Dunyoda Fermaning so'nggi teoremasi haqida hech qachon eshitmagan odamlar ko'p emas - ehtimol bu yagona matematik muammo, bu juda keng ma'lum bo'ldi va haqiqiy afsonaga aylandi. Bu ko'plab kitoblar va filmlarda tilga olinadi va deyarli barcha eslatmalarning asosiy konteksti teoremani isbotlashning mumkin emasligidir.
Ha, bu teorema juda yaxshi ma'lum va qaysidir ma'noda havaskor va professional matematiklar sig'inadigan "but"ga aylandi, ammo uning isboti topilganini kam odam biladi va bu 1995 yilda sodir bo'lgan. Lekin birinchi narsa.
Shunday qilib, Buyuk teorema 1637 yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Ferma (ko'pincha Fermaning so'nggi teoremasi deb ataladi) tabiatan juda sodda va o'rta ma'lumotli har bir kishi uchun tushunarli. Unda aytilishicha, a formulasi n + b ning n = c ning n kuchiga tengligi n > 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr emas) yechimlarga ega emas. Hamma narsa oddiy va tushunarli ko‘rinadi, lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash bilan kurashdilar.
Nega u shunchalik mashhur? Endi bilib olamiz...
Ko'p isbotlangan, isbotlanmagan va hali isbotlanmagan teoremalar bormi? Bu erda gap shundaki, Fermaning oxirgi teoremasi formulaning soddaligi va isbotning murakkabligi o'rtasidagi eng katta kontrastni ifodalaydi. Fermaning so'nggi teoremasi nihoyatda qiyin vazifadir, ammo uning formulasini 5-sinf darajasiga ega bo'lgan har bir kishi tushunishi mumkin. o'rta maktab, lekin isbot hatto har bir professional matematik uchun ham emas. Na fizikada, na kimyoda, na biologiyada, na matematikada bunchalik sodda tarzda shakllantirilishi mumkin bo'lgan, ammo uzoq vaqt davomida hal qilinmagan bitta muammo yo'q. 2. U nimadan iborat?
Keling, Pifagor shimlaridan boshlaylik, so'z juda oddiy - birinchi qarashda. Bolaligimizdan bilganimizdek, "Pifagor shimlari har tomondan tengdir". Muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hamma biladigan matematik bayonotga asoslangan edi - Pifagor teoremasi: har qanday holatda to'g'ri uchburchak gipotenuzaga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng.
Miloddan avvalgi V asrda. Pifagorlar Pifagor birodarligiga asos solgan. Pifagorchilar, boshqa narsalar qatorida, x²+y²=z² tengligini qanoatlantiradigan butun sonli uchliklarni oʻrgandilar. Ular cheksiz ko'p Pifagor uchliklari borligini isbotladilar va olingan umumiy formulalar ularni topish uchun. Ular, ehtimol, uchta yoki undan ko'proq narsani qidirishga harakat qilishdi yuqori darajalar. Bu ish bermasligiga ishonch hosil qilgan Pifagorchilar o'zlarining foydasiz urinishlaridan voz kechdilar. Birodarlik a'zolari matematiklardan ko'ra ko'proq faylasuf va estetika edi.
Ya'ni, x²+y²=z² tengligini to'liq qondiradigan raqamlar to'plamini tanlash oson.
3, 4, 5 dan boshlab - haqiqatan ham, kichik o'quvchi 9 + 16 = 25 ekanligini tushunadi.
Yoki 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ajoyib.
Shunday qilib, ular YO'Q ekan. Aynan shu erdan boshlanadi. Oddiylik ko'rinadi, chunki biror narsaning mavjudligini emas, aksincha, uning yo'qligini isbotlash qiyin. Yechim borligini isbotlashingiz kerak bo'lganda, siz ushbu yechimni shunchaki taqdim etishingiz mumkin va kerak.
Yo'qlikni isbotlash qiyinroq: masalan, kimdir aytadi: falon tenglamaning echimi yo'q. Uni ko'lmakka qo'yingmi? oson: bam - va bu erda, yechim! (yechim bering). Va bu, raqib mag'lub bo'ldi. Yo'qligini qanday isbotlash mumkin?
Ayting: "Men bunday echimlarni topmadim"? Yoki siz yaxshi ko'rmagandirsiz? Agar ular mavjud bo'lsa-chi, lekin ular juda katta, juda katta, hatto o'ta kuchli kompyuter ham hali etarli kuchga ega emasmi? Bu qiyin narsa.
Buni vizual tarzda quyidagicha ko'rsatish mumkin: agar siz mos o'lchamdagi ikkita kvadratni olib, ularni birlik kvadratlarga ajratsangiz, bu birlik kvadratlar to'plamidan uchinchi kvadratni olasiz (2-rasm): 
Ammo uchinchi o'lchov bilan ham xuddi shunday qilaylik (3-rasm) - bu ishlamaydi. Kublar yetarli emas yoki qo'shimchalari qolgan:
Ammo 17-asrning matematigi fransuz Per de Ferma ishtiyoq bilan tadqiq qildi umumiy tenglama x n +y n =z n. Va nihoyat, men shunday xulosaga keldim: n>2 uchun butun sonli echimlar yo'q. Fermatning isboti qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qolgan. Qo'lyozmalar yonmoqda! Uning Diofantning “Arifmetika” asarida aytgan gapi qolgan: “Men bu taklifning chindan ham hayratlanarli isbotini topdim, lekin bu yerdagi chegaralar uni o‘z ichiga olish uchun juda tor”.
Aslida isbotsiz teorema gipoteza deyiladi. Ammo Fermat hech qachon xato qilmasligi bilan mashhur. Agar u bayonotga dalil qoldirmagan bo'lsa ham, keyinchalik bu tasdiqlandi. Bundan tashqari, Fermat o'z dissertatsiyasini n = 4 uchun isbotladi. Shunday qilib, frantsuz matematigining gipotezasi Fermaning oxirgi teoremasi sifatida tarixga kirdi.
Fermatdan keyin Leonhard Eyler kabi buyuk aqllar dalil izlash ustida ishladilar (1770 yilda u n = 3 uchun yechim taklif qildi),
Adrien Legendre va Iogann Dirichlet (bu olimlar birgalikda 1825 yilda n = 5 isbotini topdilar), Gabriel Lame (n = 7 uchun dalil topdilar) va boshqalar. 1980-yillarning o'rtalariga kelib, bu aniq bo'ldi ilmiy dunyo Fermaning so'nggi teoremasining yakuniy yechimi yo'lida, biroq matematiklar Fermaning oxirgi teoremasining isbotini izlash bo'yicha uch asrlik doston amalda tugaganini faqat 1993 yilda ko'rishdi va ishonishdi.
Ferma teoremasini faqat oddiy n uchun isbotlash kifoya ekanligini ko'rsatish oson: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Kompozit n uchun isbot o'z kuchida qoladi. Lekin tub sonlar cheksiz ko'p...
1825 yilda Sofi Jermen usulidan foydalanib, ayol matematiklar, Dirixlet va Legendre mustaqil ravishda n=5 teoremasini isbotladilar. 1839 yilda xuddi shu usuldan foydalanib, frantsuz Gabriel Lame n=7 uchun teoremaning haqiqatini ko'rsatdi. Asta-sekin teorema yuzdan kam bo'lgan deyarli hamma n uchun isbotlandi.
Nihoyat, nemis matematigi Ernst Kummer ajoyib tadqiqotida 19-asr matematikasi usullaridan foydalangan holda, teoremani ko'rsatdi. umumiy ko'rinish isbotlab bo'lmaydi. 1847 yilda Ferma teoremasini isbotlagani uchun Fransiya Fanlar akademiyasining mukofoti berilmagan.
1907 yilda boy nemis sanoatchisi Pol Volfskehl javobsiz sevgi tufayli o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Haqiqiy nemis kabi, u o'z joniga qasd qilish sanasi va vaqtini belgiladi: aynan yarim tunda. Oxirgi kuni u vasiyat qildi va do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi. Ishlar yarim tungacha tugadi. Aytish kerakki, Pavlus matematikaga qiziqardi. Boshqa qiladigan ishi bo‘lmagani uchun kutubxonaga borib, Kummerning mashhur maqolasini o‘qiy boshladi. Birdan unga Kummer fikr yuritishda xato qilgandek tuyuldi. Volfskel qo'lidagi qalam bilan maqolaning ushbu qismini tahlil qila boshladi. Yarim tun o'tdi, tong keldi. Dalildagi bo'shliq to'ldirildi. Va o'z joniga qasd qilishning sababi endi mutlaqo kulgili ko'rinardi. Pavlus vidolashuv maktublarini yirtib tashladi va vasiyatini qayta yozdi.
Tez orada u tabiiy sabablarga ko'ra vafot etdi. Merosxo'rlar juda hayron bo'lishdi: qirollik hisobiga 100 000 marka (1 000 000 dan ortiq funt sterling) o'tkazildi. ilmiy jamiyat O'sha yili Volfskehl mukofoti uchun tanlov e'lon qilgan Gettingen. Ferma teoremasini isbotlagan kishiga 100 000 ball berildi. Teoremani rad etganlik uchun bir pfennig mukofotlanmadi...
Aksariyat professional matematiklar Fermaning so'nggi teoremasining isbotini izlashni umidsiz urinish deb bilishgan va bunday foydasiz mashg'ulotga vaqt sarflashni qat'iyan rad etishgan. Ammo havaskorlar hayajonlanishdi. E'lon qilinganidan bir necha hafta o'tgach, Gettingen universitetiga "dalillar" ko'chkisi tushdi. Yuborilgan dalillarni tahlil qilish mas'uliyati bo'lgan professor E.M.Landau o'z talabalariga kartalarni tarqatdi:
Azizim. . . . . . . .
Fermatning so'nggi teoremasining isboti bilan qo'lyozmani yuborganingiz uchun tashakkur. Birinchi xato sahifada ... qatorda... . Shu sababli, butun dalil o'z kuchini yo'qotadi.
Professor E. M. Landau
1963 yilda Pol Koen Gödel topilmalariga tayanib, Gilbertning yigirma uchta muammosidan biri - kontinuum gipotezasini yechish mumkin emasligini isbotladi. Fermaning so'nggi teoremasi ham hal bo'lmasa-chi?! Lekin haqiqiy Buyuk Teorema aqidaparastlari umuman hafsalasi pir bo'lmadi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi to'satdan matematiklarga yangi isbotlash usulini berdi. Ikkinchi jahon urushidan keyin dasturchilar va matematiklar jamoalari Fermatning so'nggi teoremasini n ning 500 gacha, keyin 1000 gacha va keyinroq 10000 gacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun isbotladilar.
1980-yillarda Samuel Vagstaff chegarani 25 000 ga ko'tardi va 1990-yillarda matematiklar Fermatning oxirgi teoremasi n ning 4 milliongacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini e'lon qilishdi. Ammo cheksizlikdan trillion trillionni ham olib tashlasangiz, u kichik bo'lib qolmaydi. Matematiklar statistik ma'lumotlarga ishonmaydilar. Buyuk teoremani isbotlash, uni HAMMA n cheksizlikka qadar isbotlashni anglatardi.
1954 yilda ikkita yosh yapon matematik do'stlari modulli shakllarni tadqiq qilishni boshladilar. Bu shakllar raqamlar qatorini hosil qiladi, ularning har biri o'z seriyasiga ega. Tasodifan, Taniyama bu qatorlarni elliptik tenglamalar bilan hosil qilingan qatorlar bilan taqqosladi. Ular mos kelishdi! Ammo modulli shakllar geometrik ob'ektlar, elliptik tenglamalar esa algebraikdir. Bunday turli xil ob'ektlar o'rtasida hech qanday aloqa topilmagan.
Biroq, sinchkovlik bilan tekshirilgandan so'ng, do'stlar gipotezani ilgari surdilar: har bir elliptik tenglama egizak - modulli shaklga ega va aksincha. Aynan shu gipoteza matematikada butun bir yo‘nalishning asosiga aylandi, biroq Taniyama-Shimura gipotezasi isbotlanmaguncha, butun bino istalgan vaqtda qulashi mumkin edi.
1984 yilda Gerxard Frey Ferma tenglamasining yechimi, agar u mavjud boʻlsa, qandaydir elliptik tenglamaga kiritilishi mumkinligini koʻrsatdi. Ikki yil o'tgach, professor Ken Ribet bu faraziy tenglamaning modulli dunyoda o'xshashi bo'lmasligini isbotladi. Bundan buyon Fermaning so'nggi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi bilan uzviy bog'liq edi. Har qanday elliptik egri chiziq modulli ekanligini isbotlab, Ferma tenglamasining yechimi bilan elliptik tenglama yo'q degan xulosaga keldik va Fermaning oxirgi teoremasi darhol isbotlangan bo'ladi. Ammo o'ttiz yil davomida Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashning iloji bo'lmadi va muvaffaqiyatga umid kamroq edi.
1963 yilda, u endigina o'n yoshda bo'lganida, Endryu Uayls allaqachon matematikaga qiziqib qolgan edi. U Buyuk Teorema haqida bilib, undan voz kecholmasligini tushundi. U maktab o‘quvchisi, talaba va aspirant sifatida o‘zini bu ishga tayyorlagan.
Ken Ribetning topilmalarini bilib, Uayls Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashga shoshildi. U to'liq izolyatsiya va maxfiylikda ishlashga qaror qildi. "Men tushundimki, Fermaning oxirgi teoremasi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa ham katta qiziqish... Juda ko'p tomoshabinlar maqsadga erishishga ataylab xalaqit beradi." Etti yillik mashaqqatli mehnat o'z samarasini berdi, Uayls nihoyat Taniyama-Shimura taxminini isbotlashni yakunladi.
1993 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls butun dunyoga Fermaning oxirgi teoremasining isbotini taqdim etdi (Uils Kembrijdagi ser Isaak Nyuton institutida bo'lib o'tgan konferentsiyada o'zining shov-shuvli maqolasini o'qidi.), uning ustida ish etti yildan ortiq davom etdi.
Matbuotda shov-shuv davom etar ekan, dalillarni tekshirish uchun jiddiy ish boshlandi. Dalillarni qat'iy va aniq deb hisoblashdan oldin har bir dalil diqqat bilan tekshirilishi kerak. Uayls yozni notinch yozni sharhlovchilarning fikr-mulohazalarini kutib, ularning roziligini olishiga umid qilib o'tkazdi. Avgust oyi oxirida ekspertlar hukmni yetarlicha asoslanmagan deb topishdi.
Ma'lum bo'lishicha, bu qarorda qo'pol xato bor, garchi bu umuman to'g'ri. Uayls taslim bo'lmadi, raqamlar nazariyasi bo'yicha taniqli mutaxassis Richard Teylorning yordamiga murojaat qildi va 1994 yilda ular teoremaning to'g'rilangan va kengaytirilgan isbotini nashr etishdi. Eng hayratlanarlisi shundaki, bu ish Annals of Mathematics matematik jurnalida 130 (!) sahifani egallagan. Ammo voqea shu bilan ham tugamadi - yakuniy nuqtaga faqat keyingi yilda, 1995 yilda, matematik nuqtai nazardan, yakuniy va "ideal" isbot versiyasi e'lon qilinganida erishildi.
"...tug'ilgan kuni munosabati bilan bayramona kechki ovqat boshlanganidan yarim daqiqa o'tgach, men Nadiyaga to'liq dalilning qo'lyozmasini sovg'a qildim" (Endryu Uels). Men hali matematiklarni g'alati odamlar deb aytmadimmi?
Bu safar dalillarga shubha yo'q edi. Ikki maqola eng sinchkovlik bilan tahlil qilindi va 1995 yil may oyida Matematika yilnomalarida chop etildi.
O'sha paytdan beri ko'p vaqt o'tdi, ammo jamiyatda hali ham Fermatning so'nggi teoremasi echilishi mumkin emas degan fikr mavjud. Ammo topilgan dalillarni biladiganlar ham bu yo'nalishda ishlashni davom ettirmoqdalar - Buyuk teorema 130 sahifali yechimni talab qilishidan juda ozchilik qoniqadi!
Shuning uchun, endi ko'plab matematiklarning (asosan havaskorlar emas, balki professional olimlar) sa'y-harakatlari oddiy va ixcham isbot izlashga sarflanadi, ammo bu yo'l, ehtimol, hech qayoqqa olib kelmaydi...
manba
Yechilmaydigan masalalar 7 ta qiziqarli matematik muammodir. Ularning har biri bir vaqtning o'zida mashhur olimlar tomonidan taklif qilingan, odatda farazlar shaklida. Ko'p o'n yillar davomida butun dunyodagi matematiklar ularni hal qilish uchun o'z miyalarini sindirishmoqda. Muvaffaqiyatga erishganlar Clay Institute tomonidan taklif qilingan bir million AQSh dollari miqdorida mukofot oladilar.
Kley instituti
Bosh qarorgohi Massachusets shtatining Kembrij shahrida joylashgan xususiy notijorat tashkilotiga shunday nom berilgan. U 1998 yilda Garvard matematiki A. Jaffi va biznesmen L. Kley tomonidan asos solingan. Institutning maqsadi matematik bilimlarni ommalashtirish va rivojlantirishdir. Bunga erishish uchun tashkilot olimlar va istiqbolli tadqiqot homiylarini mukofotlaydi.
21-asrning boshlarida Kley matematika instituti eng qiyin yechilmaydigan masalalar bo'lgan muammolarni hal qilganlarga mukofot taklif qildi va o'z ro'yxatini Mingyillik mukofoti muammolari deb nomladi. Hilbert ro'yxatidan unga faqat Riemann gipotezasi kiritilgan.
Mingyillik muammolari
Clay Institute ro'yxati dastlab quyidagilarni o'z ichiga olgan:
- Xodj sikli gipotezasi;
- Yang-Mills kvant nazariyasi tenglamalari;
- Puankare taxmini;
- P va NP sinflarining tengligi muammosi;
- Rieman gipotezasi;
- uning yechimlarining mavjudligi va silliqligi haqida;
- Birch-Svinnerton-Dyer muammosi.
Ushbu ochiq matematik muammolar katta qiziqish uyg'otadi, chunki ular ko'plab amaliy dasturlarga ega bo'lishi mumkin.
Grigoriy Perelman nimani isbotladi
1900 yilda taniqli faylasuf Anri Puankare har bir oddiy bog'langan ixcham 3 o'lchovli kollektor chegarasiz 3 o'lchovli sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. Umumiy holatda uning isboti bir asr davomida topilmadi. Faqat 2002-2003 yillarda peterburglik matematik G. Perelman Puankare muammosini hal qiluvchi bir qancha maqolalar chop etdi. Ular bomba portlash effektini yaratdilar. 2010 yilda Puankare gipotezasi Kley institutining "Yechilmagan muammolari" ro'yxatidan chiqarib tashlandi va Perelmanning o'zi unga tegishli bo'lgan katta mukofotni olishni taklif qildi, ikkinchisi esa o'z qarorining sabablarini tushuntirmasdan rad etdi.
Rus matematigi nimani isbotlay olganini eng tushunarli tushuntirish, ular kauchuk diskni donut (torus) ustiga cho'zishlarini tasavvur qilish orqali berilishi mumkin, so'ngra uning aylanasining chetlarini bir nuqtaga tortib olishga harakat qilishadi. Bu mumkin emasligi aniq. Agar siz bu tajribani to'p bilan o'tkazsangiz, bu boshqa masala. Bunday holda, atrofi gipotetik shnur bilan bir nuqtaga tortilgan diskdan hosil bo'lgan uch o'lchamli shar oddiy odamning tushunishida uch o'lchovli bo'lib tuyuladi, lekin ikki o'lchovli bo'ladi. matematika nuqtai nazari.
Puankare uch o'lchamli shar sirti bir nuqtaga qisqarishi mumkin bo'lgan yagona uch o'lchamli "ob'ekt" ekanligini aytdi va Perelman buni isbotlay oldi. Shunday qilib, bugungi kunda "Yechilishi mumkin bo'lmagan muammolar" ro'yxati 6 ta muammodan iborat.
Yang-Mills nazariyasi
Ushbu matematik muammo uning mualliflari tomonidan 1954 yilda taklif qilingan. Nazariyaning ilmiy formulasi quyidagicha: har qanday oddiy ixcham o'lchov guruhi uchun Yang va Mills tomonidan yaratilgan kvant fazoviy nazariya mavjud va ayni paytda nol massa nuqsoniga ega.
Oddiy odam tushunadigan tilda gapirish, o'zaro ta'sirlar tabiiy ob'ektlar(zarralar, jismlar, to'lqinlar va boshqalar) 4 turga bo'linadi: elektromagnit, tortishish, kuchsiz va kuchli. Ko'p yillar davomida fiziklar yaratishga harakat qilmoqdalar umumiy nazariya dalalar. Bu barcha o'zaro ta'sirlarni tushuntirish uchun vositaga aylanishi kerak. Yang-Mills nazariyasi - bu matematik til bo'lib, uning yordamida tabiatning 4 ta asosiy kuchidan 3 tasini tasvirlash mumkin bo'ldi. Bu tortishish kuchiga taalluqli emas. Shuning uchun, Yang va Mills maydon nazariyasini yaratishda muvaffaqiyat qozongan deb hisoblash mumkin emas.
Bundan tashqari, taklif etilayotgan tenglamalarning nochiziqliligi ularni echishni juda qiyinlashtiradi. Kichkina bog'lanish konstantalari uchun ular taxminan buzilish nazariyasi qatori shaklida echilishi mumkin. Biroq, bu tenglamalarni kuchli ulanish ostida qanday hal qilish mumkinligi hali aniq emas.
Navier-Stoks tenglamalari
Bu iboralar havo oqimlari, suyuqlik oqimi va turbulentlik kabi jarayonlarni tavsiflaydi. Ba'zi maxsus holatlar uchun Navier-Stokes tenglamasining analitik echimlari allaqachon topilgan, ammo umumiy holat uchun buni hali hech kim bajara olmadi. Shu bilan birga, tezlik, zichlik, bosim, vaqt va boshqalarning aniq qiymatlari uchun raqamli modellashtirish ajoyib natijalarga erishishga imkon beradi. Biz faqat kimdir Navier-Stokes tenglamalarini teskari yo'nalishda qo'llashi, ya'ni ular yordamida parametrlarni hisoblashi yoki yechim usuli yo'qligini isbotlashi mumkinligiga umid qilishimiz mumkin.
Birch-Svinnerton-Dyer muammosi
“Yechilmagan muammolar” turkumiga Kembrij universitetining ingliz olimlari tomonidan taklif qilingan gipoteza ham kiradi. Hatto 2300 yil oldin qadimgi yunon olimi Evklid bergan to'liq tavsif x2 + y2 = z2 tenglamaning yechimlari.
Agar har bir tub son uchun egri chiziqdagi nuqtalar sonini modul bo‘yicha hisoblasak, cheksiz butun sonlar to‘plamini olamiz. Agar siz uni kompleks oʻzgaruvchining 1 funksiyasiga maxsus “yopishtirsangiz”, u holda siz L harfi bilan belgilangan uchinchi tartibli egri chiziq uchun Hasse-Vayl zeta funksiyasini olasiz. Unda bir vaqtning oʻzida barcha tub sonlarning modul harakati haqida maʼlumotlar mavjud. .
Brayan Birch va Piter Svinnerton-Dyer elliptik egri chiziqlar haqidagi farazni taklif qildilar. Unga ko'ra, uning ratsional yechimlari to'plamining tuzilishi va miqdori L-funksiyaning birlikdagi xatti-harakati bilan bog'liq. Hozirda isbotlanmagan Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi 3-darajali algebraik tenglamalarning tavsifiga bog'liq va elliptik egri chiziqlar darajasini hisoblashning nisbatan oddiy umumiy usuli hisoblanadi.
Ushbu muammoning amaliy ahamiyatini tushunish uchun zamonaviy elliptik egri kriptografiyada assimetrik tizimlarning butun klassi va mahalliy raqamli imzo standartlari ulardan foydalanishga asoslanganligini aytish kifoya.
p va np sinflarining tengligi
Agar Mingyillik muammolarining qolgan qismi faqat matematik bo'lsa, u holda bu hozirgi algoritmlar nazariyasi bilan bog'liq. Kuk-Lyuin muammosi deb ham ataladigan p va np sinflarining tengligi bilan bog'liq muammoni aniq tilda quyidagicha shakllantirish mumkin. Faraz qilaylik, ma'lum bir savolga ijobiy javob etarlicha tez, ya'ni polinom vaqtida (PT) tekshirilishi mumkin. Unda javobni juda tez topish mumkin, deyish to'g'rimi? Bu oddiyroq ko'rinadi: haqiqatan ham muammoning echimini tekshirish uni topishdan ko'ra qiyinroq emasmi? Agar p va np sinflarining tengligi isbotlangan bo'lsa, u holda barcha tanlash masalalari PV orqali hal qilinishi mumkin. Ayni paytda ko'plab mutaxassislar bu gapning haqiqatiga shubha qilmoqdalar, garchi ular buning aksini isbotlay olmasalar ham.
Riemann gipotezasi
1859 yilgacha qanday qilib tasvirlangan hech qanday naqsh aniqlanmagan edi tub sonlar tabiiylar orasida. Ehtimol, bu fanning boshqa masalalar bilan shug'ullanishi bilan bog'liqdir. Biroq, 19-asrning o'rtalariga kelib, vaziyat o'zgardi va ular matematika o'rgana boshlagan eng dolzarb mavzulardan biriga aylandi.
Bu davrda paydo bo'lgan Rieman gipotezasi tub sonlarning taqsimlanishida ma'lum bir qonuniyat mavjudligi haqidagi farazdir.
Bugungi kunda ko'plab zamonaviy olimlar, agar u isbotlangan bo'lsa, elektron tijorat mexanizmlarining ko'pchiligining asosini tashkil etuvchi zamonaviy kriptografiyaning ko'plab fundamental tamoyillarini qayta ko'rib chiqishga to'g'ri keladi, deb hisoblashadi.
Riemann gipotezasiga ko'ra, tub sonlarni taqsimlash tabiati hozirgi taxmin qilinganidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Gap shundaki, hozirgacha tub sonlarni taqsimlashda hech qanday tizim topilmagan. Masalan, "egizaklar" muammosi bor, ularning orasidagi farq 2. Bu raqamlar 11 va 13, 29. Boshqa tub sonlar klasterlarni tashkil qiladi. Bular 101, 103, 107, va hokazo. Olimlar juda katta tub sonlar orasida bunday klasterlar mavjudligiga uzoq vaqtdan beri gumon qilishgan. Agar ular topilsa, zamonaviy kriptokeyslarning kuchi shubha ostiga olinadi.
Xodj tsiklining taxmini
Bu haligacha hal qilinmagan muammo 1941 yilda shakllantirilgan. Xodjning gipotezasi yuqori o'lchamdagi oddiy jismlarni bir-biriga "yopishtirish" orqali har qanday ob'ektning shaklini yaqinlashtirish imkoniyatini taklif qiladi. Bu usul uzoq vaqtdan beri ma'lum va muvaffaqiyatli qo'llanilgan. Biroq, soddalashtirishni qay darajada amalga oshirish mumkinligi ma'lum emas.
Endi siz qanday hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjudligini bilasiz. Ular butun dunyo bo'ylab minglab olimlar tomonidan tadqiqot mavzusidir. Biz faqat umid qilishimiz mumkinki, ular yaqin kelajakda hal qilinadi va ularning amaliy qo'llash insoniyatga texnologik taraqqiyotning yangi bosqichiga kirishga yordam beradi.
Demak, 1637 yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Fermaning oxirgi teoremasi (ko‘pincha Fermaning so‘nggi teoremasi deb ataladi) tabiatan juda sodda va o‘rta ma’lumotli har bir kishi uchun tushunarli. Unda aytilishicha, a formulasi n + b ning n = c ning n kuchiga tengligi n > 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr emas) yechimlarga ega emas. Hamma narsa oddiy va tushunarli ko‘rinadi, lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash bilan kurashdilar.
Nega u shunchalik mashhur? Endi bilib olamiz...
Ko'p isbotlangan, isbotlanmagan va hali isbotlanmagan teoremalar bormi? Bu erda gap shundaki, Fermaning oxirgi teoremasi formulaning soddaligi va isbotning murakkabligi o'rtasidagi eng katta kontrastni ifodalaydi. Fermaning so'nggi teoremasi nihoyatda qiyin masala bo'lsa-da, uning formulasini o'rta maktabning 5-sinfidagi har bir kishi tushunishi mumkin, lekin hatto har bir professional matematik ham isbotni tushuna olmaydi. Na fizikada, na kimyoda, na biologiyada, na matematikada bunchalik sodda tarzda shakllantirilishi mumkin bo'lgan, ammo uzoq vaqt davomida hal qilinmagan bitta muammo yo'q. 2. U nimadan iborat?
Keling, Pifagor shimlaridan boshlaylik, so'z juda oddiy - birinchi qarashda. Bolaligimizdan bilganimizdek, "Pifagor shimlari har tomondan tengdir". Muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hammaga ma'lum bo'lgan matematik bayonotga asoslangan edi - Pifagor teoremasi: har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng.
Miloddan avvalgi V asrda. Pifagorlar Pifagor birodarligiga asos solgan. Pifagorchilar, boshqa narsalar qatorida, x²+y²=z² tengligini qanoatlantiradigan butun sonli uchliklarni oʻrgandilar. Ular cheksiz ko'p Pifagor uchligi borligini isbotladilar va ularni topishning umumiy formulalarini oldilar. Ehtimol, ular C va undan yuqori darajalarni izlashga harakat qilishgan. Bu ish bermasligiga ishonch hosil qilgan Pifagorchilar o'zlarining foydasiz urinishlaridan voz kechdilar. Birodarlik a'zolari matematiklardan ko'ra ko'proq faylasuf va estetika edi.
Ya'ni, x²+y²=z² tengligini to'liq qondiradigan raqamlar to'plamini tanlash oson.
3, 4, 5 dan boshlab - haqiqatan ham, kichik o'quvchi 9 + 16 = 25 ekanligini tushunadi.
Yoki 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ajoyib.
Va hokazo. Agar shunga o'xshash x³+y³=z³ tenglamasini olsak nima bo'ladi? Balki shunday raqamlar ham bordir?
Va hokazo (1-rasm).
Shunday qilib, ular YO'Q ekan. Bu erda hiyla boshlanadi. Oddiylik ko'rinadi, chunki biror narsaning mavjudligini emas, aksincha, uning yo'qligini isbotlash qiyin. Yechim borligini isbotlashingiz kerak bo'lganda, siz ushbu yechimni shunchaki taqdim etishingiz mumkin va kerak.
Yo‘qlikni isbotlash qiyinroq: masalan, kimdir aytadi: falon tenglamaning yechimi yo‘q. Uni ko'lmakka qo'yingmi? oson: bam - va bu erda, yechim! (yechim bering). Va bu, raqib mag'lub bo'ldi. Yo'qligini qanday isbotlash mumkin?
Ayting: "Men bunday echimlarni topmadim"? Yoki siz yaxshi ko'rmagandirsiz? Agar ular mavjud bo'lsa-chi, lekin ular juda katta, juda katta, hatto o'ta kuchli kompyuter ham hali etarli kuchga ega emas? Bu qiyin narsa.
Buni vizual tarzda quyidagicha ko'rsatish mumkin: agar siz mos o'lchamdagi ikkita kvadratni olib, ularni birlik kvadratlarga ajratsangiz, bu birlik kvadratlar to'plamidan uchinchi kvadratni olasiz (2-rasm):
Ammo uchinchi o'lchov bilan ham xuddi shunday qilaylik (3-rasm) - bu ishlamaydi. Kublar yetarli emas yoki qo'shimchalari qolgan:
Ammo 17-asr frantsuz matematigi Per de Ferma x umumiy tenglamani ishtiyoq bilan o'rgangan. n +y n =z n . Va nihoyat, men shunday xulosaga keldim: n>2 uchun butun sonli echimlar yo'q. Fermatning isboti qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qolgan. Qo'lyozmalar yonmoqda! Uning Diofantning “Arifmetika” asarida aytgan gapi qolgan: “Men bu taklifning chindan ham hayratlanarli isbotini topdim, lekin bu yerdagi chegaralar uni o‘z ichiga olish uchun juda tor”.
Aslida isbotsiz teorema gipoteza deyiladi. Ammo Fermat hech qachon xato qilmasligi bilan mashhur. Agar u bayonotga dalil qoldirmagan bo'lsa ham, keyinchalik bu tasdiqlandi. Bundan tashqari, Fermat o'z dissertatsiyasini n = 4 uchun isbotladi. Shunday qilib, frantsuz matematigining gipotezasi Fermaning oxirgi teoremasi sifatida tarixga kirdi.
Fermatdan keyin Leonhard Eyler kabi buyuk aqllar dalil izlash ustida ishladilar (1770 yilda u n = 3 uchun yechim taklif qildi),
Adrien Legendre va Iogann Dirichlet (bu olimlar birgalikda 1825 yilda n = 5 isbotini topdilar), Gabriel Lame (n = 7 uchun dalil topdilar) va boshqalar. O'tgan asrning 80-yillari o'rtalariga kelib, fan dunyosi Fermaning so'nggi teoremasining yakuniy yechimi yo'lida ekanligi ma'lum bo'ldi, ammo faqat 1993 yilda matematiklar uch asrlik isbot izlash eposini ko'rishdi va ishonishdi. Fermaning oxirgi teoremasi amalda tugadi.
Ferma teoremasini faqat oddiy n uchun isbotlash kifoya ekanligini ko'rsatish oson: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Kompozit n uchun isbot o'z kuchida qoladi. Lekin tub sonlar cheksiz ko'p...
1825 yilda Sofi Jermen usulidan foydalanib, ayol matematiklar, Dirixlet va Legendre mustaqil ravishda n=5 teoremasini isbotladilar. 1839 yilda xuddi shu usuldan foydalanib, frantsuz Gabriel Lame n=7 uchun teoremaning haqiqatini ko'rsatdi. Asta-sekin teorema yuzdan kam bo'lgan deyarli hamma n uchun isbotlandi.
Nihoyat, nemis matematigi Ernst Kummer ajoyib tadqiqotida teoremani 19-asr matematikasi usullari yordamida umuman isbotlab bo'lmasligini ko'rsatdi. 1847 yilda Ferma teoremasini isbotlagani uchun Fransiya Fanlar akademiyasining mukofoti berilmagan.
1907 yilda boy nemis sanoatchisi Pol Volfskehl javobsiz sevgi tufayli o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Haqiqiy nemis kabi, u o'z joniga qasd qilish sanasi va vaqtini belgiladi: aynan yarim tunda. Oxirgi kuni u vasiyat qildi va do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi. Ishlar yarim tungacha tugadi. Aytish kerakki, Pavlus matematikaga qiziqardi. Boshqa hech narsa qilmay, kutubxonaga bordi va Kummerning mashhur maqolasini o'qiy boshladi. Birdan unga Kummer fikr yuritishda xato qilgandek tuyuldi. Volfskel qo'lidagi qalam bilan maqolaning ushbu qismini tahlil qila boshladi. Yarim tun o'tdi, tong keldi. Dalildagi bo'shliq to'ldirildi. Va o'z joniga qasd qilishning sababi endi mutlaqo kulgili ko'rinardi. Pavlus vidolashuv maktublarini yirtib tashladi va vasiyatini qayta yozdi.
Tez orada u tabiiy sabablarga ko'ra vafot etdi. Merosxo'rlar juda hayratda qoldilar: 100 000 marka (1 000 000 dan ortiq funt sterling) o'sha yili Volfskehl mukofoti uchun tanlov e'lon qilgan Göttingen Qirollik ilmiy jamiyati hisobiga o'tkazildi. Ferma teoremasini isbotlagan kishiga 100 000 ball berildi. Teoremani rad etganlik uchun bir pfennig mukofotlanmadi...
Aksariyat professional matematiklar Fermaning oxirgi teoremasining isbotini izlashni umidsiz ish deb bilishgan va bunday befoyda mashqqa vaqt sarflashni qat'iyan rad etishgan. Ammo havaskorlar hayajonlanishdi. E'londan bir necha hafta o'tgach, Gettingen universitetiga "dalil" ko'chkisi tushdi. Yuborilgan dalillarni tahlil qilish mas'uliyati bo'lgan professor E.M.Landau o'z talabalariga kartalarni tarqatdi:
Azizim. . . . . . . .
Fermatning so'nggi teoremasining isboti bilan qo'lyozmani yuborganingiz uchun tashakkur. Birinchi xato sahifada ... qatorda... . Shu sababli, butun dalil o'z kuchini yo'qotadi.
Professor E. M. Landau
1963 yilda Pol Koen Gödel topilmalariga tayanib, Gilbertning yigirma uchta muammosidan biri - kontinuum gipotezasini yechish mumkin emasligini isbotladi. Fermaning so'nggi teoremasi ham hal bo'lmasa-chi?! Lekin haqiqiy Buyuk Teorema aqidaparastlari umuman hafsalasi pir bo'lmadi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi to'satdan matematiklarga yangi isbotlash usulini berdi. Ikkinchi jahon urushidan keyin dasturchilar va matematiklar jamoalari Fermatning so'nggi teoremasini n ning 500 gacha, keyin 1000 gacha va keyinroq 10000 gacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun isbotladilar.
1980-yillarda Samuel Vagstaff chegarani 25 000 ga ko'tardi va 1990-yillarda matematiklar Fermatning oxirgi teoremasi n ning 4 milliongacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini e'lon qilishdi. Ammo cheksizlikdan trillion trillionni ham olib tashlasangiz, u kichik bo'lib qolmaydi. Matematiklar statistik ma'lumotlarga ishonmaydilar. Buyuk teoremani isbotlash, uni HAMMA n cheksizlikka qadar isbotlashni anglatardi.
1954 yilda ikkita yosh yapon matematik do'stlari modulli shakllarni tadqiq qilishni boshladilar. Bu shakllar raqamlar qatorini hosil qiladi, ularning har biri o'z seriyasiga ega. Tasodifan, Taniyama bu qatorlarni elliptik tenglamalar bilan hosil qilingan qatorlar bilan taqqosladi. Ular mos kelishdi! Ammo modulli shakllar geometrik ob'ektlar, elliptik tenglamalar esa algebraikdir. Bunday turli xil ob'ektlar o'rtasida hech qanday aloqa topilmagan.
Biroq, sinchkovlik bilan tekshirilgandan so'ng, do'stlar gipotezani ilgari surdilar: har bir elliptik tenglama egizak - modulli shaklga ega va aksincha. Aynan shu gipoteza matematikada butun bir yo‘nalishning asosiga aylandi, biroq Taniyama-Shimura gipotezasi isbotlanmaguncha, butun bino istalgan vaqtda qulashi mumkin edi.
1984 yilda Gerxard Frey Ferma tenglamasining yechimi, agar mavjud bo‘lsa, qandaydir elliptik tenglamaga kiritilishi mumkinligini ko‘rsatdi. Ikki yil o'tgach, professor Ken Ribet bu faraziy tenglamaning modulli dunyoda o'xshashi bo'lmasligini isbotladi. Bundan buyon Fermaning so'nggi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi bilan uzviy bog'liq edi. Har qanday elliptik egri chiziq modulli ekanligini isbotlab, Ferma tenglamasining yechimi bilan elliptik tenglama yo'q degan xulosaga keldik va Fermaning oxirgi teoremasi darhol isbotlangan bo'ladi. Ammo o'ttiz yil davomida Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashning iloji bo'lmadi va muvaffaqiyatga umid kamroq edi.
1963 yilda, u endigina o'n yoshda bo'lganida, Endryu Uayls allaqachon matematikaga qiziqib qolgan edi. U Buyuk Teorema haqida bilib, undan voz kecholmasligini tushundi. U maktab o‘quvchisi, talaba va aspirant sifatida o‘zini bu ishga tayyorlagan.
Ken Ribetning topilmalarini bilib, Uayls Taniyama-Shimura taxminini isbotlashga shoshildi. U to'liq izolyatsiya va maxfiylikda ishlashga qaror qildi. "Men tushundimki, Fermaning so'nggi teoremasi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa juda katta qiziqish uyg'otadi ... Juda ko'p tomoshabinlar maqsadga erishishga xalaqit berishi aniq." Etti yillik mashaqqatli mehnat o'z samarasini berdi, nihoyat, Taniyama-Shimura taxminini isbotladi.
1993 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls butun dunyoga Fermaning oxirgi teoremasining isbotini taqdim etdi (Uils Kembrijdagi ser Isaak Nyuton institutida bo'lib o'tgan konferentsiyada o'zining shov-shuvli maqolasini o'qidi.), uning ustida ish etti yildan ortiq davom etdi.
Matbuotda shov-shuv davom etar ekan, dalillarni tekshirish uchun jiddiy ish boshlandi. Dalillarni qat'iy va to'g'ri deb hisoblashdan oldin har bir dalil diqqat bilan tekshirilishi kerak. Uayls yozni notinch yozni sharhlovchilarning fikr-mulohazalarini kutib, ularning roziligini olishiga umid qilib o'tkazdi. Avgust oyi oxirida ekspertlar hukmni yetarlicha asoslanmagan deb topishdi.
Ma'lum bo'lishicha, bu qarorda qo'pol xato bor, garchi bu umuman to'g'ri. Uayls taslim bo'lmadi, raqamlar nazariyasi bo'yicha taniqli mutaxassis Richard Teylorning yordamiga murojaat qildi va 1994 yilda ular teoremaning to'g'rilangan va kengaytirilgan isbotini nashr etishdi. Eng hayratlanarlisi shundaki, bu ish Annals of Mathematics matematik jurnalida 130 (!) sahifani egallagan. Ammo voqea shu bilan ham tugamadi - yakuniy nuqtaga faqat keyingi yilda, 1995 yilda, matematik nuqtai nazardan, yakuniy va "ideal" isbot versiyasi e'lon qilinganida erishildi.
"...tug'ilgan kuni munosabati bilan bayramona kechki ovqat boshlanganidan yarim daqiqa o'tgach, men Nadiyaga to'liq dalilning qo'lyozmasini sovg'a qildim" (Endryu Uels). Men hali matematiklarni g'alati odamlar deb aytmadimmi?
Bu safar dalillarga shubha yo'q edi. Ikki maqola eng sinchkovlik bilan tahlil qilindi va 1995 yil may oyida Matematika yilnomalarida chop etildi.
O'sha paytdan beri ko'p vaqt o'tdi, ammo jamiyatda hali ham Fermatning so'nggi teoremasi echilishi mumkin emas degan fikr mavjud. Ammo topilgan dalillarni biladiganlar ham bu yo'nalishda ishlashda davom etmoqdalar - Buyuk teorema 130 sahifali yechimni talab qilishidan juda ozchilik qoniqadi!
Shuning uchun, endi ko'plab matematiklarning (asosan havaskorlar emas, balki professional olimlar) sa'y-harakatlari oddiy va ixcham isbot izlashga sarflanadi, ammo bu yo'l, ehtimol, hech qayoqqa olib kelmaydi... "Men bilganim shundaki, men hech narsani bilmayman, lekin boshqalar buni bilishmaydi."
(Sokrat, qadimgi yunon faylasufi)
Umumjahon ongiga egalik qilish va HAMMANI bilish uchun hech kimga kuch berilmagan. Biroq, ko'pchilik olimlar va shunchaki o'ylashni va kashf qilishni yaxshi ko'radiganlar doimo ko'proq o'rganish, sirlarni hal qilish istagiga ega. Ammo insoniyat uchun hali ham hal qilinmagan mavzular qolganmi? Axir, hamma narsa allaqachon aniq bo'lib tuyuladi va siz faqat asrlar davomida olingan bilimlarni qo'llashingiz kerakmi?
Umidsizlikka tushmang! 2000 yilda Kembrijdagi (Massachusets, AQSH) Kley matematika instituti mutaxassislari ming yillikning 7 ta sirlari (Mingyillik mukofoti muammolari) deb ataladigan roʻyxatda birlashtirgan matematika va mantiq sohasida haligacha hal etilmagan muammolar mavjud. Bu muammolar butun sayyoradagi olimlarni tashvishga solmoqda. O'shandan buyon har kim muammolardan birining yechimini topdim, deb da'vo qilishi, farazni isbotlashi va bostonlik milliarder Lendon Kleydan (institut uning nomi bilan atalgan) mukofot olishi mumkin. Buning uchun u allaqachon 7 million dollar ajratgan. Aytmoqchi,
Bugungi kunda muammolardan biri allaqachon hal qilingan.
Xo'sh, siz matematik jumboqlarni o'rganishga tayyormisiz?
Navier-Stokes tenglamalari (1822 yilda tuzilgan)Soha: gidroaerodinamika
Turbulent va havo oqimlari, shuningdek suyuqliklar oqimi haqidagi tenglamalar Navier-Stokes tenglamalari deb nomlanadi. Agar, masalan, biror narsa ustida ko'l bo'ylab suzib ketsangiz, atrofingizda to'lqinlar muqarrar ravishda paydo bo'ladi. Bu havo bo'shlig'iga ham tegishli: samolyotda uchayotganda havoda turbulent oqimlar ham paydo bo'ladi. Bu tenglamalar hosil qiladi yopishqoq suyuqlikning harakatlanish jarayonlarining tavsifi
va barcha gidrodinamikaning asosiy vazifasi hisoblanadi. Ba'zi maxsus holatlar uchun, yakuniy natijaga ta'sir qilmaslik uchun tenglamalarning qismlari tashlab yuborilgan yechimlar allaqachon topilgan, ammo umuman olganda, bu tenglamalarning echimlari topilmagan.
Tenglamalarning yechimini topish va silliq funksiyalarni aniqlash kerak.
Riemann gipotezasi (1859 yilda tuzilgan)Soha: sonlar nazariyasi Ma'lumki, tub sonlarning (faqat o'ziga va bittaga bo'linadigan: 2,3,5,7,11...) barcha o'rtasida taqsimlanishi. natural sonlar
hech qanday naqshga amal qilmaydi.
Agar bunday klasterlar topilsa va ma'lum bir algoritm olinsa, bu shifrlash sohasidagi bilimlarimizda inqilobiy o'zgarishlarga va Internet xavfsizligi sohasida misli ko'rilmagan yutuqga olib keladi.
Puankare muammosi (1904 yilda tuzilgan. 2002 yilda hal qilingan.)
Maydon: ko'p o'lchovli bo'shliqlar topologiyasi yoki geometriyasiMuammoning mohiyati topologiyada va shundan iboratki, agar siz kauchukni, masalan, olma (shar)ni tortsangiz, uni ko'tarmasdan sekin harakatlantirib, uni bir nuqtaga siqib qo'yish nazariy jihatdan mumkin bo'ladi. sirtdan lenta. Biroq, agar bir xil lenta donut (torus) atrofida tortilsa, u holda lentani buzmasdan yoki donutning o'zini buzmasdan lentani siqish mumkin emas. Bular. sharning butun yuzasi oddiygina bog'langan, torus esa bog'lanmagan. Vazifa faqat shar oddiygina bog'langanligini isbotlash edi.
Leningrad geometriya maktabining vakili Grigoriy Yakovlevich Perelman Puankare muammosini hal qilgani uchun Kley matematika institutining Ming yillik mukofoti (2010) laureati. U mashhur Fields medalidan bosh tortdi.
Xodj gipotezasi (1941 yilda tuzilgan)
Soha: algebraik geometriyaAslida, juda ko'p oddiy va ancha murakkab geometrik ob'ektlar mavjud. Ob'ekt qanchalik murakkab bo'lsa, uni o'rganish shunchalik qiyin bo'ladi. Hozir olimlar ushbu ob'ektni o'rganish uchun bir butunning ("g'isht") qismlaridan foydalanishga asoslangan yondashuvni o'ylab topishdi va faol foydalanmoqdalar, masalan, qurilish majmuasi. "Qurilish bloklari" ning xususiyatlarini bilib, ob'ektning o'ziga xos xususiyatlariga yaqinlashish mumkin bo'ladi. Xodjning gipotezasi bu holda "g'isht" va ob'ektlarning ma'lum xususiyatlari bilan bog'liq.
Bu algebraik geometriyada juda jiddiy muammo: oddiy "qurilish bloklari" yordamida murakkab ob'ektlarni tahlil qilishning aniq usullari va usullarini topish.
Yang-Mills tenglamalari (1954 yilda tuzilgan)
Soha: geometriya va kvant fizikasiFiziklar Yang va Mills dunyoni tasvirlaydi elementar zarralar. Ular geometriya va zarralar fizikasi o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlab, bu sohada o'z tenglamalarini yozdilar kvant fizikasi. Shunday qilib elektromagnit, kuchsiz va kuchli o'zaro ta'sirlar nazariyalarini birlashtirish yo'li topildi.
Mikropartikullar darajasida "yoqimsiz" ta'sir paydo bo'ladi: agar zarrachaga bir vaqtning o'zida bir nechta maydonlar ta'sir qilsa, ularning kombinatsiyalangan ta'siri endi ularning har birining ta'siriga ajralishi mumkin emas. Buning sababi shundaki, ushbu nazariyada nafaqat materiya zarralari, balki maydon chiziqlari ham bir-biriga tortiladi.
Yang-Mills tenglamalari dunyodagi barcha fiziklar tomonidan qabul qilingan bo'lsa-da, elementar zarrachalar massasini bashorat qilish nazariyasi eksperimental tarzda isbotlanmagan.
Birch va Svinnerton-Dyer gipotezasi (1960 yilda tuzilgan)
Soha: algebra va sonlar nazariyasiGipoteza elliptik egri chiziqlar tenglamalari va ularning ratsional yechimlari to'plami bilan bog'liq. Ferma teoremasini isbotlashda elliptik egri chiziqlar eng muhim o'rinlardan birini egallagan. Va kriptografiyada ular o'z nomining butun qismini tashkil qiladi va ba'zi rus raqamli imzo standartlari ularga asoslanadi.
Muammo shundaki, siz algebraik tenglamalarning x, y, z butun sonlarida HAMMA yechimlarni, ya'ni butun sonli koeffitsientli bir nechta o'zgaruvchilar tenglamalarini tasvirlashingiz kerak.
Kuk muammosi (1971 yilda tuzilgan)
Soha: matematik mantiq va kibernetikaU "P va NP sinflarining tengligi" deb ham ataladi va u algoritmlar, mantiq va informatika nazariyasining eng muhim muammolaridan biridir.
Muammoni hal qilishning to'g'riligini tekshirish jarayoni ushbu muammoni hal qilish uchun sarflangan vaqtdan uzoqroq davom etishi mumkinmi?(tasdiqlash algoritmidan qat'iy nazar)?
Ba'zan shartlar va algoritmlarni o'zgartirsangiz, bir xil muammoni hal qilish uchun har xil vaqt kerak bo'ladi. Masalan: yirik kompaniyada siz tanish izlayapsiz. Agar u burchakda yoki stolda o'tirganini bilsangiz, uni ko'rish uchun sizga bir soniya kerak bo'ladi. Ammo ob'ektning qaerdaligini aniq bilmasangiz, barcha mehmonlarni ziyorat qilib, uni qidirishga ko'proq vaqt sarflaysiz.
Asosiy savol: oson va tez tekshirilishi mumkin bo'lgan barcha muammolarning hammasi ham oson va tez hal qilinishi mumkinmi yoki yo'qmi?
Ko'pchilik uchun matematika haqiqatdan unchalik uzoq emas. Bu bizning dunyomizni va ko'plab hodisalarni tasvirlashimiz mumkin bo'lgan mexanizmdir. Matematika hamma joyda. Va V.O. Klyuchevskiy shunday dedi: "Ko'rning ularni ko'rmasligi gullarning aybi emas.".