Определение прямой пропорциональности
Для начала напомним следующее определение:
Определение
Две величины называются прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному, отличному от нуля числу, то есть:
\[\frac{y}{x}=k\]
Отсюда мы видим, что $y=kx$.
Определение
Функция вида $y=kx$ называется прямой пропорциональностью.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ при $b=0$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности.
Примером прямой пропорциональности может служить второй закон Ньютона : Ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе:
Здесь масса -- коэффициент пропорциональности.
Исследование функции прямой пропорциональности $f(x)=kx$ и её график
Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k > 0$.
- $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
- График (рис. 1).
Рис. 1. График функции $y=kx$, при $k>0$
Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k
- Область определения -- все числа.
- Область значения -- все числа.
- $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
- Функция проходит через начало координат.
- $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
- $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
- График (рис. 2).
Рис. 2. График функции $y=kx$, при $k
Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти одну, отличную от начала координат точку $\left(x_0,\ y_0\right)$ и провести прямую через эту точку и начало координат.
Трихлеб Даниил ученик 7 А класса
знакомство с прямой пропорциональностью и коэффициентом прямой пропорциональности (введение понятия угловой коэффициент”);
построение графика прямой пропорциональности;
рассмотрение взаимного расположения графиков прямой пропорциональности и линейной функции с одинаковыми угловыми коэффициентами.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Прямая пропорциональность и её график
Что такое аргумент и значение функции? Какая переменная называется независимой, зависимой? Что такое функция? ПОВТОРЕНИЕ Что такое область определения функции?
Способы задания функции. Аналитический (с помощью формулы) Графический (с помощью графика) Табличный (с помощью таблицы)
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции. ГРАФИК ФУНКЦИИ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЕ Постройте график функции y = 2 x +1, где 0 ≤ х ≤ 4 . Составьте таблицу. По графику найдите значение функции при х=2,5 . При каком значении аргумента значение функции равно 8 ?
Определение Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у= k х, где х - независимая переменная, k - не равное нулю число. (k- коэффициент прямой пропорциональности) Прямая пропорциональная зависимость
8 График прямой пропорциональ - ности - прямая, проходящая через начало координат (точку О(0,0)) Чтобы построить график функции y= kx , достаточно двух точек, одна из которых О (0,0) При k > 0 график расположен в I и III координатных четвертях. При k
Графики функций прямой пропорциональности y x k>0 k>0 k
Задание Определите, на каком из графиков изображена функция прямой пропорциональности.
Задание Определите, график какой функции изображен на рисунке. Выберите формулу из трех предложенных.
Устная работа. Может ли график функции, заданной формулой у= k х, где k
Определите, какие из точек А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) принадлежат графику прямой пропорциональности, заданной формулой у = 5х 1) А(6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неверно. Точка А не принадлежит графику функции у=5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - верно. Точка В принадлежит графику функции у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неверно Точка С не принадлежит графику функции у=5х. 4) Е (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - верно. Точка Е принадлежит графику функции у=5х
ТЕСТ 1 вариант 2 вариант №1. Какие из функций, заданные формулой, являются прямой пропорциональной зависимостью? А. y = 5x В. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
№2. Выпишите номера прямых y = kx , где k > 0 1 вариант k
№3. Определите, какие из точек принадлеж a т графику прямой пропорциональности, заданной формулой У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 вариант С(1,-1),Е(0,0) 2 вариант
y =5x y =10x III А VI и IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильный ответ Правильный ответ №
Выполните задание: Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой: y =1,7 x у =-3 ,1 х у=0,9 х у=-2,3 х
ЗАДАНИЕ Из следующих графиков выберите только графики прямой пропорциональности.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функции у = 2х + 3 2. у = 6/ х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/ х 6. у = 5х 7. у = 2х – 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Выберите функции вида у= k х (прямая пропорциональность) и выпишите их
Функции прямой пропорциональности У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х
у Линейные функции, не являющиеся функциями прямой пропорциональности 1) у = 2х + 3 2) у = 2х – 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5
Домашнее задание: п.15 стр.65-67, № 307; № 308.
Еще раз давайте повторим. Что вы узнали нового? Чему научились? Что показалось особенно трудным?
Понравился урок и тема понята: Понравился урок, но не всё ещё понятно: Урок не понравился и тема не понятна.
Рассмотрим прямо пропорциональную зависимость с некоторым определённым коэффициентом пропорциональности. Например, . При помощи системы координат на плоскости можно наглядно изобразить данную зависимость. Объясним, как это делается.
Дадим х какое-нибудь числовое значение; положим, например, и вычислим соответствующее значение у; в нашем примере
Построим на координатной плоскости точку с абсциссой и с ординатой . Эту точку назовём точкой, соответствующей значению (черт. 23).
Будем придавать х различные значения и для каждого значения х построим соответствующую точку на плоскости.
Составим такую таблицу (в верхней строчке будем выписывать те значения, которые мы придаём х, а под ними в нижней строчке - соответствующие значения у):
Составив таблицу, построим для каждого значения х соответствующую ему точку на координатной плоскости.
Нетрудно проверить (приложив, например, линейку), что все построенные точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.
Разумеется, х можно придавать любые значения, а не только те, которые выписаны в таблице. Можно брать любые дробные значения, например:
Нетрудно проверить, вычислив значения у, что соответствующие точки расположатся на той же прямой.
Если для каждого значения построить соответствующую ему точку, то на плоскости выделится множество точек (в нашем примере прямая), координаты которых находятся в зависимости
Это множество точек плоскости (то есть построенная на чертеже 23 прямая) называется графиком зависимости
Построим график прямо пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом пропорциональности. Положим, например,
Поступим так же, как и в предыдущем примере: будем придавать х различные числовые значения и вычислять соответствующие значения у.
Составим, например, такую таблицу:
Построим на плоскости соответствующие точки.
Из чертежа 24 видно, что, как и в предыдущем примере, точки плоскости, координаты которых находятся в зависимости расположены на одной прямой, проходящей через начало координат и расположенной во
II и IV четвертях.
Ниже (в курсе VIII класса) будет доказано, что графиком прямо пропорциональной зависимости с любым коэффициентом пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Можно строить график прямой пропорциональности гораздо проще и легче, чем строили до сих пор.
Для примера построим график зависимости
>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график
Прямая пропорциональность и её график
Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь , это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.
Например, путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это - прямая пропорциональность, причем k = 20.
Другой пример:
стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это - прямая пропорциональность, где k = 5.
Доказательство.
Осуществим его в два этапа.
1. у = kx - частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у - kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.
Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.
Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображенную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорциональности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как у , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем: Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у = 2х.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, - тупой угол (рис. 49, б).
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки