величина, що визначається за таблицею розподілу Стьюдента (див. додаток, табл. 1) при заданих n та γ.
Щоб знайти межі довірчого інтервалу середнього значення генеральної сукупності необхідно:
1. Обчислити та s.
2. Слід задатися довірчою ймовірністю (надійністю) оцінювання γ 0,95 (95 %) або рівнем значимості α 0,05 (5 %)
3. По таблиці t – розподілу Стьюдента (додаток, табл. 1) визначити граничні значення t γ .
Так як t-розподіл симетрично відносно нульової точки, Досить знати тільки позитивне значення t. Наприклад, якщо обсяг вибірки n=16, то кількість ступенів свободи (degrees of freedom, df) t- Розподілу df=16 - 1=15 . За табл. 1 додатку t 0,05 = 2,13 .
4. Знаходимо межі довірчого інтервалу для α = 0,05 та n = 16:
Межі довіри:
При більших обсягах вибірки (n ≥ 30) t – розподіл Стьюдента перетворюється на нормальне. Тому довірчий інтервал для при n ≥ 30 можна записати так:
де u- Відсоткові точки нормованого нормального розподілу.
Для стандартних довірчих ймовірностей (95%, 99%; 99, 9%) та рівнів значущості α значення ( u) наведені у таблиці 8.
Таблиця 8
Значення для стандартних рівнів довіри α
| α | u |
| 0,05 | 1,96 |
| 0,01 | 2,58 |
| 0,001 | 3,28 |
Маючи дані прикладу 1, визначимо межі 95 % - го довірчого інтервалу (α = 0,05) для середнього результату стрибка вгору з місця.У прикладі обсяг вибірки n = 65, тоді визначення меж довірчого інтервалу можна використовувати рекомендації великого обсягу вибірки.
Нехай у нас є велика кількістьпредметів з нормальним розподілом деяких характеристик (наприклад, повний склад однотипних овочів, розмір і вага яких варіюється). Ви хочете знати середні характеристики всієї партії товару, але у Вас немає ні часу, ні бажання вимірювати та зважувати кожен овоч. Ви розумієте, що в цьому немає потреби. Але скільки треба було б взяти на вибіркову перевірку? Перш ніж дати кілька корисних для цієї ситуації формул нагадаємо деякі позначення.По-перше, якби ми все-таки проміряли весь склад овочів (це безліч елементів називається генеральною сукупністю), ми дізналися б з усією доступною нам точністю середнє значення ваги всієї партії.
Імовірно 95%
Імовірно 99%
.
Зв'язок значення t зі значенням ймовірності Р(t), з якою хочемо знати довірчий інтервал, можна взяти з наступної таблиці:
| P(t) | 0,683 | 0,950 | 0,954 | 0,990 | 0,997 |
| t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 |
Отже, ми визначили, у якому діапазоні перебуває середнє значення для генеральної сукупності (з цією ймовірністю).
Якщо ми не маємо достатньо великої вибірки, ми не можемо стверджувати, що Генеральна сукупністьмає s = S виб.
Крім того, у цьому випадку проблематична близькість вибірки до нормального розподілу. У цьому випадку також користуються S виб замість s у формулі: але значення t для фіксованої ймовірності
Р(t) залежатиме від кількості елементів у вибірці n. Чим більше n, тим ближчим буде отриманий довірчий інтервал до значення, що дається формулою (1).Значення t у цьому випадку беруться з іншої таблиці (t-критерій Стьюдента), яку ми наводимо нижче:
| n | P | n | P | ||
| 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | ||
| 2 | 12.71 | 63.66 | 18 | 2.11 | 2.90 |
| 3 | 4.30 | 9.93 | 19 | 2.10 | 2.88 |
| 4 | 3.18 | 5.84 | 20 | 2.093 | 2.861 |
| 5 | 2.78 | 4.60 | 25 | 2.064 | 2.797 |
| 6 | 2.57 | 4.03 | 30 | 2.045 | 2.756 |
| 7 | 2.45 | 3.71 | 35 | 2.032 | 2.720 |
| 8 | 2.37 | 3.50 | 40 | 2.022 | 2.708 |
| 9 | 2.31 | 3.36 | 45 | 2.016 | 2.692 |
| 10 | 2.26 | 3.25 | 50 | 2.009 | 2.679 |
| 11 | 2.23 | 3.17 | 60 | 2.001 | 2.662 |
| 12 | 2.20 | 3.11 | 70 | 1.996 | 2.649 |
| 13 | 2.18 | 3.06 | 80 | 1.991 | 2.640 |
| 14 | 2.16 | 3.01 | 90 | 1.987 | 2.633 |
| 15 | 2.15 | 2.98 | 100 | 1.984 | 2.627 |
| 16 | 2.13 | 2.95 | 120 | 1.980 | 2.617 |
| 17 | 2.12 | 2.92 | >120 | 1.960 | 2.576 |
Значення t-критерію Стьюдента для ймовірності 0,95 та 0,99 приклад 3.З працівників фірми випадково відібрано 30 осіб. За вибіркою виявилося, що середня зарплата (на місяць) становить 10 тис. рублів за середнього квадратичному відхиленні 3 тис. рублів. Імовірно 0,99 визначити середню зарплату у фірмі.
Рішення:< Х ср.ген < 32516.
За умовою маємо n = 30, Х порівн. = 10000, S = 3000, Р = 0,99. Для знаходження довірчого інтервалу скористаємося формулою, яка відповідає критерію Стьюдента. По таблиці для n = 30 і Р = 0,99 знаходимо t = 2,756, отже,
тобто. шуканий довірчий інтервал 27484
Отже, з ймовірністю 0,99 можна стверджувати, що інтервал (27484; 32516) містить у собі середню зарплату у фірмі. Ми сподіваємося, що Ви користуватиметеся цим методом, при цьому не обов'язково, щоб при Вас щоразу була таблиця. Підрахунки можна проводити в Excel автоматично. Перебуваючи у файлі Excel, натисніть кнопку fx у верхньому меню. Потім, виберіть серед функцій тип "статистичні", та із запропонованого переліку у віконці - СТЬЮДРАСПОБР. Потім, за підказкою, поставивши курсор у полі "імовірність", наберіть значення зворотної ймовірності (тобто в нашому випадку замість ймовірності 0,95 треба набирати ймовірність 0,05).надійність. Найпростіше це пояснити на прикладі.
Припустимо, слід досліджувати якусь випадкову величину, наприклад, швидкість відгуку сервера на запит клієнта. Щоразу, коли користувач набирає адресу конкретного сайту, сервер реагує з різною швидкістю. Таким чином, час відгуку, що досліджується, має випадковий характер. Так ось, довірчий інтервал дозволяє визначити межі цього параметра, і потім можна буде стверджувати, що з ймовірністю 95% сервера буде знаходитися в розрахованому нами діапазоні.
Або потрібно дізнатися, якій кількості людей відомо про торгову марку фірми. Коли буде підрахований довірчий інтервал, можна буде, наприклад, сказати що з 95% часткою ймовірності частка споживачів, знають про цю перебуває у діапазоні від 27% до 34%.
З цим терміном тісно пов'язана така величина як довірча ймовірність. Вона є ймовірністю того, що шуканий параметр входить у довірчий інтервал. Від цієї величини залежить те, наскільки більшим виявиться наш пошуковий діапазон. Що більше значення вона набуває, то вже стає довірчий інтервал, і навпаки. Зазвичай її встановлюють 90%, 95% або 99%. Величина 95% найпопулярніша.
На цей показник також впливає дисперсія спостережень і Його визначення ґрунтується на тому припущенні, що досліджувана ознака підкоряється. Це твердження відоме також як Закон Гауса. Згідно з ним, нормальним називається такий розподіл усіх ймовірностей безперервної випадкової величини, який можна описати щільністю ймовірностей. Якщо припущення про нормальному розподілівиявилося помилковим, то оцінка може виявитися неправильною.
Спочатку розберемося з тим, як обчислити довірчий інтервал. Тут можливі два випадки. Дисперсія (ступінь розкиду випадкової величини) може бути відома чи ні. Якщо вона відома, то наш довірчий інтервал обчислюється за допомогою наступної формули:
хср - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - ознака,
t - параметр таблиці розподілу Лапласа,
σ – квадратний корінь дисперсії.
Якщо дисперсія невідома, її можна розрахувати, якщо нам відомі всі значення шуканої ознаки. Для цього використовується така формула:
σ2 = х2ср - (хср)2 де
х2ср - середнє значення квадратів досліджуваної ознаки,
(ХСР)2 - квадрат даної ознаки.
Формула, за якою в цьому випадку розраховується довірчий інтервал, трохи змінюється:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - вибіркове середнє,
α - ознака,
t - параметр, який знаходять за допомогою таблиці розподілу Стьюдента t = t(?;n-1),
sqrt(n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,
s – квадратний корінь дисперсії.
Розглянь такий приклад. Припустимо, що за результатами 7 вимірів було визначено досліджуваного ознаки, що дорівнює 30 і дисперсія вибірки, що дорівнює 36. Потрібно знайти з ймовірністю 99% довірчий інтервал, який містить справжнє значення параметра, що вимірюється.
Спочатку визначимо чому t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Використовуємо наведену вище формулу, отримуємо:
хср - t * s / (sqrt (n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Довірчий інтервал дисперсії розраховується як у випадку з відомим середнім, так і тоді, коли немає жодних даних про математичне очікування, а відомо лише значення точкової незміщеної оцінки дисперсії. Ми не наводитимемо тут формули його розрахунку, оскільки вони досить складні і за бажання їх завжди можна знайти в мережі.
Відзначимо лише, що довірчий інтервал зручно визначати за допомогою програми Excel або мережевого сервісу, що так і називається.