Raqam nima? NUMBER matematikaning asosiy tushunchalaridan biri boʻlib, u erdan kelib chiqqan qadim zamonlar va asta-sekin kengaytirildi va umumlashtirildi. Alohida ob'ektlarni hisoblash bilan bog'liq holda, musbat butun (natur) sonlar tushunchasi paydo bo'ldi, so'ngra raqamlarning natural qatorining cheksizligi g'oyasi paydo bo'ldi: 1, 2, 3. Natural sonlar - bu raqamlarda ishlatiladigan raqamlar. ob'ektlarni hisoblash. 1

Hikoya. Qadimgi odamlar lagerini qazish paytida bo'ri suyagi topildi, unda 30 ming yil oldin qadimgi ovchi ellik beshta chuqurchalar yasagan. Ko'rinib turibdiki, u bu choklarni yasayotganda barmoqlari bilan hisoblagan. Suyakdagi naqsh har birida beshta tishli o'n bitta guruhdan iborat edi. Shu bilan birga, u birinchi besh guruhni qolganlardan uzoq chiziq bilan ajratdi. Shuningdek, Sibir va boshqa joylarda xuddi shu olis davrda yasalgan tosh qurollar va bezaklar topilgan bo‘lib, ularda 3, 5 yoki 7 ga to‘plangan chiziqlar va nuqtalar ham bor edi. Keltlar - qadimgi odamlar, 2500 yil oldin Evropada yashagan, frantsuz va inglizlarning ajdodlari bo'lganlar yigirma deb hisoblangan (ikki qo'l va ikki oyoq yigirma barmoq berdi). Buning izlari saqlanib qolgan frantsuz, bu erda "sakson" so'zi "to'rt marta yigirma" kabi eshitiladi. Boshqa xalqlar ham yigirma kishini - daniyaliklar va gollandlar, osetinlar va gruzinlarning ajdodlari deb hisoblashgan. 2

Hatto va toq raqamlar. Juft son 2 ga qoldiqsiz bo‘linadigan butun son: ..., 2, 4, 6, 8, ... Toq son 2 ga qoldiqsiz bo‘linmaydigan butun son: ..., 1, 3, 5, 7, 9, ... Pifagor sonni energiya deb belgilab, raqamlar fani orqali olamning siri ochiladi, deb hisoblardi, chunki son narsalarning sirini o'z ichiga oladi. Pifagor juft sonlarni ayollik, toq sonlarni esa erkaklik deb hisoblagan: 2+3=5 5 - oila, nikoh ramzi. Juft va toq raqamlar = ayol va erkak raqamlari. 4

Oddiy va murakkab. Tub son - bu aniq ikkita tabiiy omilga ega bo'lgan natural son: bitta va o'zi. Keyingi ketma-ketlik tub sonlar quyidagicha boshlanadi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ... Kompozit sonlar 3 yoki undan ortiq boʻluvchiga ega boʻlgan sonlardir. Sonlar nazariyasi tub sonlarning xossalarini o‘rganadi. Shunday qilib, birdan katta barcha natural sonlar tub va qo'shma sonlarga bo'linadi. 5

Mukammal va nomukammal raqamlar. Mukammal sonlar, ularning barcha muntazam (ya'ni, bu raqamdan kichik) bo'luvchilari yig'indisiga teng musbat butun sonlar. Masalan, 6 = va 28 = raqamlari mukammaldir. Hozirgacha (1976) birorta ham boyo'g'li ma'lum emas. soat va ularning mavjudligi masalasi ochiqligicha qolmoqda. Sov haqida tadqiqotlar. soatlar raqamlar va ularning kombinatsiyalariga alohida mistik ma'no bergan Pifagorchilar tomonidan boshlangan. Pifagor nomukammal sonlarni o'zidan kichik bo'lgan muntazam bo'luvchilar yig'indisi deb atagan. 6

Sehrli raqamlar. Raqamlar sirlari odamlarni o'ziga jalb qiladi, ularni o'rganishga, tushunishga va xulosalarini haqiqiy munosabatlar bilan solishtirishga majbur qiladi. Kiritilgan raqamlarga qadimgi dunyo Ular juda hurmatli edilar. Ularni tanigan odamlar buyuk hisoblangan, xudolarga tenglashtirilgan. Eng oddiy misol, ko'plab mamlakatlarda dum raqami 13 bo'lgan samolyotlar, qavatlar va mehmonxona xonalari "13" raqamiga ega emas. 8
Sehrli seriya 2 - muvozanat va kontrastning soni va barqarorlikni qo'llab-quvvatlaydi, ijobiy va salbiy fazilatlarni aralashtiradi. 6 - ishonchlilik ramzi. Bu juft songa (2) va toq songa (3) bo'linadigan mukammal son bo'lib, har birining elementlarini birlashtiradi. 8 - moddiy muvaffaqiyatlar soni. Bu ishonchlilikni anglatadi, chunki u er-xotin kvadrat bilan ifodalanadi. Yarimga bo'lingan, u teng qismlarga ega (4 va 4). Agar u yana bo'lingan bo'lsa, unda qismlar ham teng bo'ladi (2, 2, 2, 2), to'rt barobar muvozanatni ko'rsatadi. 9 - universal muvaffaqiyatlar soni, barcha raqamlarning eng kattasi. 3 raqamining uch barobari kabi, to'qqiz beqarorlikni intilishga aylantiradi. 10

Berilgan abtsissali sonli aylanadagi nuqtalarni toping. Koordinatalar. Nuqta koordinatalarining xossasi. Raqamlar doirasining markazi. Aylanadan trigonometrgacha. Raqamli aylanadagi nuqtalarni toping. Abtsissa bilan nuqtalar. Trigonometr. Raqamli aylanada nuqta belgilang. Raqamli doira yoniq koordinata tekisligi. Raqamli doira. Ordinat bilan nuqtalar. Nuqtaning koordinatasini keltiring. Nuqtaning chiziq va koordinatasini nomlang.

““Hosilalar” 10-sinf algebrasi” -Funksiyalarni o‘rganishda hosilalarni qo‘llash. hosila nolga teng. Nuqtalarni toping. Keling, ma'lumotni umumlashtiramiz. Funktsiyaning monotonligining tabiati. Hosilini funksiyalarni o‘rganishda qo‘llash. Nazariy isinish. Bayonotlarni to'ldiring. To'g'ri bayonotni tanlang. Teorema. Taqqoslash. hosilasi ijobiy. Teoremalarning formulalarini solishtiring. Funktsiya kuchayadi. Ekstremum uchun etarli sharoitlar.

“Trigonometrik tenglamalar” 10-sinf” - Intervaldagi qiymatlar. X= tan x. Ildiz bilan ta'minlang. Tenglik haqiqatmi? Ildizlar seriyasi. Tenglama karyolasi t = a. Ta'rif. Chunki 4x. Tenglamaning ildizlarini toping. tg t = a tenglamasi. Sin x. Bu ifoda mantiqiymi? Sin x =1. Hech qachon bilmagan ishni qilmang. Gapni davom ettiring. Keling, ildizlarning namunasini olaylik. Tenglamani yeching. Ctg x = 1. Trigonometrik tenglamalar. Tenglama.

“Algebra “hosilalar”” - Tangens tenglama. Atamalarning kelib chiqishi. Muammoni hal qiling. Hosil. Moddiy nuqta. Farqlash formulalari. Hosilning mexanik ma'nosi. Baholash mezonlari. Hosila funksiyasi. Funksiya grafigiga teginish. Tsiklning ta'rifi. Funksiya grafigiga teginish tenglamasi. Hosilini topish algoritmi. Hosilni topishga misol. Mavzuni o'rganishning tuzilishi. Nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi.

"Eng qisqa yo'l" - Digrafdagi yo'l. Ikki xil grafiklarga misol. Yo'naltirilgan grafiklar. Yo'naltirilgan grafiklarga misollar. Qabul qilish imkoniyati. A cho'qqidan D cho'qqigacha bo'lgan eng qisqa yo'l. Algoritm tavsifi. Ierarxik ro'yxatning afzalliklari. Og'irlangan grafiklar. Grafikdagi yo'l. ProGraph dasturi. Qo'shni cho'qqilar va qirralar. Yuqori daraja. Qo'shnilik matritsasi. Og'irlangan grafikdagi yo'l uzunligi. Qo'shni matritsaga misol. Eng qisqa yo'lni topish.

"Trigonometriya tarixi" - Jeykob Bernulli. Ishlash texnikasi bilan trigonometrik funktsiyalar. Ko'p yuzli o'lchovlar haqidagi ta'limot. Leonard Eyler. XVI asrdan to hozirgi kungacha trigonometriyaning rivojlanishi. Talaba trigonometriya bilan uch marta uchrashishi kerak. Hozirgacha trigonometriya shakllangan va rivojlangan. Qurilish umumiy tizim trigonometrik va tegishli bilimlar. Vaqt o'tadi va trigonometriya maktab o'quvchilariga qaytadi.

Ushbu maqola mavzuga bag'ishlangan " Haqiqiy raqamlar“Maqolada haqiqiy sonlarning ta’rifi berilgan, ularning koordinata chizig‘idagi o‘rni tasvirlangan va sonli ifodalar yordamida haqiqiy sonlarni ko‘rsatish usullari ko‘rib chiqiladi.

Haqiqiy sonlarning ta'rifi

Butun va kasr sonlar birgalikda ratsional sonlarni tashkil qiladi. O'z navbatida ratsional va irratsional sonlar haqiqiy sonlarni tashkil qiladi. Haqiqiy raqamlar nima ekanligini qanday aniqlash mumkin?

Ta'rif 1

Haqiqiy raqamlar- bular ratsional va irratsional sonlar. Haqiqiy sonlar to'plami bilan belgilanadi R.

Ushbu ta'rif quyidagilarni hisobga olgan holda boshqacha yozilishi mumkin:

1. Ratsional sonlar cheklangan son sifatida ifodalanishi mumkin kasr yoki cheksiz davriy kasr.
2. Irratsional sonlar - cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar.

Haqiqiy raqamlar- chekli yoki cheksiz (davriy yoki davriy bo'lmagan) o'nli kasr shaklida yozilishi mumkin bo'lgan raqamlar.

Haqiqiy sonlar har qanday ratsional va irratsional sonlardir. Mana shunday raqamlarga misollar: 0 ; 6; 458; 1863; 0, 578; - 3 8; 26 5; 0, 145 (3); log 5 12.

Nol ham haqiqiy sondir. Ta'rifga ko'ra, ijobiy va salbiy haqiqiy sonlar mavjud. Nol - bu na musbat, na manfiy bo'lgan yagona haqiqiy son.

Haqiqiy sonlarning yana bir nomi haqiqiy sonlardir. Bu raqamlar doimiy o'zgaruvchan miqdorning qiymatini ushbu miqdorning mos yozuvlar (birlik) qiymatini kiritmasdan tasvirlash imkonini beradi.

Koordinata chizig'i va haqiqiy sonlar

Koordinatali bo'lmagan chiziqdagi har bir nuqta o'ziga xos va noyob haqiqiy songa mos keladi. Boshqacha qilib aytganda, haqiqiy sonlar butun koordinata chizig'ini egallaydi va egri chiziq nuqtalari bilan raqamlar o'rtasida birma-bir moslik mavjud.

Haqiqiy sonlarni ko'rsatish

Haqiqiy raqamlarning ta'rifi quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. Natural sonlar.
2. Butun sonlar.
3. O'nlik kasrlar.
4. Oddiy kasrlar.
5. Aralash raqamlar.

Bundan tashqari, haqiqiy sonlar ko'pincha kuchlar, ildizlar va logarifmlar bilan ifodalanadi. Haqiqiy sonlarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va qismi ham haqiqiy sonlardir.

Haqiqiy sonlardan tashkil topgan har qanday ifodaning qiymati ham haqiqiy son bo'ladi.

Masalan, sin 2 3 p · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 va t g 6 7 6 693 - 8 p 3 2 ifodalarining qiymatlari haqiqiy sonlardir.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Raqamning intuitiv g'oyasi, ko'rinishidan, insoniyatning o'zi kabi qadimgi, garchi uning rivojlanishining barcha dastlabki bosqichlarini ishonchli tarzda kuzatish mumkin emas. Inson hisoblashni o'rganmasdan yoki raqamlarni ifodalovchi so'zlarni o'ylab topishdan oldin, u, shubhasiz, raqam haqida vizual, intuitiv fikrga ega edi, bu unga bir kishi va ikki kishini yoki ikki va ko'p odamlarni farqlash imkonini berdi. Nima ibtidoiy odamlar dastlab ular faqat "bir", "ikki" va "ko'p" ni bilishgan, ba'zi tillarda, masalan, yunon tilida uchta grammatik shakl mavjudligi tasdiqlanadi: birlik, ikkilik va koʻplik. Keyinchalik odam ikki va uchta daraxtni va uchdan to'rt kishini farqlashni o'rgandi. Hisoblash dastlab ob'ektlarning o'ziga xos to'plami bilan bog'liq edi va raqamlarning birinchi nomlari sifatlar edi. Masalan, "uch" so'zi faqat "uch daraxt" yoki "uch kishi" birikmalarida ishlatilgan; bu to'plamlarning bir-biriga o'xshash narsaga ega ekanligi haqidagi fikr - uchlik tushunchasi - talab qiladi yuqori daraja abstraktsiyalar. Ushbu mavhumlik darajasi paydo bo'lishidan oldin paydo bo'lgan hisoblash ko'plab tillarda "bir" va "birinchi", shuningdek "ikki" va "ikkinchi" so'zlari bir-biri bilan hech qanday umumiylik yo'qligidan dalolat beradi. , "bir", "ikki", "ko'p" ibtidoiy sanashdan tashqarida yotgan bo'lsa-da, "uch" va "uchinchi", "to'rt" va "to'rtinchi" so'zlari kardinal va tartib sonlar o'rtasidagi munosabatni aniq ko'rsatadi.

Juda mavhum g'oyalarni ifodalovchi raqamlar nomlari, shubhasiz, ma'lum bir to'plamdagi ob'ektlar sonini ko'rsatish uchun birinchi qo'pol belgilardan kechroq paydo bo'lgan. Qadim zamonlarda ibtidoiy son yozuvlari tayoqchadagi tirqishlar, arqondagi tugunlar, toshlar qatoriga yotqizilgan holda amalga oshirilgan va bu elementlar oʻrtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjudligi tushunilgan. hisoblanayotgan to'plam va raqamli yozuvning belgilari. Ammo raqamlarning nomlari bunday raqamli yozuvlarni o'qish uchun to'g'ridan-to'g'ri ishlatilmagan. Hozirgi kunda biz bir qarashda ikki, uch va to'rt elementli agregatlarni taniymiz; Besh, olti yoki etti elementdan iborat to'plamlarni bir qarashda tanib olish biroz qiyinroq. Va bu chegaradan tashqarida ularning sonini ko'z bilan aniqlash deyarli mumkin emas va tahlil qilish yoki hisoblash shaklida yoki elementlarning ma'lum bir tuzilishida kerak bo'ladi. Ko'rinishidan, teglarni sanash bunday hollarda qo'llanilgan birinchi usul bo'lgan: teglardagi tirqishlar ma'lum guruhlarga bo'lingan, xuddi saylov byulletenlarini sanashda ular ko'pincha besh yoki o'n bo'lakdan iborat paketlarga to'plangan. Barmoqlar bilan hisoblash juda keng tarqalgan edi va ba'zi raqamlarning nomlari aynan shu hisoblash usulidan kelib chiqqan bo'lishi mumkin.

Hisoblashning muhim xususiyati - bu raqamlar nomlarini ma'lum bir hisoblash sxemasi bilan bog'lash. Masalan, "yigirma uch" so'zi shunchaki aniq belgilangan (elementlar soni bo'yicha) ob'ektlar guruhini anglatuvchi atama emas; bu qoʻshma atama boʻlib, “ikki marta oʻn va uch” degan maʼnoni bildiradi. Bu erda o'n sonining jamoaviy birlik yoki poydevor sifatidagi roli aniq ko'rinadi; va haqiqatan ham ko'p odamlar o'nlab sanashadi, chunki Aristotel ta'kidlaganidek, bizda o'nta barmoq va oyoq barmoqlari bor. Xuddi shu sababga ko'ra besh yoki yigirma baza ishlatilgan. Insoniyat tarixining eng dastlabki bosqichlarida asoslar sanoq tizimlari qabul qilingan raqamlar 2, 3 yoki 4 edi; ba'zan ba'zi o'lchovlar yoki hisob-kitoblar uchun 12 va 60 asoslari ishlatilgan.

Inson yozishni o'rganishdan ancha oldin hisoblashni boshlagan, shuning uchun qadimgi davrlarda raqamlarni bildirish uchun ishlatilgan so'zlardan dalolat beruvchi yozma hujjatlar saqlanib qolmagan. Ko'chmanchi qabilalar raqamlarning og'zaki nomlari bilan ajralib turadi, yozma uchun esa, ularga bo'lgan ehtiyoj faqat o'troq turmush tarziga o'tish va dehqonchilik jamoalarining shakllanishi bilan paydo bo'lgan; Raqamlarni yozib olish tizimiga ehtiyoj ham paydo bo'ldi va aynan o'shanda matematikaning rivojlanishiga poydevor qo'yildi.

Raqamlarning asosiy turlari

Oktavalardan farqli o'laroq, sedenionlar S muqobillik xususiyatiga ega emas, balki mulkni saqlab qoladi kuch assotsiativligi.

X musbat butun sonni kompyuter xotirasida aks ettirish uchun u ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkaziladi. Olingan ikkilik son x 2 mos keladigan o'nlik son x 10 ning mashina yozuvidir. Salbiy raqamlarni yozish uchun, deb atalmish. qo'shimcha kod ikkilik sanoq sistemasida berilgan manfiy son modulining teskari ko'rinishiga bitta qo'shish orqali olinadigan son.

Haqiqiy sonlarni kompyuter xotirasida tasvirlash (hisoblashda, ularni belgilash uchun suzuvchi nuqtali raqam atamasi qo'llaniladi) qo'llaniladigan sanoq tizimi bilan bog'liq ba'zi cheklovlarga, shuningdek raqamlar uchun ajratilgan xotiraning cheklangan hajmiga ega. Shunday qilib, haqiqiy sonlarning faqat ba'zilari kompyuter xotirasida yo'qotmasdan aniq ifodalanishi mumkin. Eng keng tarqalgan sxemada suzuvchi nuqtali raqam bitlar bloki sifatida yoziladi, ulardan ba'zilari mantis raqamlar, bir qismi daraja va bir bit sonning belgisini ifodalash uchun ajratilgan (agar kerak bo'lsa, belgi biti yo'q bo'lishi mumkin).