Haqiqiy o'zgaruvchining (musbat asosli) ko'rsatkichli funktsiyasi bir necha bosqichda aniqlanadi. Birinchidan, tabiiy qadriyatlar uchun - teng omillar mahsuloti sifatida. Keyin ta'rif qoidalar bo'yicha manfiy tamsayılar va nolga teng bo'lmagan qiymatlarga tarqaladi. Keyinchalik, ko'rsatkichli funktsiyaning qiymati ildizlar yordamida aniqlanadigan kasr darajalarini ko'rib chiqamiz: . Irratsional qiymatlar uchun ta'rif allaqachon matematik tahlilning asosiy kontseptsiyasi bilan - chegaraga o'tish bilan, uzluksizlik sabablari bilan bog'liq. Bu mulohazalarning barchasi eksponensial funktsiyani indikatorning murakkab qiymatlariga kengaytirishga urinishlar uchun hech qanday tarzda qo'llanilmaydi va bu nima, masalan, mutlaqo noaniq.

Birinchi marta integral hisobning bir qator konstruktsiyalarini tahlil qilish asosida Eyler tomonidan tabiiy asosga ega bo'lgan kompleks ko'rsatkichli daraja kiritilgan. Ba'zida juda o'xshash algebraik iboralar birlashtirilganda butunlay boshqacha javob beradi:

Shu bilan birga, bu erda ikkinchi integral birinchisidan almashtirilganda rasmiy ravishda olinadi

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, murakkab ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyani to'g'ri ta'riflash bilan teskari trigonometrik funktsiyalar logarifmlar bilan bog'liq va shuning uchun ko'rsatkichli funktsiya trigonometriklar bilan bog'liq.

Eylerda asosli eksponensial funktsiyaga oqilona ta'rif berish uchun jasorat va tasavvur bor edi, ya'ni

Bu ta'rif va shuning uchun bu formulani isbotlab bo'lmaydi, faqat bunday ta'rifning asosliligi va maqsadga muvofiqligi foydasiga dalillar izlash mumkin; Matematik tahlil bu kabi ko'plab dalillarni beradi. Biz faqat bittasi bilan cheklanamiz.

Ma'lumki, real uchun cheklovchi munosabat mavjud: . O'ng tomonda uchun murakkab qiymatlar uchun ham mantiqiy bo'lgan polinom mavjud. Kompleks sonlar ketma-ketligi chegarasi tabiiy ravishda aniqlanadi. Agar real va xayoliy qismlar ketma-ketligi yaqinlashsa va qabul qilinsa, ketma-ketlik konvergent hisoblanadi.

Keling, topamiz. Buning uchun trigonometrik shaklga murojaat qilaylik va argument uchun biz qiymatlarni intervaldan tanlaymiz. Bu tanlov bilan bu aniq. Keyingisi,

Cheklovga o'tish uchun siz cheklovlar mavjudligini tekshirishingiz va ushbu chegaralarni topishingiz kerak. Bu aniq

Shunday qilib, ifodada

haqiqiy qismi ga, xayoliy qismi shunga intiladi

Ushbu oddiy argument Eylerning eksponensial funktsiyani ta'rifi foydasiga argumentlardan birini beradi.

Endi aniqlaylikki, ko'rsatkichli funktsiyaning qiymatlarini ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi. Haqiqatan ham:

2. Eyler formulalari.

Keling, ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifini keltiramiz. Biz olamiz:

b ni -b bilan almashtirsak, olamiz

Bu tengliklarni davr bo‘yicha qo‘shish va ayirish orqali biz formulalarni topamiz

Eyler formulalari deb ataladi. Ular trigonometrik funktsiyalar va xayoliy darajalar bilan ko'rsatkichli funktsiyalar o'rtasida bog'lanishni o'rnatadilar.

3. Kompleks sonning natural logarifmi.

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni ko'rinishda yozish mumkin. U trigonometrik shaklning barcha yaxshi xususiyatlarini saqlab qoladi, lekin undan ham ixchamroqdir. Bundan tashqari, Shuning uchun murakkab son logarifmining haqiqiy qismi uning modulining logarifmi, xayoliy qismi esa uning argumentidir, deb taxmin qilish tabiiydir. Bu ma'lum darajada argumentning "logarifmik" xususiyatini tushuntiradi - mahsulot argumenti omillar argumentlari yig'indisiga teng.

Haqiqiy o'zgaruvchining (musbat asosli) ko'rsatkichli funktsiyasi bir necha bosqichda aniqlanadi. Birinchidan, tabiiy qadriyatlar uchun - teng omillar mahsuloti sifatida. Keyin ta'rif qoidalar bo'yicha manfiy tamsayılar va nolga teng bo'lmagan qiymatlarga tarqaladi. Keyinchalik, ko'rsatkichli funktsiyaning qiymati ildizlar yordamida aniqlanadigan kasr darajalarini ko'rib chiqamiz: . Irratsional qiymatlar uchun ta'rif allaqachon matematik tahlilning asosiy kontseptsiyasi bilan - chegaraga o'tish bilan, uzluksizlik sabablari bilan bog'liq. Bu mulohazalarning barchasi eksponensial funktsiyani indikatorning murakkab qiymatlariga kengaytirishga urinishlar uchun hech qanday tarzda qo'llanilmaydi va bu nima, masalan, mutlaqo noaniq.

Birinchi marta integral hisobning bir qator konstruktsiyalarini tahlil qilish asosida Eyler tomonidan tabiiy asosga ega bo'lgan kompleks ko'rsatkichli daraja kiritilgan. Ba'zida juda o'xshash algebraik iboralar birlashtirilganda butunlay boshqacha javob beradi:

Shu bilan birga, bu erda ikkinchi integral birinchisidan almashtirilganda rasmiy ravishda olinadi

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, murakkab ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyani to'g'ri ta'riflash bilan teskari trigonometrik funktsiyalar logarifmlar bilan bog'liq va shuning uchun ko'rsatkichli funktsiya trigonometriklar bilan bog'liq.

Eylerda asosli eksponensial funktsiyaga oqilona ta'rif berish uchun jasorat va tasavvur bor edi, ya'ni

Bu ta'rif va shuning uchun bu formulani isbotlab bo'lmaydi, faqat bunday ta'rifning asosliligi va maqsadga muvofiqligi foydasiga dalillar izlash mumkin; Matematik tahlil bu kabi ko'plab dalillarni beradi. Biz faqat bittasi bilan cheklanamiz.

Ma'lumki, real uchun cheklovchi munosabat mavjud: . O'ng tomonda uchun murakkab qiymatlar uchun ham mantiqiy bo'lgan polinom mavjud. Kompleks sonlar ketma-ketligi chegarasi tabiiy ravishda aniqlanadi. Agar real va xayoliy qismlar ketma-ketligi yaqinlashsa va qabul qilinsa, ketma-ketlik konvergent hisoblanadi.

Keling, topamiz. Buning uchun trigonometrik shaklga murojaat qilaylik va argument uchun biz qiymatlarni intervaldan tanlaymiz. Bu tanlov bilan bu aniq. Keyingisi,

Cheklovga o'tish uchun siz cheklovlar mavjudligini tekshirishingiz va ushbu chegaralarni topishingiz kerak. Bu aniq

Shunday qilib, ifodada

haqiqiy qismi ga, xayoliy qismi shunga intiladi

Ushbu oddiy argument Eylerning eksponensial funktsiyani ta'rifi foydasiga argumentlardan birini beradi.

Endi aniqlaylikki, ko'rsatkichli funktsiyaning qiymatlarini ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi. Haqiqatan ham:

2. Eyler formulalari.

Keling, ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifini keltiramiz. Biz olamiz:

b ni -b bilan almashtirsak, olamiz

Bu tengliklarni davr bo‘yicha qo‘shish va ayirish orqali biz formulalarni topamiz

Eyler formulalari deb ataladi. Ular trigonometrik funktsiyalar va xayoliy darajalar bilan ko'rsatkichli funktsiyalar o'rtasida bog'lanishni o'rnatadilar.

3. Kompleks sonning natural logarifmi.

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni ko'rinishda yozish mumkin. U trigonometrik shaklning barcha yaxshi xususiyatlarini saqlab qoladi, lekin undan ham ixchamroqdir. Bundan tashqari, Shuning uchun murakkab son logarifmining haqiqiy qismi uning modulining logarifmi, xayoliy qismi esa uning argumentidir, deb taxmin qilish tabiiydir. Bu ma'lum darajada argumentning "logarifmik" xususiyatini tushuntiradi - mahsulot argumenti omillar argumentlari yig'indisiga teng.

Ta'rif va xususiyatlar

Kompleks nolning logarifmi yo'q, chunki kompleks ko'rsatkich nol qiymatini olmaydi. Nolga teng emas texvc ko'rgazmali shaklda ifodalanishi mumkin:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README ga qarang - sozlashda yordam.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Qayerda Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): k- ixtiyoriy butun son

Keyin Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \mathrm(Ln)\,z formula bilan topiladi:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README ga qarang - sozlashda yordam.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \o'ng)

Bu yerga Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun math/README ga qarang.): \ln\,r= \ln\,|z|- haqiqiy logarifm. Bundan kelib chiqadi:

Formuladan ko'rinib turibdiki, qiymatlardan faqat bittasi oraliqda xayoliy qismga ega Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc . Bu qiymat deyiladi asosiy ahamiyati murakkab natural logarifm. Tegishli (allaqachon aniq) funktsiya chaqiriladi asosiy filiali logarifm va belgilanadi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln\,z. Ba'zan orqali Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln\, z asosiy shoxda yotmaydigan logarifmning qiymatini ham bildiradi. Agar Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): z haqiqiy son bo'lsa, u holda uning logarifmining bosh qiymati oddiy haqiqiy logarifmga to'g'ri keladi.

Yuqoridagi formuladan logarifmning haqiqiy qismi argument komponentlari orqali quyidagicha aniqlanadi:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlashda yordam olish uchun matematika/README ga qarang.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Rasmda ko'rinib turibdiki, komponentlarning funktsiyasi sifatida haqiqiy qism markaziy nosimmetrikdir va faqat boshlang'ichgacha bo'lgan masofaga bog'liq. U haqiqiy logarifmning grafigini vertikal o'q atrofida aylantirish orqali olinadi. Nolga yaqinlashganda, funksiya moyil bo'ladi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README - sozlashda yordamga qarang.): -\infty.

Manfiy sonning logarifmi quyidagi formula bilan topiladi:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun math/README ga qarang.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\nuqta)

Murakkab logarifm qiymatlariga misollar

Keling, logarifmning asosiy qiymatini keltiramiz ( Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln) va uning umumiy ifodasi ( Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun math/README ga qarang.): \mathrm(Ln)) ba'zi dalillar uchun:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash bo'yicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Murakkab logarifmlarni konvertatsiya qilishda ehtiyot bo'lish kerak, ular ko'p qiymatli ekanligini hisobga olish kerak va shuning uchun har qanday iboralarning logarifmlarining tengligi bu iboralarning tengligini anglatmaydi. Misol xato fikrlash:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README ga qarang - sozlashda yordam: i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- aniq xato.

E'tibor bering, chap tomonda logarifmning asosiy qiymati, o'ngda esa asosiy filialning qiymati ( Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README - sozlash bo'yicha yordamga qarang.): k=-1). Xatoning sababi mulkdan ehtiyotsiz foydalanishdir Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, bu, umuman olganda, murakkab holatda faqat asosiy qiymatni emas, balki logarifmning cheksiz qiymatlari to'plamini nazarda tutadi.

Kompleks logarifmik funksiya va Riman yuzasi

O'zining oddiy bog'liqligi tufayli logarifmning Riemann yuzasi nuqtasiz murakkab tekislik uchun universal qoplama hisoblanadi. Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc .

Analitik davomi

Kompleks sonning logarifmini haqiqiy logarifmning butun kompleks tekislikka analitik davomi sifatida ham aniqlash mumkin. Egri chiziq bo'lsin Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc birdan boshlanadi, noldan o'tmaydi va haqiqiy o'qning salbiy qismini kesib o'tmaydi. Keyin oxirgi nuqtada logarifmning asosiy qiymati Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): w qiyshiq Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \Gamma formula bilan aniqlash mumkin:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlashda yordam olish uchun matematika/README ga qarang.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Agar Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \Gamma- oddiy egri chiziq (o'z-o'zidan kesishmasdan), unda yotgan raqamlar uchun logarifmik identifikatsiyadan qo'rqmasdan foydalanish mumkin, masalan:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Logarifmik funktsiyaning asosiy tarmog'i butun kompleks tekislikda uzluksiz va differentsial bo'ladi, haqiqiy o'qning manfiy qismi bundan mustasno, xayoliy qism keskin o'zgaradi. Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README-ga qarang - sozlashda yordam.): 2\pi. Ammo bu fakt asosiy qiymatning xayoliy qismini interval bilan sun'iy cheklashning natijasidir. Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README - sozlashda yordamga qarang.): (-\pi, \pi]. Agar funktsiyaning barcha tarmoqlarini ko'rib chiqsak, u holda uzluksizlik noldan tashqari barcha nuqtalarda sodir bo'ladi, bu erda funktsiya aniqlanmagan. Agar siz egri chiziqni hal qilsangiz Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \Gamma haqiqiy o'qning salbiy qismini kesib o'ting, keyin birinchi bunday kesishma natijani asosiy qiymat shoxchasidan qo'shni filialga o'tkazadi va har bir keyingi kesishish logarifmik funktsiyaning shoxlari bo'ylab xuddi shunday siljishni keltirib chiqaradi (rasmga qarang).

Analitik davom formulasidan kelib chiqadiki, logarifmning istalgan bo'limida:

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\z ustida)

Har qanday doira uchun Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): S, nuqtani qamrab oladi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): 0 :

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlashda yordam olish uchun matematik/README ga qarang.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) olinadi. Bu o'ziga xoslik qoldiqlar nazariyasiga asoslanadi.

Haqiqiy holat uchun ma'lum bo'lgan qatorlar yordamida murakkab logarifmning analitik davomini ham aniqlash mumkin:

Biroq, bu qatorlar shaklidan kelib chiqadiki, birida qatorlar yig'indisi nolga teng, ya'ni qator faqat kompleks logarifmning ko'p qiymatli funktsiyasining asosiy tarmog'iga taalluqlidir. Ikkala qatorning yaqinlashish radiusi 1 ga teng.

Teskari trigonometrik va giperbolik funksiyalar bilan bog`lanish

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun math/README ga qarang.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematik/README ga qarang.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README ga qarang - sozlashda yordam.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README ga qarang - sozlashda yordam.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- teskari giperbolik sinus Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Math/README - sozlashda yordamga qarang.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- teskari giperbolik kosinus Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\o'ng)- teskari giperbolik tangens Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\o'ng)- teskari giperbolik kotangent

Tarixiy eskiz

Logarifmlarni murakkab sonlargacha kengaytirishga birinchi urinishlar 17-18-asrlar oxirida Leybnits va Iogan Bernulli tomonidan qilingan, biroq ular yaxlit nazariyani yarata olmadilar, chunki birinchi navbatda logarifm tushunchasi hali aniq belgilanmagan. Bu masala bo'yicha munozara dastlab Leybnits va Bernulli o'rtasida, 18-asr o'rtalarida esa D'Alember va Eyler o'rtasida bo'lib o'tdi. Bernoulli va D'Alembert buni aniqlash kerak deb hisoblashdi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): \log(-x) = \log(x), Leybnits manfiy sonning logarifmi xayoliy son ekanligini isbotladi. Manfiy va murakkab sonlar logarifmlarining to'liq nazariyasi Eyler tomonidan 1747-1751 yillarda nashr etilgan va hozirgi zamondan deyarli farq qilmaydi. Munozara davom etgan bo'lsa-da (D'Alember o'z nuqtai nazarini himoya qildi va uni "Entsiklopediya" va boshqa asarlaridagi maqolasida batafsil bayon qildi), Eylerning yondashuvi 18-asrning oxiriga kelib butun dunyoda e'tirof etildi.

"Murakkab logarifm" maqolasiga sharh yozing

Adabiyot

Logarifmlar nazariyasi

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 b.
• Sveshnikov A. G., Tixonov A. N. Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi. - M.: Nauka, 1967. - 304 b.
• Fikhtengolts G. M. Differensial va integral hisoblash kursi. - tahrir. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 b.

Logarifmlar tarixi

• 18-asr matematikasi // / A. P. Yushkevich tomonidan tahrirlangan, uch jildda. - M.: Fan, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (tahrirlar). 19-asr matematikasi. Geometriya. Analitik funksiyalar nazariyasi. - M.: Fan, 1981. - T. II.

Eslatmalar

1. Logarifmik funktsiya. // . - M.: Sovet Entsiklopediyasi, 1982. - T. 3.
2. , II jild, 520-522-betlar..
3. , Bilan. 623..
4. , Bilan. 92-94..
5. , Bilan. 45-46, 99-100..
6. Boltyanskiy V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - B. 112. - (Kvant kutubxonasi, 21-son).
7. , II jild, 522-526-betlar..
8. , Bilan. 624..
9. , Bilan. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Matematika tarixi. Ikki jildda. - M .: nashriyot uyi. Moskva davlat universiteti, 1963. - T. II. - B. 27, 230-231..
11. , Bilan. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Fan, 1987. - T. II. Geometriya. - 159-161-betlar. - 416 s.

Murakkab logarifmni tavsiflovchi parcha

Bizni qamrab olgan vahshiy dahshatdan biz o'q kabi keng vodiy bo'ylab yugurdik, hatto tezda boshqa "qavat"ga o'tishimiz mumkinligini xayolimga ham keltirmadik... Bu haqda o'ylashga ulgurmadik - juda qo'rqib ketdik.
Jonivor tepamizdan baland ovozda tishli tumshug'ini chertib uchib bordi va biz imkon qadar tezroq yugurdik, shilimshiq shilimshiqlarni yon tomonlarga sachratib, bu dahshatli "mo''jizaviy qushni" to'satdan boshqa narsa qiziqtirishi uchun ruhan ibodat qildik ... u tezroq ekanligini his qildik va biz undan uzoqlashishga imkonimiz yo'q edi. Nasib qilsa, yaqin atrofda bironta ham daraxt o'smagan, orqasiga yashirinadigan butalar, hatto toshlar ham yo'q, uzoqdan faqat mash'um qora tosh ko'rinardi.
- U yerda! – barmog‘ini o‘sha toshga ishora qilib baqirdi Stella.
Lekin to‘satdan, kutilmaganda ro‘paramizdan qayerdandir bir maxluq paydo bo‘ldi, uning ko‘rinishi tom ma’noda tomirlarimizdagi qonimizni muzlatib qo‘ydi... U go‘yo “to‘g‘ridan-to‘g‘ri havodan” qo‘rqinchli bo‘lib ko‘rindi... Ulkan qora tana go'shti butunlay qoplangan uzun, dag'al sochlari uni qozon qorinli ayiqqa o'xshatib qo'ygan edi, faqat shu “ayiq” uch qavatli uydek baland edi... Yirtqich hayvonning bo'lakli boshiga ikkita ulkan kavisli shox “toj kiygan” edi. , va dahshatli og'iz bir juft nihoyatda uzun tishlar bilan bezatilgan, pichoqdek o'tkir, faqat qarab, bizning oyoqlarimiz qo'rquv bilan bo'shab qoldi... Va keyin, bizni hayratda qoldirib, yirtqich hayvon osongina o'rnidan turdi va.. . Uning ulkan tishlaridan birida uchib yurgan “qog'oz”ni ko'tarib oldik... Biz hayratdan qotib qoldik.
- Yuguramiz!!! – qichqirdi Stella. - Qani, u "band" bo'lganda chopaylik!..
Va biz orqaga qaramasdan yana shoshilishga tayyor edik, birdan orqamizdan ingichka ovoz eshitildi:
- Qizlar, kuting!!! Qochishga hojat yo‘q!.. Din sizni qutqardi, u dushman emas!
Biz keskin o‘girildik – orqamizda mitti, juda chiroyli qora ko‘zli qiz turardi... va o‘ziga yaqinlashib kelgan yirtqich hayvonni xotirjam silab o‘tirardi!.. Ko‘zlarimiz hayratdan kattalashib ketdi... Bu aql bovar qilmaydigan! Shubhasiz – kutilmagan kun edi!.. Bizga qarab turgan qiz, yonimizda turgan mo‘ynali yirtqich hayvondan aslo qo‘rqmay, xushmuomala jilmayib qo‘ydi.
- Iltimos, undan qo'rqmang. U juda mehribon. Ovara sizni ta’qib qilayotganini ko‘rib, yordam berishga qaror qildik. Din ajoyib edi, u o'z vaqtida uddasidan chiqdi. Haqiqatan ham, azizim?
"Yaxshi" xirilladi, bu biroz zilzilaga o'xshardi va boshini egib, qizning yuzini yaladi.
– Ovara kim va nega u bizga hujum qildi? - Men so'radim.
"U hammaga hujum qiladi, u yirtqich." Va juda xavfli, - xotirjam javob berdi qiz. - Bu yerda nima qilayotganingizni so'rasam maylimi? Siz bu yerlik emassiz, qizlar?
- Yo'q, bu yerdan emas. Biz shunchaki yurgan edik. Ammo siz uchun bir xil savol - bu erda nima qilyapsiz?
"Men onamni ko'raman ..." qizaloq xafa bo'ldi. "Biz birga vafot etdik, lekin negadir u shu erda tugadi." Va hozir men shu erda yashayman, lekin men unga buni aytmayman, chunki u hech qachon bunga rozi bo'lmaydi. U meni hozir kelyapman deb o'ylaydi...
- Shunchaki kelganingiz ma'qul emasmi? Bu yerda juda dahshatli!.. – Stella yelkasini qisdi.
"Men uni bu erda yolg'iz qoldirolmayman, unga hech narsa bo'lmasligi uchun uni kuzatib turaman." Mana, Din men bilan... U menga yordam beradi.
Men shunchaki ishonmadim ... Bu jasur qiz o'z ixtiyori bilan go'zal va mehribon "pol"ini tark etib, qandaydir tarzda juda "aybdor" bo'lgan onasini himoya qilib, bu sovuq, dahshatli va begona dunyoda yashash uchun! Menimcha, bunday jasur va fidoyi insonlar (hatto kattalar ham!) ko‘p bo‘lmaydi, ular bunday mardonalikka jur’at etadilar... Va men darhol o‘yladim – balki u o‘zini nimaga mahkum etishini tushunmagandir. ?!
- Sir bo'lmasa, bu yerda qancha vaqt bo'ldingiz, qizim?
“Yaqinda...” deb javob qildi qora ko‘zli go‘dak barmoqlari bilan jingalak sochlarining qora o‘rimidan tortib. – O‘lganimda o‘zimni shunday go‘zal dunyoda ko‘rdim!.. U shunday mehribon, yorug‘ edi!.. Keyin onamning yonimda yo‘qligini ko‘rib, uni izlashga shoshildim. Avvaliga bu juda qo'rqinchli edi! Negadir u hech qayerda yo‘q edi... Keyin men bu dahshatli dunyoga tushib qoldim... Keyin uni topdim. Bu yerda juda qo‘rqib ketdim... Shunchalik yolg‘iz... Onam ketishimni aytdi, hatto so‘kdi. Lekin men uni tark eta olmayman... Endi mening do'stim bor, mening yaxshi dekanim va men bu erda allaqachon mavjud bo'lishim mumkin.
Uning "yaxshi do'sti" yana baqirdi, bu Stella va menga katta "pastki astral" g'ozlarni qo'zg'atdi... O'zimni yig'ib, bir oz tinchlanishga harakat qildim va bu mo'ynali mo''jizaga diqqat bilan qaray boshladim ... Va u, O'zini payqashganini darhol his qilib, tishli og'zini dahshatli tarzda ochdi... Men orqaga sakrab tushdim.
- Oh, qo'rqma, iltimos! "U sizga tabassum qilmoqda", dedi qiz "ishontirdi."
Ha... Bunday tabassumdan tez yugurishni o‘rganasan... — deb o‘yladim o‘zimcha.
- Qanday qilib u bilan do'st bo'lib qoldingiz? — soʻradi Stella.
- Bu yerga birinchi kelganimda, ayniqsa, bugun siz kabi yirtqich hayvonlar hujum qilganda juda qo'rqardim. Va bir kuni, men deyarli o'lib qolganimda, Din meni bir nechta dahshatli uchuvchi "qushlar" dan qutqardi. Men ham avvaliga undan qo'rqardim, lekin keyin tushundimki, uning qanday tilla qalbi bor... U eng yaxshi do'st! Menda hech qachon bunday narsa bo'lmagan, hatto men Yerda yashaganimda ham.
- Qanday qilib tez ko'nikib qoldingiz? Uning tashqi ko'rinishi unchalik tanish emas, aytaylik ...
– Shu yerda men bir oddiy haqiqatni tushundim, negadir yer yuzida payqamagandim – odamning yoki jonzotning yuragi yaxshi bo‘ladimi tashqi ko‘rinishi muhim emas... Onam juda chiroyli edi, lekin ba’zida juda jahldor edi. ham. Va keyin uning barcha go'zalligi qayerdadir g'oyib bo'ldi ... Va Din, garchi qo'rqinchli bo'lsa-da, har doim juda mehribon va meni doimo himoya qiladi, men uning mehribonligini his qilaman va hech narsadan qo'rqmayman. Ammo siz tashqi ko'rinishga ko'nikishingiz mumkin ...
- Bilasizmi, siz bu erda juda uzoq vaqt, Yerdagi odamlardan ko'ra uzoqroq bo'lishingiz mumkin? Haqiqatan ham shu yerda qolishni xohlaysizmi?..
"Onam shu erda, shuning uchun men unga yordam berishim kerak." U yana Yerda yashash uchun “ketsa”, men ham ketaman... Yaxshilik ko'proq bo'lgan joyga. Bu dahshatli dunyoda odamlar juda g'alati - go'yo ular umuman yashamaydilar. Nega bunday? Bu haqda biror narsa bilasizmi?
– Onang yana yashash uchun ketishini kim aytdi? – Stella qiziqib qoldi.
- Dekan, albatta. U ko'p narsani biladi, u bu erda juda uzoq vaqt yashagan. U, shuningdek, biz (onam va men) yana yashaganimizda, oilalarimiz boshqacha bo'lishini aytdi. Va keyin men bu onamga ega bo'lmayman ... Shuning uchun men hozir u bilan birga bo'lishni xohlayman.
- U bilan, dekaningiz bilan qanday gaplashasiz? — soʻradi Stella. - Nega bizga ismingizni aytmoqchi emassiz?
Lekin bu haqiqat - biz uning ismini hali ham bilmas edik! Va ular ham uning qayerdan kelganini bilishmas edi ...
– Mening ismim Mariya edi... Lekin bu yerda buning ahamiyati bormi?
- Xo'sh, albatta! – kulib yubordi Stella. - Siz bilan qanday bog'lansam bo'ladi? Ketganingda senga yangi ism qo'yishadi, lekin sen shu yerda ekansan, eskisi bilan yashashga to'g'ri keladi. Bu yerda boshqa hech kim bilan gaplashdingmi, qiz Mariya? – so'radi Stella odatiga ko'ra mavzudan mavzuga sakrab.
-Ha, gaplashdim... - dedi qizcha ikkilanib. "Ammo ular bu erda juda g'alati." Va juda baxtsiz... Nega ular bunchalik baxtsiz?
- Bu erda ko'rgan narsangiz baxtga yordam beradimi? – Men uning savolidan hayratda qoldim. – Hatto mahalliy “haqiqat”ning o‘zi ham har qanday umidni oldindan o‘ldiradi!.. Bu yerda qanday baxtli bo‘lasan?
- Bilmayman. Onamning yonida bo'lsam, bu yerda ham baxtli bo'lishim mumkindek tuyuladi... To'g'ri, bu yer juda qo'rqinchli va u bu yerni chindan ham yoqtirmaydi... Men bilan qolishga rozi bo'lganimni aytganimda uni, u menga qichqirdi va men uning "miyasiz baxtsizligi" ekanligimni aytdi ... Lekin men xafa emasman ... Men u shunchaki qo'rqib ketganini bilaman. Xuddi men kabi...
- Ehtimol, u sizni "o'ta" qaroringizdan himoya qilmoqchi bo'lgan va faqat "qavatingizga" qaytishingizni xohlaganmi? – xafa bo'lmaslik uchun ehtiyotkorlik bilan so'radi Stella.
– Yo‘q, albatta... Lekin yaxshi so‘zlaringiz uchun rahmat. Onam meni hatto er yuzida ham unchalik yaxshi ismlar bilan chaqirmasdi... Lekin bu g'azabdan emasligini bilaman. U mening tug'ilganimdan norozi edi va ko'pincha men uning hayotini buzganimni aytdi. Lekin bu mening aybim emas edi, shunday emasmi? Men har doim uni xursand qilishga harakat qildim, lekin negadir men unchalik muvaffaqiyatli bo'lmadim ... Va hech qachon otam bo'lmagan. – Mariya juda g‘amgin edi, ovozi ham yig‘lamoqchi bo‘lgandek titrardi.
Stella va men bir-birimizga qaradik va men unga xuddi shunday fikrlar kelganiga deyarli ishonchim komil edi... Menga bu buzilgan, xudbin "ona" juda yoqmadi, u bolasining o'zi haqida qayg'urish o'rniga, unga e'tibor bermaydi. uning qahramonlik qurbonligini men tushundim va bundan tashqari, men uni juda og'riqli qildim.
"Ammo Din mening yaxshi ekanligimni va uni juda xursand qilishimni aytdi!" – qizaloqroq quvnoqroq xirilladi. "Va u men bilan do'st bo'lishni xohlaydi." Bu yerda men uchratganlar esa juda sovuq va befarq, ba’zan esa hatto yovuz... Ayniqsa, yirtqich hayvonlarga bog‘langanlar...
"HAYVONLAR - nima?.." Biz tushunmadik.
- Xo'sh, ularning orqalarida o'tirgan dahshatli yirtqich hayvonlar bor va ularga nima qilish kerakligini aytadilar. Va agar ular quloq solmasa, yirtqich hayvonlar ularni dahshatli masxara qilishadi ... Men ular bilan gaplashishga harakat qildim, lekin bu hayvonlar menga ruxsat bermaydi.
Biz bu "tushuntirish" dan mutlaqo hech narsani tushunmadik, lekin ba'zi astral mavjudotlarning odamlarni qiynoqqa solayotgani biz uchun "o'rganilgan" bo'lib qolishi mumkin emas edi, shuning uchun biz darhol undan bu ajoyib hodisani qanday ko'rishimiz mumkinligini so'radik.
- Ha, hamma joyda! Ayniqsa, "qora tog'da". Mana, u daraxtlar ortida. Biz ham siz bilan borishimizni xohlaysizmi?
- Albatta, biz juda xursand bo'lamiz! - xursand bo'lgan Stella darhol javob berdi.
Rostini aytsam, men ham boshqa birov bilan uchrashish istiqboliga, "qo'rqinchli va tushunarsiz", ayniqsa, yolg'iz tabassum qilmadim. Lekin qiziqish qo'rquvni yengdi va biz, albatta, biroz qo'rqib ketganimizga qaramay, ketgan bo'lardik... Lekin Dindek himoyachi biz bilan yurganida, darhol qiziqroq bo'lib ketdi...
Va keyin, qisqa fursatdan so‘ng, ko‘z o‘ngimizda haqiqiy jahannam ochildi, hayrat bilan keng ochildi... Vizyon Boschning (yoki qaysi tilga tarjima qilganingizga qarab, Bosc), “aqldan ozgan” rassomning rasmlarini eslatdi. bir paytlar o‘zining san’at olami bilan butun dunyoni larzaga solgan... U, albatta, aqldan ozgan emas, shunchaki ko‘ruvchi edi, negadir faqat pastki Astralni ko‘ra olardi. Ammo biz unga hurmat ko'rsatishimiz kerak - u uni ajoyib tasvirlagan ... Men uning rasmlarini dadamning kutubxonasidagi kitobda ko'rganman va uning ko'pgina rasmlarida qanday dahshatli tuyg'u borligini hali ham eslayman ...
"Qanday dahshat!.." deb pichirladi hayratda qolgan Stella.
Aytish mumkinki, biz bu yerda, «qavatlarda» allaqachon ko'p narsalarni ko'rganmiz... Lekin biz buni eng dahshatli dahshatimizda ham tasavvur qila olmasdik!.. «Qora tosh» ortida aqlga sig'maydigan narsa ochilib ketdi. .. U toshga o‘yilgan ulkan, tekis “qozon”ga o‘xshardi, uning tubida qip-qizil “lava” ko‘piklanardi... Issiq havo hamma joyda g‘alati miltillovchi qizg‘ish pufakchalar bilan “yorilib”, undan qaynab turgan bug‘ chiqib ketdi. va katta tomchilar bo‘lib yerga yiqildi yoki shu payt uning ostiga tushgan odamlarga... Yurakni ezuvchi hayqiriqlar eshitildi, lekin shu zahoti jim bo‘lib qoldi, chunki eng jirkanch mavjudotlar o‘sha odamlarning orqa tomonida o‘tirardi. mamnun nigoh qurbonlarini “nazorat qildi”, ularning iztiroblariga zarracha e’tibor bermadi... Odamlarning yalang oyoqlari ostida issiq toshlar qizarib ketdi, qip-qizil tuproq issiqdan yorilib, ko‘piklanib “eriydi”... Issiq suvning chayqalishi. bug 'katta yoriqlar orasidan yorilib, og'riqdan yig'layotgan odamlarning oyoqlarini kuydirib, engil tutun bilan bug'lanib, balandliklarga ko'tarildi ... Va "chuqur" ning o'rtasidan yorqin qizil, keng olovli daryo, vaqti-vaqti bilan o'sha jirkanch yirtqich yirtqich hayvonlar kutilmaganda u yoki bu azoblangan mavjudotni tashladilar, ular qulab tushgach, qisqa vaqt ichida to'q sariq uchqunlarning chayqalishini keltirib chiqardi, keyin esa bir lahza momiq oq bulutga aylanib, g'oyib bo'ldi. .. abadiy ... Bu haqiqiy do'zax edi va men va Stella u erdan imkon qadar tezroq "yo'qolishni" xohladik ...
"Biz nima qilamiz?" - deb pichirladi Stella dahshat bilan. - U yerga tushmoqchimisiz? Ularga yordam beradigan biror narsa bormi? Qarang, qanchalar bor!..
Biz qora-jigarrang, issiqda qurigan qoya ustida turib, pastda cho'zilgan og'riq, umidsizlik va zo'ravonlik "mash"ini ko'rib, dahshatga to'la va o'zini shunchalik bolalarcha kuchsiz his qildikki, hatto mening jangari Stella ham bu safar uni qat'iyan bukdi " qanotlari." "Va birinchi qo'ng'iroqda o'zi uchun juda aziz va ishonchli, yuqori "qavatga" shoshilishga tayyor edi ...

Haqiqiy logarifm

Haqiqiy sonlar jurnalining logarifmi a b style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" bilan mantiqiy. src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Logarifmlarning eng keng tarqalgan turlari:

Agar logarifmik sonni o'zgaruvchi deb hisoblasak, olamiz logarifmik funktsiya, Masalan: . Bu funksiya raqamlar qatorining o'ng tomonida aniqlanadi: x> 0, u erda uzluksiz va differentsial bo'ladi (1-rasmga qarang).

Xususiyatlari

Tabiiy logarifmlar

Tenglik to'g'ri bo'lganda

(1)

Ayniqsa,

Bu qator tezroq yaqinlashadi va bundan tashqari, formulaning chap tomoni endi istalgan musbat sonning logarifmini ifodalashi mumkin.

O'nlik logarifm bilan aloqasi: .

O'nlik logarifmlar

Guruch. 2. Logarifmik masshtab

10 ta asosga logarifmlar (belgi: lg a) Kalkulyatorlar ixtiro qilinishidan oldin hisob-kitoblar uchun keng foydalanilgan. O'nlik logarifmlarning notekis shkalasi odatda slayd qoidalarida ham belgilanadi. Shunga o'xshash shkala fanning turli sohalarida keng qo'llaniladi, masalan:

• Kimyo - vodorod ionlarining faolligi ().
• Musiqa nazariyasi - notalar shkalasi, musiqiy notalar chastotalari bilan bog'liq.

Logarifmik shkala kuch munosabatlaridagi ko‘rsatkichni va ko‘rsatkichdagi koeffitsientni aniqlash uchun ham keng qo‘llaniladi. Bunday holda, bir yoki ikkita o'q bo'ylab logarifmik masshtabda tuzilgan grafik to'g'ri chiziq shaklini oladi, uni o'rganish osonroq.

Kompleks logarifm

Ko'p qiymatli funktsiya

Riemann yuzasi

Riman sirtining misoli murakkab logarifmik funktsiyadir; uning xayoliy qismi (3-rasm) spiral kabi o'ralgan cheksiz ko'p novdalardan iborat. Bu sirt oddiygina bog'langan; uning yagona noli (birinchi tartibli) da olinadi z= 1, yagona nuqtalar: z= 0 va (cheksiz tartibli filial nuqtalari).

Logarifmning Riman yuzasi 0 nuqtasiz kompleks tekislik uchun universal qoplama hisoblanadi.

Tarixiy eskiz

Haqiqiy logarifm

Murakkab hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj 16-asrda tez o'sib bordi va ko'p qiyinchilik ko'p xonali sonlarni ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq edi. Asrning oxirida deyarli bir vaqtning o'zida bir nechta matematiklar g'oyani o'rtaga tashladilar: ko'p mehnat talab qiladigan ko'paytirishni oddiy qo'shish bilan almashtirish, geometrik va arifmetik progressiyalarni solishtirish uchun maxsus jadvallar yordamida, geometrik esa asl bo'lishi kerak. Keyin bo'linish avtomatik ravishda o'lchovsiz sodda va ishonchli ayirish bilan almashtiriladi. U bu g'oyani birinchi bo'lib o'z kitobida nashr etgan " Arifmetika integrasi"Maykl Stifel, ammo u o'z g'oyasini amalga oshirish uchun jiddiy harakat qilmadi.

1620-yillarda Edmund Uingeyt va Uilyam Oughtred cho'ntak kalkulyatorlari paydo bo'lishidan oldin birinchi slayd qoidasini ixtiro qildilar - bu ajralmas muhandis vositasi.

Logarifmatsiyaning zamonaviy tushunchasiga yaqin - kuchga ko'tarilishning teskari operatsiyasi sifatida - birinchi marta Uollis va Iogan Bernulli bilan paydo bo'lgan va nihoyat 18-asrda Eyler tomonidan qonuniylashtirilgan. Eyler "Cheksizlar tahliliga kirish" () kitobida ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalarning zamonaviy ta'riflarini berdi, ularni darajali qatorlarga kengaytirdi va tabiiy logarifmning rolini ayniqsa ta'kidladi.

Eyler, shuningdek, logarifmik funktsiyani murakkab sohaga kengaytirgan.

Kompleks logarifm

Logarifmlarni murakkab sonlargacha kengaytirishga birinchi urinishlar 17-18-asrlar boshida Leybnits va Iogan Bernulli tomonidan qilingan, biroq ular yaxlit nazariyani yarata olmadilar, chunki birinchi navbatda logarifm tushunchasi hali aniq belgilanmagan. Bu masala bo'yicha munozara dastlab Leybnits va Bernulli o'rtasida, 18-asr o'rtalarida esa - d'Alembert va Eyler o'rtasida bo'lib o'tdi. Bernulli va d'Alembert buni aniqlash kerak, deb hisoblashdi log(-x) = log(x). Manfiy va murakkab sonlar logarifmlarining to'liq nazariyasi Eyler tomonidan 1747-1751 yillarda nashr etilgan va hozirgi zamondan deyarli farq qilmaydi.

Qarama-qarshilik davom etsa ham (D'Alember o'z nuqtai nazarini himoya qildi va uni Entsiklopediyadagi maqolasida va boshqa asarlarida batafsil bayon qildi), Eylerning nuqtai nazari tezda butun dunyo e'tirofiga sazovor bo'ldi.

Logarifmik jadvallar

Logarifmik jadvallar

Logarifmning xususiyatlaridan kelib chiqadiki, ko'p xonali sonlarni ko'p mehnat talab qiladigan ko'paytirish o'rniga (jadvallardan) ularning logarifmlarini topish va qo'shish, so'ngra xuddi shu jadvallardan foydalanib, potensiyani bajarish, ya'ni topish kifoya. uning logarifmidan olingan natijaning qiymati. Bo'linish faqat logarifmlarni ayirish bilan farq qiladi. Laplasning ta'kidlashicha, logarifmlar ixtirosi hisob-kitoblar jarayonini sezilarli darajada tezlashtirib, "astronomlarning umrini uzaytirdi".

Raqamdagi kasr nuqtasini ko'chirishda n raqamlar bo'lsa, bu raqamning o'nlik logarifmi qiymati ga o'zgaradi n. Masalan, log8314.63 = log8.31463 + 3. Bundan kelib chiqadiki, 1 dan 10 gacha bo'lgan sonlar uchun o'nlik logarifmlar jadvalini tuzish kifoya.

Logarifmlarning birinchi jadvallari Jon Nepier () tomonidan nashr etilgan va ular faqat trigonometrik funktsiyalarning logarifmlarini va xatolarni o'z ichiga olgan. Undan mustaqil ravishda, Keplerning do'sti Joost Burgi () o'z jadvallarini nashr etdi. 1617 yilda Oksford matematika professori Genri Briggs 1 dan 1000 gacha bo'lgan raqamlarning o'nlik logarifmlarini 8 (keyinroq 14) raqam bilan o'z ichiga olgan jadvallarni nashr etdi. Lekin Briggsning jadvallarida ham xatolar bor edi. Vega jadvallariga asoslangan birinchi xatosiz nashr () faqat 1857 yilda Berlinda (Bremiwer jadvallari) paydo bo'ldi.

Rossiyada logarifmlarning birinchi jadvallari 1703 yilda L. F. Magnitskiy ishtirokida nashr etilgan. SSSRda logarifm jadvallarining bir nechta to'plamlari nashr etilgan.

• Bradis V. M. To'rt xonali matematik jadvallar. 44-nashr, M., 1973 yil.

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Ta'rif va xususiyatlar

Kompleks nolning logarifmi yo'q, chunki kompleks ko'rsatkich nol qiymatini olmaydi. Nolga teng emas $z$ ko'rgazmali shaklda ifodalanishi mumkin:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Qayerda $k$- ixtiyoriy butun son

Keyin $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ formula bilan topiladi:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash o\text{'}ng)$

Bu yerga $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- haqiqiy logarifm. Bundan kelib chiqadi:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash nuqta)$

Murakkab logarifm qiymatlariga misollar

Keling, logarifmning asosiy qiymatini keltiramiz ( $\backslash ln$) va uning umumiy ifodasi ( $\backslash mathrm(Ln)$) ba'zi dalillar uchun:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Murakkab logarifmlarni konvertatsiya qilishda ehtiyot bo'lish kerak, ular ko'p qiymatli ekanligini hisobga olish kerak va shuning uchun har qanday iboralarning logarifmlarining tengligi bu iboralarning tengligini anglatmaydi. Misol xato fikrlash:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- aniq xato.

E'tibor bering, chap tomonda logarifmning asosiy qiymati, o'ngda esa asosiy filialning qiymati ( $k=-1$). Xatoning sababi mulkdan ehtiyotsiz foydalanishdir $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, bu, umuman olganda, murakkab holatda faqat asosiy qiymatni emas, balki logarifmning cheksiz qiymatlari to'plamini nazarda tutadi.

Kompleks logarifmik funksiya va Riman yuzasi

O'zining oddiy bog'liqligi tufayli logarifmning Riemann yuzasi nuqtasiz murakkab tekislik uchun universal qoplama hisoblanadi. $0$.

Analitik davomi

Kompleks sonning logarifmini haqiqiy logarifmning butun kompleks tekislikka analitik davomi sifatida ham aniqlash mumkin. Egri chiziq bo'lsin $\backslash Gamma$ birdan boshlanadi, noldan o'tmaydi va haqiqiy o'qning salbiy qismini kesib o'tmaydi. Keyin oxirgi nuqtada logarifmning asosiy qiymati $w$ qiyshiq $\backslash Gamma$ formula bilan aniqlash mumkin:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Agar $\backslash Gamma$- oddiy egri chiziq (o'z-o'zidan kesishmasdan), unda yotgan raqamlar uchun logarifmik identifikatsiyadan qo'rqmasdan foydalanish mumkin, masalan:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash kolon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Logarifmik funktsiyaning asosiy tarmog'i butun kompleks tekislikda uzluksiz va differentsial bo'ladi, haqiqiy o'qning manfiy qismi bundan mustasno, xayoliy qism keskin o'zgaradi. $2\backslash pi$. Ammo bu fakt asosiy qiymatning xayoliy qismini interval bilan sun'iy cheklashning natijasidir. $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Agar funktsiyaning barcha tarmoqlarini ko'rib chiqsak, u holda uzluksizlik noldan tashqari barcha nuqtalarda sodir bo'ladi, bu erda funktsiya aniqlanmagan. Agar siz egri chiziqni hal qilsangiz $\backslash Gamma$ haqiqiy o'qning salbiy qismini kesib o'ting, keyin birinchi bunday kesishma natijani asosiy qiymat shoxchasidan qo'shni filialga o'tkazadi va har bir keyingi kesishish logarifmik funktsiyaning shoxlari bo'ylab xuddi shunday siljishni keltirib chiqaradi (rasmga qarang).

Analitik davom formulasidan kelib chiqadiki, logarifmning istalgan bo'limida:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash z\; ustida)$

Har qanday doira uchun $S$, nuqtani qamrab oladi $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integral ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) olinadi. Bu o'ziga xoslik qoldiqlar nazariyasiga asoslanadi.

Haqiqiy holat uchun ma'lum bo'lgan qatorlar yordamida murakkab logarifmning analitik davomini ham aniqlash mumkin:

{{{2}}}

(1-qator)

{{{2}}}

(2-qator)

Biroq, bu qatorlar shaklidan kelib chiqadiki, birida qatorlar yig'indisi nolga teng, ya'ni qator faqat kompleks logarifmning ko'p qiymatli funktsiyasining asosiy tarmog'iga taalluqlidir. Ikkala qatorning yaqinlashish radiusi 1 ga teng.

Teskari trigonometrik va giperbolik funksiyalar bilan bog`lanish

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- teskari giperbolik sinus $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash o\text{'}ng)$- teskari giperbolik kosinus $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash o\text{'}ng)$- teskari giperbolik tangens $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash o\text{'}ng)$- teskari giperbolik kotangent

Tarixiy eskiz

Logarifmlarni murakkab sonlargacha kengaytirishga birinchi urinishlar 17-18-asrlar oxirida Leybnits va Iogan Bernulli tomonidan qilingan, biroq ular yaxlit nazariyani yarata olmadilar, chunki birinchi navbatda logarifm tushunchasi hali aniq belgilanmagan. Bu masala bo'yicha munozara dastlab Leybnits va Bernulli o'rtasida, 18-asr o'rtalarida esa D'Alember va Eyler o'rtasida bo'lib o'tdi. Bernoulli va D'Alembert buni aniqlash kerak deb hisoblashdi $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, Leybnits manfiy sonning logarifmi xayoliy son ekanligini isbotladi. Manfiy va murakkab sonlar logarifmlarining to'liq nazariyasi Eyler tomonidan 1747-1751 yillarda nashr etilgan va hozirgi zamondan deyarli farq qilmaydi. Munozara davom etgan bo'lsa-da (D'Alember o'z nuqtai nazarini himoya qildi va uni "Entsiklopediya" va boshqa asarlaridagi maqolasida batafsil bayon qildi), Eylerning yondashuvi 18-asrning oxiriga kelib butun dunyoda e'tirof etildi.

"Murakkab logarifm" maqolasiga sharh yozing

Adabiyot

Logarifmlar nazariyasi

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 b.
• Sveshnikov A. G., Tixonov A. N. Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi. - M.: Nauka, 1967. - 304 b.
• Fikhtengolts G. M. Differensial va integral hisoblash kursi. - tahrir. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 b.

Logarifmlar tarixi

• 18-asr matematikasi // / A. P. Yushkevich tomonidan tahrirlangan, uch jildda. - M.: Fan, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (tahrirlar). 19-asr matematikasi. Geometriya. Analitik funksiyalar nazariyasi. - M.: Fan, 1981. - T. II.

Eslatmalar

1. Logarifmik funktsiya. // . - M.: Sovet Entsiklopediyasi, 1982. - T. 3.
2. , II jild, 520-522-betlar..
3. , Bilan. 623..
4. , Bilan. 92-94..
5. , Bilan. 45-46, 99-100..
6. Boltyanskiy V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - B. 112. - (Kvant kutubxonasi, 21-son).
7. , II jild, 522-526-betlar..
8. , Bilan. 624..
9. , Bilan. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Matematika tarixi. Ikki jildda. - M .: nashriyot uyi. Moskva davlat universiteti, 1963. - T. II. - B. 27, 230-231..
11. , Bilan. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Fan, 1987. - T. II. Geometriya. - 159-161-betlar. - 416 s.

Murakkab logarifmni tavsiflovchi parcha

Bu kuchli, g'alati odam bu qorong'u, nafis, mehribon qizning unga qarshi bo'lmagan ta'siri ostida ekanligi aniq edi.
Rostov Doloxov va Sonya o'rtasida yangi narsani payqadi; lekin bu qanday yangi munosabatlar ekanligini o'zi aniqlamadi. "Ularning hammasi u erda kimnidir sevib qolishgan", deb o'yladi u Sonya va Natasha haqida. Ammo u Sonya va Doloxov bilan avvalgidek qulay emas edi va u uyda kamroq bo'lishni boshladi.
1806 yilning kuzidan boshlab hamma narsa yana Napoleon bilan urush haqida o'tgan yilgidan ham qizg'in gapira boshladi. Nafaqat chaqiruvlar, balki ming kishidan yana 9 nafar jangchi ham tayinlandi. Hamma joyda ular Bonapartni la'natladilar, Moskvada esa faqat yaqinlashib kelayotgan urush haqida gapirdilar. Rostovlar oilasi uchun urushga tayyorgarlikning barcha qiziqishi faqat Nikolushka hech qachon Moskvada qolishga rozi bo'lmasligi va ta'tildan keyin u bilan polkga borish uchun Denisovning ta'tilining tugashini kutishida edi. Bo'lajak jo'nab ketish nafaqat uning zavqlanishiga to'sqinlik qilmadi, balki uni bunga undadi. U ko'p vaqtini uydan tashqarida, kechki ovqatlarda, oqshomlarda va to'plarda o'tkazdi.

XI
Rojdestvoning uchinchi kuni Nikolay uyda ovqatlandi, bu so'nggi paytlarda u bilan kamdan-kam sodir bo'ldi. Bu rasmiy ravishda xayrlashuv kechki ovqat edi, chunki u va Denisov Epifaniyadan keyin polkga jo'nab ketishdi. Yigirmaga yaqin odam tushlik qilishdi, ular orasida Doloxov va Denisov ham bor edi.
Hech qachon Rostov uyida sevgi havosi, muhabbat muhiti bu bayramlarda o'zini bunday kuch bilan his qilmagan. “Baxtli daqiqalarni ushlang, o'zingizni sevishga majburlang, o'zingizni seving! Dunyoda faqat bitta narsa haqiqat - qolganlari bema'nilik. Va bu erda biz qilayotgan barcha narsa, - dedi atmosfera. Nikolay, har doimgidek, ikki juft otni qiynoqqa solib, barcha bo'lishi kerak bo'lgan va chaqirilgan joylarni ziyorat qilishga ulgurmay, tushlikdan oldin uyga keldi. U ichkariga kirishi bilanoq uydagi mehr-muhabbat muhitining keskinligini payqab, his qildi, lekin jamiyatning ayrim a’zolari o‘rtasida g‘alati bir sarosimaga tushib qolganini ham payqadi. Ayniqsa Sonya, Doloxov, keksa grafinya va kichkina Natasha hayajonlanishdi. Nikolay Sonya va Doloxov o'rtasida kechki ovqatdan oldin nimadir bo'lishini tushundi va o'ziga xos yurak sezgirligi bilan kechki ovqat paytida ikkalasi bilan muomala qilishda juda yumshoq va ehtiyotkor edi. Ta'tilning uchinchi kunining o'sha kuni kechqurun Yogelda (raqs o'qituvchisi) o'sha to'plardan biri bo'lishi kerak edi, u ta'tilda barcha talabalariga sovg'a qildi.
- Nikolenka, Yogelga borasizmi? Iltimos, boring, - dedi Natasha unga, - u sizdan ayniqsa so'radi va Vasiliy Dmitrich (bu Denisov edi) ketyapti.
"Men janob Afinaning buyrug'i bilan qayerga borsam ham!" - dedi hazil bilan Rostovdagi uyga ritsar Natashaning poyiga qo'ygan Denisov, "pas de chale [shal bilan raqsga tushish] raqsga tushishga tayyor."
- Vaqtim bo'lsa! "Men Arxarovlarga va'da berdim, bu ularning oqshomi", dedi Nikolay.
- Va siz?... - dedi u Doloxovga. Va buni so'rashim bilan men buni so'ramasligim kerakligini angladim.
"Ha, balki ..." Doloxov sovuq va g'azab bilan javob berdi, Sonyaga qaradi va qovog'ini solib, kechki ovqat paytida Perga qanday qaragan bo'lsa, u yana Nikolayga qaradi.
"Bir narsa bor", deb o'yladi Nikolay va bu taxmin Doloxovning kechki ovqatdan keyin darhol chiqib ketganligi bilan tasdiqlandi. U Natashaga qo'ng'iroq qilib, nima ekanligini so'radi?
- Men seni qidirayotgandim, - dedi Natasha uning oldiga yugurib. "Men sizga aytdim, siz hali ham ishonishni xohlamadingiz," dedi u g'alaba qozonib, "u Sonyaga turmush qurishni taklif qildi."
Bu vaqt ichida Nikolay Sonya bilan qanchalik kam ishlamasin, buni eshitganida, uning ichida nimadir paydo bo'ldi. Doloxov mahrsiz etim Sonya uchun munosib va ​​qaysidir ma'noda ajoyib o'yin edi. Keksa grafinya va dunyo nuqtai nazaridan, uni rad etishning iloji yo'q edi. Buni eshitgan Nikolayning birinchi hissi Sonyaga qarshi g'azab edi. U shunday deyishga tayyorgarlik ko'rayotgan edi: "Va ajoyib, albatta, biz bolalik va'dalarini unutib, taklifni qabul qilishimiz kerak"; lekin u buni aytishga ulgurmasdan oldin ...
- Tasavvur qila olasiz! U rad etdi, butunlay rad etdi! - Natasha gapirdi. "U boshqa birovni sevishini aytdi", dedi u qisqa sukutdan keyin.
"Ha, mening Sonya boshqacha qila olmas edi!" - deb o'yladi Nikolay.
"Onam undan qancha so'ramasin, u rad etdi va men aytganini o'zgartirmasligini bilaman ...
- Va onam undan so'radi! – tanbeh bilan dedi Nikolay.
- Ha, - dedi Natasha. - Bilasizmi, Nikolenka, g'azablanmang; lekin bilaman, unga uylanmaysiz. Bilaman, nega buni Xudo biladi, aniq bilaman, turmushga chiqmaysiz.
- Xo'sh, siz buni bilmaysiz, - dedi Nikolay; - lekin men u bilan gaplashishim kerak. Bu Sonya qanday go'zallik! – tabassum bilan qo‘shib qo‘ydi.
- Bu juda yoqimli! Men sizga yuboraman. - Va Natasha akasini o'pib, qochib ketdi.
Bir daqiqadan so'ng Sonya qo'rqib, sarosimaga tushib, aybdor bo'lib kirib keldi. Nikolay unga yaqinlashdi va qo'lini o'pdi. Bu tashrifda ular birinchi marta yuzma-yuz gaplashishdi va sevgilari haqida.
- Sofi, - dedi u avvaliga qo'rqoq, keyin esa tobora jasorat bilan, - agar siz nafaqat ajoyib, foydali o'yindan bosh tortmoqchi bo'lsangiz; lekin u ajoyib, olijanob inson... u mening do'stim...
Sonya uning gapini bo'ldi.
"Men allaqachon rad etganman", dedi u shoshib.
- Agar men uchun rad etsangiz, men o'zimdan qo'rqaman ...
Sonya yana uning gapini bo'ldi. U unga iltijoli, qo‘rqib ketgan ko‘zlari bilan qaradi.
"Nikolay, buni menga aytma", dedi u.
- Yo'q, kerak. Balki bu men tomondan to'yinganlikdir, lekin aytish yaxshidir. Agar men uchun rad etsangiz, men sizga butun haqiqatni aytishim kerak. Men seni hammadan ko'ra ko'proq sevaman...
"Menga shu kifoya", dedi Sonya qizarib.
-Yo'q, lekin men ming marta sevib qolganman va sevishda davom etaman, garchi menda sizdek hech kimga do'stlik, ishonch, muhabbat hissi yo'q. Keyin men yoshman. Onam buni xohlamaydi. Mayli, men hech narsa va'da qilmayman. Va sizdan Doloxovning taklifi haqida o'ylashingizni so'rayman, - dedi u do'stining familiyasini talaffuz qilishda qiynalib.
- Buni menga aytma. Men hech narsani xohlamayman. Men seni birodarimdek yaxshi ko'raman va doim sevaman va menga boshqa hech narsa kerak emas.
"Sen farishtasan, men senga loyiq emasman, lekin men seni aldashdan qo'rqaman." – Nikolay uning qo‘lini yana o‘pdi.

Yogel Moskvada eng qiziqarli to'plarni o'tkazdi. Onalar o'zlarining yangi o'rgangan qadamlarini bajarayotgan o'spirinlariga [qizlariga] qarab shunday dedilar; Buni o'smirlar va o'smirlarning o'zlari, [qizlar va o'g'il bolalar] tushib ketguncha raqsga tushishgan; bu balog'atga etgan qizlar va yigitlar, bu to'plarga ularga kamsitish va ulardagi eng yaxshi zavqni topish g'oyasi bilan kelgan. Xuddi shu yili ushbu to'plarda ikkita nikoh bo'lib o'tdi. Gorchakovlarning ikkita go'zal malikalari sovchilar topdilar va turmushga chiqdilar va bundan ham ko'proq bu to'plarni shon-shuhratga aylantirdilar. Bu to‘plarning o‘ziga xos jihati shundaki, mezbon va styuardessa yo‘q edi: u yerda patlardek uchib yuradigan, san’at qoidalariga ko‘ra tevarak-atrofda tevarak-atrofda aylanib yuradigan, barcha mehmonlaridan saboq olish uchun chiptalarni qabul qiladigan, xushfe’l Yogel bor edi; Bu ballarga birinchi marta uzun ko'ylak kiygan 13 va 14 yoshli qizlar kabi raqsga tushishni va zavqlanishni xohlaydiganlargina borishni xohlardi. Kamdan-kam holatlar bundan mustasno, hamma go'zal edi yoki go'zal tuyulardi: ularning barchasi juda jo'shqin tabassum qildi va ko'zlari juda porladi. Ba'zan hatto eng yaxshi talabalar ham pas de chale raqsga tushishdi, ulardan eng yaxshisi o'zining inoyati bilan ajralib turadigan Natasha edi; lekin bu so'nggi balda faqat modaga kirib kelayotgan ekozayzalar, anglayzalar va mazurka raqsga tushdi. Zalni Yogel Bezuxovning uyiga olib bordi va hamma aytganidek, to'p juda muvaffaqiyatli bo'ldi. Chiroyli qizlar juda ko'p edi va Rostov xonimlari eng yaxshilari qatorida edi. Ularning ikkalasi ham ayniqsa xursand va quvnoq edi. O'sha oqshom Sonya Doloxovning taklifi, uning rad etishi va Nikolay bilan tushuntirishi bilan g'ururlanib, qizga sochlarini tugatishiga imkon bermasdan, hali ham uyda aylanardi va endi u shoshqaloqlik bilan porlab turardi.
Haqiqiy to'pda birinchi marta uzun ko'ylak kiyganidan g'ururlangan Natasha bundan ham xursand edi. Ikkalasi ham pushti lentali oq muslin ko'ylagi kiygan edi.
Natasha to'pga kirgan daqiqadanoq sevib qoldi. Ayniqsa, u hech kimni sevmasdi, lekin hammaga oshiq edi. Qaragan payti qarasa, sevib qolgani edi.
- Oh, qanday yaxshi! – dedi u tinmay Sonyaning oldiga yugurib.
Nikolay va Denisov zallarni aylanib chiqishdi, raqqosalarga mehr bilan va homiylik bilan qarashdi.
"U qanchalik shirin bo'ladi", dedi Denisov.
- JSSV?
- Afina Natasha, - javob berdi Denisov.
"Va u qanday raqsga tushadi, bu qanday g"ation!" - dedi u yana bir oz sukutdan keyin.
- Kim haqida gapiryapsiz?
- Opangiz haqida, - jahl bilan qichqirdi Denisov.
Rostov jilmayib qo'ydi.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, - dedi kichkina Jogel Nikolayga yaqinlashib. - Azizim, siz mening eng yaxshi talabalarimdan birisiz. Raqsga tushishingiz kerak. Qarang, qizlar naqadar go'zal!] – U o'zining sobiq shogirdi Denisovga ham shunday iltimos qildi.
"Yo'q, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Yo'q, azizim, men devor yonida o'tiraman", dedi Denisov. "Sizning darslaringizdan qanchalik yomon foydalanganimni eslay olmaysizmi?"
- Yo'q! – dedi Jogel shosha-pisha tasalli berib. - Siz shunchaki e'tiborsiz edingiz, lekin qobiliyatingiz bor edi, ha, sizda qobiliyat bor edi.
Yangi kiritilgan mazurka chalindi; Nikolay Yogelni rad eta olmadi va Sonyani taklif qildi. Denisov kampirlarning yoniga o'tirdi va tirsagini qilichiga suyangancha, uning zarbasini bosib, quvnoq bir narsa aytdi va raqsga tushgan yoshlarga qarab, kampirlarni kuldirdi. Yogel, birinchi juftlikda, uning g'ururi va eng yaxshi shogirdi Natasha bilan raqsga tushdi. Oyoqlarini yumshoq, muloyimlik bilan oyoq kiyimida qimirlatib, Yogel birinchi bo'lib qo'rqoq, ammo tirishqoqlik bilan qadamlarni bajarayotgan Natasha bilan zal bo'ylab uchib o'tdi. Denisov undan ko'zini uzmadi va qilich bilan zarbani urdi, bu ko'rinishda uning o'zi faqat xohlamagani uchun emas, balki qila olmagani uchun ham raqsga tushmagani aniq aytilgan. Shaklning o'rtasida u o'tib ketayotgan Rostovni o'ziga chaqirdi.
"Bu umuman bir xil emas", dedi u. - Bu polshalik mazurkami va u ajoyib raqsga tushadi - Denisov polshalik mazurkani raqsga tushirishdagi mahorati bilan Polshada mashhur bo'lganini bilib, Natashaning oldiga yugurdi.
- Borib Denisovni tanlang. Mana u raqsga tushyapti! Mo''jiza! - dedi u.
Natashaga navbat yana kelganida, u o'rnidan turdi va tezda oyoq kiyimlarini kamon bilan ushladi, qo'rqinch bilan yolg'iz o'zi dahliz bo'ylab Denisov o'tirgan burchakka yugurdi. U hamma unga qarab, kutayotganini ko'rdi. Nikolay Denisov va Natashaning tabassum bilan bahslashayotganini, Denisov esa rad etayotganini, lekin xursandchilik bilan jilmayganini ko'rdi. U yugurdi.
- Iltimos, Vasiliy Dmitrich, - dedi Natasha, - ketaylik, iltimos.
"Ha, shunday, g'atena", dedi Denisov.
- Xo'sh, etarli, Vasya, - dedi Nikolay.
"Ular mushuk Vaskani ko'ndirmoqchi bo'lganga o'xshaydi", dedi hazil bilan Denisov.
"Men sizga butun oqshom qo'shiq aytaman", dedi Natasha.
- Sehrgar menga hamma narsani qiladi! - dedi Denisov va qilichini yechdi. U stullar ortidan chiqdi, xonimining qo'lidan mahkam ushlab, boshini ko'tardi va oyog'ini qo'ydi va xushmuomalalikni kutdi. Faqat otda va mazurkada Denisovning past bo'yi ko'rinmasdi va u o'zini o'zi his qilgan yigitga o'xshardi. U urishni kutib, o'z xonimiga yon tomondan g'olibona va o'ynoqi nazar tashladi, to'satdan bir oyog'ini taqillatdi va xuddi to'p kabi, poldan egiluvchan tarzda sakrab tushdi va aylana bo'ylab uchib, xonimini o'zi bilan sudrab bordi. U indamay bir oyog‘i bilan dahlizning yarmiga uchib o‘tdi, shekilli, qarshisida turgan stullarni ko‘rmay, to‘g‘ri ular tomon otildi; lekin to'satdan, shnurlarini chertib, oyoqlarini yoyib, tovonida to'xtadi, u erda bir soniya turdi, shov-shuvli shovqin bilan, oyoqlarini bir joyga taqillatdi, tezda orqasiga o'girildi va chap oyog'i bilan o'ng oyog'ini chertdi, yana aylana bo‘ylab uchib ketdi. Natasha uning nima qilmoqchi ekanligini taxmin qildi va u qanday qilishni bilmay, unga ergashdi - o'zini unga topshirdi. Endi u uni aylanib chiqdi, endi o'ng tomonida, chap qo'lida, endi tizzalari bilan yiqilib, uni o'z atrofida aylantirdi va yana o'rnidan sakrab turdi va go'yo barcha xonalarni kesib o'tishni niyat qilgandek, oldinga yugurdi. nafas olmasdan; keyin birdan to'xtadi va yana yangi va kutilmagan tizzasini qildi. U xonimni o'z joyi oldida chaqqonlik bilan aylantirib, uning oldida ta'zim qilganda, Natasha hatto unga tegmadi. U tanimagandek tabassum bilan unga qaradi. - Bu nima? - dedi u.
Yogel bu mazurkani haqiqiy deb tan olmaganiga qaramay, hamma Denisovning mahoratidan xursand bo'ldi, ular doimo uni tanlay boshladilar va keksa odamlar jilmayib, Polsha va eski yaxshi kunlar haqida gapira boshladilar. Mazurkadan qizarib ketgan va ro'molcha bilan artgan Denisov Natashaning yoniga o'tirdi va butun to'p davomida uning yonidan ketmadi.