Muntazam tetraedr (piramida). Muntazam tetraedr (piramida) Tetraedrning lateral yuzasi uchun formula

Eslatma. Bu geometriya masalalari bo'yicha darsning bir qismi (stereometriya bo'limi, piramidaga oid masalalar). Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya muammosini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Vazifalarda "kvadrat ildiz" belgisi o'rniga sqrt () funktsiyasi qo'llaniladi, bunda sqrt belgidir. kvadrat ildiz, va radikal ifoda qavs ichida ko'rsatilgan.Oddiy radikal iboralar uchun "√" belgisidan foydalanish mumkin. Muntazam tetraedr- bu to'g'ri uchburchak piramida unda barcha yuzlar teng qirrali uchburchaklardir.

Muntazam tetraedrda qirralardagi barcha ikkiburchak burchaklar va uchlaridagi barcha uchburchak burchaklar tengdir.

Tetraedrning 4 ta yuzi, 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor.

Muntazam tetraedr uchun asosiy formulalar jadvalda keltirilgan.

Qayerda:
S - muntazam tetraedrning sirt maydoni
V - hajm
h - poydevorga tushirilgan balandlik
r - tetraedrga chizilgan aylananing radiusi
R - aylana
a - chekka uzunligi

Amaliy misollar

Vazifa.
Har bir cheti √3 ga teng bo'lgan uchburchak piramidaning sirt maydonini toping

Yechim.
Uchburchak piramidaning barcha qirralari teng bo'lgani uchun u muntazamdir. Oddiy uchburchak piramidaning sirt maydoni S = a 2 √3 ga teng.
Keyin
S = 3√3

Javob: 3√3

Vazifa.
Oddiy uchburchak piramidaning barcha qirralari 4 sm ga teng Piramidaning hajmini toping

Yechim.
Muntazam uchburchakli piramidada piramidaning balandligi poydevorning markaziga proyeksiya qilinganligi sababli, u ham aylananing markazidir.

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Shunday qilib, OM piramidasining balandligini dan topish mumkin to'g'ri uchburchak AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Piramida hajmini V = 1/3 Sh formulasi yordamida topamiz
Bunday holda, biz S = √3/4 a 2 formulasidan foydalanib, bazaning maydonini topamiz

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Javob: 16√2 / 3 sm

Ixtiyoriy ABC uchburchagi va bu uchburchak tekisligida yotmaydigan D nuqtani ko'rib chiqaylik. Bu nuqtani segmentlar yordamida ABC uchburchakning uchlari bilan bog'laymiz. Natijada ADC, CDB, ABD uchburchaklarini olamiz. To'rtta ABC, ADC, CDB va ABD uchburchaklari bilan chegaralangan sirt tetraedr deb ataladi va DABC deb nomlanadi.
Tetraedrni tashkil etuvchi uchburchaklar uning yuzlari deyiladi.
Bu uchburchaklarning tomonlari tetraedrning qirralari deyiladi. Va ularning uchlari tetraedrning uchlaridir

Tetraedr bor 4 ta yuz, 6 qovurg'a Va 4 cho'qqi.
Ikki qovurg'a, ularda yo'q umumiy tepa, qarama-qarshi deyiladi.
Ko'pincha, qulaylik uchun tetraedrning yuzlaridan biri deyiladi asos, qolgan uchta yuz esa yon yuzlardir.

Shunday qilib, tetraedr - yuzlari to'rtta uchburchak bo'lgan eng oddiy ko'pburchak.

Ammo har qanday ixtiyoriy uchburchak piramidasi tetraedr ekanligi ham haqiqatdir. Keyin tetraedr deyilishi ham haqiqatdir poydevorida uchburchak bo'lgan piramida.

Tetraedrning balandligi qarama-qarshi yuzida joylashgan va unga perpendikulyar nuqta bilan cho'qqisini bog'laydigan segment deyiladi.
Tetraedrning medianasi qarama-qarshi yuzning medianalarining kesishish nuqtasiga cho'qqisini bog'laydigan segment deyiladi.
Tetraedrning bimediani tetraedrning kesishgan qirralarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment deyiladi.

Chunki tetraedr bilan piramida uchburchak asos, keyin har qanday tetraedrning hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

  • S- har qanday yuzning maydoni,
  • H– bu yuzga tushgan balandlik

Muntazam tetraedr - tetraedrning maxsus turi

Barcha yuzlari teng yonli bo'lgan tetraedr uchburchak deyiladi. to'g'ri.
Muntazam tetraedrning xususiyatlari:

  • Barcha qirralar teng.
  • Muntazam tetraedrning barcha tekis burchaklari 60° ga teng
  • Uning har bir cho'qqisi uchta muntazam uchburchakning cho'qqisi bo'lgani uchun, har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
  • Muntazam tetraedrning har qanday tepasi qarama-qarshi yuzning ortosentriga (uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasida) proyeksiyalanadi.

Bizga qirralari a ga teng bo'lgan ABCD muntazam tetraedri berilsin. DH - uning balandligi.
BM - ABC uchburchakning balandligi va DM - ACD uchburchakning balandligi qo'shimcha konstruktsiyalarni yasaymiz.
BM ning balandligi BM ga teng va tengdir
BDM uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda tetraedrning balandligi bo'lgan DH ham bu uchburchakning balandligidir.
MB tomoniga tushirilgan uchburchakning balandligini formula yordamida topish mumkin

, Qayerda
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Keling, bu qiymatlarni balandlik formulasiga almashtiramiz. olamiz


Keling, 1/2a ni chiqaramiz. olamiz



Keling, kvadratlar farqi formulasini qo'llaymiz

Kichik o'zgarishlardan keyin biz olamiz


Har qanday tetraedrning hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
,
Qayerda ,

Ushbu qiymatlarni almashtirsak, biz olamiz

Shunday qilib, muntazam tetraedr uchun hajm formulasi

Qayerda a– tetraedr qirrasi

Tetraedrning hajmini hisoblash, agar uning cho'qqilarining koordinatalari ma'lum bo'lsa

Bizga tetraedr uchlari koordinatalari berilsin

Tepasidan , , vektorlarini chizamiz.
Ushbu vektorlarning har birining koordinatalarini topish uchun oxirgi koordinatadan mos keladigan bosh koordinatani ayirish kerak. olamiz


Javob: 6.

Javob: 000

Tetraedrning sirt maydoni 1 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

prototip.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juftdan iborat teng uchburchaklar, ularning har biri asl tetraedr yuzi maydonining chorak qismiga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob:

Tetraedrning sirt maydoni - Ko'pburchakning sirt maydonini toping, uning uchlari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 0,8

Tetraedrning sirt maydoni 4,6 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 2.3

Tetraedrning sirt maydoni 6 ga teng. Tetraedrning uchlari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'p yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 3

Tetraedrning sirt maydoni 2,8 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 000

Tetraedrning sirt maydoni 8,8 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 7 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'p yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 3.5

Tetraedrning sirt maydoni 4,8 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 9,6 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 7,8 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 5,6 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 3,2 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 8,6 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 2,2 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 6,8 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Javob: 3.4

Tetraedrning sirt maydoni 10,2 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 3,8 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 4 ga teng. Tetraedrning uchlari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'p yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 8 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 9 ga teng. Tetraedrning uchlari berilgan tetraedr tomonlarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'p yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.

Javob: 6.

Tetraedrning sirt maydoni 2,4 ga teng. Berilgan tetraedr tomonlarining oʻrta nuqtalari choʻqqilari boʻlgan koʻp yuzli sirt maydonini toping.

Yechim.

Bu vazifa hali hal qilinmagan, biz prototip yechimini taqdim etamiz.


Tetraedrning sirt maydoni 12 ga teng. Cho'qqilari berilgan tetraedr qirralarining o'rta nuqtalari bo'lgan ko'pburchakning sirt maydonini toping.

Kerakli sirt to'rt juft teng uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har biri asl tetraedr yuzining to'rtdan biriga teng maydonga ega. Shunday qilib, kerakli maydon tetraedr yuzasining yarmiga teng va 6 ga teng.