Piramida tushunchasi

Ta'rif 1

Geometrik shakl, koʻpburchak va shu koʻpburchakni oʻz ichiga olgan tekislikda yotmaydigan nuqtadan hosil boʻlgan, koʻpburchakning barcha uchlari bilan bogʻlangan piramida deyiladi (1-rasm).

Piramida yaratilgan ko'pburchak piramidaning asosi deb ataladi, natijada paydo bo'lgan uchburchaklar, bir nuqtaga ulanganda, piramidaning yon yuzlari, uchburchaklarning tomonlari piramidaning tomonlari va umumiy nuqtadir; barcha uchburchaklar uchun piramidaning tepasi.

Piramidalarning turlari

Piramida poydevoridagi burchaklar soniga qarab, uni uchburchak, to'rtburchak va hokazo deb atash mumkin (2-rasm).

2-rasm.

Piramidaning yana bir turi oddiy piramidadir.

Oddiy piramidaning xususiyatini tanishtiramiz va isbotlaymiz.

Teorema 1

Hammasi yon yuzlar Muntazam piramidalar bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir.

Isbot.

Balandligi $S$ $h=SO$ boʻlgan oddiy $n-$gonal piramidani koʻrib chiqaylik. Keling, poydevor atrofida aylana chizamiz (4-rasm).

4-rasm.

$SOA$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra, biz olamiz

Shubhasiz, har qanday yon chekka shu tarzda aniqlanadi. Binobarin, barcha yon qirralar bir-biriga teng, ya'ni barcha yon tomonlari teng yonli uchburchaklardir. Keling, ularning bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. Chunki asos muntazam ko'pburchak, keyin barcha lateral yuzlarning asoslari bir-biriga teng. Binobarin, barcha lateral yuzlar uchburchaklar tengligining III mezoniga ko'ra tengdir.

Teorema isbotlangan.

Keling, oddiy piramida tushunchasi bilan bog'liq quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif 3

Muntazam piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir.

Shubhasiz, Birinchi teoremaga ko'ra, barcha apotemlar bir-biriga tengdir.

Teorema 2

Muntazam piramidaning lateral yuzasi poydevorning yarim perimetri va apothemning mahsuloti sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asosining yon tomonini $a$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Chunki, 1-teoremaga ko'ra, barcha tomonlar tengdir

Teorema isbotlangan.

Piramidaning yana bir turi kesilgan piramidadir.

Ta'rif 4

Agar oddiy piramida orqali uning asosiga parallel tekislik o'tkazilsa, u holda bu tekislik bilan asos tekisligi o'rtasida hosil bo'lgan figuraga kesilgan piramida deyiladi (5-rasm).

5-rasm. Kesilgan piramida

Kesilgan piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir.

Teorema 3

Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi poydevor va apotemaning yarim perimetrlari yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asoslarining tomonlarini mos ravishda $a\ va\ b$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Hamma tomonlar teng bo'lgani uchun

Teorema isbotlangan.

Namuna topshiriq

1-misol

Kesilgan uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonini toping, agar u asos tomoni 4 va apotemi 5 bo'lgan oddiy piramidadan yon yuzlarning o'rta chizig'idan o'tadigan tekislikni kesib o'tgan bo'lsa.

Yechim.

O'rta chiziq teoremasidan foydalanib, biz kesilgan piramidaning yuqori asosi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotema esa $5\cdot \frac(1)(2) ga teng ekanligini aniqlaymiz. =2,5$.

Keyin 3-teorema bo'yicha biz olamiz

• apotema- muntazam piramidaning uning cho'qqisidan chizilgan yon yuzining balandligi (bundan tashqari, apotem - muntazam ko'pburchakning o'rtasidan uning bir tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi);
• yon yuzlar (ASB, BSC, CSD, DSA) - cho'qqisida uchrashadigan uchburchaklar;
• lateral qovurg'alar ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — yon yuzlarning umumiy tomonlari;
• piramidaning tepasi (t. S) - yon qovurg'alarni bog'laydigan va asos tekisligida yotmaydigan nuqta;
• balandligi ( SO ) - piramidaning ustki qismidan uning asosi tekisligiga chizilgan perpendikulyar segment (bunday segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyarning asosi bo'ladi);
• piramidaning diagonal qismi- piramidaning tepadan va asosning diagonalidan o'tadigan qismi;
• asos (ABCD) - piramida cho'qqisiga tegishli bo'lmagan ko'pburchak.

Piramidaning xossalari.

1. Barcha yon qirralarning o'lchami bir xil bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
• yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchaklar hosil qiladi;
• Bundan tashqari, buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. lateral qovurg'alar asos tekisligi bilan hosil bo'lganda teng burchaklar, yoki piramida poydevori yaqinida aylana tasvirlangan bo'lsa va piramida tepasi bu doira markaziga proyeksiya qilinadi, ya'ni piramidaning barcha yon qirralari bir xil o'lchamda bo'ladi.

2. Yon yuzlar bir xil qiymatdagi poydevor tekisligiga moyillik burchagiga ega bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
• yon yuzlarning balandliklari teng uzunlik;
• yon yuzaning maydoni taglik perimetri va yon yuzning balandligi mahsulotining ½ qismiga teng.

3. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramidaning negizida uning atrofida aylana tasvirlanadigan ko‘pburchak bo‘lsa (zarur va yetarli shart). Sfera markazi ularga perpendikulyar piramida qirralarining o'rtalaridan o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi. Ushbu teoremadan biz sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin degan xulosaga kelamiz.

4. Piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari 1-nuqtada kesishsa (zarur va yetarli shart) sharni piramida ichiga yozib olish mumkin. Bu nuqta sharning markaziga aylanadi.

Eng oddiy piramida.

Burchaklar soniga ko'ra, piramida asosi uchburchak, to'rtburchak va boshqalarga bo'linadi.

Piramida bo'ladi uchburchak, to'rtburchak, va hokazo, piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak va hokazo bo'lganda. Uchburchak piramida tetraedr - tetraedrdir. To'rtburchak - beshburchak va boshqalar.

Ushbu video darslik foydalanuvchilarga Piramida mavzusi haqida tasavvurga ega bo'lishga yordam beradi. To'g'ri piramida. Bu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz va unga ta'rif beramiz. Keling, oddiy piramida nima ekanligini va u qanday xususiyatlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik. Keyin muntazam piramidaning lateral yuzasi haqidagi teoremani isbotlaymiz.

Bu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz va unga ta'rif beramiz.

Ko'pburchakni ko'rib chiqing A 1 A 2...A n, a tekislikda yotgan va nuqta P, a tekislikda yotmaydigan (1-rasm). Keling, nuqtalarni bog'laymiz P cho'qqilari bilan A 1, A 2, A 3, … A n. olamiz n uchburchaklar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R va hokazo.

Ta'rif. Ko'p yuzli RA 1 A 2 ...A n, dan tashkil topgan n-kvadrat A 1 A 2...A n Va n uchburchaklar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 deyiladi n- ko'mir piramidasi. Guruch. 1.

Guruch. 1

To'rtburchakli piramidani ko'rib chiqing PABCD(2-rasm).

R- piramidaning tepasi.

ABCD- piramidaning asosi.

RA- yon qovurg'a.

AB- asosiy qovurg'a.

Nuqtai nazardan R perpendikulyarni tushiramiz RN asosiy tekislikka ABCD. Chizilgan perpendikulyar piramidaning balandligi.

Guruch. 2

To'liq sirt Piramida lateral yuzadan, ya'ni barcha lateral yuzlarning maydonidan va poydevorning maydonidan iborat:

S to'liq = S tomoni + S asosiy

Piramida to'g'ri deb ataladi, agar:

• uning asosi muntazam ko'pburchak;
• piramidaning yuqori qismini poydevor markaziga bog'laydigan segment uning balandligi.

Muntazam to'rtburchak piramida misolidan foydalanib tushuntirish

Oddiy to'rtburchak piramidani ko'rib chiqing PABCD(3-rasm).

R- piramidaning tepasi. Piramidaning asosi ABCD- muntazam to'rtburchak, ya'ni kvadrat. Nuqta HAQIDA, diagonallarning kesishish nuqtasi, kvadratning markazi. Ma'nosi, RO piramidaning balandligi.

Guruch. 3

Tushuntirish: to'g'ri n Uchburchakda chizilgan aylananing markazi va aylana markazi bir-biriga to'g'ri keladi. Bu markaz ko'pburchakning markazi deb ataladi. Ba'zan ular vertex markazga proyeksiyalanganligini aytishadi.

Muntazam piramidaning cho'qqisidan chizilgan lateral yuzining balandligi deyiladi apotema va belgilanadi h a.

1. muntazam piramidaning barcha lateral qirralari teng;

2. Yon tomonlari teng yon tomonli uchburchaklardir.

Biz bu xossalarning isbotini oddiy to'rtburchak piramida misolida keltiramiz.

Berilgan: PABCD- muntazam to'rtburchak piramida,

ABCD- kvadrat,

RO- piramidaning balandligi.

isbotlash:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Rasmga qarang. 4.

Guruch. 4

Isbot.

RO- piramidaning balandligi. Ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri OAJ, VO, SO Va QILING unda yotish. Shunday qilib, uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD- to'rtburchaklar.

Kvadratni ko'rib chiqing ABCD. Kvadratning xossalaridan shunday xulosa kelib chiqadi AO = VO = CO = QILING.

Keyin to'g'ri uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD oyoq RO- umumiy va oyoqlar OAJ, VO, SO Va QILING tengdir, demak, bu uchburchaklar ikki tomondan teng. Uchburchaklar tengligidan segmentlar tengligi kelib chiqadi, RA = PB = RS = PD. 1-band isbotlangan.

Segmentlar AB Va Quyosh teng, chunki ular bir kvadratning tomonlari, RA = PB = RS. Shunday qilib, uchburchaklar AVR Va VSR - teng yon tomonli va uch tomoni teng.

Xuddi shunday tarzda biz bu uchburchaklarni topamiz ABP, VCP, CDP, DAP 2-bandda isbotlanishi talab qilinganidek, teng yon tomonli va tengdir.

Oddiy piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotem perimetri mahsulotining yarmiga teng:

Buni isbotlash uchun oddiy uchburchak piramidani tanlaylik.

Berilgan: RAVS- to'g'ri uchburchak piramida.

AB = BC = AC.

RO- balandlik.

isbotlash: . Rasmga qarang. 5.

Guruch. 5

Isbot.

RAVS- muntazam uchburchak piramida. Ya'ni AB= AC = BC. Mayli HAQIDA- uchburchakning markazi ABC, Keyin RO piramidaning balandligi. Piramidaning tagida teng qirrali uchburchak yotadi ABC. Shu esta tutilsinki .

Uchburchaklar RAV, RVS, RSA- teng yon tomonli uchburchaklar (xususiyati bo'yicha). Uchburchak piramidaning uchta tomoni bor: RAV, RVS, RSA. Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral yuzasi maydoni:

S tomoni = 3S RAW

Teorema isbotlangan.

Muntazam to'rtburchakli piramidaning poydevoriga chizilgan doiraning radiusi 3 m, piramidaning balandligi 4 m. Piramidaning lateral yuzasining maydonini toping.

Berilgan: muntazam to'rtburchak piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- piramidaning balandligi,

RO= 4 m.

Toping: S tomoni. Rasmga qarang. 6.

Guruch. 6

Yechim.

Tasdiqlangan teoremaga ko'ra, .

Keling, avval poydevorning yon tomonini topamiz AB. Bizga ma'lumki, muntazam to'rtburchakli piramidaning poydevoriga chizilgan aylananing radiusi 3 m.

Keyin, m.

Kvadratning perimetrini toping ABCD 6 m tomoni bilan:

Uchburchakni ko'rib chiqing BCD. Mayli M- yon tomonning o'rtasi DC. Chunki HAQIDA- o'rtada BD, Bu (m).

Uchburchak DPC- teng yon tomonlar. M- o'rtada DC. Ya'ni, RM- mediana, shuning uchun uchburchakdagi balandlik DPC. Keyin RM- piramidaning apothemi.

RO- piramidaning balandligi. Keyin, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri OM, unda yotgan. Keling, apotemani topamiz RM dan to'g'ri uchburchak ROM.

Endi topishimiz mumkin lateral yuzasi piramidalar:

Javob: 60 m2.

Muntazam uchburchakli piramidaning poydevori atrofida aylana radiusi m ga teng, lateral sirt maydoni 18 m 2. Apotemaning uzunligini toping.

Berilgan: ABCP- muntazam uchburchak piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S tomoni = 18 m2.

Toping: . Rasmga qarang. 7.

Guruch. 7

Yechim.

To'g'ri uchburchakda ABC Cheklangan aylana radiusi berilgan. Keling, bir tomonni topaylik AB bu uchburchak sinuslar qonunidan foydalangan holda.

Muntazam uchburchakning (m) tomonini bilib, uning perimetrini topamiz.

Muntazam piramidaning lateral sirt maydoni haqidagi teorema bo'yicha, bu erda h a- piramidaning apothemi. Keyin:

Javob: 4 m.

Shunday qilib, biz piramida nima ekanligini, muntazam piramida nima ekanligini ko'rib chiqdik va muntazam piramidaning lateral yuzasi haqidagi teoremani isbotladik. Keyingi darsda biz kesilgan piramida bilan tanishamiz.

Ma'lumotnomalar

1. Geometriya. 10-11-sinflar: umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik (asosiy va profil darajalari) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal.
2. Geometriya. 10-11-sinf: Umumiy ta’lim uchun darslik ta'lim muassasalari/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
3. Geometriya. 10-sinf: Matematika fanini chuqurlashtirilgan va ixtisoslashtirilgan umumta’lim muassasalari uchun darslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 008. - 233 p.: kasal.

1. "Yaklass" internet portali ()
2. "Birinchi sentyabr" pedagogik g'oyalar festivali internet portali ()
3. "Slideshare.net" internet portali ()

Uy vazifasi

1. Muntazam ko'pburchak tartibsiz piramidaning asosi bo'lishi mumkinmi?
2. Muntazam piramidaning ajratilgan qirralari perpendikulyar ekanligini isbotlang.
3. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining yon tomonidagi ikki burchakli burchakning qiymatini toping, agar piramidaning apotemi uning asosining yon tomoniga teng bo‘lsa.
4. RAVS- muntazam uchburchak piramida. Piramida asosidagi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing.

Yon qovurg'alarning qaysi biri poydevorga perpendikulyar.

Bunday holda, bu chekka piramidaning balandligi bo'ladi.

Piramidaning xossalari.

1. Barcha yon qirralarning o'lchami bir xil bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
• yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchaklar hosil qiladi;
• Bundan tashqari, buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. yon qovurg'alar poydevor tekisligi bilan teng burchaklarni hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa va piramidaning tepasi bu doiraning markaziga proyeksiyalansa, bu barcha yon qirralarning ekanligini anglatadi. Piramidaning o'lchamlari bir xil.

2. Yon yuzlar bir xil qiymatdagi poydevor tekisligiga moyillik burchagiga ega bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiya qilinadi;
• yon yuzlarning balandligi teng uzunlikda;
• yon yuzaning maydoni taglik perimetri va yon yuzning balandligi mahsulotining ½ qismiga teng.

3. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramidaning negizida uning atrofida aylana tasvirlanadigan ko‘pburchak bo‘lsa (zarur va yetarli shart). Sfera markazi ularga perpendikulyar piramida qirralarining o'rtalaridan o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi. Bu teoremadan biz sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin degan xulosaga kelamiz;

4. Piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari 1-nuqtada kesishsa (zarur va yetarli shart) sharni piramida ichiga yozib olish mumkin. Bu nuqta sharning markaziga aylanadi.

5. Konusning uchlari bir-biriga to'g'ri kelganda piramidaga, konusning asosi esa piramida asosiga chizilgan bo'ladi. Bunday holda, piramidaga konusni faqat piramidaning apotemalari teng o'lchamlarga ega bo'lgan taqdirdagina (zarur va etarli shart) sig'dirish mumkin;

6. Konusning uchlari mos tushsa, piramida yonida, konusning asosi esa piramida poydevori yonida tasvirlanadi. Bunday holda, piramida yaqinidagi konusni faqat piramidaning barcha yon qirralari bir xil qiymatlarga ega bo'lsa (zarur va etarli shart) tasvirlash mumkin. Bu konus va piramidalarning balandligi bir xil.

7. Silindr piramidaga chizilgan bo‘ladi, agar uning asoslaridan biri piramida kesmasiga asosiga parallel tekislik bilan chizilgan aylana bilan mos tushsa, ikkinchi asos esa piramida asosiga tegishli bo‘lsa.

8. Piramidaning tepasi uning asoslaridan biriga tegishli bo'lsa, silindr piramida yonida, silindrning ikkinchi asosi esa piramida poydevori yaqinida tasvirlanadi. Bunday holda, piramidaning asosi chizilgan ko'pburchak (zarur va etarli shart) bo'lsagina, piramida yaqinidagi silindrni tasvirlash mumkin.

To'rtburchaklar piramidaning hajmi va maydonini aniqlash uchun formulalar.

V- piramidaning hajmi,

S- piramida poydevorining maydoni,

h- piramidaning balandligi,

Sb- piramidaning lateral yuzasi maydoni,

a- apotema (bilan adashtirmaslik kerak α ) piramidalar,

P- piramida poydevorining perimetri,

n- piramida poydevorining tomonlar soni,

b- uzunlik lateral qovurg'a piramidalar,

α - piramidaning yuqori qismidagi tekis burchak.