Ushbu maqola haqida oddiy kasrlar. Bu erda biz umumiy kasr tushunchasini kiritamiz, bu bizni oddiy kasrning ta'rifiga olib keladi. Keyinchalik biz oddiy kasrlar uchun qabul qilingan belgi haqida to'xtalib o'tamiz va kasrlarga misollar keltiramiz, keling, kasrning numeratori va maxraji haqida gapiraylik. Shundan so'ng biz to'g'ri va noto'g'ri, musbat va manfiy kasrlarning ta'riflarini beramiz, shuningdek, kasr sonlarning koordinata nuridagi o'rnini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib, biz kasrlar bilan asosiy operatsiyalarni sanab o'tamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Butun ulushlar

Avval tanishtiramiz ulush tushunchasi.

Faraz qilaylik, bizda bir nechta mutlaqo bir xil (ya'ni teng) qismlardan tashkil topgan ob'ekt bor. Aniqlik uchun, masalan, bir necha bo'laklarga bo'lingan olmani tasavvur qilishingiz mumkin teng qismlar, yoki bir nechta teng segmentlardan iborat apelsin. Butun ob'ektni tashkil etuvchi bu teng qismlarning har biri deyiladi butunning qismlari yoki shunchaki aktsiyalar.

E'tibor bering, aktsiyalar har xil. Keling, buni tushuntirib beraylik. Keling, ikkita olma olamiz. Birinchi olmani ikkita teng qismga, ikkinchisini esa 6 ta teng qismga bo'ling. Birinchi olmaning ulushi ikkinchi olmaning ulushidan farq qilishi aniq.

Butun ob'ektni tashkil etuvchi aktsiyalar soniga qarab, bu aksiyalar o'z nomlariga ega. Keling, buni tartibga solaylik zarbalarning nomlari. Agar ob'ekt ikki qismdan iborat bo'lsa, ularning istalgani butun ob'ektning ikkinchi qismi deyiladi; agar ob'ekt uch qismdan iborat bo'lsa, u holda ularning har qanday qismi uchinchi qism deb ataladi va hokazo.

Ikkinchi ulushning maxsus nomi bor - yarmi. Uchdan bir qismi chaqiriladi uchinchi, va chorak qismi - chorak.

Qisqartirish uchun quyidagilar kiritildi: belgilarni urish. Ikkinchi ulush yoki 1/2, uchinchi ulush yoki 1/3 sifatida belgilanadi; to'rtdan biri - yoqtirish yoki 1/4, va hokazo. E'tibor bering, gorizontal chiziqli yozuv ko'proq ishlatiladi. Materialni mustahkamlash uchun yana bir misol keltiraylik: yozuv butunning bir yuz oltmish ettinchi qismini bildiradi.

Hissa tushunchasi tabiiy ravishda ob'ektlardan miqdorlarga qadar tarqaladi. Masalan, uzunlik o'lchovlaridan biri metrdir. Bir metrdan qisqaroq uzunliklarni o'lchash uchun metrning fraktsiyalaridan foydalanish mumkin. Shunday qilib, masalan, yarim metr yoki metrning o'ndan yoki mingdan bir qismidan foydalanishingiz mumkin. Boshqa miqdorlarning ulushlari ham xuddi shunday qo'llaniladi.

Oddiy kasrlar, ta'rifi va kasrlarga misollar

Biz foydalanadigan aktsiyalar sonini tavsiflash uchun oddiy kasrlar. Keling, oddiy kasrlarning ta'rifiga yaqinlashishga imkon beradigan misol keltiraylik.

Apelsin 12 qismdan iborat bo'lsin. Bu holda har bir ulush butun apelsinning o'n ikkidan birini anglatadi, ya'ni. Ikki zarbani deb, uchta zarbani kabi va hokazo, 12 zarbani deb belgilaymiz. Berilgan yozuvlarning har biri oddiy kasr deyiladi.

Keling, bir general beraylik oddiy kasrlarning ta'rifi.

Oddiy kasrlarning ovozli ta'rifi bizga berishga imkon beradi oddiy kasrlarga misollar: 5/10, , 21/1, 9/4,. Va bu erda yozuvlar oddiy kasrlarning berilgan ta'rifiga to'g'ri kelmaydi, ya'ni ular oddiy kasrlar emas.

Numerator va maxraj

Qulaylik uchun oddiy kasrlar ajratiladi sanoqchi va maxraj.

Ta'rif.

Numerator oddiy kasr (m/n) dir natural son m.

Ta'rif.

Denominator oddiy kasr (m/n) natural son n.

Demak, pay kasr chizig'idan yuqorida (qiyshiq chiziqning chap tomonida), maxraj esa kasr chizig'idan pastda (qiyshiq chiziqning o'ng tomonida) joylashgan. Masalan, 17/29 oddiy kasrni olaylik, bu kasrning soni 17, maxraji esa 29 soni.

Oddiy kasrning soni va maxrajidagi ma'noni muhokama qilish qoladi. Kasrning maxraji bir ob'ektning necha qismdan iboratligini ko'rsatadi va hisoblagich, o'z navbatida, bunday ulushlar sonini ko'rsatadi. Masalan, 12/5 kasrning 5 maxraji bitta ob'ekt beshta aksiyadan iborat ekanligini, 12 soni esa 12 ta shunday hissa olinganligini bildiradi.

1 maxrajli kasr sifatida natural son

Oddiy kasrning maxraji birga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, ob'ektni bo'linmas deb hisoblashimiz mumkin, boshqacha aytganda, u bir butun narsani ifodalaydi. Bunday kasrning soni qancha butun ob'ektlar olinganligini ko'rsatadi. Demak, m/1 ko`rinishdagi oddiy kasr m natural son ma`nosiga ega. m/1=m tengligining to‘g‘riligini ana shunday asosladik.

Oxirgi tenglikni quyidagicha qayta yozamiz: m=m/1. Bu tenglik har qanday natural son m ni oddiy kasr sifatida ifodalash imkonini beradi. Masalan, 4 soni 4/1 kasr, 103 498 soni esa 103 498/1 kasrga teng.

Shunday qilib, har qanday natural son m maxraji 1 bo‘lgan oddiy kasr sifatida m/1 ko‘rinishda, m/1 ko‘rinishdagi istalgan oddiy kasr esa m natural son bilan almashtirilishi mumkin..

Bo'lish belgisi sifatida kasr satri

Asl ob'ektni n ta hissa ko'rinishida ifodalash n ta teng qismga bo'linishdan boshqa narsa emas. Buyum n ta aktsiyaga bo'lingandan so'ng, biz uni n kishiga teng taqsimlashimiz mumkin - har biriga bittadan ulush beriladi.

Agar bizda dastlab m ta bir xil ob'ektlar bo'lsa, ularning har biri n ta ulushga bo'lingan bo'lsa, u holda biz bu m ob'ektni n ta odam o'rtasida teng taqsimlashimiz mumkin va har bir kishiga har bir m ob'ektdan bittadan ulush berishimiz mumkin. Bunday holda, har bir kishi 1/n m ulushga ega bo'ladi va m 1/n ulush m/n oddiy kasrni beradi. Shunday qilib, m/n umumiy kasrdan m buyumning n kishiga bo‘linishini ko‘rsatish mumkin.

Shunday qilib, biz oddiy kasrlar va bo'linish o'rtasida aniq bog'lanishga erishdik (naturiy sonlarni bo'lishning umumiy g'oyasiga qarang). Bu bog'lanish quyidagicha ifodalanadi: kasr chizig'ini bo'linish belgisi sifatida tushunish mumkin, ya'ni m/n=m:n.

Oddiy kasrdan foydalanib, butun bo'linishni bajarib bo'lmaydigan ikkita natural sonni bo'lish natijasini yozishingiz mumkin. Masalan, 5 ta olmani 8 kishiga bo'lish natijasini 5/8 deb yozish mumkin, ya'ni har bir kishi olmaning sakkizdan besh qismini oladi: 5:8 = 5/8.

Teng va tengsiz kasrlar, kasrlarni solishtirish

Bu juda tabiiy harakat kasrlarni solishtirish, chunki apelsinning 1/12 qismi 5/12 dan farq qilishi va olmaning 1/6 qismi bu olmaning boshqa 1/6 qismi bilan bir xil ekanligi aniq.

Ikki oddiy kasrni solishtirish natijasida natijalardan biri olinadi: kasrlar teng yoki teng emas. Birinchi holda bizda bor teng umumiy kasrlar, ikkinchisida esa - teng bo'lmagan oddiy kasrlar. Teng va teng bo'lmagan oddiy kasrlarga ta'rif beramiz.

Ta'rif.

teng, a·d=b·c tenglik to'g'ri bo'lsa.

Ta'rif.

Ikki oddiy kasr a/b va c/d teng emas, a·d=b·c tenglik bajarilmasa.

Teng kasrlarga misollar keltiramiz. Masalan, 1/2 oddiy kasr 2/4 kasrga teng, chunki 1·4=2·2 (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni ko'paytirish qoidalari va misollariga qarang). Aniqlik uchun siz ikkita bir xil olmani tasavvur qilishingiz mumkin, birinchisi yarmiga, ikkinchisi esa 4 qismga bo'linadi. Ko'rinib turibdiki, olmaning to'rtdan ikki qismi 1/2 ulushga teng. Teng oddiy kasrlarga boshqa misollar: 4/7 va 36/63 kasrlar va 81/50 va 1620/1000 kasrlar juftligi.

Lekin oddiy kasrlar 4/13 va 5/14 teng emas, chunki 4·14=56 va 13·5=65, ya'ni 4·14≠13·5. Teng bo'lmagan oddiy kasrlarning boshqa misollari 17/7 va 6/4 kasrlardir.

Agar ikkita oddiy kasrni solishtirganda, ular teng emasligi aniqlansa, siz ushbu oddiy kasrlardan qaysi birini topishingiz kerak bo'lishi mumkin. Ozroq har xil va qaysi biri - Ko'proq. Buni bilish uchun oddiy kasrlarni taqqoslash qoidasi qo'llaniladi, uning mohiyati taqqoslangan kasrlarni qiyoslashdan iborat. umumiy maxraj va numeratorlarni keyingi taqqoslash. Ushbu mavzu bo'yicha batafsil ma'lumot kasrlarni taqqoslash maqolasida to'plangan: qoidalar, misollar, echimlar.

Kasr sonlar

Har bir kasr belgidir kasr son. Ya'ni, kasr kasr sonning "qobig'i" dir, uning ko'rinish, va barcha semantik yuk kasr sonda joylashgan. Biroq, qisqalik va qulaylik uchun kasr va kasr son tushunchalari birlashtirilib, oddiygina kasr deb ataladi. Bu o‘rinda mashhur maqolni ifodalash o‘rinlidir: kasr deymiz – nazarda tutamiz kasr son, biz kasr sonini aytamiz - biz kasrni nazarda tutamiz.

Koordinata nuridagi kasrlar

Oddiy kasrlarga mos keladigan barcha kasr sonlarning o'ziga xos joyi bor, ya'ni kasrlar va koordinata nurining nuqtalari o'rtasida birma-bir moslik mavjud.

Koordinata nurida m/n kasrga mos keladigan nuqtaga o’tish uchun koordinatalar boshidan musbat yo’nalishdagi m segmentni ajratib qo’yish kerak, ularning uzunligi birlik segmentining 1/n qismiga teng. Bunday segmentlarni birlik segmentni n ta teng qismga bo'lish yo'li bilan olish mumkin, bu har doim kompas va chizg'ich yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, koordinata nurida 14/10 kasrga mos keladigan M nuqtani ko'rsatamiz. Uchlari O nuqtada va unga eng yaqin nuqtada kichik chiziqcha bilan belgilangan segment uzunligi birlik segmentining 1/10 qismini tashkil qiladi. Koordinatasi 14/10 bo'lgan nuqta koordinatadan 14 ta bunday segmentlar masofasida chiqariladi.

Teng kasrlar bir xil kasr songa to'g'ri keladi, ya'ni teng kasrlar koordinata nuridagi bir xil nuqtaning koordinatalaridir. Masalan, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatalari koordinata nurining bir nuqtasiga to'g'ri keladi, chunki barcha yozilgan kasrlar tengdir (u birlik segmentining yarmi masofasida joylashgan). kelib chiqishidan ijobiy tomonga).

Gorizontal va o'ngga yo'naltirilgan koordinatali nurda koordinatasi katta kasr bo'lgan nuqta koordinatasi kichik kasr bo'lgan nuqtaning o'ng tomonida joylashgan. Xuddi shunday, kichikroq koordinatali nuqta koordinatasi kattaroq nuqtaning chap tomonida joylashgan.

To'g'ri va noto'g'ri kasrlar, ta'riflar, misollar

Oddiy kasrlar orasida bor to'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Bu bo'linish hisoblagich va maxrajni taqqoslashga asoslangan.

To'g'ri va noto'g'ri oddiy kasrlarni aniqlaylik.

Ta'rif.

To'g'ri kasr soni maxrajdan kichik bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m bo'lsa

Ta'rif.

Noto'g'ri kasr maxrajdan katta yoki teng bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m≥n bo'lsa, oddiy kasr noto'g'ri bo'ladi.

To'g'ri kasrlarga misollar: 1/4, , 32,765/909,003. Haqiqatan ham, yozma oddiy kasrlarning har birida hisoblagich maxrajdan kichikdir (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni taqqoslash maqolasiga qarang), shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha to'g'ri.

Noto'g'ri kasrlarga misollar: 9/9, 23/4, . Haqiqatan ham, yozilgan oddiy kasrlarning birinchi qismining soni maxrajga teng, qolgan kasrlarda esa maxrajdan katta bo'ladi.

Kasrlarni bitta bilan solishtirishga asoslangan to'g'ri va noto'g'ri kasrlarning ta'riflari ham mavjud.

Ta'rif.

to'g'ri, agar u bittadan kam bo'lsa.

Ta'rif.

Oddiy kasr deyiladi noto'g'ri, agar u birga teng yoki 1 dan katta bo'lsa.

Shunday qilib, 7/11 oddiy kasr to'g'ri, chunki 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 va 27/27=1.

Keling, maxrajidan katta yoki unga teng bo'lgan oddiy kasrlar qanday qilib "noto'g'ri" nomga loyiq ekanligi haqida o'ylab ko'raylik.

Masalan, 9/9 noto'g'ri kasrni olaylik. Bu kasr to'qqiz qismdan iborat ob'ektdan to'qqiz qism olinganligini anglatadi. Ya'ni, mavjud to'qqiz qismdan biz butun ob'ektni yaratishimiz mumkin. Ya'ni, 9/9 noto'g'ri kasr mohiyatan butun ob'ektni beradi, ya'ni 9/9 = 1. Umuman olganda, ayiruvchiga teng bo'lgan noo'rin kasrlar bir butun ob'ektni bildiradi va bunday kasr 1 natural raqami bilan almashtirilishi mumkin.

Endi 7/3 va 12/4 noto'g'ri kasrlarni ko'rib chiqing. Ko'rinib turibdiki, ushbu etti uchinchi qismdan biz ikkita butun ob'ektni tuzishimiz mumkin (bitta butun ob'ekt 3 qismdan iborat, keyin ikkita butun ob'ektni yaratish uchun bizga 3 + 3 = 6 qism kerak bo'ladi) va hali ham uchdan bir qismi bo'ladi. qismi qolgan. Ya'ni, noto'g'ri kasr 7/3 mohiyatan 2 ob'ektni va shuningdek, bunday ob'ektning 1/3 qismini bildiradi. Va o'n ikki chorak qismdan biz uchta butun ob'ektni yasashimiz mumkin (har biri to'rt qismdan iborat uchta ob'ekt). Ya'ni, 12/4 kasr mohiyatan 3 ta butun ob'ektni bildiradi.

Ko'rib chiqilgan misollar bizni quyidagi xulosaga olib keladi: noto'g'ri kasrlarni natural sonlar bilan, hisoblagich maxrajga teng bo'linganda (masalan, 9/9=1 va 12/4=3) yoki yig'indi bilan almashtirilishi mumkin. natural sondan va to'g'ri kasr, hisoblagich maxrajga teng boʻlinmasa (masalan, 7/3=2+1/3). Ehtimol, aynan shu narsa noto'g'ri kasrlarga "tartibsiz" nomini bergan.

Noto'g'ri kasrni natural son va to'g'ri kasr yig'indisi (7/3=2+1/3) sifatida ko'rsatish alohida qiziqish uyg'otadi. Bu jarayon butun qismni noto'g'ri kasrdan ajratish deb ataladi va alohida va diqqat bilan ko'rib chiqishga loyiqdir.

Shuni ham ta'kidlash joizki, noto'g'ri kasrlar va aralash sonlar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud.

Ijobiy va manfiy kasrlar

Har bir umumiy kasr musbat kasr soniga to'g'ri keladi (musbat va salbiy sonlar haqidagi maqolaga qarang). Ya'ni, oddiy kasrlar musbat kasrlar. Masalan, 1/5, 56/18, 35/144 oddiy kasrlar musbat kasrlardir. Kasrning ijobiyligini ta'kidlash kerak bo'lganda, uning oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi, masalan, +3/4, +72/34.

Agar siz umumiy kasr oldiga minus belgisini qo'ysangiz, unda bu yozuv manfiy kasr soniga to'g'ri keladi. Bunday holda, biz gaplashishimiz mumkin manfiy kasrlar. Mana manfiy kasrlarga misollar: −6/10, −65/13, −1/18.

m/n va −m/n musbat va manfiy kasrlar qarama-qarshi sonlardir. Masalan, 5/7 va -5/7 kasrlar qarama-qarshi kasrlardir.

Ijobiy kasrlar, umuman olganda, ijobiy raqamlar kabi, qo'shimchani, daromadni, har qanday qiymatning yuqoriga o'zgarishini va hokazolarni bildiradi. Salbiy kasrlar xarajat, qarz yoki har qanday miqdorning kamayishiga mos keladi. Masalan, −3/4 manfiy kasr qiymati 3/4 ga teng bo'lgan qarz sifatida talqin qilinishi mumkin.

Gorizontal va o'ngga yo'nalishda manfiy kasrlar boshlang'ichning chap tomonida joylashgan. Koordinatalari musbat kasr m/n va manfiy kasr −m/n bo‘lgan koordinata chizig‘ining nuqtalari koordinata boshidan bir xil masofada, lekin O nuqtaning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan.

Bu erda 0/n ko'rinishdagi kasrlarni eslatib o'tish kerak. Bu kasrlar nol soniga teng, ya'ni 0/n=0.

Musbat kasrlar, manfiy kasrlar va 0/n kasrlar qo‘shilib ratsional sonlarni hosil qiladi.

Kasrlar bilan amallar

Biz yuqorida oddiy kasrlar bilan bitta harakatni - kasrlarni solishtirishni muhokama qildik. Yana to'rtta arifmetik funksiya aniqlangan kasrlar bilan amallar– kasrlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Kasrlar bilan amallarning umumiy mohiyati natural sonlar bilan mos keladigan amallarning mohiyatiga o'xshaydi. Keling, o'xshashlik qilaylik.

Kasrlarni ko'paytirish kasrdan kasrni topish harakati deb qarash mumkin. Aniqlik uchun bir misol keltiramiz. Keling, olmaning 1/6 qismini olamiz va biz uning 2/3 qismini olishimiz kerak. Bizga kerak bo'lgan qism 1/6 va 2/3 kasrlarni ko'paytirish natijasidir. Ikki oddiy kasrni ko'paytirish natijasi oddiy kasr (maxsus holatda natural songa teng). Keyinchalik, kasrlarni ko'paytirish - qoidalar, misollar va echimlar maqolasidagi ma'lumotlarni o'rganishingizni tavsiya qilamiz.

Ma'lumotnomalar.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: 5-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Vilenkin N.Ya. va boshqalar. 6-sinf: umumta’lim muassasalari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Barcha fanlar malikasi – matematikani o‘rganar ekan, bir nuqtada hamma kasrlarga duch keladi. Garchi bu kontseptsiya (kasrlarning o'zlari yoki ular bilan matematik operatsiyalar kabi) umuman murakkab bo'lmasa-da, unga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishingiz kerak, chunki maktabdan tashqari haqiqiy hayotda bu juda foydali bo'ladi. Shunday qilib, keling, kasrlar haqida bilimlarimizni yangilaymiz: ular nima, ular nima uchun, ular qanday turlar va ular bilan turli arifmetik amallarni bajarish.

Janobi Oliylari fraktsiyasi: bu nima

Matematikadagi kasrlar sonlar bo'lib, ularning har biri birlikning bir yoki bir nechta qismlaridan iborat. Bunday kasrlar oddiy yoki oddiy deb ham ataladi. Qoida tariqasida, ular gorizontal yoki chiziq chizig'i bilan ajratilgan ikkita raqam sifatida yoziladi, bu "kasr" chiziq deb ataladi. Masalan: ½, ¾.

Bu raqamlarning yuqori yoki birinchisi hisoblagich (sondan nechta qism olinganligini ko'rsatadi), pastki yoki ikkinchisi esa maxrajdir (birlik necha qismga bo'linganligini ko'rsatadi).

Kasr satri aslida bo'linish belgisi sifatida ishlaydi. Masalan, 7:9=7/9

An'anaga ko'ra, oddiy kasrlar bittadan kam. O'nli kasrlar undan kattaroq bo'lishi mumkin.

Kasrlar nima uchun? Ha, hamma narsa uchun, chunki haqiqiy dunyoda hamma raqamlar butun son emas. Misol uchun, choyxonadagi ikkita o'quvchi qiz birgalikda bitta mazali shokolad sotib olishdi. Ular shirinlikni baham ko'rmoqchi bo'lganlarida, ular bir do'st bilan uchrashishdi va uni ham davolashga qaror qilishdi. Biroq, endi shokolad barini 12 kvadratdan iborat ekanligini hisobga olsak, uni to'g'ri taqsimlash kerak.

Avvaliga qizlar hamma narsani teng taqsimlashni xohlashdi, keyin esa har biri to'rtta bo'lak oladi. Ammo, yaxshilab o'ylab ko'rgandan so'ng, ular shokoladning 1/3 emas, balki 1/4 qismini do'stlarini davolashga qaror qilishdi. Va maktab o'quvchilari kasrlarni yaxshi o'rganmaganlari uchun, ular bunday vaziyatda ular ikkiga bo'lish juda qiyin bo'lgan 9 ta bo'lakka ega bo'lishlarini hisobga olishmadi. Bu juda oddiy misol raqamning bir qismini to'g'ri topish qanchalik muhimligini ko'rsatadi. Ammo hayotda bunday holatlar ko'p.

Kasrning turlari: oddiy va o'nlik

Barcha matematik kasrlar ikkita katta toifaga bo'linadi: oddiy va o'nlik. Ulardan birinchisining xususiyatlari avvalgi xatboshida tasvirlangan edi, shuning uchun endi ikkinchisiga e'tibor qaratish lozim.

Oʻnli kasr sonning pozitsion belgisi boʻlib, vergul bilan ajratilgan holda, tire yoki chiziqsiz yoziladi. Masalan: 0,75, 0,5.

Aslida kasr oddiy bilan bir xil, ammo uning maxraji har doim bittadan keyin nol bo'ladi - uning nomi shu erdan keladi.

Vergul oldidagi son butun son qism, undan keyingi hamma narsa kasr hisoblanadi. Har qanday oddiy kasrni kasrga aylantirish mumkin. Shunday qilib, oldingi misolda ko'rsatilgan o'nlik kasrlar odatdagidek yozilishi mumkin: ¾ va ½.

Shuni ta'kidlash kerakki, o'nlik va oddiy kasrlar ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin. Agar ular oldida "-" belgisi bo'lsa, bu kasr manfiy, "+" musbat kasr bo'lsa.

Oddiy kasrlarning kichik turlari

Bunday oddiy kasrlar mavjud.

O'nli kasrning kichik turlari

Oddiy kasrdan farqli o'laroq, o'nli kasr faqat 2 turga bo'linadi.

• Yakuniy - bu nom kasrdan keyin cheklangan (cheklangan) raqamlar soniga ega bo'lganligi sababli olingan: 19.25.
• Cheksiz kasr bu kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lgan sondir. Misol uchun, 10 ni 3 ga bo'lganda, natijada cheksiz kasr 3,333 ... bo'ladi.

Kasrlarni qo'shish

Kasrlar bilan turli xil arifmetik manipulyatsiyalarni bajarish oddiy raqamlarga qaraganda biroz qiyinroq. Biroq, agar siz asosiy qoidalarni tushunsangiz, ular bilan har qanday misolni hal qilish qiyin bo'lmaydi.

Masalan: 2/3+3/4. Ular uchun eng kichik umumiy ko'paytma 12 bo'ladi, shuning uchun bu raqam har bir maxrajda bo'lishi kerak. Buning uchun biz birinchi kasrning payini va maxrajini 4 ga ko'paytiramiz, u 8/12 bo'lib chiqadi, biz ikkinchi atama bilan ham xuddi shunday qilamiz, lekin faqat 3 ga ko'paytiramiz - 9/12. Endi siz misolni osongina echishingiz mumkin: 8/12+9/12= 17/12. Olingan kasr noto'g'ri qiymatdir, chunki hisoblagich maxrajdan kattaroqdir. U 17:12 = 1 va 5/12 ni bo'lish orqali to'g'ri aralashga aylantirilishi mumkin va kerak.

Aralash kasrlar qo`shilganda amallar avval butun sonlar bilan, keyin esa kasrlar bilan bajariladi.

Agar misolda o'nlik kasr va oddiy kasr mavjud bo'lsa, ikkalasini ham oddiy qilish kerak, keyin ularni bir xil maxrajga keltiring va qo'shing. Masalan, 3.1+1/2. 3.1 raqami 3 va 1/10 aralash kasr yoki noto'g'ri kasr sifatida yozilishi mumkin - 31/10. Shartlar uchun umumiy maxraj 10 bo'ladi, shuning uchun siz 1/2 ning payini va maxrajini navbat bilan 5 ga ko'paytirishingiz kerak, siz 5/10 olasiz. Keyin hamma narsani osongina hisoblashingiz mumkin: 31/10+5/10=35/10. Olingan natija noto'g'ri qisqartiriladigan kasr bo'lib, biz uni normal shaklga keltiramiz, uni 5: 7/2 = 3 va 1/2 yoki kasr - 3,5 ga kamaytiramiz.

2 ta kasrni qo'shganda, kasrdan keyin bir xil sonli raqamlar bo'lishi muhimdir. Agar bunday bo'lmasa, kerakli miqdordagi nollarni qo'shishingiz kerak, chunki o'nlik kasrda buni og'riqsiz bajarish mumkin. Masalan, 3,5+3,005. Bu masalani hal qilish uchun birinchi raqamga 2 ta nol qo'shib, keyin birma-bir qo'shish kerak: 3,500+3,005=3,505.

Kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishda, qo'shish bilan bir xil qilish kerak: umumiy maxrajga kamaytiring, bir raqamni boshqasidan ayiring va agar kerak bo'lsa, natijani aralash kasrga aylantiring.

Masalan: 16/20-5/10. Umumiy maxraj 20 bo'ladi. Bu maxrajga ikkinchi kasrni uning ikkala qismini 2 ga ko'paytirish orqali keltirishingiz kerak, siz 10/20 olasiz. Endi siz misolni hal qilishingiz mumkin: 16/20-10/20= 6/20. Biroq, bu natija kamaytiriladigan fraktsiyalar uchun amal qiladi, shuning uchun har ikki tomonni 2 ga bo'lishga arziydi va natija 3/10 ni tashkil qiladi.

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni bo'lish va ko'paytirish qo'shish va ayirishga qaraganda ancha sodda amallardir. Gap shundaki, bu vazifalarni bajarayotganda umumiy belgini izlashning hojati yo'q.

Kasrlarni ko'paytirish uchun siz ikkala raqamni birma-bir ko'paytirishingiz kerak, so'ngra ikkala maxrajni ham. Agar kasr kamaytiriladigan miqdor bo'lsa, natijani kamaytiring.

Masalan: 4/9x5/8. Muqobil ko'paytirishdan keyin natija 4x5/9x8=20/72 bo'ladi. Bu kasr 4 ga kamayishi mumkin, shuning uchun misoldagi yakuniy javob 5/18.

Kasrlarni qanday ajratish mumkin

Kasrlarni bo'lish ham oddiy operatsiya, aslida u hali ham ularni ko'paytirishga to'g'ri keladi. Bir kasrni boshqasiga bo'lish uchun ikkinchisini teskarisiga aylantirib, birinchisiga ko'paytirish kerak.

Masalan, 5/19 va 5/7 kasrlarni bo'lish. Misolni hal qilish uchun ikkinchi kasrning maxraji va payini almashtirib, ko'paytirish kerak: 5/19x7/5=35/95. Natijani 5 ga kamaytirish mumkin - 7/19 chiqadi.

Agar kasrni tub songa bo'lish kerak bo'lsa, texnika biroz boshqacha. Dastlab, siz bu raqamni noto'g'ri kasr sifatida yozishingiz kerak va keyin xuddi shu sxema bo'yicha bo'linadi. Masalan, 2/13: 5 ni 2/13: 5/1 sifatida yozish kerak. Endi siz 5/1 ni aylantirishingiz va olingan kasrlarni ko'paytirishingiz kerak: 2/13x1/5= 2/65.

Ba'zan siz aralash kasrlarni bo'lishingiz kerak. Siz ularni butun sonlar bilan bo'lgani kabi muomala qilishingiz kerak: ularni noto'g'ri kasrlarga aylantiring, bo'luvchini teskari aylantiring va hamma narsani ko'paytiring. Masalan, 8 ½: 3. Hamma narsani noto'g'ri kasrlarga aylantiring: 17/2: 3/1. Shundan so'ng 3/1 aylantirish va ko'paytirish: 17/2x1/3= 17/6. Endi siz noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak - 2 butun va 5/6.

Shunday qilib, kasrlar nima ekanligini va ular bilan qanday qilib turli arifmetik amallarni bajarish mumkinligini bilib, bu haqda unutmaslikka harakat qilishingiz kerak. Axir, odamlar har doim biror narsani qo'shishdan ko'ra qismlarga bo'lishga moyil, shuning uchun siz buni to'g'ri bajarishingiz kerak.

To'g'ri kasr

Kvartallar

1. Tartiblilik. a Va b ular orasidagi uchta munosabatlardan bittasini va faqat bittasini aniqlashga imkon beradigan qoida mavjud: "< », « >"yoki" = ". Bu qoida deyiladi buyurtma berish qoidasi va quyidagicha formulalanadi: ikkita manfiy bo'lmagan sonlar va ikkita butun va bir xil munosabat bilan bog'langan; ikkita ijobiy bo'lmagan raqam a Va b ikki manfiy bo'lmagan son bilan bir xil munosabat bilan bog'langan va ; agar birdaniga a salbiy emas, lekin b- salbiy, keyin a > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Kasrlarni qo'shish Qo'shish operatsiyasi. a Va b Har qanday ratsional sonlar uchun yig'ish qoidasi c. Bundan tashqari, raqamning o'zi c chaqirdi miqdori raqamlar a Va b va bilan belgilanadi va bunday sonni topish jarayoni deyiladi jamlash. Yig'ish qoidasi quyidagi shaklga ega: .
3. Ko'paytirish amali. Qo'shish operatsiyasi. a Va b Har qanday ratsional sonlar uchun ko'paytirish qoidasi, bu ularga qandaydir ratsional sonni beradi c. Bundan tashqari, raqamning o'zi c chaqirdi ish raqamlar a Va b va bilan belgilanadi va bunday sonni topish jarayoni ham deyiladi ko'paytirish. Ko'paytirish qoidasi quyidagicha ko'rinadi: .
4. Tartib munosabatining tranzitivligi. Ratsional sonlarning har qanday uchligi uchun a , b Va c Agar a Ozroq b Va b Ozroq c, Bu a Ozroq c, va agar a teng b Va b teng c, Bu a teng c.
5. 6435">Qo'shishning almashinishi. Ratsional atamalar o'rnini o'zgartirish yig'indini o'zgartirmaydi. Qo'shishning assotsiativligi.
6. Uchta ratsional sonni qo'shish tartibi natijaga ta'sir qilmaydi. Nolning mavjudligi.
7. Qo'shilganda boshqa har qanday ratsional sonni saqlaydigan 0 ratsional soni mavjud. Qarama-qarshi raqamlarning mavjudligi.
8. Har qanday ratsional son qarama-qarshi ratsional songa ega bo'lib, unga qo'shilganda 0 ni beradi. Ko'paytirishning kommutativligi.
9. Ratsional omillarning joylarini o'zgartirish mahsulotni o'zgartirmaydi. Ko'paytirishning assotsiativligi.
10. Uchta ratsional sonni ko'paytirish tartibi natijaga ta'sir qilmaydi. Birlikning mavjudligi.
11. Ko'paytirilganda har bir boshqa ratsional sonni saqlaydigan 1-ratsional raqam mavjud. O'zaro raqamlarning mavjudligi.
12. Har qanday ratsional son teskari ratsional songa ega bo'lib, uni ko'paytirganda 1 ni beradi. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi.
13. Ko'paytirish amali qo'shish amali bilan taqsimlash qonuni orqali muvofiqlashtiriladi: Tartib munosabatining qo`shish amali bilan bog`lanishi.
14. Xuddi shu ratsional sonni ratsional tengsizlikning chap va o'ng tomonlariga qo'shish mumkin./rasmlar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> a Arximed aksiomasi. a Ratsional son nima bo'lishidan qat'iy nazar

, siz shunchalik ko'p birliklarni olishingiz mumkinki, ularning yig'indisi oshib ketadi

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Qo'shimcha xususiyatlar

Ratsional sonlarga xos bo‘lgan boshqa barcha xossalar asosiy xossalar sifatida ajratilmaydi, chunki, umuman olganda, ular endi to‘g‘ridan-to‘g‘ri butun sonlarning xossalariga asoslanmaydi, balki berilgan asosiy xossalar asosida yoki to‘g‘ridan-to‘g‘ri qandaydir matematik ob’ektning ta’rifi bilan isbotlanishi mumkin. . Bunday qo'shimcha xususiyatlar juda ko'p. Bu erda ulardan faqat bir nechtasini sanab o'tish mantiqan.

Ratsional sonlar sonini hisoblash uchun siz ularning to'plamining kardinalligini topishingiz kerak. Ratsional sonlar to'plamini hisoblash mumkin ekanligini isbotlash oson. Buning uchun ratsional sonlarni sanab o'tuvchi, ya'ni ratsional va natural sonlar to'plami o'rtasida ikkilanishni o'rnatuvchi algoritmni berish kifoya.

Ushbu algoritmlarning eng oddiylari shunday ko'rinadi. Har birida oddiy kasrlarning cheksiz jadvali tuzilgan i-har biridagi qator j kasr joylashgan ustun. Aniqlik uchun ushbu jadvalning satrlari va ustunlari birdan boshlab raqamlangan deb taxmin qilinadi. Jadval kataklari , bu yerda bilan belgilanadi i- katakcha joylashgan jadval qatorining raqami va j- ustun raqami.

Olingan jadval quyidagi rasmiy algoritmga muvofiq "ilon" yordamida o'tkaziladi.

Ushbu qoidalar yuqoridan pastga qarab qidiriladi va keyingi pozitsiya birinchi moslik asosida tanlanadi.

Bunday o'tish jarayonida har bir yangi ratsional son boshqa natural son bilan bog'lanadi. Ya'ni, 1/1 kasr 1 raqamiga, 2/1 kasr 2 raqamiga va hokazo. Shuni ta'kidlash kerakki, faqat qisqartirilmaydigan kasrlar raqamlanadi. Qaytarilmaslikning rasmiy belgisi kasrning soni va maxrajining eng katta umumiy bo'luvchisi birga teng bo'lishidir.

Ushbu algoritmga amal qilib, biz barcha ijobiy ratsional sonlarni sanab o'tishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, musbat ratsional sonlar to'plami hisobga olinadi. Ijobiy va manfiy ratsional sonlar to'plamlari o'rtasidagi farqni har bir ratsional songa qarama-qarshiligini belgilash orqali osongina aniqlash mumkin. Bu. manfiy ratsional sonlar to'plami ham sanab o'tiladi. Ularning birlashuvi sanaladigan to'plamlar xossasi bilan ham hisoblanadi. Ratsional sonlar to'plami, shuningdek, sanab o'tiladigan to'plamning chekli bilan birlashishi sifatida ham sanab o'tiladi.

Ratsional sonlar to'plamini hisoblash mumkinligi haqidagi bayonot biroz chalkashlikka olib kelishi mumkin, chunki bir qarashda u natural sonlar to'plamidan ancha kengroqdek tuyuladi. Aslida, bu unday emas va barcha ratsional sonlarni sanab o'tish uchun etarli natural sonlar mavjud.

Ratsional raqamlarning etishmasligi

Bunday uchburchakning gipotenuzasi hech qanday ratsional son bilan ifodalanishi mumkin emas

1 / shaklidagi ratsional sonlar n katta n o'zboshimchalik bilan kichik miqdorlarni o'lchash mumkin. Bu fakt ratsional sonlar har qanday geometrik masofalarni o'lchash uchun ishlatilishi mumkinligi haqida noto'g'ri taassurot qoldiradi. Bu haqiqat emasligini ko'rsatish oson.

Pifagor teoremasidan bizga ma'lumki, to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi uning oyoqlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida ifodalanadi. Bu. teng yon tomonli gipotenuzaning uzunligi to'g'ri uchburchak birlik oyog'i bilan, ya'ni kvadrati 2 bo'lgan songa teng.

Agar sonni qandaydir ratsional son bilan ifodalash mumkin deb faraz qilsak, unda bunday butun son mavjud m va shunday natural son n, bu , va kasr kamaytirilmaydi, ya'ni sonlar m Va n- o'zaro oddiy.

Agar , keyin , ya'ni. m 2 = 2n 2. Shuning uchun, raqam m 2 juft, lekin ikkitaning ko'paytmasi toq raqamlar g'alati, bu raqamning o'zini anglatadi m ham hatto. Shunday qilib, natural son mavjud k, shundayki raqam m shaklida ifodalanishi mumkin m = 2k. Raqamli kvadrat m shu ma'noda m 2 = 4k 2, lekin boshqa tomondan m 2 = 2n 2 4 degan ma'noni anglatadi k 2 = 2n 2, yoki n 2 = 2k 2. Raqam uchun avval ko'rsatilgandek m, bu raqamni bildiradi n- hatto kabi m. Ammo keyin ular nisbatan asosiy emas, chunki ikkalasi ham ikkiga bo'lingan. Olingan ziddiyat uning ratsional son emasligini isbotlaydi.

Fraksiya matematikada birlikning bir yoki bir nechta qismidan (kasrlaridan) tashkil topgan son. Kasrlar ratsional sonlar sohasining bir qismidir. Yozilish usuliga ko'ra kasrlar 2 formatga bo'linadi: oddiy turi va kasr .

Kasr soni- olingan aktsiyalar sonini ko'rsatadigan raqam (kasrning yuqori qismida - chiziq ustida joylashgan). Kasr maxraji- birlik qancha aktsiyalarga bo'linganligini ko'rsatadigan raqam (chiziq ostida joylashgan - pastki qismida). o'z navbatida quyidagilarga bo'linadi: to'g'ri Va noto'g'ri, aralash Va kompozitsion o'lchov birliklari bilan chambarchas bog'liq. 1 metr 100 sm ni o'z ichiga oladi, bu 1 m 100 teng qismga bo'linganligini anglatadi. Shunday qilib, 1 sm = 1/100 m (bir santimetr metrning yuzdan biriga teng).

yoki 3/5 (beshdan uch), bu yerda 3 - sanoqchi, 5 - maxraj. Agar ayiruvchi maxrajdan kichik bo'lsa, kasr birdan kichik bo'ladi va deyiladi to'g'ri:

Numerator maxrajga teng bo'lsa, kasr birga teng bo'ladi. Numerator maxrajdan katta bo'lsa, kasr birdan katta bo'ladi. Ikkala oxirgi holatda ham kasr deyiladi noto'g'ri:

Noto'g'ri kasr tarkibidagi eng katta butun sonni ajratish uchun siz payni maxrajga bo'lasiz. Agar bo'linish qoldiqsiz bajarilsa, unda olingan noto'g'ri kasr qismga teng bo'ladi:

Agar bo'linish qoldiq bilan bajarilsa, u holda (to'liq bo'lmagan) qism kerakli butun sonni beradi, qolgan qismi esa kasr qismining soniga aylanadi; kasr qismining maxraji bir xil bo'lib qoladi.

Butun son va kasr qismini o'z ichiga olgan son deyiladi aralash. Kasr qismi aralash raqam balki noto'g'ri kasr. Keyin kasr qismidan eng katta butun sonni tanlab, aralash sonni shunday ifodalash mumkinki, kasr qismi to'g'ri kasrga aylanadi (yoki umuman yo'qoladi).

"Fraktsiyalar" so'zi ko'p odamlarni g'azablantiradi. Chunki men maktab va matematikadan yechilgan vazifalarni eslayman. Bu bajarilishi kerak bo'lgan majburiyat edi. To'g'ri va noto'g'ri kasrlar bilan bog'liq muammolarni jumboq kabi ko'rib chiqsangiz-chi? Axir, ko'plab kattalar raqamli va yapon krossvordlarini hal qilishadi. Biz qoidalarni aniqladik va bu ham shunday. Bu yerda ham xuddi shunday. Faqat nazariyani chuqur o'rganish kerak - va hamma narsa joyiga tushadi. Va misollar miyangizni mashq qilish usuliga aylanadi.

Qanday kasr turlari mavjud?

Keling, bu nimadan boshlaylik. Kasr - bu birning bir qismiga ega bo'lgan son. U ikki shaklda yozilishi mumkin. Birinchisi oddiy deb ataladi. Ya'ni, gorizontal yoki eğimli chiziqqa ega bo'lgan. Bu bo'linish belgisiga teng.

Bunday yozuvda chiziq ustidagi songa aylanma, uning ostidagi songa esa maxraj deyiladi.

Oddiy kasrlar orasida to'g'ri va noto'g'ri kasrlar farqlanadi. Birinchisi uchun hisoblagichning mutlaq qiymati har doim maxrajdan kichik bo'ladi. Noto'g'rilar shunday deb ataladi, chunki ularda hamma narsa aksincha. To'g'ri kasrning qiymati har doim birdan kichik bo'ladi. Noto'g'ri har doim bu raqamdan kattaroqdir.

Bundan tashqari, aralash raqamlar mavjud, ya'ni butun va kasr qismiga ega bo'lganlar.

Belgilanishning ikkinchi turi o'nlik kasrdir. U haqida alohida suhbat bor.

Noto'g'ri kasrlar aralash sonlardan qanday farq qiladi?

Aslida, hech narsa. Bu bir xil raqamning turli xil yozuvlari. Oddiy qadamlardan so'ng noto'g'ri fraktsiyalar osonlashadi. aralash raqamlar. Va aksincha.

Hamma narsaga bog'liq muayyan holat. Ba'zan vazifalarda noto'g'ri kasrdan foydalanish qulayroqdir. Va ba'zida uni aralash raqamga aylantirish kerak bo'ladi va keyin misol juda oson hal qilinadi. Shuning uchun, nimadan foydalanish kerak: noto'g'ri kasrlar, aralash raqamlar, muammoni hal qiluvchi shaxsning kuzatish qobiliyatiga bog'liq.

Aralash son, shuningdek, butun va kasr qismining yig'indisi bilan taqqoslanadi. Bundan tashqari, ikkinchisi har doim bittadan kamroq.

Aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida qanday ifodalash mumkin?

Agar siz bir nechta raqamlar bilan biron bir harakatni bajarishingiz kerak bo'lsa turli xil turlari, keyin ularni bir xil qilish kerak. Usullardan biri raqamlarni noto'g'ri kasrlar sifatida ko'rsatishdir.

Buning uchun siz quyidagi algoritmni bajarishingiz kerak bo'ladi:

• maxrajni butun qismga ko'paytirish;
• natijaga hisoblagich qiymatini qo'shing;
• javobni satr tepasiga yozing;
• maxrajni bir xil qoldiring.

Aralash sonlardan noto'g'ri kasrlarni yozishga misollar:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Noto'g'ri kasr aralash son sifatida qanday yoziladi?

Keyingi texnika yuqorida muhokama qilinganiga qarama-qarshidir. Ya'ni, barcha aralash raqamlar noto'g'ri kasrlar bilan almashtirilganda. Harakatlar algoritmi quyidagicha bo'ladi:

• qoldiqni olish uchun sonni maxrajga bo'ling;
• aralashning butun qismi o‘rniga qismni yozing;
• qolgan qismi chiziq ustida joylashtirilishi kerak;
• bo'luvchi maxraj bo'ladi.

Bunday transformatsiyaga misollar:

76/14; 76:14 = 5, qolgan 6; javob 5 butun va 6/14 bo'ladi; bu misoldagi kasr qismini 2 ga kamaytirish kerak, natijada 3/7; yakuniy javob 5 ball 3/7.

108/54; bo'lingandan so'ng, 2 ning qismi qoldiqsiz olinadi; bu barcha noto'g'ri kasrlarni aralash son sifatida ifodalash mumkin emasligini anglatadi; javob butun son bo'ladi - 2.

Butun sonni noto'g'ri kasrga qanday aylantirish mumkin?

Bunday harakatlar zarur bo'lgan holatlar mavjud. Ma'lum maxrajga ega bo'lgan noto'g'ri kasrlarni olish uchun siz quyidagi algoritmni bajarishingiz kerak bo'ladi:

• butun sonni kerakli maxrajga ko'paytirish;
• ushbu qiymatni chiziq ustiga yozing;
• uning ostiga maxrajni qo'ying.

Eng oddiy variant - bu maxraj birga teng bo'lganda. Keyin hech narsani ko'paytirishga hojat yo'q. Misolda berilgan butun sonni shunchaki yozib, bittasini chiziq ostiga qo'yish kifoya.

Misol: 5 ni maxraji 3 ga teng bo‘lmagan kasr hosil qiling. 5 ni 3 ga ko‘paytirsak, 15 ga teng bo‘ladi. Bu son maxraj bo‘ladi. Vazifaga javob kasr: 15/3.

Turli raqamlar bilan muammolarni hal qilishning ikkita yondashuvi

Misol uchun yig'indi va farqni, shuningdek, ikkita sonning mahsuloti va qismini hisoblash kerak: 2 ta butun 3/5 va 14/11.

Birinchi yondashuvda aralash son noto'g'ri kasr sifatida ifodalanadi.

Yuqorida tavsiflangan amallarni bajarganingizdan so'ng siz quyidagi qiymatni olasiz: 13/5.

Yig'indini bilish uchun kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirish kerak. 11 ga ko'paytirilgandan keyin 13/5 143/55 ga aylanadi. Va 5 ga ko'paytirgandan keyin 14/11 quyidagicha bo'ladi: 70/55. Yig'indini hisoblash uchun siz faqat sonlarni qo'shishingiz kerak: 143 va 70, so'ngra javobni bitta denominator bilan yozing. 213/55 - bu noto'g'ri kasr muammoning javobidir.

Farqni topishda bir xil raqamlar ayiriladi: 143 - 70 = 73. Javob kasr bo'ladi: 73/55.

13/5 va 14/11 ni ko'paytirishda siz ularni umumiy maxrajga kamaytirishingiz shart emas. Numeratorlar va maxrajlarni juftlarga ko'paytirish kifoya. Javob: 182/55.

Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. To'g'ri hal qilish uchun bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish va bo'luvchini teskari aylantirish kerak: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Ikkinchi yondashuvda noto'g'ri kasr aralash songa aylanadi.

Algoritm amallarini bajargandan so'ng, 14/11 butun qismi 1 va kasr qismi 3/11 bo'lgan aralash raqamga aylanadi.

Yig'indini hisoblashda siz butun va kasr qismlarni alohida qo'shishingiz kerak. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Yakuniy javob 3 ball 48/55. Birinchi yondashuvda kasr 213/55 edi. Uning to'g'riligini aralash raqamga aylantirish orqali tekshirishingiz mumkin. 213 ni 55 ga bo'lgandan keyin qism 3 ga, qolgan qismi 48 ga teng bo'ladi. Javobning to'g'ri ekanligini ko'rish oson.

Ayirish paytida "+" belgisi "-" bilan almashtiriladi. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Tekshirish uchun oldingi yondashuvdagi javobni aralash raqamga aylantirish kerak: 73 55 ga bo'linadi va qism 1 ga, qolgan qismi esa 18 ga bo'linadi.

Mahsulot va qismni topish uchun aralash raqamlardan foydalanish noqulay. Bu erda har doim noto'g'ri fraktsiyalarga o'tish tavsiya etiladi.