Ishonch oralig'ini hisoblash mos keladigan parametrning o'rtacha xatosiga asoslanadi. Ishonch oralig'i taxminiy parametrning haqiqiy qiymati qanday chegaralar ichida (1-a) ehtimollik bilan yotishini ko'rsatadi. Bu erda a - ahamiyatlilik darajasi, (1-a) ishonch ehtimoli deb ham ataladi.
Birinchi bobda biz, masalan, arifmetik o'rtacha uchun haqiqiy populyatsiya o'rtachasi taxminan 95% hollarda o'rtacha 2 ta standart xato ichida joylashganligini ko'rsatdik. Shunday qilib, o'rtacha uchun 95% ishonch oralig'ining chegaralari o'rtacha o'rtacha ikki marta o'rtacha xato bilan tanlanma o'rtacha ajratiladi, ya'ni. o'rtachaning o'rtacha xatosini ishonch darajasiga qarab ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiramiz. O'rtacha va o'rtacha farq uchun Student koeffitsienti (Talaba testining kritik qiymati), ulush va ulushlar farqi uchun z testining kritik qiymati olinadi. Koeffitsient va o'rtacha xatoning mahsulotini berilgan parametrning maksimal xatosi deb atash mumkin, ya'ni. uni baholashda biz olishimiz mumkin bo'lgan maksimal.
Ishonch oralig'i arifmetik o'rtacha : .
Mana namunaviy o'rtacha;
Arifmetik o'rtachaning o'rtacha xatosi;
s - namunaviy standart og'ish;
n
f = n-1 (Talaba koeffitsienti).
Ishonch oralig'i arifmetik vositalarning farqlari :
Bu erda namunaviy vositalar orasidagi farq;
- arifmetik o'rtachalar orasidagi farqning o'rtacha xatosi;
s 1 , s 2 - namunaviy standart og'ishlar;
n1, n2
Berilgan ahamiyat darajasi a va erkinlik darajalari soni uchun Talaba testining kritik qiymati f=n 1 +n 2-2 (Talaba koeffitsienti).
Ishonch oralig'i aktsiyalar :
.
Bu erda d - namunaviy ulush;
– o‘rtacha kasr xatosi;
n– namuna hajmi (guruh kattaligi);
Ishonch oralig'i aktsiyalarning farqi :
Bu erda namunaviy aktsiyalardagi farq;
– arifmetik o‘rtachalar orasidagi farqning o‘rtacha xatosi;
n1, n2– namunaviy hajmlar (guruhlar soni);
Berilgan ahamiyatlilik darajasida z mezonining kritik qiymati a ( , , ).
Ko'rsatkichlar orasidagi farq uchun ishonch oraliqlarini hisoblash orqali biz, birinchi navbatda, ta'sirning mumkin bo'lgan qiymatlarini to'g'ridan-to'g'ri ko'ramiz, balki faqat uning nuqtasini baholaymiz. Ikkinchidan, biz nol gipotezani qabul qilish yoki rad etish haqida xulosa chiqarishimiz mumkin va uchinchidan, testning kuchi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin.
Ishonch oraliqlari yordamida gipotezalarni sinab ko'rishda siz quyidagi qoidaga amal qilishingiz kerak:
Agar o'rtacha farqning 100 (1-a) foizli ishonch oralig'i nolga teng bo'lmasa, u holda farqlar a ahamiyatlilik darajasida statistik ahamiyatga ega; aksincha, agar bu intervalda nol bo'lsa, u holda farqlar statistik ahamiyatga ega emas.
Haqiqatan ham, agar bu oraliq nolni o'z ichiga olsa, demak, taqqoslanayotgan ko'rsatkich boshqasiga nisbatan guruhlarning birida kattaroq yoki kamroq bo'lishi mumkin, ya'ni. kuzatilgan farqlar tasodifga bog'liq.
Sinovning kuchi ishonch oralig'idagi nolning joylashuvi bilan baholanishi mumkin. Agar nol oraliqning pastki yoki yuqori chegarasiga yaqin bo'lsa, unda ko'proq sonli guruhlar taqqoslanganda, farqlar statistik ahamiyatga ega bo'lishi mumkin. Agar nol oraliqning o'rtasiga yaqin bo'lsa, demak, eksperimental guruhdagi ko'rsatkichning o'sishi ham, kamayishi ham bir xil ehtimoli bor va, ehtimol, hech qanday farq yo'q.
Misollar:
Ikki xil turdagi behushlikdan foydalanganda jarrohlik o'limini taqqoslash uchun: 61 kishi birinchi turdagi behushlik bilan operatsiya qilingan, 8 kishi vafot etgan, ikkinchi turdagi - 67 kishi, 10 kishi vafot etgan.
d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Taqqoslangan usullarning letalligidagi farq 100(1-a) = 95% ehtimollik bilan (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) yoki (-0,14; 0,104) oralig'ida bo'ladi. Interval nolni o'z ichiga oladi, ya'ni. ikkita bir xil o'lim haqida gipoteza har xil turlari Anesteziyani rad etish mumkin emas.
Shunday qilib, o'lim darajasi 14% gacha kamayishi va 95% ehtimollik bilan 10,4% gacha ko'tarilishi mumkin, ya'ni. nol taxminan intervalning o'rtasida, shuning uchun bahslashish mumkinki, bu ikki usul haqiqatan ham halokatlilikda farq qilmaydi.
Yuqorida muhokama qilingan misolda, teginish sinovi paytida o'rtacha bosish vaqti solishtirildi to'rt guruh turli imtihon ballari bo'lgan talabalar. Imtihonni 2 va 5 ball bilan topshirgan talabalar uchun o'rtacha bosish vaqti uchun ishonch intervallarini va bu o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farqning ishonch oralig'ini hisoblab chiqamiz.
Talaba koeffitsientlari Studentning taqsimot jadvallari yordamida topiladi (ilovaga qarang): birinchi guruh uchun: = t(0,05;48) = 2,011; ikkinchi guruh uchun: = t(0,05;61) = 2,000. Shunday qilib, birinchi guruh uchun ishonch oraliqlari: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), ikkinchi guruh uchun (156,55- 2,000*1,88 ; 5,180.) (=156,18.) 160.3). Shunday qilib, imtihonni 2 ball bilan topshirganlar uchun o'rtacha bosish vaqti 95% ehtimollik bilan 157,8 ms dan 166,6 ms gacha, imtihonni 5 ms dan o'tganlar uchun - 95% ehtimollik bilan 152,8 ms dan 160,3 ms gacha. .
Bundan tashqari, nol gipotezani faqat vositalar farqi uchun emas, balki vositalar uchun ishonch oraliqlari yordamida sinab ko'rishingiz mumkin. Misol uchun, bizning holatimizda bo'lgani kabi, agar vositalar uchun ishonch oraliqlari bir-biriga to'g'ri kelsa, unda nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. Tanlangan ahamiyatlilik darajasida gipotezani rad etish uchun tegishli ishonch oraliqlari bir-biriga mos kelmasligi kerak.
Imtihonni 2 va 5 baholar bilan topshirgan guruhlardagi o'rtacha presslash vaqtidagi farqning ishonch oralig'ini topamiz. O'rtacha ko'rsatkichlar farqi: 162,19 – 156,55 = 5,64. Talaba koeffitsienti: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Guruh standart og'ishlari quyidagilarga teng bo'ladi: ; . O'rtachalar orasidagi farqning o'rtacha xatosini hisoblaymiz: . Ishonch oralig'i: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).
Shunday qilib, imtihonni 2 va 5 ball bilan topshirgan guruhlarda o'rtacha bosish vaqtining farqi -0,044 ms dan 11,33 ms gacha bo'ladi. Bu interval nolni o'z ichiga oladi, ya'ni. Imtihonni yaxshi topshirganlar uchun o'rtacha bosim vaqti imtihonni qoniqarsiz topshirganlarga nisbatan ko'payishi yoki kamayishi mumkin, ya'ni. nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. Ammo nol pastki chegaraga juda yaqin va yaxshi o'tganlar uchun bosish vaqti qisqarishi ehtimoli ko'proq. Shunday qilib, biz 2 va 5 dan o'tganlar o'rtasida bosimning o'rtacha vaqtlarida hali ham farqlar mavjud degan xulosaga kelishimiz mumkin, biz o'rtacha vaqtning o'zgarishini, o'rtacha vaqtning tarqalishini va namuna o'lchamlarini hisobga olgan holda ularni aniqlay olmadik.
Sinovning kuchi - noto'g'ri null gipotezasini rad etish ehtimoli, ya'ni. ular haqiqatda mavjud bo'lgan joylarda farqlarni toping.
Sinovning kuchi muhimlik darajasiga, guruhlar o'rtasidagi farqlarning kattaligiga, guruhlardagi qiymatlarning tarqalishiga va namunalar hajmiga qarab belgilanadi.
Student t testi va dispersiyani tahlil qilish uchun sezgirlik diagrammalaridan foydalanish mumkin.
Mezonning kuchi kerakli guruhlar sonini oldindan aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
Ishonch oralig'i taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymati berilgan ehtimol bilan qaysi chegaralar ichida joylashganligini ko'rsatadi.
Ishonch oraliqlaridan foydalanib, siz statistik gipotezalarni sinab ko'rishingiz va mezonlarning sezgirligi haqida xulosa chiqarishingiz mumkin.
ADABIYOT.
Glanz S. – 6,7-bob.
Rebrova O.Yu. – 112-114-bet, 171-173-bet, 234-238-bet.
Sidorenko E.V. – b.32-33.
Talabalarning o'z-o'zini tekshirish uchun savollar.
1. Mezonning kuchi qanday?
2. Qaysi hollarda mezon kuchini baholash kerak?
3. Quvvatni hisoblash usullari.
6. Ishonch oralig'i yordamida statistik gipotezani qanday tekshirish mumkin?
7. Ishonch oralig'ini hisoblashda mezonning kuchi haqida nima deyish mumkin?
Vazifalar.
MS EXCEL da ishda taqsimotning o'rtacha qiymatini baholash uchun ishonch oralig'ini tuzamiz. ma'lum qiymat farqlar.
Albatta tanlov ishonch darajasi butunlay muammoning hal qilinishiga bog'liq. Shunday qilib, havo yo'lovchisining samolyot ishonchliligiga ishonch darajasi, shubhasiz, xaridorning elektr lampochkaning ishonchliligiga bo'lgan ishonch darajasidan yuqori bo'lishi kerak.
Muammoni shakllantirish
Faraz qilaylikki, buni aholi olingan namuna kattalik n. Bu shunday deb taxmin qilinadi standart og'ish bu taqsimot ma'lum. Bunga asoslanib zarur namunalar noma'lumni baholang tarqatish o'rtacha(m, ) va mos keladiganini tuzing ikki tomonlama ishonch oralig'i.
Ballarni baholash
dan ma'lumki statistika(keling, uni belgilaymiz X o'rtacha) hisoblanadi o'rtacha qiymatni xolis baholash bu aholi va N(m;s 2 /n) taqsimotiga ega.
Eslatma: Agar qurish kerak bo'lsa, nima qilish kerak ishonch oralig'i tarqatish bo'lsa emas normalmi? Bunday holda, qutqarish uchun keladi, bu etarli darajada katta hajmga ega ekanligini ta'kidlaydi namunalar n taqsimlashdan bo'lmaslik normal, statistik ma'lumotlarning namunaviy taqsimoti X avg bo'ladi taxminan mos keladi normal taqsimot parametrlari bilan N(m;s 2 /n).
Shunday qilib, ball bahosi o'rtacha tarqatish qiymatlari bizda - bu namunaviy o'rtacha, ya'ni. X o'rtacha. Endi boshlaymiz ishonch oralig'i.
Ishonch oralig'ini qurish
Odatda, taqsimot va uning parametrlarini bilib, tasodifiy o'zgaruvchining biz ko'rsatgan intervaldan qiymat olish ehtimolini hisoblashimiz mumkin. Endi teskarisini qilaylik: tasodifiy o'zgaruvchining berilgan ehtimol bilan tushishi oralig'ini toping. Masalan, xususiyatlardan normal taqsimot ma'lumki, 95% ehtimollik bilan tasodifiy o'zgaruvchi taqsimlanadi oddiy qonun, taxminan +/- 2 dan oralig'iga tushadi o'rtacha qiymat(haqidagi maqolaga qarang). Bu interval biz uchun prototip bo'lib xizmat qiladi ishonch oralig'i.
Endi taqsimotni bilamizmi, bilib olaylik , bu intervalni hisoblash uchun? Savolga javob berish uchun biz taqsimotning shakli va uning parametrlarini ko'rsatishimiz kerak.
Biz tarqatish shaklini bilamiz - bu normal taqsimot(Biz gaplashayotganimizni unutmang namunalarni taqsimlash statistika X o'rtacha).
m parametri bizga noma'lum (uni shunchaki hisoblash kerak ishonch oralig'i), lekin bizda uning taxmini bor X o'rtacha, asosida hisoblangan namunalar, qaysi foydalanish mumkin.
Ikkinchi parametr - namunaviy o'rtacha standart og'ish ma'lum deb hisoblaymiz, u s/√n ga teng.
Chunki biz m ni bilmaymiz, keyin +/- 2 oralig'ini quramiz standart og'ishlar dan emas o'rtacha qiymat, va uning ma'lum bahosidan X o'rtacha. Bular. hisoblashda ishonch oralig'i biz buni taxmin qilmaymiz X o'rtacha+/- 2 oralig'iga to'g'ri keladi standart og'ishlar m dan 95% ehtimollik bilan va biz intervalni +/- 2 deb hisoblaymiz standart og'ishlar dan X o'rtacha 95% ehtimollik bilan u m ni qamrab oladi - umumiy aholining o'rtacha ko'rsatkichi; qaysidan olingan namuna. Bu ikki bayonot ekvivalentdir, lekin ikkinchi bayonot bizga qurish imkonini beradi ishonch oralig'i.
Bundan tashqari, intervalni aniqlaylik: tasodifiy o'zgaruvchi taqsimlanadi oddiy qonun, 95% ehtimollik bilan +/- 1.960 oralig'iga to'g'ri keladi standart og'ishlar, emas +/- 2 standart og'ishlar. Buni formuladan foydalanib hisoblash mumkin =NORM.ST.REV((1+0,95)/2), sm. Misol fayli Sheet Interval.
Endi biz shakllantirishga xizmat qiladigan ehtimolli bayonotni shakllantirishimiz mumkin ishonch oralig'i:
"Buning ehtimoli aholi degani dan joylashgan namunaviy o'rtacha 1960" ichida namunaviy o'rtacha standart og'ishlar", 95% ga teng".
Bayonotda keltirilgan ehtimollik qiymati maxsus nomga ega bilan bog'liq ahamiyatlilik darajasi a (alfa) oddiy ifoda bilan ishonch darajasi =1 -α . Bizning holatda ahamiyat darajasi α =1-0,95=0,05 .
Endi ushbu ehtimollik bayonotiga asoslanib, biz hisoblash uchun ifoda yozamiz ishonch oralig'i:
bu yerda Z a/2 – standart normal taqsimot(bu qiymat tasodifiy o'zgaruvchi z, Nima P(z>=Z a/2 )=a/2).
Eslatma: Yuqori a/2-kvantil kengligini belgilaydi ishonch oralig'i V standart og'ishlar namunaviy o'rtacha. Yuqori a/2-kvantil standart normal taqsimot har doim 0 dan katta, bu juda qulay.
Bizning holatda, a=0,05 bilan, yuqori a/2-kvantil 1,960 ga teng. Boshqa muhimlik darajalari uchun a (10%; 1%) yuqori a/2-kvantil Z a/2 =NORM.ST.REV(1-a/2) yoki, agar ma'lum bo'lsa, formuladan foydalanib hisoblash mumkin ishonch darajasi, =NORM.ST.OBR((1+ishonch darajasi)/2).
Odatda qurilish paytida o'rtachani baholash uchun ishonch oraliqlari faqat foydalaning yuqori a/2-miqdoriy va foydalanmang pastki a/2-miqdoriy. Bu mumkin, chunki standart normal taqsimot x o'qiga nisbatan simmetrik ( uning tarqalish zichligi haqida simmetrik o'rtacha, ya'ni.). Shuning uchun hisoblashning hojati yo'q pastki a/2-kvantil(u oddiygina a deb ataladi /2-kvantil), chunki tengdir yuqori a/2-miqdoriy minus belgisi bilan.
Eslatib o'tamiz, x qiymatining taqsimlanish shakliga qaramay, mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchi X o'rtacha tarqatilgan taxminan Yaxshi N(m;s 2 /n) (haqidagi maqolaga qarang). Shuning uchun, umuman olganda, yuqoridagi ifoda uchun ishonch oralig'i faqat taxminan hisoblanadi. Agar x qiymati taqsimlangan bo'lsa oddiy qonun N(m;s 2 /n), keyin uchun ifoda ishonch oralig'i aniq.
MS EXCEL da ishonch oralig'ini hisoblash
Keling, muammoni hal qilaylik.
Elektron komponentning kirish signaliga javob berish vaqti qurilmaning muhim xarakteristikasi hisoblanadi. Muhandis 95% ishonch darajasida o'rtacha javob vaqti uchun ishonch oralig'ini qurmoqchi. Oldingi tajribadan muhandis javob vaqtining standart og'ishi 8 ms ekanligini biladi. Ma'lumki, javob vaqtini baholash uchun muhandis 25 ta o'lchovni amalga oshirdi, o'rtacha qiymat 78 ms ni tashkil etdi.
Yechim: Muhandis elektron qurilmaning javob berish vaqtini bilishni xohlaydi, lekin u javob vaqti belgilangan qiymat emas, balki o'z taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini tushunadi. Shunday qilib, u umid qilishi mumkin bo'lgan eng yaxshi narsa bu taqsimotning parametrlari va shaklini aniqlashdir.
Afsuski, muammoli sharoitlardan biz javob vaqtini taqsimlash shaklini bilmaymiz (u bo'lishi shart emas) normal). , bu taqsimot ham noma'lum. Faqat u ma'lum standart og'ish s=8. Shuning uchun, biz ehtimolliklarni hisoblab, tuza olmaymiz ishonch oralig'i.
Biroq, biz taqsimlashni bilmasligimizga qaramay vaqt alohida javob, ko'ra biz buni bilamiz CPT, namunalarni taqsimlash o'rtacha javob vaqti taxminan hisoblanadi normal(shartlar mavjud deb taxmin qilamiz CPT amalga oshiriladi, chunki hajmi namunalar juda katta (n=25)) .
Bundan tashqari, o'rtacha bu taqsimotga teng o'rtacha qiymat bitta javobni taqsimlash, ya'ni. m. A standart og'ish bu taqsimotning (s/√n) =8/ROOT(25) formulasi yordamida hisoblanishi mumkin.
Bundan tashqari, muhandis qabul qilgani ma'lum ball bahosi parametr m 78 ms ga teng (X avg). Shuning uchun, endi biz ehtimolliklarni hisoblashimiz mumkin, chunki biz tarqatish shaklini bilamiz ( normal) va uning parametrlari (X avg va s/√n).
Muhandis bilmoqchi matematik kutish m javob vaqti taqsimoti. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu m ga teng o'rtacha javob vaqtining namunaviy taqsimotini matematik kutish. Agar foydalansak normal taqsimot N(X avg; s/√n), keyin kerakli m taxminan 95% ehtimollik bilan +/-2*s/√n oralig'ida bo'ladi.
Muhimlik darajasi 1-0,95=0,05 ga teng.
Va nihoyat, chap va o'ng chegarani topamiz ishonch oralig'i.
Chap chegara: =78-NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) =
74,864
O'ng chegara: =78+NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136
Chap chegara: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
O'ng chegara: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Javob: ishonch oralig'i da 95% ishonch darajasi va s=8msek teng 78+/-3,136 ms.
IN Sigma varaqidagi misol fayli ma'lum, hisoblash va qurish uchun shakl yaratdi ikki tomonlama ishonch oralig'i o'zboshimchalik uchun namunalar berilgan s va bilan ahamiyat darajasi.
CONFIDENCE.NORM() funksiyasi
Agar qiymatlar namunalar oralig'ida B20: B79
, A ahamiyat darajasi 0,05 ga teng; keyin MS EXCEL formulasi:
=O'RTA(B20:B79)-ISHONCH.NORM(0,05;s; COUNT(B20:B79))
chap chegarani qaytaradi ishonch oralig'i.
Xuddi shu chegarani quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
=O'RTA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*s/ROOT(COUNT(B20:B79))
Eslatma: CONFIDENCE.NORM() funksiyasi MS EXCEL 2010 da paydo bo'lgan. MS EXCEL ning oldingi versiyalarida TRUST() funksiyasidan foydalanilgan.
Ehtimollar, namunaviy xarakteristikalar asosida umumiy parametrlarni ishonchli tarzda baholash uchun etarli deb tan olingan, deyiladi ishonch .
Odatda, 0,95 qiymatlari ishonch ehtimoli sifatida tanlanadi; 0,99; 0,999 (ular odatda foizlarda ifodalanadi - 95%, 99%, 99,9%). Mas'uliyat darajasi qanchalik baland bo'lsa, shunchalik ko'p yuqori daraja ishonch darajasi: 99% yoki 99,9%.
Ishonch darajasi 0,95 (95%) etarli deb hisoblanadi ilmiy tadqiqot hududda jismoniy madaniyat va sport.
Umumiy aholining o'rtacha arifmetik qiymati berilgan ishonch ehtimoli bilan yotadigan interval deyiladi. ishonch oralig'i .
Baholashning ahamiyatlilik darajasi- kichik a soni, uning qiymati ishonch oralig'idan tashqariga tushish ehtimolini ko'rsatadi. Ishonchli ehtimolliklarga muvofiq: a 1 = (1-0,95) = 0,05; a 2 = (1 – 0,99) = 0,01 va hokazo.
O'rtacha uchun ishonch oralig'i (matematik kutish) a Oddiy taqsimot:
,
baholashning ishonchliligi (ishonch ehtimolligi) qayerda; - o'rtacha namunaviy; s - tuzatilgan standart og'ish; n – namuna hajmi; t g - berilgan n va g uchun Talabalar taqsimot jadvalidan aniqlangan qiymat (ilova, 1-jadvalga qarang).
Aholi o'rtacha ishonch oralig'ining chegaralarini topish uchun sizga kerak:
1. Hisoblang va s.
2. Bahoning ishonch darajasini (ishonchlilik) g ni 0,95 (95%) yoki ahamiyatlilik darajasini a ni 0,05 (5%) ga belgilashingiz kerak.
3. t-Student taqsimot jadvalidan (ilova, 1-jadval) foydalanib, t g chegara qiymatlarini toping.
t-taqsimotga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun nol nuqtasi, t ning faqat ijobiy qiymatini bilish kifoya. Misol uchun, agar tanlov hajmi n=16 bo'lsa, u holda erkinlik darajalari soni df) t- taqsimotlar df=16 - 1=15 . Jadvalga ko'ra 1 ta dastur t 0,05 = 2,13 .
4. a = 0,05 va uchun ishonch oralig'ining chegaralarini toping n = 16:
Ishonch chegaralari:
Katta namunalar uchun (n ≥ 30) t - Talabalar taqsimoti normal holatga keladi. Shuning uchun, uchun ishonch oralig'i n ≥ 30 uchun quyidagicha yozilishi mumkin:
Qayerda u- normallashtirilgan normal taqsimotning foiz punktlari.
Standart ishonch ehtimoli (95%, 99%; 99,9%) va ahamiyatlilik darajalari uchun a ( u) 8-jadvalda keltirilgan.
8-jadval
Standart ishonch darajalari uchun qiymatlar a
| α | u |
| 0,05 | 1,96 |
| 0,01 | 2,58 |
| 0,001 | 3,28 |
1-misoldagi ma'lumotlarga asoslanib, biz 95% chegaralarini aniqlaymiz. ishonch oralig'i (α = 0.05) tik turgan oʻrtacha sakrash natijasi uchun. Bizning misolimizda namuna hajmi n = 65 ga teng, keyin ishonch oralig'i chegaralarini aniqlash uchun katta tanlama hajmi bo'yicha tavsiyalardan foydalanish mumkin.
Kelinglar katta raqam ba'zi xususiyatlarning normal taqsimlanishiga ega bo'lgan ob'ektlar (masalan, bir xil turdagi sabzavotlarning to'liq ombori, ularning hajmi va og'irligi o'zgaradi). Siz tovarlarning butun partiyasining o'rtacha xususiyatlarini bilmoqchisiz, lekin har bir sabzavotni o'lchash va tortish uchun vaqtingiz ham, xohishingiz ham yo'q. Bu kerak emasligini tushunasiz. Lekin aniq tekshirish uchun qancha dona olish kerak? Ushbu vaziyat uchun foydali bo'lgan bir nechta formulalarni berishdan oldin, ba'zi bir eslatmani eslaylik. Birinchidan, agar biz sabzavotlarning butun omborini o'lchagan bo'lsak (bu elementlar to'plami umumiy populyatsiya deb ataladi), unda biz butun partiyaning o'rtacha og'irligini barcha aniqlik bilan bilib olamiz.
95% ehtimol bilan
99% ehtimol bilan
.
Ishonch oralig'ini bilmoqchi bo'lgan t qiymati va ehtimollik qiymati P(t) o'rtasidagi munosabatni quyidagi jadvaldan olish mumkin:
| P(t) | 0,683 | 0,950 | 0,954 | 0,990 | 0,997 |
| t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 |
Shunday qilib, biz aholi uchun o'rtacha qiymat qaysi diapazonda yotishini aniqladik (ma'lum bir ehtimollik bilan).
Agar bizda etarlicha katta namuna bo'lmasa, buni ayta olmaymiz aholi s = S tanlashga ega.
Bundan tashqari, bu holda namunaning normal taqsimotga yaqinligi muammoli. Bunday holda, ular formuladagi s o'rniga S tanlashdan ham foydalanadilar: lekin t qiymati belgilangan ehtimollik uchun
P(t) n namunadagi elementlar soniga bog'liq bo'ladi. n qanchalik katta bo'lsa, natijada olingan ishonch oralig'i (1) formulada berilgan qiymatga yaqinroq bo'ladi. Bu holda t qiymatlari boshqa jadvaldan olingan (Talabaning t-testi), biz quyida keltiramiz:
| n | P | n | P | ||
| 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | ||
| 2 | 12.71 | 63.66 | 18 | 2.11 | 2.90 |
| 3 | 4.30 | 9.93 | 19 | 2.10 | 2.88 |
| 4 | 3.18 | 5.84 | 20 | 2.093 | 2.861 |
| 5 | 2.78 | 4.60 | 25 | 2.064 | 2.797 |
| 6 | 2.57 | 4.03 | 30 | 2.045 | 2.756 |
| 7 | 2.45 | 3.71 | 35 | 2.032 | 2.720 |
| 8 | 2.37 | 3.50 | 40 | 2.022 | 2.708 |
| 9 | 2.31 | 3.36 | 45 | 2.016 | 2.692 |
| 10 | 2.26 | 3.25 | 50 | 2.009 | 2.679 |
| 11 | 2.23 | 3.17 | 60 | 2.001 | 2.662 |
| 12 | 2.20 | 3.11 | 70 | 1.996 | 2.649 |
| 13 | 2.18 | 3.06 | 80 | 1.991 | 2.640 |
| 14 | 2.16 | 3.01 | 90 | 1.987 | 2.633 |
| 15 | 2.15 | 2.98 | 100 | 1.984 | 2.627 |
| 16 | 2.13 | 2.95 | 120 | 1.980 | 2.617 |
| 17 | 2.12 | 2.92 | >120 | 1.960 | 2.576 |
0,95 va 0,99 ehtimollik uchun talabaning t-test qiymatlari 3-misol. Tasodifiy yo‘l bilan kompaniya xodimlaridan 30 kishi tanlab olindi. Namunaga ko'ra, o'rtacha ish haqi (oyiga) o'rtacha 10 ming rublni tashkil etadi kvadrat og'ish 3 ming rubl. 0,99 ehtimollik bilan kompaniyadagi o'rtacha ish haqini aniqlang.
Yechim:< Х ср.ген < 32516.
Shart bo'yicha bizda n = 30, X avg. =10000, S=3000, P = 0,99. Ishonch oralig'ini topish uchun Student t testiga mos keladigan formuladan foydalanamiz. n = 30 va P = 0,99 uchun jadvaldan biz t = 2,756 ni topamiz, shuning uchun,
bular. talab qilingan ishonch oralig'i 27484
Shunday qilib, 0,99 ehtimollik bilan aytishimiz mumkinki, interval (27484; 32516) kompaniyadagi o'rtacha ish haqini o'z ichiga oladi. Umid qilamizki, siz ushbu usuldan foydalanasiz va har safar yoningizda stol bo'lishi shart emas. Excelda hisob-kitoblar avtomatik ravishda amalga oshirilishi mumkin. Excel faylida yuqori menyudagi fx tugmasini bosing. Keyin, funksiyalar orasidan "statistik" turini tanlang va oynadagi taklif qilingan ro'yxatdan - STUDAR DISCOVER. Keyin, kursorni "ehtimollik" maydoniga qo'yib, teskari ehtimollik qiymatini kiriting (ya'ni, bizning holatlarimizda 0,95 ehtimollik o'rniga 0,05 ehtimolligini kiritish kerak). ishonchlilik. Buni misol bilan tushuntirishning eng oson yo'li.
Aytaylik, siz tasodifiy o'zgaruvchini o'rganishingiz kerak, masalan, serverning mijoz so'roviga javob berish tezligi. Har safar foydalanuvchi ma'lum bir sayt manzilini yozganda, server turli tezlikda javob beradi. Shunday qilib, o'rganilayotgan javob vaqti tasodifiydir. Shunday qilib, ishonch oralig'i bizga ushbu parametrning chegaralarini aniqlashga imkon beradi va keyin biz 95% ehtimollik bilan server biz hisoblagan diapazonda bo'lishini aytishimiz mumkin.
Yoki kompaniyaning savdo belgisi haqida qancha odam bilishini bilib olishingiz kerak. Ishonch oralig'i hisoblanganda, masalan, 95% ehtimollik bilan, bundan xabardor bo'lgan iste'molchilarning ulushi 27% dan 34% gacha ekanligini aytish mumkin bo'ladi.
Ushbu atama bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ishonch ehtimoli qiymati. Bu kerakli parametrning ishonch oralig'iga kirishi ehtimolini ifodalaydi. Bizning xohlagan diapazonimiz qanchalik katta bo'lishi ushbu qiymatga bog'liq. Qanchalik katta qiymatga ega bo'lsa, ishonch oralig'i shunchalik torayadi va aksincha. Odatda u 90%, 95% yoki 99% ga o'rnatiladi. 95% qiymati eng mashhur hisoblanadi.
Bu ko'rsatkichga kuzatuvlarning tarqalishi ham ta'sir qiladi va uning ta'rifi o'rganilayotgan xarakteristikaga bo'ysunadi degan taxminga asoslanadi. Unga ko'ra, normal - ehtimollik zichligi bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan uzluksiz tasodifiy miqdorning barcha ehtimolliklarining taqsimlanishi. haqida taxmin bo'lsa normal taqsimot noto'g'ri bo'lib chiqdi, baholash noto'g'ri bo'lishi mumkin.
Birinchidan, ishonch oralig'ini qanday hisoblashni aniqlaylik. Bu erda ikkita mumkin bo'lgan holat mavjud. Dispersiya (tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish darajasi) ma'lum yoki bo'lmasligi mumkin. Agar ma'lum bo'lsa, bizning ishonch oralig'imiz quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
a - belgi,
t - Laplas taqsimot jadvalidagi parametr,
s - dispersiyaning kvadrat ildizi.
Agar dispersiya noma'lum bo'lsa, biz kerakli xususiyatning barcha qiymatlarini bilsak, uni hisoblash mumkin. Buning uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:
s2 = x2sr - (xsr)2, bu yerda
x2sr - o'rganilayotgan xarakteristikaning kvadratlarining o'rtacha qiymati,
(xsr)2 - bu xarakteristikaning kvadrati.
Bu holda ishonch oralig'ini hisoblash formulasi biroz o'zgaradi:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - namunaviy o'rtacha,
a - belgi,
t - talaba taqsimot jadvali yordamida topiladigan parametr t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - umumiy tanlama hajmining kvadrat ildizi,
s - dispersiyaning kvadrat ildizi.
Ushbu misolni ko'rib chiqing. Faraz qilaylik, 7 ta o‘lchov natijalariga ko‘ra o‘rganilayotgan xarakteristikaning 30 ga, tanlanma dispersiyasi esa 36 ga teng ekanligi aniqlandi. 99% ehtimollik bilan, haqiqatni o‘z ichiga olgan ishonch oralig‘ini topish kerak. o'lchangan parametrning qiymati.
Birinchidan, t nimaga teng ekanligini aniqlaymiz: t = t (0,99; 7-1) = 3,71. Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3,71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Dispersiya uchun ishonch oralig'i o'rtacha ma'lum bo'lgan taqdirda ham, matematik kutish to'g'risida ma'lumot bo'lmaganda ham hisoblab chiqiladi va faqat dispersiyaning nuqtali xolis bahosining qiymati ma'lum bo'ladi. Biz bu erda hisoblash uchun formulalarni bermaymiz, chunki ular juda murakkab va agar xohlasangiz, ularni har doim Internetda topish mumkin.
Shuni ta'kidlash kerakki, ishonch oralig'ini Excel yoki shunday deb ataladigan tarmoq xizmati yordamida aniqlash qulay.