Standart og'ish qanday topiladi. Standart og'ish

Standart og'ish(sinonimlar: standart og'ish, standart og'ish, kvadrat og'ish; tegishli atamalar: standart og'ish, standart tarqalish) - ehtimollik nazariyasi va statistikada, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishiga nisbatan tarqalishining eng keng tarqalgan ko'rsatkichi. Qiymatlar namunalarining cheklangan massivlarida matematik kutish o'rniga namunalar to'plamining o'rtacha arifmetik qiymati qo'llaniladi.

Entsiklopedik YouTube

  • 1 / 5

    Standart og'ish o'lchov birliklarida o'lchanadi tasodifiy o'zgaruvchi va oʻrtacha arifmetikning standart xatosini hisoblashda, ishonch oraliqlarini qurishda, gipotezalarni statistik tekshirishda, tasodifiy miqdorlar orasidagi chiziqli munosabatni oʻlchashda qoʻllaniladi. Tasodifiy o'zgaruvchi dispersiyaning kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi.

    Standart og'ish:

    s = n n - 1 s 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n (x i - x ¯) 2 ;
    • (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\chap(x_(i)-(\bar (x))\o'ng)^(2)));)

    Eslatma: Ko'pincha MSD (Root Mean Square Deviation) va STD (standart og'ish) nomlarida ularning formulalari bilan nomuvofiqliklar mavjud. Masalan, Python dasturlash tilining numPy modulida std() funksiyasi “standart og‘ish” sifatida tasvirlangan, formula esa standart og‘ish (namuna ildiziga bo‘linish)ni aks ettiradi. Excelda STANDARDEVAL() funksiyasi boshqacha (n-1 ildiziga bo'linish). Standart og'ish (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash x uning dispersiyasini xolis baholashga asoslangan matematik kutishga nisbatan):

    s (\displaystyle s)

    s = 1 n ∑ i = 1 n (x i - x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\chap(x_(i)-(\bar (x))\o‘ng) ^(2))).) Qayerda s 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - - dispersiya; x i (\displaystyle x_(i)) i tanlovning th elementi;

    n (\displaystyle n)

    Shuni ta'kidlash kerakki, ikkala taxmin ham noxolis. Umumiy holda, xolis smeta tuzish mumkin emas. Biroq, xolis dispersiyani baholashga asoslangan smeta mos keladi.

    GOST R 8.736-2011 ga muvofiq standart og'ish ushbu bo'limning ikkinchi formulasi yordamida hisoblanadi. Iltimos, natijalarni tekshiring.

    Uch sigma qoidasi

    Uch sigma qoidasi (3 s (\displaystyle 3\sigma)) - normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining deyarli barcha qiymatlari intervalda yotadi (x ¯ − 3 s ; x ¯ + 3 s) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma;(\bar (x))+3\sigma \o‘ng)). Aniqroq aytganda - taxminan 0,9973 ehtimollik bilan, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati belgilangan oraliqda yotadi (agar qiymat x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) rost va namunani qayta ishlash natijasida olinmagan).

    Haqiqiy qiymat bo'lsa x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) noma'lum, keyin foydalanmaslik kerak s (\displaystyle \sigma), A s. Shunday qilib, uchta sigma qoidasi uchta qoidaga aylanadi s .

    Standart og'ish qiymatini talqin qilish

    Kattaroq standart og'ish qiymati taqdim etilgan to'plamdagi qiymatlarning to'plamning o'rtacha qiymati bilan ko'proq tarqalishini ko'rsatadi; kichikroq qiymat, mos ravishda, to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymat atrofida guruhlanganligini ko'rsatadi.

    Masalan, bizda uchta raqam to'plami mavjud: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) va (6, 6, 8, 8). Barcha uchta to'plamning o'rtacha qiymati 7 ga teng va standart og'ishlar mos ravishda 7, 5 va 1 ga teng. Oxirgi to'plam kichik standart og'ishlarga ega, chunki to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymat atrofida guruhlangan; birinchi to'plam eng ko'p katta qiymat standart og'ish - to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymatdan sezilarli darajada farq qiladi.

    Umumiy ma'noda standart og'ish noaniqlik o'lchovi deb hisoblanishi mumkin. Misol uchun, fizikada standart og'ish qandaydir miqdorning ketma-ket o'lchovlari xatosini aniqlash uchun ishlatiladi. Ushbu qiymat o'rganilayotgan hodisaning nazariya tomonidan bashorat qilingan qiymatga nisbatan ishonchliligini aniqlash uchun juda muhimdir: agar o'lchovlarning o'rtacha qiymati nazariya tomonidan bashorat qilingan qiymatlardan sezilarli darajada farq qilsa (katta standart og'ish), keyin olingan qiymatlarni yoki ularni olish usulini qayta tekshirish kerak. portfel xavfi bilan aniqlanadi.

    Iqlim

    Aytaylik, bir xil o'rtacha maksimal kunlik haroratga ega ikkita shahar bor, lekin biri qirg'oqda, ikkinchisi tekislikda joylashgan. Ma'lumki, qirg'oqda joylashgan shaharlarda kunduzgi harorat ko'p turli xil maksimal haroratga ega, ular quruqlikda joylashgan shaharlarga qaraganda pastroqdir. Shuning uchun, qirg'oq bo'yidagi shahar uchun maksimal sutkalik haroratning standart og'ishi, bu qiymatning o'rtacha qiymati bir xil bo'lishiga qaramay, ikkinchi shaharga qaraganda kamroq bo'ladi, bu amalda maksimal havo haroratining yuqori bo'lishi ehtimolini anglatadi. yilning istalgan kuni o'rtacha qiymatdan yuqori bo'ladi, ichki qismida joylashgan shahar uchun yuqoriroq bo'ladi.

    Sport

    Faraz qilaylik, bir nechta futbol jamoalari borki, ular ba'zi parametrlar to'plamiga ko'ra baholanadi, masalan, urilgan va o'tkazib yuborilgan gollar soni, gol urish imkoniyatlari va boshqalar. Bu guruhdagi eng yaxshi jamoa bo'lishi mumkin. eng yaxshi qadriyatlar ko'proq parametrlarga ko'ra. Taqdim etilgan parametrlarning har biri uchun jamoaning standart og'ishi qanchalik kichik bo'lsa, jamoaning natijasi shunchalik muvozanatli bo'ladi; Boshqa tomondan, standart og'ishi katta bo'lgan jamoani natijani oldindan aytish qiyin, bu esa o'z navbatida muvozanatning buzilishi bilan izohlanadi, masalan, kuchli himoya, ammo zaif hujum.

    Jamoa parametrlarining standart og'ishidan foydalanish u yoki bu darajada ikki jamoa o'rtasidagi o'yin natijasini taxmin qilish, jamoalarning kuchli va zaif tomonlarini, shuning uchun tanlangan kurash usullarini baholash imkonini beradi.

    Kutish va farq

    Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?

    Keling, zarlarni tashlaymiz katta raqam bir marta. Har bir otishda zarda paydo bo'ladigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha bo'lgan har qanday tabiiy qiymatni olishi mumkin. Barcha zarlar uchun hisoblangan tushgan ballarning o'rtacha arifmetik qiymati ham tasodifiy o'zgaruvchidir, lekin katta zar uchun N u juda aniq raqamga - matematik kutishga intiladi M x. Ushbu holatda M x = 3,5.

    Bu qiymatni qanday oldingiz? Ichkariga ruxsat bering N testlar, bir marta 1 ball, bir marta 2 ball va hokazo. Keyin Qachon N→ ∞ bitta nuqta o'tkazilgan natijalar soni, Xuddi shunday, shuning uchun

    Model 4.5. Zar

    Keling, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilamiz deb faraz qilaylik (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini bilamiz (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash qiymatlarni qabul qilishi mumkin (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1 , (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 2 , ..., x k ehtimolliklar bilan p 1 , p 2 , ..., p k.

    Kutish M x tasodifiy o'zgaruvchi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash teng:

    Javob. 2,8.

    Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha hisoblash uchun ish haqi Median kontseptsiyasidan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi, ya'ni maosh oladigan odamlarning soni medianadan pastroq va undan kattaroq biriga to'g'ri keladigan qiymat.

    Median tasodifiy o'zgaruvchiga raqam deyiladi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1/2 shunday p ((tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash < (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1/2) = 1/2.

    Boshqacha aytganda, ehtimollik p 1 tasodifiy o'zgaruvchi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash kichikroq bo'ladi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1/2 va ehtimollik p 2 tasodifiy o'zgaruvchi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash kattaroq bo'ladi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1/2 bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.

    Keling, tasodifiy o'zgaruvchiga qaytaylik (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash qiymatlarni qabul qilishi mumkin (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 1 , (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash 2 , ..., x k ehtimolliklar bilan p 1 , p 2 , ..., p k.

    Farqlanish tasodifiy o'zgaruvchi (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining o'rtacha qiymati deyiladi:

    2-misol

    Oldingi misol shartlariga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang (tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash.

    Javob. 0,16, 0,4.

    Model 4.6. Nishonga otish

    3-misol

    Birinchi otishda zarda paydo bo'ladigan ballar sonining ehtimollik taqsimotini, medianani, matematik kutilmani, dispersiyani va standart og'ishni toping.

    Har qanday chekka bir xil darajada tushib ketishi mumkin, shuning uchun taqsimot quyidagicha ko'rinadi:

    Standart og'ish Ko'rinib turibdiki, qiymatning o'rtacha qiymatdan og'ishi juda katta.

    Matematik kutishning xususiyatlari:

    • Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng:

    4-misol

    Ikki zarga tashlangan ballar yig‘indisi va ko‘paytmasining matematik kutilmasini toping.

    3-misolda biz buni bitta kub uchun topdik M ((tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash) = 3,5. Shunday qilib, ikkita kub uchun

    Dispersiya xususiyatlari:

    • Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng:

    Dx + y = Dx + Dy.

    ruxsat bering N o'ralgan zarlardagi rulolar y ball. Keyin

    Bu natija faqat zarlar uchun emas. Ko'p hollarda matematik kutishni empirik tarzda o'lchashning to'g'riligini aniqlaydi. Ko'rinib turibdiki, o'lchovlar sonining ortishi bilan N qiymatlarning o'rtacha, ya'ni standart og'ish atrofida tarqalishi mutanosib ravishda kamayadi

    Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ushbu tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi bilan quyidagi munosabat bilan bog'liq:

    Keling, bu tenglikning ikkala tomonining matematik kutilmalarini topamiz. Ta'rifiga ko'ra,

    Tenglikning o'ng tomonining matematik kutilishi, matematik kutishlarning xususiyatiga ko'ra, tengdir.

    Standart og'ish

    Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildiziga teng:
    O'rganilayotgan populyatsiyaning etarlicha katta hajmi uchun standart og'ishni aniqlashda (n > 30) quyidagi formulalar qo'llaniladi:

    Tegishli ma'lumotlar.


    Dispersiyaning kvadrat ildizi o'rtacha qiymatdan standart og'ish deb ataladi, u quyidagicha hisoblanadi:

    Standart og'ish formulasini elementar algebraik o'zgartirish uni quyidagi shaklga olib keladi:

    Ushbu formula ko'pincha hisoblash amaliyotida qulayroq bo'lib chiqadi.

    Standart og'ish, xuddi o'rtacha chiziqli og'ish kabi, xarakteristikaning o'ziga xos qiymatlari o'rtacha qiymatdan qanchalik og'ishini ko'rsatadi. Standart og'ish har doim o'rtacha chiziqli og'ishdan kattaroqdir. Ular orasida quyidagi munosabatlar mavjud:

    Ushbu nisbatni bilib, siz noma'lumni aniqlash uchun ma'lum ko'rsatkichlardan foydalanishingiz mumkin, masalan, lekin (I a ni hisoblang va aksincha. Standart og'ish xarakteristikaning o'zgaruvchanligining mutlaq hajmini o'lchaydi va xarakteristikaning qiymatlari (rubl, tonna, yil va boshqalar) bilan bir xil o'lchov birliklarida ifodalanadi. Bu o'zgaruvchanlikning mutlaq o'lchovidir.

    uchun muqobil belgilar, masalan, mavjudligi yoki yo'qligi oliy ma'lumot, sug'urta, dispersiya va standart og'ish formulalari quyidagicha:

    Universitet fakultetlaridan birida talabalarning yoshi bo'yicha taqsimlanishini tavsiflovchi diskret qator ma'lumotlari bo'yicha standart og'ishning hisobini ko'rsatamiz (6.2-jadval).

    6.2-jadval.

    Yordamchi hisob-kitoblar natijalari jadvalning 2-5 ustunlarida keltirilgan. 6.2.

    Talabaning o'rtacha yoshi, yillar, o'rtacha arifmetik formula bo'yicha aniqlanadi (2-ustun):

    Talabaning individual yoshining o'rtacha ko'rsatkichdan kvadratik og'ishlari 3-4-ustunlarda, kvadrat og'ishlarning ko'paytmalari va mos keladigan chastotalar 5-ustunda joylashgan.

    Biz (6.2) formuladan foydalanib, talabalarning yoshi, yillari dispersiyasini topamiz:

    Keyin o = l/3,43 1,85 *oda, ya'ni. Talaba yoshining har bir o'ziga xos qiymati o'rtacha ko'rsatkichdan 1,85 yilga og'adi.

    O'zgaruvchanlik koeffitsienti

    O'zining mutlaq qiymatida standart og'ish nafaqat xarakteristikaning o'zgarishi darajasiga, balki variantlarning mutlaq darajalariga va o'rtachaga bog'liq. Shuning uchun turli o'rtacha darajali variatsion qatorlarning standart og'ishlarini to'g'ridan-to'g'ri taqqoslash mumkin emas. Bunday taqqoslashni amalga oshirish uchun siz o'rtacha arifmetik og'ishning (chiziqli yoki kvadratik) foiz sifatida ifodalangan ulushini topishingiz kerak, ya'ni. hisoblash o'zgaruvchanlikning nisbiy ko'rsatkichlari.

    Chiziqli o'zgarish koeffitsienti formula bo'yicha hisoblanadi

    O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

    O'zgaruvchanlik koeffitsientlarida o'rganilayotgan xarakteristikaning turli o'lchov birliklari bilan bog'liq bo'lgan solishtirmaslik, balki arifmetik o'rtacha qiymatlarning farqi tufayli yuzaga keladigan taqqoslanmaslik ham yo'q qilinadi. Bundan tashqari, variatsion ko'rsatkichlar populyatsiyaning bir xilligini tavsiflaydi. Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan oshmasa, populyatsiya bir hil deb hisoblanadi.

    Jadvalga ko'ra. 6.2 va yuqorida olingan hisoblash natijalari, biz (6.3) formula bo'yicha o'zgarish koeffitsientini,% ni aniqlaymiz:

    Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan oshsa, bu o'rganilayotgan populyatsiyaning heterojenligini ko'rsatadi. Bizning holatimizda olingan qiymat o'quvchilarning yoshi bo'yicha populyatsiyasi tarkibida bir hil ekanligini ko'rsatadi. Shunday qilib, muhim funksiya o'zgaruvchanlikning umumlashtiruvchi ko'rsatkichlari - o'rtacha ko'rsatkichlarning ishonchliligini baholash. Kamroq c1, a2 va V, paydo bo'lgan hodisalar to'plami qanchalik bir hil bo'lsa va natijada olingan o'rtacha ko'rsatkich shunchalik ishonchli bo'ladi. Matematik statistika tomonidan ko'rib chiqilgan "uch sigma qoidasi" ga ko'ra, normal taqsimlangan yoki ularga yaqin qatorlarda o'rtacha arifmetikdan ±3 dan oshmaydigan og'ishlar 1000 ta holatdan 997 tasida sodir bo'ladi. Shunday qilib, bilish X va a, siz variatsiyalar seriyasi haqida umumiy boshlang'ich tasavvurga ega bo'lishingiz mumkin. Agar, masalan, kompaniyadagi xodimning o'rtacha ish haqi 25 000 rubl bo'lsa va a 100 rublga teng bo'lsa, unda aniqlikka yaqin bo'lgan holda, kompaniya xodimlarining ish haqi (25 000) diapazonda o'zgarib turadi, deb aytishimiz mumkin. ± ± 3 x 100) ya'ni. 24 700 dan 25 300 rublgacha.

    Asosiy vositalardan biri statistik tahlil o'rtachani hisoblash hisoblanadi kvadrat og'ish. Bu ko'rsatkich namuna uchun yoki uchun standart og'ish taxmin qilish imkonini beradi aholi. Keling, ta'rif formulasidan qanday foydalanishni bilib olaylik standart og'ish Excelda.

    Keling, darhol standart og'ish nima ekanligini va uning formulasi qanday ko'rinishini aniqlaylik. Bu qiymat o'rtachaning kvadrat ildizidir arifmetik raqam qatorning barcha qiymatlari va ularning arifmetik o'rtachasi o'rtasidagi farqning kvadratlari. Ushbu ko'rsatkich uchun bir xil nom mavjud - standart og'ish. Ikkala nom ham mutlaqo ekvivalentdir.

    Lekin, tabiiyki, Excelda foydalanuvchi buni hisoblashi shart emas, chunki dastur u uchun hamma narsani qiladi. Keling, Excelda standart og'ishlarni qanday hisoblashni bilib olaylik.

    Excelda hisoblash

    Belgilangan qiymatni Excelda ikkita maxsus funktsiyadan foydalanib hisoblashingiz mumkin STDEV.V(Muallif namuna populyatsiyasi) Va STDEV.G(umumiy aholi soniga qarab). Ularning ishlash printsipi mutlaqo bir xil, ammo ularni uchta usulda chaqirish mumkin, biz quyida muhokama qilamiz.

    1-usul: Funktsiya ustasi


    2-usul: Formulalar yorlig'i


    3-usul: Formulani qo'lda kiritish

    Argumentlar oynasiga umuman qo'ng'iroq qilishingiz shart bo'lmaydigan usul ham mavjud. Buning uchun formulani qo'lda kiritishingiz kerak.


    Ko'rib turganingizdek, Excelda standart og'ishlarni hisoblash mexanizmi juda oddiy. Foydalanuvchi faqat populyatsiyadan raqamlarni yoki ularni o'z ichiga olgan hujayralarga havolalarni kiritishi kerak. Barcha hisob-kitoblar dasturning o'zi tomonidan amalga oshiriladi. Hisoblangan ko'rsatkich nima ekanligini va hisoblash natijalarini amalda qanday qo'llash mumkinligini tushunish ancha qiyin. Ammo buni tushunish dasturiy ta'minot bilan ishlashni o'rganishdan ko'ra ko'proq statistika sohasiga tegishli.

    Agregatdagi belgining o'zgaruvchanlik hajmining umumlashtiruvchi xarakteristikasi sifatida aniqlanadi. Bu atributning individual qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan o'rtacha kvadrat og'ishining kvadrat ildiziga teng, ya'ni. va ildizini quyidagicha topish mumkin:

    1. Asosiy qator uchun:

    2. Variatsion qatorlar uchun:

    Standart og'ish formulasini o'zgartirish uni amaliy hisoblar uchun qulayroq shaklga keltiradi:

    Standart og'ish o'rtacha aniq variantlarning o'rtacha qiymatidan qanchalik og'ishini aniqlaydi, shuningdek, xarakteristikaning o'zgaruvchanligining mutlaq o'lchovidir va variantlar bilan bir xil birliklarda ifodalanadi va shuning uchun yaxshi talqin qilinadi.

    Standart og'ishlarni topishga misollar: ,

    Muqobil xarakteristikalar uchun standart og'ish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

    bu erda p - ma'lum bir xususiyatga ega bo'lgan populyatsiyadagi birliklarning nisbati;

    q - bu xususiyatga ega bo'lmagan birliklar nisbati.

    O'rtacha chiziqli og'ish tushunchasi

    O'rtacha chiziqli og'ish dan individual variantlar og'ishlarining mutlaq qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati sifatida aniqlanadi.

    1. Asosiy qator uchun:

    2. Variatsion qatorlar uchun:

    n yig'indisi qaerda variatsion qator chastotalar yig'indisi.

    O'rtacha chiziqli og'ishni topishga misol:

    O'zgaruvchanlik oralig'ida dispersiya o'lchovi sifatida o'rtacha mutlaq og'ishning afzalligi aniq, chunki bu o'lchov barcha mumkin bo'lgan og'ishlarni hisobga olishga asoslangan. Ammo bu ko'rsatkich sezilarli kamchiliklarga ega. Algebraik og'ish belgilarini o'zboshimchalik bilan rad etish ushbu ko'rsatkichning matematik xususiyatlari elementar emasligiga olib kelishi mumkin. Bu ehtimollik hisob-kitoblari bilan bog'liq masalalarni yechishda o'rtacha mutlaq chetlanishdan foydalanishni juda qiyinlashtiradi.

    Shuning uchun xarakteristikaning o'zgarishining o'lchovi sifatida o'rtacha chiziqli og'ish statistik amaliyotda kamdan-kam qo'llaniladi, ya'ni belgilarni hisobga olmasdan ko'rsatkichlarni umumlashtirishda iqtisodiy ma'noga ega. Uning yordami bilan, masalan, tashqi savdo aylanmasi, ishchilar tarkibi, ishlab chiqarish ritmi va boshqalar tahlil qilinadi.

    O'rtacha kvadrat

    O'rtacha kvadrat qo'llaniladi, masalan, n kvadrat bo'limning yon tomonlarining o'rtacha hajmini hisoblash uchun magistrallarning o'rtacha diametrlari, quvurlar va boshqalar ikki turga bo'linadi.

    Oddiy o'rtacha kvadrat. Agar xarakteristikaning individual qiymatlari bilan almashtirilganda o'rtacha qiymat Agar dastlabki qiymatlarning kvadratlari yig'indisini doimiy ravishda saqlash kerak bo'lsa, o'rtacha kvadratik o'rtacha qiymat bo'ladi.

    U kvadrat ildiz xarakteristikaning individual qiymatlari kvadratlari yig'indisini ularning soniga bo'lish qismidan:

    O'rtacha og'irlikdagi kvadrat quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

    Bu erda f - og'irlik belgisi.

    O'rtacha kub

    O'rtacha kub qo'llaniladi, masalan, tomon va kublarning o'rtacha uzunligini aniqlashda. U ikki turga bo'linadi.
    O'rtacha kubik oddiy:

    O'rtacha va dispersiyalarni hisoblashda intervalli qatorlar taqsimotda xarakteristikaning haqiqiy qiymatlari o'rtacha qiymatdan farq qiladigan oraliqlarning markaziy qiymatlari bilan almashtiriladi. arifmetik qiymatlar intervalga kiritilgan. Bu dispersiyani hisoblashda tizimli xatolikka olib keladi. V.F. Sheppard buni aniqladi dispersiyani hisoblashda xatolik, guruhlangan ma'lumotlardan foydalanish natijasida yuzaga kelgan, dispersiyaning yuqoriga va pastga yo'nalishidagi interval kvadratining 1/12 qismini tashkil qiladi.

    Sheppard tuzatish agar taqsimot me'yorga yaqin bo'lsa, o'zgaruvchanlikning uzluksiz xususiyatiga ega bo'lgan xususiyatga taalluqli bo'lsa va dastlabki ma'lumotlarning sezilarli miqdoriga (n > 500) asoslangan bo'lsa, foydalanish kerak. Biroq, ba'zi hollarda turli yo'nalishlarda harakat qiladigan ikkala xato ham bir-birini to'ldirishiga asoslanib, ba'zida tuzatish kiritishdan bosh tortish mumkin.

    Qanaqasiga kamroq qiymat dispersiya va standart og'ish, populyatsiya qanchalik bir hil bo'lsa va o'rtacha ko'rsatkich shunchalik tipik bo'ladi.
    Statistik amaliyotda ko'pincha turli xil xususiyatlarning o'zgarishini solishtirishga ehtiyoj paydo bo'ladi. Masalan, katta qiziqish ishchilarning yoshi va ularning malakasi, ish staji va ish haqi, tannarx va foyda, xizmat muddati va mehnat unumdorligi va boshqalardagi o'zgarishlarni taqqoslashni taqdim etadi. Bunday taqqoslash uchun xususiyatlarning mutlaq o'zgaruvchanligi ko'rsatkichlari mos kelmaydi: yillar bilan ifodalangan ish tajribasining o'zgaruvchanligini rublda ko'rsatilgan ish haqining o'zgarishi bilan solishtirish mumkin emas.

    Bunday taqqoslashlarni, shuningdek, bir xil xarakteristikaning o'zgaruvchanligini turli arifmetik o'rtacha ko'rsatkichlarga ega bo'lgan bir nechta populyatsiyalarda solishtirish uchun o'zgaruvchanlikning nisbiy ko'rsatkichi - o'zgaruvchanlik koeffitsienti qo'llaniladi.

    Strukturaviy o'rtacha ko'rsatkichlar

    Statistik taqsimotlardagi markaziy tendentsiyani tavsiflash uchun ko'pincha o'rtacha arifmetik bilan birgalikda X xarakteristikasining ma'lum bir qiymatidan foydalanish oqilona bo'ladi, bu uning taqsimot qatoridagi joylashuvining ma'lum xususiyatlari tufayli uning darajasini tavsiflashi mumkin.

    Bu, ayniqsa, taqsimot seriyasida xarakteristikaning ekstremal qiymatlari aniq chegaralarga ega bo'lganda juda muhimdir. Shu munosabat bilan o'rtacha arifmetikni aniq aniqlash odatda imkonsiz yoki juda qiyin. Bunday hollarda o'rta daraja masalan, chastotali qatorning o'rtasida joylashgan yoki joriy seriyada eng ko'p uchraydigan xususiyat qiymatini olish orqali aniqlanishi mumkin.

    Bunday qiymatlar faqat chastotalarning tabiatiga, ya'ni taqsimot tuzilishiga bog'liq. Ular bir qator chastotalarda joylashishiga xosdir, shuning uchun bunday qiymatlar tarqalish markazining xarakteristikasi sifatida qaraladi va shuning uchun tizimli o'rtachalarning ta'rifini oldi. Ular o'qish uchun ishlatiladi ichki tuzilishi atribut qiymatlarining taqsimot qatori tuzilishi. Bunday ko'rsatkichlarga quyidagilar kiradi: