Agar qo'lingizda kompas bo'lmasa, siz beshta nurli oddiy yulduzni chizishingiz va keyin bu nurlarni oddiygina ulashingiz mumkin. Quyidagi rasmda ko'rib turganingizdek, mutlaqo muntazam beshburchak olinadi.

Matematika murakkab fan bo'lib, uning ko'plab sirlari bor, ulardan ba'zilari juda kulgili. Agar siz bunday narsalarga qiziqsangiz, men sizga qiziqarli matematika kitobini topishingizni maslahat beraman.

Doirani nafaqat kompas yordamida chizish mumkin. Siz, masalan, qalam va ipdan foydalanishingiz mumkin. Biz ipda kerakli diametrni o'lchaymiz. Biz bir uchini qog'oz varag'iga mahkam yopishtiramiz, u erda doira chizamiz. Va ipning boshqa uchida qalam o'rnating va uni biriktiring. Endi u kompas bilan ishlaydi: biz ipni tortamiz va qalam bilan ozgina bosib, aylana bo'ylab doirani belgilaymiz.

Doira ichida biz markazdan dehqonlarni chizamiz: vertikal chiziq va gorizontal chiziq. Vertikal chiziq va aylananing kesishish nuqtasi beshburchakning tepasi bo'ladi (1-nuqta). Endi biz gorizontal chiziqning o'ng yarmini yarmiga ajratamiz (2-band). Biz bu nuqtadan beshburchakning tepasiga qadar masofani o'lchaymiz va bu segmentni 2-nuqtaning chap tomoniga yotqizamiz (3-nuqta). Ip va qalamdan foydalanib, 1-nuqtadan 3-nuqtagacha radiusli yoyni chizib, chap va o'ngdagi birinchi doirani kesib o'ting - kesishish nuqtalari beshburchakning uchlari bo'ladi. Keling, ularni 4 va 5 nuqtalar deb ataymiz.

Endi 4-banddan biz radius bilan pastki qismdagi doirani kesib o'tadigan yoy hosil qilamiz uzunligiga teng 1 dan 4 gacha - bu 6-band bo'ladi. Xuddi shu tarzda, 5-banddan boshlab - 7-band deb ataymiz.

Beshburchakni 1, 5, 7, 6, 4 uchlari bilan bog'lash qolgan.

Men kompas yordamida oddiy beshburchak qurishni bilaman: aylana quring, beshta nuqtani belgilang, ularni bog'lang. Siz bilan beshburchak qurishingiz mumkin teng tomonlar, buning uchun bizga hali ham transport vositasi kerak. Biz faqat bir xil 5 nuqtani transportyorga qo'yamiz. Buning uchun burchaklarni 72 darajaga belgilang. Keyin biz ham segmentlar bilan bog'lanib, kerakli raqamni olamiz.

Yashil doira ixtiyoriy radius bilan chizilishi mumkin. Biz bu doiraga oddiy beshburchakni yozamiz. Kompassiz aniq doira chizish mumkin emas, lekin bu shart emas. Doira va boshqa barcha konstruktsiyalar qo'l bilan amalga oshirilishi mumkin. Keyinchalik, O aylana markazi orqali ikkita o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziq chizishingiz va chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtalaridan birini A deb belgilashingiz kerak. A nuqta beshburchakning tepasi bo'ladi. Biz OB radiusini yarmiga bo'lamiz va C nuqtani qo'yamiz. C nuqtadan AC radiusi bo'lgan ikkinchi doira chizamiz. A nuqtadan AD radiusi bo'lgan uchinchi aylana chizamiz. Uchinchi doiraning birinchi (E va F) bilan kesishgan nuqtalari ham beshburchakning uchlari bo'ladi. Radiusi AE bo'lgan E va F nuqtalardan biz birinchi aylana bo'ylab kesiklar qilamiz va G va H beshburchakning qolgan uchlarini olamiz.



Qora san'at tarafdorlari: beshburchakni oddiy, chiroyli va tez chizish uchun siz pentagram (besh qirrali yulduz) uchun to'g'ri, uyg'un asosni chizishingiz va bu yulduzning nurlarining uchlarini tekis, tekis chiziqlar yordamida bog'lashingiz kerak. Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, poydevor atrofidagi bog'lovchi chiziq kerakli beshburchak bo'ladi.

(rasmda to'ldirilgan, ammo to'ldirilmagan pentagram mavjud)



Pentagramning to'g'riligiga amin bo'lmaganlar uchun: Da Vinchining Vitruvian odamini asos qilib oling (pastga qarang)



Agar sizga beshburchak kerak bo'lsa, shunchaki tasodifiy 5 nuqtani qo'ying va ularning tashqi konturi beshburchak bo'ladi.

Agar sizga oddiy beshburchak kerak bo'lsa, unda matematik kompassiz bu qurilishni yakunlab bo'lmaydi, chunki u holda ikkita bir xil, ammo parallel bo'lmagan segmentlarni chizish mumkin emas. Ikkita bir xil, lekin parallel bo'lmagan segmentlarni chizishga imkon beradigan har qanday boshqa vosita matematik kompasga teng.



Avval siz doira, so'ngra yo'riqnomalar, so'ngra ikkinchi nuqtali doira chizishingiz kerak, yuqori nuqtani toping, so'ngra ikkita yuqori burchakni o'lchab, ulardan pastki qismini torting. Kompasning radiusi butun qurilish davomida bir xil ekanligini unutmang.

Bularning barchasi sizga qanday beshburchak kerakligiga bog'liq. Agar mavjud bo'lsa, unda beshta nuqta qo'ying va ularni bir-biriga ulang (albatta, biz nuqtalarni to'g'ri chiziqqa qo'ymaymiz). Va agar sizga to'g'ri shakldagi beshburchak kerak bo'lsa, uzunligi bo'ylab istalgan beshtasini oling (qog'oz chiziqlari, gugurt, qalam va boshqalar), beshburchakni joylashtiring va uning konturini chizing.

Beshburchakni, masalan, yulduzdan chizish mumkin. Agar siz yulduzni qanday chizishni bilsangiz, lekin beshburchakni qanday chizishni bilmasangiz, qalam bilan yulduz chizing, keyin yulduzning qo'shni uchlarini ulang va yulduzning o'zini o'chiring.

Ikkinchi yo'l. Uzunligi beshburchakning istalgan tomoniga teng bo'lgan va tor eni, aytaylik, 0,5 - 1 sm bo'lgan qog'oz chizig'ini kesib oling, shablonga ko'ra, bu chiziq bo'ylab yana to'rtta o'xshash chiziqni kesib oling, shunda ulardan 5 tasi bo'lsin jami.

Keyin qog'oz varag'ini qo'ying (uni stolga to'rtta tugma yoki igna bilan mahkamlash yaxshidir). Keyin bu 5 ta chiziqni qog'ozga qo'ying, shunda ular beshburchak hosil qiladi. Ushbu 5 ta chiziqni qog'ozga igna yoki igna bilan mahkamlang, shunda ular harakatsiz qoladi. Keyin olingan beshburchakni aylantiring va bu chiziqlarni varaqdan olib tashlang.



Agar sizda kompas bo'lmasa va siz beshburchak qurishingiz kerak bo'lsa, men quyidagilarni maslahat beraman. Men uni o'zim shunday qurdim. Siz oddiy besh qirrali yulduzni chizishingiz mumkin. Va shundan so'ng, beshburchakni olish uchun yulduzning barcha uchlarini ulash kifoya. Shunday qilib, siz beshburchakni olasiz. Bu biz olgan narsadir



Biz yulduzning uchlarini to'g'ri qora chiziqlar bilan bog'lab, beshburchakni oldik.

Ushbu jarayonning texnikasini o'rganmasdan qilish mumkin emas. Ishni bajarish uchun bir nechta variant mavjud. O'lchagich yordamida yulduzni qanday chizish sizga ushbu jarayonning eng mashhur usullarini tushunishga yordam beradi.

Yulduzlarning turlari

Ko'p variantlar mavjud ko'rinish yulduzga o'xshash figura.

Qadim zamonlardan beri uning besh qirrali navi pentagramlarni chizish uchun ishlatilgan. Bu uning xususiyati bilan izohlanadi, bu sizga qalamni qog'ozdan ko'tarmasdan rasm chizish imkonini beradi.

Bundan tashqari, olti burchakli, quyruqli kometalar mavjud.

Dengiz yulduzi an'anaviy ravishda beshta cho'qqiga ega. Rojdestvo versiyasining rasmlari ko'pincha bir xil shaklda topiladi.

Qanday bo'lmasin, besh qirrali yulduzni bosqichma-bosqich chizish uchun siz maxsus asboblar yordamida murojaat qilishingiz kerak, chunki qo'lda chizilgan rasm nosimmetrik va chiroyli ko'rinishi dargumon.

Chizmaning bajarilishi

Bir tekis yulduzni qanday chizish kerakligini tushunish uchun siz ushbu raqamning mohiyatini tushunishingiz kerak.

Uni chizish uchun asos uchlari boshlang'ich nuqtada birlashadigan siniq chiziqdir. U muntazam beshburchak - beshburchakni hosil qiladi.

Bunday raqamning o'ziga xos xususiyatlari uni aylanaga, shuningdek, ushbu ko'pburchak ichiga aylanaga yozish imkoniyatidir.

Pentagonning barcha tomonlari bir-biriga teng. Chizilgan rasmni qanday qilib to'g'ri bajarish kerakligini tushunib, siz barcha raqamlarni, shuningdek, qismlar va komponentlarning turli diagrammalarini qurish jarayonining mohiyatini tushunishingiz mumkin.

O'lchagich yordamida yulduz chizish kabi maqsadga erishish uchun siz geometriyada asosiy bo'lgan eng oddiy matematik formulalarni bilishingiz kerak. Shuningdek, sizga kalkulyatorda hisoblash qobiliyati kerak bo'ladi. Lekin eng muhimi mantiqiy fikrlashdir.

Ish qiyin emas, lekin aniqlik va ehtiyotkorlik talab qiladi. Sarflangan kuch besh qirrali yulduzning yaxshi nosimmetrik va shuning uchun chiroyli tasviri bilan taqdirlanadi.

Klassik texnika

Ko'pchilik ma'lum usul Yulduzni kompas, o'lchagich va transportyor yordamida qanday chizish juda oddiy.

Ushbu texnika uchun sizga bir nechta vositalar kerak bo'ladi: kompas yoki transportyor, o'lchagich, oddiy qalam, silgi va oq qog'oz varag'i.

Yulduzni qanday qilib chiroyli chizishni tushunish uchun siz ketma-ket, bosqichma-bosqich harakat qilishingiz kerak.

Ishingizda maxsus hisob-kitoblardan foydalanishingiz mumkin.

Shaklni hisoblash

To'g'ri yulduzni chizishning ushbu bosqichida tayyor shaklning konturlari paydo bo'ladi.

Har bir narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, natijada olingan tasvir silliq bo'ladi. Buni qog'oz parchasini aylantirish va shaklni baholash orqali vizual tekshirish mumkin. Har safar o'girilganingizda bir xil bo'lib qoladi.

Asosiy konturlar chizg'ich va oddiy qalam yordamida aniqroq chiziladi. Barcha yordamchi chiziqlar olib tashlanadi.

Yulduzni bosqichma-bosqich qanday chizish kerakligini tushunish uchun siz barcha qadamlarni o'ylangan holda bajarishingiz kerak. Agar xato bo'lsa, siz chizilgan rasmni silgi bilan tuzatishingiz yoki barcha manipulyatsiyalarni qayta bajarishingiz mumkin.

Ishni ro'yxatdan o'tkazish

Tayyor shakl turli yo'llar bilan bezatilgan bo'lishi mumkin. Asosiysi, tajriba qilishdan qo'rqmaslik. Fantaziya original va chiroyli tasvirni taklif qiladi.

Chizilgan tekis yulduzni oddiy qalam bilan bezashingiz yoki turli xil ranglar va soyalardan foydalanishingiz mumkin.

To'g'ri yulduzni qanday chizish kerakligini tushunish uchun siz butun chiziq bo'ylab mukammal chiziqlarga yopishib olishingiz kerak. Shuning uchun, eng mashhur dizayn varianti - bu raqamning har bir nurini yuqoridan markazga chiqadigan chiziq bilan ikkita teng qismga bo'lishdir.

Yulduzning yon tomonlarini chiziqlar bilan ajratish shart emas. Shaklning har bir nurini bir tomondan quyuqroq soya bilan bo'yashingiz mumkin.

Ushbu parametr, shuningdek, to'g'ri yulduzni qanday chizish kerakligi haqidagi savolga javob bo'ladi, chunki uning barcha chiziqlari nosimmetrik bo'ladi.

Agar so'ralsa, rasmni estetik jihatdan loyihalashda siz bezak yoki boshqa turli xil elementlarni qo'shishingiz mumkin. Tepalarga doiralar qo'shib, siz sherif yulduzini olishingiz mumkin. Soya tomonlarining silliq soyasini qo'llash orqali siz dengiz yulduzini olishingiz mumkin.

Ushbu uslub eng keng tarqalgan, chunki ko'p harakat qilmasdan, besh qirrali yulduzni bosqichma-bosqich chizishni tushunishga imkon beradi. Murakkab matematik hisob-kitoblarga murojaat qilmasdan, to'g'ri, chiroyli tasvirni olish mumkin.

O'lchagich yordamida yulduzni chizishning barcha usullarini ko'rib chiqib, siz o'zingiz uchun eng mosini tanlashingiz mumkin. Eng mashhur geometrik bosqichma-bosqich usul. Bu juda oddiy va samarali. Fantaziya va tasavvurdan foydalanib, siz hosil bo'lgan to'g'ri, chiroyli shakldan asl kompozitsiyani yaratishingiz mumkin. Dizayn variantlari juda xilma-xildir. Ammo siz har doim o'zingizning eng g'ayrioddiy va unutilmas syujetingizni o'ylab topishingiz mumkin. Asosiysi, tajriba qilishdan qo'rqmang!

Ozhegovning izohli lug'atida aytilishicha, beshburchak beshta ichki burchakni tashkil etuvchi beshta kesishuvchi to'g'ri chiziqlar, shuningdek, shunga o'xshash shakldagi har qanday ob'ekt bilan chegaralangan. Agar berilgan ko'pburchakning barcha tomonlari va burchaklari bir xil bo'lsa, u muntazam (beshburchak) deyiladi.

Oddiy beshburchak haqida nima qiziq?

Aynan shu shaklda Amerika Qo'shma Shtatlari Mudofaa vazirligining mashhur binosi qurilgan. Uch o'lchovli muntazam ko'pburchaklardan faqat o'n ikki yuzli beshburchak shaklidagi yuzlarga ega. Tabiatda yuzlari oddiy beshburchakka o'xshab ketadigan kristallar mutlaqo yo'q. Bundan tashqari, bu raqam bilan ko'pburchak minimal miqdor maydonni asfaltlash uchun ishlatib bo'lmaydigan burchaklar. Faqat beshburchakning diagonallari uning tomonlari soniga teng. Qabul qiling, bu qiziq!

Asosiy xususiyatlar va formulalar

Ixtiyoriy muntazam ko'pburchak uchun formulalardan foydalanib, siz beshburchakning barcha kerakli parametrlarini aniqlashingiz mumkin.

• Markaziy burchak a = 360 / n = 360/5 =72 °.
• Ichki burchak b = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Shunga ko'ra, ichki burchaklarning yig'indisi 540 ° ga teng.
• Diagonalning yon tomonga nisbati (1+√5) /2, ya'ni (taxminan 1,618).
• Oddiy beshburchakning yon uzunligini qaysi parametr allaqachon ma'lum bo'lganiga qarab uchta formuladan biri yordamida hisoblash mumkin:

• agar uning atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa va uning radiusi R ma'lum bo'lsa, u holda a = 2*R*sin (a/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• radiusi r bo'lgan aylana muntazam beshburchak ichiga chizilgan bo'lsa, a = 2*r*tg(a/2) = 2*r*tg(a/2) ≈ 1,453*r;
• radiuslar o'rniga D diagonalining qiymati ma'lum bo'ladi, keyin tomoni quyidagicha aniqlanadi: a ≈ D/1,618.

• Muntazam beshburchakning maydoni yana qaysi parametrni bilishimizga qarab aniqlanadi:
• Agar chizilgan yoki chegaralangan doira bo'lsa, unda ikkita formuladan biri qo'llaniladi:

S = (n*a*r)/2 = 2.5*a*r yoki S = (n*R 2 *sin a)/2 ≈ 2.3776*R 2;

• Maydonni faqat yon tomonning uzunligini bilish orqali ham aniqlash mumkin: a:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1.7205* a 2.

Oddiy beshburchak: qurilish

Ushbu geometrik figurani turli yo'llar bilan qurish mumkin. Masalan, uni ma'lum radiusli doira ichiga joylashtiring yoki uni ma'lum bir tomon asosida quring. Harakatlar ketma-ketligi miloddan avvalgi 300-yillarda Evklidning elementlarda tasvirlangan. Har holda, bizga kompas va o'lchagich kerak bo'ladi. Keling, berilgan doira yordamida qurish usulini ko'rib chiqaylik.

1. Ixtiyoriy radiusni tanlang va uning markazini O nuqta bilan belgilab, doira chizing.

2. Doira chizig'ida bizning beshburchak cho'qqilaridan biri bo'lib xizmat qiladigan nuqtani tanlang. Bu A nuqta bo'lsin. O va A nuqtalarini to'g'ri chiziq bilan bog'lang.

3. O nuqta orqali OA chiziqqa perpendikulyar chiziq chizing. Ushbu to'g'ri chiziqning aylana chizig'i bilan kesishgan joyini B nuqta deb belgilang.

4. O va B nuqtalarning yarmigacha, C nuqtani quring.

5. Endi markazi C nuqtada bo'ladigan va A nuqtadan o'tadigan aylana chizing. Uning OB chizig'i bilan kesishgan joyi (u eng birinchi doira ichida bo'ladi) D nuqta bo'ladi.

6. D dan o tuvchi aylana quring, uning markazi A da bo ladi. Uning dastlabki aylana bilan kesishgan joylari E va F nuqtalar bilan belgilanishi kerak.

7. Endi markazi E da bo'ladigan aylana quring. Buni shunday qilish kerakki, u A dan o'tadi. Uning dastlabki aylananing boshqa kesishish nuqtasi belgilanishi kerak.

8. Nihoyat, A orqali markazi F nuqtada bo'lgan aylana quring. Asl doiraning H nuqta bilan boshqa kesishmasini belgilang.

9. Endi faqat A, E, G, H, F uchlarini ulash qoladi. Bizning muntazam beshburchak tayyor bo'ladi!

5.3. Oltin Pentagon; Evklidning qurilishi.

"Oltin nisbat" ning ajoyib namunasi oddiy beshburchak - qavariq va yulduz shaklidir (5-rasm).

Pentagramni qurish uchun oddiy beshburchakni qurish kerak.

Aylananing markazi O, aylana ustidagi nuqta A, OA segmentining o‘rta nuqtasi E bo‘lsin. O nuqtada tiklangan OA radiusiga perpendikulyar aylanani D nuqtada kesib o'tadi. Kompasdan foydalanib, diametri bo'yicha CE = ED segmentini chizing. Doira ichiga chizilgan muntazam beshburchakning yon uzunligi DC ga teng. Biz aylana bo'ylab DC segmentlarini chizamiz va oddiy beshburchak chizish uchun besh ball olamiz. Biz beshburchakning burchaklarini bir-biridan diagonallar bilan bog'laymiz va pentagram olamiz. Beshburchakning barcha diagonallari bir-birini oltin nisbat bilan bog'langan segmentlarga ajratadi.

Beshburchak yulduzning har bir uchi oltin uchburchakni ifodalaydi. Uning yon tomonlari tepada 36 ° burchak hosil qiladi va yon tomonga yotqizilgan taglik uni oltin nisbatga bo'linadi.

Oltin kuboid ham bor - bu kubsimon 1,618, 1 va 0,618 uzunliklarga ega bo'lgan qirralar bilan.

Endi Euclid tomonidan taqdim etilgan dalillarni ko'rib chiqing.

Keling, Evklid 72 graduslik burchakni qurish uchun oltin nisbatdan qanday foydalanishini ko'rib chiqaylik - bu oddiy beshburchakning tomoni ko'rinadigan burchak.

aylana markazidan. dan boshlaylik

segment ABE, o'rtacha bo'lingan va

Shunday qilib, AC=AE bo'lsin. a bilan belgilaymiz teng burchaklar EBC va SEV. AC=AE bo'lgani uchun ACE burchagi ham a ga teng. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradus degan teorema ALL burchagini topishga imkon beradi: u 180-2a ga teng, EAC burchagi esa 3a - 180. Ammo keyin ABC burchagi 180-a ga teng. . ABC uchburchagining burchaklarini umumlashtirib, biz olamiz,

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Bu erda 5a=360 a=72 degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, WEIGHT uchburchakning asosiy burchaklarining har biri cho'qqi burchagidan ikki baravar katta, ya'ni 36 daraja. Demak, muntazam beshburchakni qurish uchun faqat markazi E nuqtada, ECni X nuqtada va EB tomonini Y nuqtada kesib o'tuvchi har qanday aylana chizish kerak: XY segmenti chiziqqa chizilgan muntazam beshburchakning tomonlaridan biri bo'lib xizmat qiladi. doira; Butun doira bo'ylab aylanib, siz barcha boshqa tomonlarni topishingiz mumkin.

Keling, AC = AE ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, C cho'qqisi BE segmentining o'rta N qismiga chiziqli bo'lak orqali bog'langan. E'tibor bering, CB = CE bo'lgani uchun, CNE burchagi to'g'ri. Pifagor teoremasiga ko'ra:

CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)

Demak, bizda (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Shunday qilib, AC = ja = jAB = AE, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa

5.4 Arximed spirali.

Oltin to'rtburchaklar va cheksiz kvadratlarni doimiy ravishda kesib tashlasak, har safar qarama-qarshi nuqtalarni chorak doira bilan bog'lab, biz juda oqlangan egri chiziqqa ega bo'lamiz. Unga birinchi bo'lib e'tibor qaratgan qadimgi yunon olimi Arximed bo'lib, uning nomi bilan atalgan. U buni o'rganib chiqdi va bu spiralning tenglamasini chiqardi.

Hozirgi vaqtda Arximed spirali texnologiyada keng qo'llaniladi.

6.Fibonachchi raqamlari.

Fibonachchi (Fibonachchi - qisqartirilgan filius Bonachchi, ya'ni Bonachchining o'g'li) laqabi bilan mashhur bo'lgan Pizalik italyan matematigi Leonardoning nomi bilvosita oltin nisbat bilan bog'liq.

1202 yilda u "Liber abacci", ya'ni "Abacus kitobi" kitobini yozgan. "Liber abacci" o'sha davrdagi deyarli barcha arifmetik va algebraik ma'lumotlarni o'z ichiga olgan hajmli asar bo'lib, matematikaning rivojlanishida katta rol o'ynagan. G'arbiy Yevropa keyingi bir necha asrlarda. Xususan, yevropaliklar hind (“arab”) raqamlari bilan aynan shu kitobdan tanishgan.

Kitobda bayon qilingan materiallar tushuntirilgan katta raqam ushbu risolaning muhim qismini tashkil etuvchi muammolar.

Keling, shunday bir muammoni ko'rib chiqaylik:

“Bir juftdan bir yilda necha juft quyon tug‘iladi?

Kimdir bu yil ichida necha juft quyon tug‘ilishini bilish uchun har tomondan devor bilan o‘ralgan bir juft quyonni ma’lum bir joyga qo‘ygan, agar quyonlarning tabiati bir oyda bir juft quyon tug‘ilishini bilish uchun. quyonlar boshqasini ko'paytiradi va quyonlar tug'ilgandan keyingi ikkinchi oydan boshlab tug'adilar."

Oylar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Juft quyonlar	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Keling, endi quyonlardan raqamlarga o'tamiz va quyidagilarni ko'rib chiqamiz raqamlar ketma-ketligi:

u 1 , u 2 … u n

unda har bir atama oldingi ikkitasining yig'indisiga teng, ya'ni. har qanday n>2 uchun

u n =u n -1 +u n -2 .

Bu ketma-ketlik asimptotik tarzda (sekinroq va sekinroq yaqinlashadi) qandaydir doimiy munosabatga intiladi. Biroq, bu nisbat irratsionaldir, ya'ni kasr qismida o'nlik raqamlarning cheksiz, oldindan aytib bo'lmaydigan ketma-ketligiga ega bo'lgan sondir. Buni aniq ifodalash mumkin emas.

Agar Fibonachchi ketma-ketligining har qanday atamasi o‘zidan oldingisiga (masalan, 13:8) bo‘linsa, natijada 1,61803398875 irratsional qiymati atrofida o‘zgarib turadigan qiymat paydo bo‘ladi... va ba’zan undan oshib ketadigan, ba’zan esa unga etib bormaydi.

Ketma-ketlikning asimptotik harakati, sönümli tebranishlar uning F irratsional soni atrofidagi munosabatlari, agar ketma-ketlikning dastlabki bir necha hadlarining munosabatlarini ko'rsatsak, yanada tushunarli bo'lishi mumkin. Bu misolda ikkinchi atamaning birinchisiga, uchinchisi ikkinchisiga, to‘rtinchisi uchinchisiga va hokazo munosabatlari ko‘rsatilgan:

1:1 = 1,0000, bu phi dan 0,6180 ga kam

2:1 = 2,0000, bu phi dan 0,3820 ga ko'p

3:2 = 1,5000, bu phi dan 0,1180 ga kam

5:3 = 1,6667, bu phi dan 0,0486 ga ko'p

8:5 = 1,6000, bu phi dan 0,0180 ga kam

Fibonachchi yig'indisi ketma-ketligi bo'ylab harakatlanayotganda, har bir yangi atama keyingisini erishib bo'lmaydigan F ga kattaroq va kattaroq yaqinlashish bilan ajratadi.

Inson ongsiz ravishda ilohiy nisbatni qidiradi: bu uning konforga bo'lgan ehtiyojini qondirish uchun kerak.

Fibonachchi ketma-ketligining istalgan a'zosini keyingisiga bo'lganda, natija shunchaki 1,618 ga teskari bo'ladi (1: 1,618 = 0,618). Ammo bu ham juda g'ayrioddiy, hatto ajoyib hodisa. Dastlabki nisbat cheksiz kasr bo'lgani uchun bu nisbat ham oxiri bo'lmasligi kerak.

Har bir raqamni o'zidan keyingi raqamga bo'lishda biz 0,382 raqamini olamiz

Nisbatlarni shu tarzda tanlab, biz Fibonachchi nisbatlarining asosiy to'plamini olamiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Ularning barchasi tabiatda va xususan, texnik tahlilda alohida rol o'ynaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, Fibonachchi insoniyatga faqat o'zining ketma-ketligini eslatgan, chunki u ilgari ma'lum bo'lgan. qadim zamonlar Oltin nisbat deb ataladi.

Ko'rib turganimizdek, oltin nisbat oddiy beshburchak bilan bog'liq holda paydo bo'ladi, shuning uchun Fibonachchi raqamlari oddiy beshburchaklar bilan bog'liq bo'lgan hamma narsada - qavariq va yulduz shaklidagi rol o'ynaydi.

Fibonachchi seriyasi faqat matematik hodisa bo'lib qolishi mumkin edi, agar o'simlik va hayvonot dunyosidagi oltin bo'linishning barcha tadqiqotchilari, san'at haqida gapirmasalar ham, har doim bu qatorga oltin qonunining arifmetik ifodasi sifatida kelishgan. bo'linish. Olimlar Fibonachchi raqamlari va oltin nisbat nazariyasini faol ravishda rivojlantirishni davom ettirdilar. Yu Matiyasevich Gilbertning 10-masalasini (diofant tenglamalarini yechish haqida) Fibonachchi raqamlari yordamida hal qiladi. Fibonachchi raqamlari va oltin nisbatdan foydalangan holda bir qator kibernetik muammolarni (qidiruv nazariyasi, o'yinlar, dasturlash) hal qilishning nafis usullari paydo bo'lmoqda. AQShda hatto 1963 yildan beri maxsus jurnal nashr etuvchi Matematik Fibonachchi uyushmasi ham yaratilmoqda.

Bu sohadagi yutuqlardan biri umumlashtirilgan Fibonachchi raqamlari va umumlashtirilgan oltin nisbatlarning kashf etilishidir. Fibonachchi qatori (1, 1, 2, 3, 5, 8) va u tomonidan kashf etilgan “ikkilik” raqamlar qatori 1, 2, 4, 8, 16... (yaʼni n gacha boʻlgan sonlar qatori). , har qanday joyda natural son, n dan kichik bu qatordagi ba'zi sonlar yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin) birinchi qarashda butunlay boshqacha. Ammo ularni qurish algoritmlari bir-biriga juda o'xshash: birinchi holda, har bir raqam o'zi bilan oldingi sonning yig'indisi 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., ikkinchisida - bu oldingi ikkita sonning yig'indisi 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Umumiy raqamni topish mumkinmi? Biz “iklik qator” va “Fibonachchi” qatorini oladigan matematik formula?

Haqiqatan ham, keling, har qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan S raqamli parametrini aniqlaymiz: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Ko'rib chiqaylik. raqamlar seriyasi, S + 1 birinchi hadlari bir va keyingi har biri avvalgisining ikkita hadining yig'indisiga teng va oldingisidan S qadam oralig'ida joylashgan. Agar n-chi davr Bu qatorni S (n) bilan belgilaymiz, olamiz umumiy formula S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Ko'rinib turibdiki, bu formuladan S = 0 da biz "ikkilik" qatorni, S = 1 da - Fibonachchi qatorini, S = 2, 3, 4 da - S-Fibonachchi raqamlari deb ataladigan yangi raqamlar qatorini olamiz. .

Umuman oltin S nisbati oltin S-kesim tenglamasining musbat ildizi x S+1 – x S – 1 = 0.

S = 0 da segment yarmiga bo'linganligini va S = 1 da tanish klassik oltin nisbat olinganligini ko'rsatish oson.

Qo'shni Fibonachchi S-raqamlarining nisbati oltin S-proporsiyalari chegarasida mutlaq matematik aniqlikka to'g'ri keladi! Ya'ni, oltin S-bo'limlar Fibonachchi S-raqamlarining raqamli invariantlaridir.

7.San'atdagi oltin nisbat.

7.1. Rasmda oltin nisbat.

Rassomlikdagi "oltin nisbat" misollariga o'tsak, Leonardo da Vinchi ijodiga e'tibor qaratish mumkin emas. Uning shaxsiyati tarixning sirlaridan biridir. Leonardo da Vinchining o'zi shunday degan edi: "Matematik bo'lmagan hech kim mening asarlarimni o'qishga jur'at etmasin".

Leonardo da Vinchi buyuk rassom bo'lganiga shubha yo'q, buni zamondoshlari allaqachon tan olishgan, ammo uning shaxsiyati va faoliyati sir bo'lib qoladi, chunki u o'z avlodlariga o'z g'oyalarini izchil taqdimotini emas, balki faqat ko'plab qo'lyozmalarni qoldirgan. eskizlar, "dunyodagi hamma haqida" degan yozuvlar.

Monna Liza (La Gioconda) portreti ko'p yillar davomida tadqiqotchilarning e'tiborini tortdi, ular rasmning kompozitsiyasi oddiy yulduz shaklidagi beshburchakning qismlari bo'lgan oltin uchburchaklarga asoslanganligini aniqladilar.

Shuningdek, oltin nisbatning nisbati Shishkinning rasmida ko'rinadi. I. I. Shishkinning ushbu mashhur rasmida oltin nisbat motivlari aniq ko'rinadi. Yorqin quyoshli qarag'ay daraxti (oldingi planda) rasmning uzunligini oltin nisbatga ko'ra ajratadi. Qarag‘ay daraxtining o‘ng tomonida quyosh nuri yog‘adigan tepalik bor. U rasmning o'ng tomonini oltin nisbatga ko'ra gorizontal ravishda ajratadi.

Rafaelning "Begunohlarning qirg'inlari" rasmida oltin nisbatning yana bir elementi - oltin spiral ko'rinadi. Rafaelning tayyorgarlik eskizida kompozitsiyaning semantik markazidan - jangchi barmoqlari bolaning to'pig'i atrofida yopilgan nuqtadan - bolaning figuralari bo'ylab, uni yaqin ushlab turgan ayol, qilichini ko'targan jangchi, qizil chiziqlar chizilgan. va keyin eskizning o'ng tomonida bir xil guruhning raqamlari bo'ylab. Rafael oltin spiralni qurganmi yoki uni his qildimi, noma'lum.

T.Kuk Sandro Bottisellining “Veneraning tug‘ilishi” kartinasini tahlil qilganda oltin nisbatdan foydalangan.

7.2. Oltin nisbat piramidalari.

Piramidalarning shifobaxsh xususiyatlari, ayniqsa oltin nisbati hammaga ma'lum. Eng keng tarqalgan fikrlarga ko'ra, bunday piramida joylashgan xona kattaroq ko'rinadi va havo shaffofroq. Orzular yaxshiroq esda qola boshlaydi. Shuningdek, oltin nisbat me'morchilik va haykaltaroshlikda keng qo'llanilganligi ham ma'lum. Bunga misol qilib: Gretsiyadagi Panteon va Parfenon, me'morlar Bazhenov va Malevich tomonidan qurilgan binolar.

8. Xulosa.

Aytish kerakki, oltin nisbat bizning hayotimizda katta qo'llaniladi.

Inson tanasi kamar chizig'i bilan oltin nisbatga mutanosib ravishda bo'linganligi isbotlangan.

Nautilus qobig'i oltin spiral kabi o'ralgan.

Oltin nisbat tufayli Mars va Yupiter o'rtasidagi asteroid kamari topildi - nisbatga ko'ra u erda boshqa sayyora bo'lishi kerak.

Ipni oltin bo'linishga nisbatan ajratuvchi nuqtada qo'zg'alish ipning tebranishiga olib kelmaydi, ya'ni bu kompensatsiya nuqtasidir.

Yoniq samolyot Bilan elektromagnit manbalar energiya, to'rtburchaklar hujayralar oltin nisbat nisbati bilan yaratilgan.

Mona Liza oltin uchburchaklar ustiga qurilgan;

Bu nisbat Sandro Botticellining "Veneraning tug'ilishi" kartinasida topilgan.

Oltin nisbatdan foydalangan holda qurilgan ko'plab me'moriy yodgorliklar, jumladan Afinadagi Panteon va Parthenon, me'morlar Bazhenov va Malevich tomonidan qurilgan binolar mavjud.

Besh asr oldin yashagan Jon Kepler shunday degan: "Geometriyaning ikkita katta xazinasi bor, birinchisi - Pifagor teoremasi, ikkinchisi - segmentning ekstremal va o'rtacha nisbatda bo'linishi."

Ma'lumotnomalar

1. D. Pidou. Geometriya va san'at. – M.: Mir, 1979 yil.

2. “Fan va texnologiya” jurnali

3. «Kvant» jurnali, 1973 yil, 8-son.

4. «Matematika maktabda» jurnali, 1994 yil, 2-son; № 3.

5. Kovalyov F.V. Rasmda oltin nisbat. K.: Vishcha maktabi, 1989 yil.

6. Staxov A. Oltin nisbat kodlari.

7. Vorobiev N.N. "Fibonachchi raqamlari" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - Bolalar uchun entsiklopediya" M.: Avanta +, 1998 y.

9. Internetdan olingan ma'lumotlar.

Fibonachchi matritsalari va "oltin" matritsalar, yangi kompyuter arifmetikasi, yangi kodlash nazariyasi va yangi kriptografiya nazariyasi. Yangi fanning mohiyati Pifagordan boshlab barcha matematikani oltin qism nuqtai nazaridan qayta ko'rib chiqishdan iborat bo'lib, bu, tabiiyki, nazariyada yangi va, albatta, juda qiziqarli matematik natijalarni keltirib chiqaradi. Amaliy ma'noda - "oltin" kompyuterlashtirish. Va shundan beri ...

Bu natijaga ta'sir qilmaydi. Oltin nisbatning asosi 4 va 6 rekursiv munosabatlarning invariantidir. Bu tirik materiyani tashkil qilish tamoyillaridan biri bo'lgan oltin qismning "barqarorligini" ko'rsatadi. Shuningdek, oltin nisbatning asosi ikkita ekzotik rekursiv ketma-ketlikning yechimidir (4-rasm). 4 ta rekursiv Fibonachchi ketma-ketligi...

Quloq j5, quloqdan tojgacha bo'lgan masofa j6. Shunday qilib, bu haykalda j maxrajli geometrik progressiyani ko'ramiz: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9-rasm). Shunday qilib, oltin nisbat san'atning asosiy tamoyillaridan biridir. qadimgi Yunoniston. Yurak va miya ritmlari. Inson yuragi bir tekisda uradi - dam olishda daqiqada taxminan 60 zarba. Yuragim pistondek siqiladi...

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

Oddiy beshburchak(yunoncha πενταγωνον ) - geometrik figura, besh tomoni bo'lgan muntazam ko'pburchak.

Xususiyatlari

• Dodekaedr yuzlari muntazam beshburchaklar bo'lgan yagona muntazam ko'pburchakdir.
• AQSh Mudofaa vazirligi binosi bo'lgan Pentagon oddiy beshburchak shakliga ega.
• Muntazam beshburchak - bu muntazam ko'pburchak eng kam miqdor samolyotni plitka qo'yish mumkin bo'lmagan burchaklardan.
• Tabiatda oddiy beshburchak shaklidagi yuzli kristallar yo'q.
• Barcha diagonallari bilan beshburchak 4-simpleksning proyeksiyasidir.

Shuningdek qarang

"Doimiy Pentagon" maqolasi haqida sharh yozing

Eslatmalar

Tomonlar soni bo'yicha To'g'ri Uchburchaklar To'rtburchaklar Shuningdek qarang

Ko'pburchaklar Yulduzli ko'pburchaklar Samolyotda parket Oddiy ko'p yuzli va sharsimon parket Kepler-Poinsot ko'p yuzli Asal uyasi To'rt o'lchovli ko'p yuzli

Muntazam Pentagonni tavsiflovchi parcha

Petya bu qancha davom etganini bilmas edi: u o'zini quvontirdi, doimo uning zavqidan hayratda edi va buni aytadigan hech kim yo'qligidan afsusda edi. Uni Lixachevning mayin ovozi uyg'otdi.
- Tayyor, janob, siz qorovulni ikkiga bo'lasiz.
Petya uyg'ondi.
- Allaqachon tong otdi, rostdan ham tong otdi! - qichqirdi u.
Ilgari ko‘rinmas otlar dumlarigacha ko‘rinib qoldi, yalang‘och shoxlar orasidan suvli nur ko‘rindi. Petya o'zini silkitib, o'rnidan turdi, cho'ntagidan bir rubl olib, Lixachevga berdi, qo'l silkitib, qilichni sinab ko'rdi va g'ilofga solib qo'ydi. Kazaklar otlarni yechib, aylanalarini mahkamlashdi.
"Mana komandir", dedi Lixachev. Denisov qorovulxonadan chiqdi va Petyani chaqirib, tayyorlanishni buyurdi.

Yarim zulmatda tezda otlarni demontaj qilishdi, aylanalarni mahkamlashdi va jamoalarni saralashdi. Denisov qorovulxonada turib, oxirgi buyruqlarni berdi. Partiyaning piyoda askarlari yuz futga shapaloq urib, yo‘l bo‘ylab olg‘a yurib, tong oldi tumanda daraxtlar orasidan tezda g‘oyib bo‘ldilar. Esaul kazaklarga nimadir buyurdi. Petya otini jilovidan ushlab, otga chiqish buyrug'ini sabrsizlik bilan kutardi. Sovuq suv bilan yuvilgan yuzi, ayniqsa, ko'zlari olovda yondi, orqasidan sovuq yugurdi, butun vujudida nimadir tez va bir tekis titraydi.
- Xo'sh, siz uchun hamma narsa tayyormi? - dedi Denisov. - Bizga otlarni bering.
Otlarni olib kelishdi. Denisov kazakdan g'azablandi, chunki bellari zaif edi va uni tanbeh qilib, o'tirdi. Petya uzengini ushlab oldi. Ot, odatiga ko'ra, oyog'ini tishlamoqchi bo'ldi, lekin Petya uning og'irligini sezmay, tezda egarga sakrab tushdi va zulmatda orqada ketayotgan hussarlarga qarab, Denisovning oldiga bordi.
- Vasiliy Fedorovich, menga biror narsa ishonib berasizmi? Iltimos... Xudo uchun... – dedi. Denisov Petyaning mavjudligini unutganga o'xshaydi. U orqasiga qaradi.
- Sizdan bir narsani so'rayman, - dedi u qattiq ohangda, - menga bo'ysunish va hech qayerga aralashmaslik.
Butun sayohat davomida Denisov Petyaga bir og'iz ham gapirmadi va indamay minib ketdi. Biz o'rmon chetiga kelganimizda, dala allaqachon sezilarli darajada engillasha boshlagan edi. Denisov esaul bilan pichirlab gaplashdi va kazaklar Petya va Denisovning yonidan o'ta boshladilar. Hammasi o‘tib bo‘lgach, Denisov otini boshlab, pastga tushdi. Orqa tarafga o‘tirib, sirg‘alib yurgan otlar chavandozlari bilan jarga tushdilar. Petya Denisovning yoniga otlandi. Butun vujudida titroq kuchayib ketdi. U engilroq va engilroq bo'ldi, faqat tuman uzoqdagi narsalarni yashirdi. Pastga tushib, orqasiga qarab, Denisov yonida turgan kazakga bosh irg'adi.
- Signal! - dedi u.
Kazak qo‘lini ko‘tardi, o‘q ovozi eshitildi. Xuddi shu lahzada oldinda chopayotgan otlarning dovdirashi eshitildi, turli tomondan qichqiriqlar va yana o'qlar eshitildi.
Birinchi oyoq urish va qichqiriq tovushlari eshitilgach, Petya otini urib, jilovini qo'yib yubordi, unga baqirayotgan Denisovga quloq solmay, oldinga yugurdi. Petyaga o'q ovozi eshitilgan o'sha paytda tong o'rtasidagidek yorqin tong otgandek tuyuldi. U ko‘prik tomon chopdi. Oldindagi yo'l bo'ylab kazaklar yugurishdi. Ko'prikda u orqada qolgan kazakka duch keldi va minib ketdi. Oldinda ba'zi odamlar - ular frantsuz bo'lishlari kerak - yo'lning o'ng tomonidan chapga yugurishdi. Biri Petya otining oyog'i ostidagi loyga tushib ketdi.
Bir kulba atrofida kazaklar to'planib, nimadir qilishdi. Olomon o'rtasidan dahshatli qichqiriq eshitildi. Petya bu olomonning oldiga yugurdi va u ko'rgan birinchi narsa pastki jag'i titrayotgan frantsuzning oqarib ketgan yuzi bo'ldi va unga ishora qilingan nayzaning o'qini ushlab oldi.
"Hurray!.. Yigitlar... bizniki..." - deb qichqirdi Petya va jilovni qizib ketgan otga berib, ko'cha bo'ylab yugurdi.
Oldindan otishmalar eshitildi. Yo‘lning ikki chetidan yugurib kelayotgan kazaklar, gusarlar va yirtiq rus mahbuslari baland ovozda va o‘ng‘aysiz nimadir deb qichqirardilar. Xushbichim frantsuz, shlyapasiz, qizil, qovog'i chimirgan, ko'k palto kiygan, nayza bilan hussarlarga qarshi kurashdi. Petya yugurib chiqqanida, frantsuz allaqachon yiqilib tushgan edi. Men yana kechikdim, Petya uning boshida chaqnadi va u tez-tez o'qlar eshitiladigan joyga yugurdi. Kecha u Doloxov bilan birga bo'lgan uy hovlisida otishma yangradi. Frantsuzlar butalar bilan o'sgan zich bog'dagi panjara ortida o'tirib, darvoza oldida to'plangan kazaklarga qarata o'q uzdilar. Darvozaga yaqinlashib, chang tutuni ichida Petya odamlarga nimadir deb baqirayotgan Doloxovni oqarib, yashil rangda ko'rdi. “Aylanma yo‘ldan boring! Piyoda askarni kuting!” - deb baqirdi u, Petya uning oldiga bordi.
«To‘xtangmi?.. Huray!..» — deb qichqirdi Petya va bir daqiqa ham ikkilanmay, o‘q ovozi eshitilgan, chang tutuni quyuqroq bo‘lgan joyga yugurdi. Voleybol ovozi eshitildi, bo'sh o'qlar chiyillashdi va nimagadir tegdi. Kazaklar va Doloxov Petyaning orqasidan uyning darvozasidan yugurishdi. Tebranib turgan quyuq tutun ichida frantsuzlar ba'zilari qurollarini tashlab, kazaklar bilan uchrashish uchun butalardan yugurishdi, boshqalari esa hovuzga yugurishdi. Petya otiga minib, uyning hovlisi bo'ylab yugurdi va jilovni ushlab turish o'rniga, g'alati va tezda ikkala qo'lini silkitib, egardan bir chetga tushib ketdi. Ertalab yorug'ida yonayotgan olovga yugurib kelgan ot dam oldi va Petya ho'l erga qattiq yiqildi. Kazaklar uning boshi qimirlamaganiga qaramay, qo'llari va oyoqlari qanchalik tez chayqalishini ko'rdi. O‘q uning boshini teshib o‘tdi.
Uy ortidan qilichiga ro‘mol o‘rab, taslim bo‘layotganliklarini e’lon qilgan katta frantsuz ofitseri bilan suhbatlashgandan so‘ng, Doloxov otdan tushib, qo‘llarini cho‘zgancha qimir etmay yotgan Petyaga yaqinlashdi.
- Tayyor, - dedi u qovog'ini solib, darvozadan o'tib, o'zi tomon kelayotgan Denisovni kutib oldi.
- O'ldirilganmi?! - qichqirdi Denisov uzoqdan Petyaning jasadi yotgan tanish, shubhasiz jonsiz holatni ko'rib.
"Tayyor," deb takrorladi Doloxov, go'yo bu so'zni talaffuz qilish unga zavq bag'ishlagandek va tezda otdan tushgan kazaklar tomonidan o'ralgan mahbuslar oldiga bordi. - Biz olmaymiz! — deb qichqirdi u Denisovga.