Варіанти множення чисел. Старовинні способи множення. Множення чисел методом «ревнощі»

04.11.2020

Муніципальне загальноосвітній заклад

Старомаксімкінская основна загальноосвітня школа

Районна науково - практична конференція з математики

«Крок у науку»

Науково-дослідна робота

«Нестандартні алгоритми рахунку або швидкий рахунок без калькулятора»

Керівник:,

учитель математики

с. Ст. Максимкин 2010

Введение .............................................................................. .. ............... .3

Глава 1. Історія рахунки

1.2. Чудо - лічильники .............................................................................. ... 9

Глава 2. Старовинні способи множення

2.1. Русский селянський спосіб множення ... .. ................ ................... ...... ..Метод «решітки» ................... ...... .. ................................. ....... ......... ..13

2.3. Індійський спосіб множення ............................................................ ..15

2.4. Єгипетський спосіб множення ............................................................ .16

2.5. Множення на пальцях ..................................................................... ..17

Глава 3. Усний рахунок - гімнастика розуму

3.1. Множення і ділення на 4 ............... .. ............................ ..................... .19

3.2. Множення і ділення на 5 .......................................... ... ..................... .19

3.3. Множення на 25 .............................................................................. 19

3.4. Множення на 1,5 ........................................................................ ....... 20

3.5. Множення на 9 .......... ..................................................................... .20

3.6. Множення на 11 ......................................................... .. ................ ... .20

3.7. Множення тризначного числа на 101 ................................................... 21

3.7. Зведення в квадрат числа, що закінчується цифрою 5 ........................... 21

3.8. Зведення в квадрат числа, близького до 50 ................... ........................... 22

3.9. Ігри ............................................................................................. .22

Висновок ........................................................................................ ... 24

Список використаної літератури ......................................................... ... 25

Вступ

Чи можна уявити собі світ без чисел? Без чисел ні покупки не зробиш, ні часу не впізнаєш, ні номера телефонів не набереш. А космічні кораблі, лазери і всі інші технічні досягнення ?! Вони були б просто неможливі, якби не наука про числа.

Дві стихії панують в математиці - числа і фігури з їх нескінченним різноманіттям властивостей і взаємозв'язків. У нашій роботі перевагу віддано стихії чисел і дій з ними.

Зараз, на етапі стрімкого розвитку інформатики та обчислювальної техніки, сучасні школярі не хочуть обтяжувати себе рахунком в розумі. Тому ми вважали за важливим показати не тільки те, що сам процес виконання дії може бути цікавим, але і що, добре засвоївши прийоми швидкого рахунку, можна посперечатися і з ЕОМ.

об'єктомдослідження є алгоритми рахунку.

предметом дослідження виступає процес обчислення.

мета:вивчити нестандартні прийоми обчислень і експериментальним шляхом виявити причину відмови від використання цих способів при навчанні математики сучасних школярів.

завдання:

Розкрити історію виникнення рахунку і феномен «Чудо - лічильників»;

Описати старовинні способи множення і дослідно-експериментальним шляхом виявити труднощі в їх використанні;

Розглянути деякі прийоми усного множення і на конкретних прикладах показати переваги їх використання.

гіпотеза:за старих часів говорили: «Множення - моє мучення». Значить, раніше було складно і важко множити. Простий чи наш сучасний спосіб множення?

При роботі над доповіддю я користувався такими методами :

Ø пошуковий метод з використанням наукової і навчальної література, а також пошук необхідної інформації в мережі Інтернет;

Ø практичний метод виконання обчислень із застосуванням нестандартних алгоритмів рахунку;

Ø аналіз отриманих в ході дослідження даних.

актуальність даної теми полягає в тому, що використання нестандартних прийомів у формуванні обчислювальних навичок посилює інтерес учнів до математики і сприяє розвитку математичних здібностей.

За простим дією множення ховаються таємниці історії математики. Випадково почуті слова «множення гратами», «шаховим способом» заінтригували. Захотілося дізнатися ці та інші способи множення, порівняти їх з нашим сьогоднішнім дією множення.

Для того щоб з'ясувати, чи знають сучасні школярі інші способи виконання арифметичних дій, крім множення стовпчиком і ділення «куточком» і хотіли б дізнатися нові способи, було проведено усне опитування. Було опитано 20 учні 5-7 класів. Це опитування показало, що сучасні школярі не знають інших способів виконання дій, так як рідко звертаються до матеріалу, що знаходиться за межами шкільної програми.

Результати анкетування:

(На діаграмах представлені у відсотках частки позитивних відповідей учнів).

1) Чи потрібно вміти виконувати арифметичні дії з натуральними числами сучасній людині?

2) а) Чи вмієте ви множити, складати,

б) Чи знаєте ви інші способи виконання арифметичних дій?

3) а хотіли б дізнатися?

Глава 1. Історія рахунку

1.1. Як виникли числа

Підраховувати предмети люди навчилися ще в стародавньому кам'яному столітті - палеоліті, десятки тисяч років тому. Як це відбувалося? Спочатку люди лише на око порівнювали різні кількості однакових предметів. Вони могли визначити, в якій із двох куп більше плодів, в якому стаді більше оленів і т. Д. Якщо одне плем'я змінювало спійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не потрібно було рахувати, скільки принесли риб і скільки ножів. Досить було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся.

Щоб з успіхом займатися сільським господарством, знадобилися арифметичні знання. Без підрахунку днів важко було визначити, коли треба засівати поля, коли починати полив, коли чекати потомства від тварин. Треба було знати, скільки овець в отарі, скільки мішків зерна належить до комор.
І ось понад вісім тисяч років тому стародавні пастухи стали робити з глини гуртки - по одному на кожну вівцю. Щоб дізнатися, чи не пропала чи за день хоч одна вівця, пастух відкладав убік по кружку кожен раз, коли чергова тварина заходило в загін. І тільки переконавшись, що овець повернулося стільки ж, скільки було гуртків, він спокійно йшов спати. Але в його стаді були не тільки вівці - він пас і корів, і кіз, і ослів. Тому довелося поділася з глини і інші фігурки. А хлібороби за допомогою глиняних фігурок вели облік зібраного врожаю, відзначаючи, скільки мішків зерна належить до комори, скільки глечиків масла вижато з оливок, скільки виткане шматків льняного полотна. Якщо вівці приносили приплід, пастух додавав до гурткам нові, а якщо частина овець йшла на м'ясо, кілька гуртків доводилося прибирати. Так, ще не вміючи вважати, займалися стародавні люди арифметикою.

Потім в людській мові з'явилися числівники, і люди змогли називати число предметів, тварин, днів. Зазвичай таких числівників було мало. Наприклад, у племені річки Муррей в Австралії було два простих числівників: енеа (1) і петчевал (2). Інші числа вони висловлювали складовими числівниками: 3 \u003d «петчевал-енеа», 4 «петчевал-петчевал» і т. Д. Ще одне австралійське плем'я - камілороев мало прості числівники малий (1), булан (2), гуліба (3). І тут інші числа виходили складанням менше: 4 \u003d «булан - булан», 5 \u003d «булан - гуліба», 6 \u003d «гуліба - гуліба» і т. Д.

У багатьох народів назва числа залежало від підраховуваних предметів. Якщо жителі островів Фіджі вважали човна, то число 10 називали «боло»; якщо вони вважали кокосові горіхи, то число 10 називали «каро». Точно так само чинили живуть на Сахаліні і берегах Амура нивхи. Ще в минулому столітті одне і те ж число вони називали різними словами, якщо вважали людей, риб, човни, мережі, зірки, палиці.

Ми і зараз використовуємо різні невизначені числівники зі значенням «багато»: «натовп», «стадо», «зграя», «купа», «пучок» та інші.

З розвитком виробництва і торгового обміну люди стали краще розуміти, що спільного у трьох човнів і трьох сокир, десяти стріл і десяти горіхів. Племена часто вели обмін «предмет за предмет»; наприклад, обмінювали 5 їстівного коріння на 5 риб. Ставало ясно, що 5 один і той же і для коріння, і для риб; значить, і називати його можна одним словом.

Схожі способи рахунку застосовували й інші народи. Так виникли нумерації, засновані на рахунку п'ятірками, десятками, двадцятками.

До сих пір ми розповідали про усному рахунку. А як записували числа? Спочатку, ще до виникнення писемності, використовували зарубки на палицях, насічки на кістках, вузлики на мотузках. Знайдена вовча кістка в Дольні - Вестонице (Чехословаччина), мала 55 насічок, зроблених понад 25000 років тому.

Коли з'явилася писемність, з'явилися і цифри для запису чисел. Спочатку цифри нагадували зарубки на палицях: в Єгипті і Вавилоні, в Етрурії і Фініки, в Індії і Китаї невеликі числа записували паличками або рисками. Наприклад, число 5 записували п'ятьма паличками. Індіанці Астек і майя замість паличок використовували точки. Потім з'явилися спеціальні знаки для деяких чисел, таких, як 5 і 10.

У той час майже всі нумерації були позиційними, а схожими на римську нумерацію. Лише одна вавилонська шістдесяткова нумерація була позиційною. Але і в ній довго не було нуля, а також коми, що відокремлює цілу частину від дробової. Тому одна і та ж цифра могла означати і 1, і 60, і 3600. Угадувати значення числа доводилося за змістом завдання.

За кілька століть до нової ери винайшли новий спосіб запису чисел, при якому цифрами служили букви звичайного алфавіту. Перші 9 букв позначали числа десятки 10, 20, ..., 90, а ще 9 букв позначали сотні. Такий алфавітній нумерацією користувалися до 17 в. Щоб відрізнити «справжні» букви від чисел, над буквамі- числами ставили риску (на Русі ця риска називалася «Титло»).

У всіх цих нумерації було дуже важко виконати арифметичні дії. Тому винахід в 6 ст. індійцями десяткової позиційної нумерації по праву вважається одним з найбільших досягнень людства. Індійська нумерація і індійські цифри стали відомі в Європі від арабів, і зазвичай їх називають арабськими.

При записи дробів ще довгий час цілу частину записували в новій, десятковим нумерації, а дробову - в Шістдесяткова. Але на початку 15 ст. самаркандський математик і астроном аль - Каші став вживати в обчисленнях десяткові дроби.

Числа, з якими ми працюємо з позитивними і негативними числами. Але, виявляється, що це не все числа, які використовують в математиці та інших науках. І дізнатися про них можна не чекаючи старшої школи, а набагато раніше, якщо вивчати історію виникнення чисел в математиці.

1.2 «Чудо - лічильники»

Він все розуміє з півслова і тут же формулює висновок, до якого звичайна людина, може бути, прийде шляхом довгих і тяжких роздумів. Книги він поглинає з неймовірною швидкістю, а на першому місці в його шорт-листі бестселерів - підручник по цікавій математиці. У момент рішення найважчих і незвичайних завдань в його очах горить вогонь натхнення. Прохання сходити в магазин або помити посуд залишаються без уваги або виконуються з великим невдоволенням. Найкраща нагорода - це похід в лекторій, а найцінніший подарунок - книга. Він максимально практичний і в своїх вчинках в основному підкоряється розуму і логіці. Він холодно ставиться до оточуючих його людей і вважатиме за краще катання на роликах шахову партію з комп'ютером. Будучи дитиною, він не по роках усвідомлює власні недоліки, відрізняється підвищеною емоційною стійкістю і пристосованістю до зовнішніх обставин.

Цей портрет написаний аж ніяк не з аналітика ЦРУ.
Так, на думку психологів, виглядає людина-калькулятор, індивідуум, що володіє унікальними математичними здібностями, що дозволяють йому в одну мить виробляти в розумі найскладніші підрахунки.

За порогом свідомості диво - рахівники, здатні без калькулятора здійснювати неймовірно складні арифметичні дії, мають унікальні особливості пам'яті, що відрізняє їх від інших людей. Як правило, крім величезних лінійок формул і обчислень, ці люди (вчені їх називають мнемониками - від грецького слова mnemonika, що означає "мистецтво запам'ятовування") тримають в голові списки адрес не тільки друзів, але й випадкових знайомих, а також численних організацій, де їм колись доводилося бувати.

У лабораторії НДІ психотехнологій, де вирішили дослідити феномен, провели такий експеримент. Запросили унікум - співробітника Центрального державного архіву Санкт-Петербурга Йому пропонували для запам'ятовування різні слова і цифри. Він повинен був їх повторювати. За якихось пару хвилин він міг зафіксувати в пам'яті до сімдесяти елементів. Десятки слів і цифр буквально "завантажили" в пам'ять Олександра. Коли кількість елементів перевалило за дві сотні, вирішили перевірити його можливості. На подив учасників експерименту, мегапамять не дала жодного збою. З секунду поворухнувши губами, він з вражаючою точністю, немов читаючи, почав відтворювати весь ряд елементів.

Ще, наприклад, один учений - дослідник провів експеримент з мадмуазель Осака. Випробувану попросили звести в квадрат 97, отримати десяту ступінь того числа. Вона це зробила моментально.

У Ванське районі західної Грузії живе Арон Чікашвілі. Він швидко і точно виробляє в розумі складні обчислення. Якось друзі вирішили перевірити можливості «чудо-лічильника». Завдання було складним: скільки слів і букв скаже диктор, котрий коментує другий тайм футбольного матчу «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбілісі). Одночасно був включений магнітофон. Відповідь надійшла, як тільки диктор сказав останнє слово: 17427 букв, 1 835 слів. На перевірку пішло ... .5 годин. Відповідь виявилася правильною.

Розповідають, що батько Гаусса зазвичай платив свом робочим в кінці тижня, додаючи до кожного денному заробітку за понаднормові години. Одного разу після того, як Гаусс-батько закінчив розрахунки, що стежив за операціями батька дитина, якій було три роки, вигукнув: «Папа, підрахунок не вірний! Ось така повинна бути сума ». Обчислення повторили і з подивом переконалися, що малюк вказав правильну суму.

Цікаво, що багато «чудо-лічильники» не мають поняття взагалі, як вони вважають. «Вважаємо, і все! А як вважаємо, Бог його знає ». Деякі «лічильники» були зовсім неосвіченими людьми. Англієць Бакстон, «лічильник-віртуоз», так ніколи і не навчився читати; американський «негр-лічильник» Томас Фаллер помер неписьменним у віці 80-ти років.

Проводилися змагання в інституті кібернетики Української академії наук. У змаганні брали участь молодий «лічильник-феномен» Ігор Шелушков і ЕОМ «Мир». Машина за кілька секунд зробила безліч складних математичних операцій. Переможцем в цьому змаганні вийшов Ігор Шелушков.

Большенство таких людей має прекрасну пам'ять і мають хист. Але деякі з них ніякими здібностями до математики не володіють. Вони знають секрет! А секрет цей у тому, що вони добре засвоїли прийоми швидкого рахунку, запам'ятали кілька спеціальних формул. Але бельгійський службовець, який за 30 секунд за запропонованим йому багатозначного числа, отриманого від множення деякого числа саме на себе 47 разів, називає це число (витягує корінь 47-ой

ступеня з багатозначного числа), домігся таких приголомшливих успіхів в рахунку в результаті багаторічної тренування.

Отже, багато «лічильники-феномени» користуються особливими прийомами швидкого рахунку і спеціальними формулами. Значить, ми теж можемо користуватися деякими з цих прийомів.

главаII . Старовинні способи множення.

2.1. Русский селянський спосіб множення.

У Росії 2-3 століття назад серед селян деяких губерній був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Треба було лише вміти множити і ділити на 2. Цей спосіб отримав назву селянського (Існує думка, що він бере початок від єгипетського).

Приклад: помножимо 47 на 35,

Запишемо числа на одній сходинці, проведемо між ними вертикальну риску;

Ліве число будемо ділити на 2, праве - множити на 2 (якщо при розподілі виникає залишок, то залишок відкидаємо);

Розподіл закінчується, коли зліва з'явиться одиниця;

Викреслюємо ті рядки, в яких стоять зліва парні числа;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Метод «решітки».

1). Видатний арабський математик і астроном Абу Мусса аль - Хорезмі жив і працював в Багдаді. «Аль - Хорезмі» буквально означає «з Хорезми», т. Е. Народився в м Хорезмі (зараз входить до складу Узбекистану). Вчений працював в Будинку мудрості, де були бібліотека і обсерваторія, тут працювали майже всі великі арабські вчені.

Відомостей про життя і діяльності Мухаммеда аль - Хорезмі дуже мало. Збереглися лише дві його роботи - з алгебри і з арифметики. В останній з цих книг дано чотири правила арифметичних дій, майже такі ж, що використовуються в наш час.

2). В своїй «Книзі про індійському рахунку» вчений описав спосіб, придуманий в Стародавній Індії, а пізніше названий «Методом решітки» (він же «Ревнощі»). Цей метод навіть простіше, ніж застосовуваний сьогодні.

Нехай потрібно помножити 25 і 63.

Накреслимо таблицю в якій дві клітини по довжині і дві по ширині запишемо одне число по довжині інше по ширині. У клітинах запишемо результат множення даних цифр, на їх перетині відділимо десятки і одиниці діагоналлю. Отримані цифри складемо по діагоналі, і отриманий результат можна прочитати в напрямку стрілки (вниз і вправо).

Нами розглянуто простий приклад, однак, цим способом можна множити будь-які багатозначні числа.

Розглянемо ще один приклад: перемножимо 987 і 12:

Малюємо прямокутник 3 на 2 (за кількістю десяткових знаків у кожного множника);

Потім квадратні клітини ділимо по діагоналі;

Вгорі таблиці записуємо число 987;

Зліва таблиці число 12 (див. Малюнок);

Тепер в кожен квадратик впишемо твір цифр - співмножників, розташованих в одному рядку і в одному стовпці з цим квадратиком, десятки вище діагоналі, одиниці нижче;

Після заповнення всіх трикутників, цифри в них складають вздовж кожної діагоналі;

Результат записуємо праворуч і внизу таблиці (див. Малюнок);

987 ∙ 12=11844

Цей алгоритмом множення двох натуральних чисел був поширений в середні століття на Сході і Італії.

Незручність цього способу ми відзначили в трудомісткості підготовки прямокутної таблиці, хоча сам процес обчислення цікавий і заповнення таблиці нагадує гру.

2.3 Індійський спосіб множення

Деякі досвідчені вчителі в минулому столітті вважали, що цей спосіб повинен замінити в нашій школі загальноприйнятий спосіб множення.

Американцям він настільки сподобався, що вони його навіть так і назвали «Американський спосіб». Однак їм користувалися жителі Індії ще в VI ст. н. е., і правильніше його назвати «індійським способом». Перемножити два будь - яких двозначних числа, скажімо 23 на 12. Я відразу пишу, що вийде.

Ви бачите: дуже швидко отримана відповідь. Але як він отриманий?

Перший крок: х23 кажу: «2 х 3 \u003d 6»

Другий крок: х23 кажу: «2 х 2 + 1 х 3 \u003d 7»

Третій крок: х23 кажу: «1 х 2 \u003d 2».

12 пишу 2 лівіше цифри 7

276 отримуємо 276.

Ми познайомилися з цим способом на дуже простому прикладі без переходу через розряд. Однак наші дослідження показали, що їм можна користуватися і при множенні чисел з переходом через розряд, а також при множенні багатозначних чисел. Наведемо приклади:

х528 х24 х15 х18 х317

123 30 13 19 12

На Русі цей спосіб був відомий як спосіб множення хрестиком.

У цьому «хрестику» і полягає незручність множення, легко заплутатися, до того ж важко утримувати в розумі все проміжні твори, результати яких потім треба скласти.

2.4. Єгипетський спосіб множення

Позначення чисел, які використовувалися в давнину, були більш-менш придатні для запису результату рахунки. А ось виконувати арифметичні дії з їх допомогою було дуже складно, особливо це стосувалося дії множення (спробуй, перемножити: ξφß * τδ). Вихід з цієї ситуації знайшли єгиптяни, тому спосіб отримав назву єгипетського. Вони замінили множення на будь-яке число - подвоєнням, тобто складанням числа з самим собою.

Приклад: 34 ∙ 5 \u003d 34 ∙ (1 + 4) \u003d 34 ∙ (1 + 2 ∙ 2) \u003d 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т. к. 5 \u003d 4 + 1, то для отримання відповіді залишалося скласти числа, які стоять в правій колонці проти цифр 4 і 1, т. Е. 136 + 34 \u003d 170.

2.5. Множення на пальцях

Стародавні єгиптяни були дуже релігійні і вважали, що душу померлого в потойбічному світі піддають іспиту за рахунком на пальцях. Вже це говорить про те значення, яке надавали стародавні цього способу виконання множення натуральних чисел (він отримав назву пальцевого рахунку).

Множили на пальцях однозначні числа від 6 до 9. Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершував число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Після цього брали стільки десятків, скільки витягнуто пальців на обох руках, і додавали до цього числа твір загнутих пальців на першій і другій руці.

Приклад: 8 ∙ 9 \u003d 72

Пізніше палацовий рахунок вдосконалили - навчилися показувати з допомогу пальців числа до 10000

рух пальця

А ось ще один із способів допомогти пам'яті: за допомогою пальців рук запам'ятати таблицю множення на 9. Поклавши обидві руки поруч на стіл, по порядку Занумеруем пальці обох рук в такий спосіб: перший палець зліва позначимо 1, другий за ним позначимо цифрою 2, потім 3 , 4 ... до десятого пальця, який означає 10. Якщо треба помножити на 9 будь-яке з перших дев'яти чисел, то для цього, не рухаючи рук зі столу, треба підняти вгору той палець, номер якого означає число, на яке множиться дев'ять; тоді число пальців, що лежать ліворуч від піднятого пальця, визначає число десятків, а число пальців, що лежать праворуч від піднятого пальця, позначає число одиниць отриманого твори.

Приклад. Нехай треба знайти твір 4х9.

Поклавши обидві руки на стіл, піднімемо четвертий палець, вважаючи зліва направо. Тоді до піднятого пальця знаходяться три пальці (десятки), а після піднятого - 6 пальців (одиниці). Результат твори 4 на 9, значить, дорівнює 36.

Ще приклад:

Нехай потрібно помножити 3 * 9.

Зліва направо знайдіть третій палець, того пальця випрямленими будуть 2 пальця, вони і будуть означати 2 десятка.

Праворуч від загнутого пальця випрямленими виявляться 7 пальців, вони означають 7 одиниць. Складіть, 2 десятка і 7 одиниць вийде 27.

Самі пальці показали це число.

// // /////

Отже, розглянуті нами старовинні способи множення показують, що використовується в школі алгоритм множення натуральних чисел - не єдиний і відомий він був не завжди.

Однак, він досить швидкий і найбільш зручний.

Глава 3. Усний рахунок - гімнастика розуму

3.1. Множення і ділення на 4.

Щоб помножити число на 4, його двічі подвоюють.

наприклад,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Щоб число розділити на 4, його двічі ділять на 2.

наприклад,

124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31

2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662

3.2. Множення і ділення на 5.

Щоб помножити число на 5, потрібно його помножити на 10/2, тобто помножити на 10 і розділити на 2.

наприклад,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740

Щоб число розділити на 5, потрібно помножити його на 0,2, тобто в подвоєному вихідному числі відокремити коми останню цифру.

наприклад,

345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Множення на 25.

Щоб помножити число на 25, треба його помножити на 100/4, тобто помножити на 100 і розділити на 4.

наприклад,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700

3.4. Множення на 1,5.

Щоб помножити число на 1,5, потрібно до вихідного числа додати його половину.

наприклад,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Множення на 9.

Щоб помножити число на 9, до нього приписують 0 і віднімають вихідне число. наприклад,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Множення на 11.

1 спосіб. Щоб число помножити на 11, до нього приписують 0 і додають вихідне число. наприклад:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 спосіб. Якщо хочеш помножити число на 11, то роби так: запиши число, яке потрібно помножити на 11, а між цифрами вихідного числа встав суму цих цифр. Якщо сума виходить двозначне число, то 1 додаємо до першої цифри вихідного числа. наприклад:

45 * 11 = * 11 = 967

Такий спосіб підходить тільки для множення двозначних чисел.

3.7. Множення тризначного числа на 101.

Наприклад 125 * 101 \u003d 12625

(Збільшуємо перший множник на число його сотень і приписуємо до нього справа дві останні цифри першого множника)

125 + 1 = 126 12625

Цей прийом діти легко засвоюють під час запису обчислення в стовпчик

х х125
101
+ 125
125 _
12625

х х348
101
+348
348 _
35148

Ще приклад: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. Зведення в квадрат числа, що закінчується цифрою 5.

Щоб звести в квадрат число, що закінчується цифрою 5 (наприклад, 65), множать число його десятків (6) на число десятків, збільшене на 1 (на 6 + 1 \u003d 7), і до отриманого числа приписують 25

(6 * 7 \u003d 42 Відповідь: 4225)

наприклад:

3.8. Зведення в квадрат числа, близького до 50.

Якщо хочеш звести в квадрат число, близьке до 50, але більше 50, то роби так:

1) вирахували з цього числа 25;

2) припишіть до результату двома цифрами квадрат надлишку даного числа над 50.

Пояснення: 58 - 25 \u003d 33, 82 \u003d 64, 582 \u003d 3364.

Пояснення: 67 - 25 \u003d 42, 67 - 50 \u003d 17, 172 \u003d 289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Якщо хочеш звести в квадрат число, близьке до 50, але менше 50, то роби так:

1) вирахували з цього числа 25;

2) припишіть до результату двома цифрами квадрат нестачі даного числа до 50.

Пояснення: 48 - 25 \u003d 23, 50 - 48 \u003d 2, 22 \u003d 4, 482 \u003d 2304.

Пояснення: 37 - 25 \u003d 12, \u003d 13, 132 \u003d 169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. ігри

Відгадування отриманого числа.

1. Задумайте яке-небудь число. Додайте до нього 11; помножте отриману суму на 2; від цього твору відніміть 20; помножте отриману різницю на 5 і від нового твору відніміть число, в 10 разів більше задуманого вами числа.

Я відгадую: ви отримали 10. Чи правда?

2. Задумайте число. Строй його. Вирахували з отриманого 1. Отримане помножте на 5. До отриманого додайте 20. Розділіть отримане на 15. З отриманого відніміть задумане.

У вас вийшло 1.

3. Задумайте число. Помножте його на 6. Відніміть 3. Помножте на 2. Додайте 26. Відніміть подвоєне задумане. Розділіть на 10. Відніміть задумане.

У вас вийшло 2.

4. Задумайте число. Утройте його. Відніміть 2. Помножте на 5. Додайте 5. Розділіть на 5. Додайте 1. Розділіть на задумане. У вас вийшло 3.

5. Задумайте число, подвійте його. Додайте 3. Помножте на 4. Відніміть 12. Розділіть на задумане.

У вас вийшло 8.

Вгадування задуманих чисел.

Запропонуйте своїм товаришам задумати будь-які числа. Нехай кожен додасть до свого задуманого числа 5.

Отриману суму нехай помножить на 3.

Від твору нехай відніме 7.

З отриманого результату нехай відніме ще 8.

Листок з остаточним результатом нехай кожен віддасть вам. Дивлячись на листок, ви тут же говорите кожному, яке число він задумав.

(Щоб вгадати задумане число, результат, написаний на папірці або сказаний вам усно, розділити на 3)

висновок

Ми вступили в нове тисячоліття! Грандіозні відкриття і досягнення людства. Ми багато знаємо, багато вміємо. Здається чимось надприродним, що за допомогою чисел і формул можна розрахувати політ космічного корабля, «економічну - ситуацію» в країні, погоду на «завтра», описати звучання нот в мелодії. Нам відомий вислів давньогрецького математика, філософа, який жив в 4 столітті д. Н.е. Піфагора - «Все є число!».

Згідно філософського погляду цього вченого і його послідовників, числа керують не тільки мірою і вагою, але також усіма явищами, що відбуваються в природі, і є сутністю гармонії, що царює в світі, душею космосу.

Описуючи старовинні способи обчислень і сучасні прийоми швидкого рахунку, ми спробували показати, що як в минулому, так і в майбутньому, без математики, науки створеної розумом людини, не обійтися.

Вивчення старовинних способів множення показало, що це арифметична дія було важким і складним через різноманіття способів і їх громіздкість виконання.

Сучасний спосіб множення простий і доступний всім.

При знайомстві з науковою літературою виявили більш швидкі і надійні способи множення. Тому вивчення дії множення - тема перспективна.

Можливо, що з першого разу у багатьох не вийде швидко, з ходу виконувати ці або інші підрахунки. Нехай спочатку не вийде використовувати прийом, показаний в роботі. Не біда. Потрібна постійна обчислювальна тренування. З уроку в урок, з року в рік. Вона допоможе придбати корисні навички усного рахунку.

Список використаної літератури

1. Ванцян: Підручник для 5 класу. - Самара: Видавничий дім

«Федоров», 1999.

2., Ахадов світ чисел: Книга учнів, - М. Просвітництво, 1986.

3. «Від гри до знань», М., «Просвещение» 1982р.

4. Свечников, фігури, завдання М., Просвітництво, 1977р.

5. http: // matsievsky. ***** / sys-schi / file15.htm

6. http: // ***** / mod / 1/6506 / hystory. html

МОУ «Куровська середня загальноосвітня школа №6»

РЕФЕРАТ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

« НЕЗВИЧНІ СПОСОБИ МНОЖЕННЯ».

Виконав учень 6 «б» класу

Хрещеників Василь.

керівник:

Смирнова Тетяна Володимирівна.

вступ…………………………………………………………………………2

Основна частина. Незвичайні способи множення .............................. 3

2.1. Трохи історії ........................................................................ ..3

2.2. Множення на пальцях .................................................................. 4

2.3. Множення на 9 ........................................................................... 5

2.4. Індійський спосіб множення ...................................................... .6

2.5. Множення способом «Маленький замок» ....................................... 7

2.6. Множення способом «Ревнощі» ................................................... 8

2.7. Селянський спосіб множення ................................................... ..9

2.8 Новий спосіб ........................................................................... ..10

Висновок ................................................................................. 11

Список літератури ..................................................................... .12

I. вступ.

Людині в повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики, нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Множимо, ділимо, складаємо і віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються в школі.

Одного разу мені випадково попалася книга С. Н. Олехнік, Ю. В. Нестеренко та М. К. Потапова «Старовинні цікаві завдання». Гортаючи цю книгу, мою увагу привернула сторінка під назвою «Множення на пальцях». Виявилося, що можна множити не тільки тому що пропонують нам в підручниках математики. Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учні не можуть проводити будь-які розрахунки, не маючи в своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини. Знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко виробляти прості розрахунки в розумі, а й контролювати, оцінювати, знаходити і виправляти помилки в результаті механізованих обчислень. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Мета роботи:

Показати незвичайні способи множення.

завдання:

Знайти якомога більше незвичайних способів обчислень.

Навчитися їх застосовувати.

Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті якіпропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.

II. Основна частина. Незвичайні способи множення.

2.1. Трохи історії.

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості і зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилковістю своїх обчислень. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.

Особливо важкі в старовину були дії множення і ділення. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один іншого заплутаніше, запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен учитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.

У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є й ще способи, приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках».

І всі ці прийоми множення - «шаховий або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «гратами», «задом наперед», «алмазом» та інші змагалися один з одним і засвоювалися з великими труднощами.

Давайте розглянемо найбільш цікаві та прості способи множення.

2.2. Множення на пальцях.

Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним з найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому досить було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" і "десятками". Пальці рук тут служили допоміжним обчислювальним пристроєм.

Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножується числа, які свідчили, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.

Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 і 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2 + 3 \u003d 5) і перемножити кількість не загнутих (2 3 \u003d 6), то вийдуть відповідно числа десятків і одиниць шуканого твори 56. Так можна обчислювати твір будь-яких однозначних чисел, більше 5.

2.3. Множення на 9.

Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, що дорівнює кількості, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 \u003d 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип "обчислення".

Ще приклад: потрібно обчислити 9 · 8 \u003d ?. По ходу справи скажімо, що в якості "лічильної машинки" не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок в зошиті. Зачеркиваем 8-ю клітинку. Зліва залишилося 7 клітинок, праворуч - 2 клітинки. Значить 9 · 8 \u003d 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

2.4. Індійський спосіб множення.

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Множення чисел зараз вивчають в першому класі школи. А ось в Середні століття лише одиниці володіли мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.

За тисячоліття розвитку математики було придумано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494 г.) призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтичну назву «Ревнощі або загратоване множення».

Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.

Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються.

2.6. множення чисел методом «ревнощі».

Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «гратчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множимо і множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твори напишемо над косою рисою, а цифру одиниць - під нею. Тепер складаємо числа в кожній косою смузі, виконуючи цю операцію, справа наліво. Якщо сума виявиться менше 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо ж вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної сумі. В результаті отримуємо дані твір 10063.

2.7. Дорестьянскій спосіб множення.

Самим, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат.

У разі непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором

Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Новий спосіб множення.

цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.

В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.

Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

III. Висновок.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку більш цікавим видався спосіб «гратчастого множення або ревнощі». Я показав його своїм однокласникам, і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався метод «подвоєння і роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні не дуже великих чисел (дуже зручно його використовувати при множенні двозначних чисел).

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в розумі «перевертати» величезними числами.

Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще більш швидкі і більш надійні способи.

Література.

Депман І. «Розповіді про математику». - Ленінград .: Просвещение, 1954. - 140 с.

Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/

Олехнік С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М .: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.

Перельман Я. І. Швидкий рахунок. Тридцять простих прийомів усного рахунку. Л., 1941 - 12 с.

Перельман Я. І. Цікава арифметика. М.Русанова, 1994-205с.

Енциклопедія «Я пізнаю світ. Математика ». - М .: Астрель Єрмак, 2004.

Енциклопедія для дітей. «Математика». - М .: Аванта +, 2003. - 688 с.

хрещеників Василь

Тема роботи «Незвичайні способи обчислення» цікава і актуальна, так як учні постійно виконують арифметичні дії над числами, а вміння швидко обчислювати, підвищує успішність у навчанні та розвиває гнучкість розуму.

Василь зумів ясно викласти причини свого звернення до даної теми, правильно сформулював мету і завдання роботи. Вивчивши різні джерела інформації, знайшов цікаві і незвичайні способи множення і навчився застосовувати їх на практиці. Учень розглянув плюси і мінуси кожного способу і зробив правильний висновок. Достовірність висновку підтверджує новий спосіб множення. При цьому учень вміло користується спеціальною термінологією і знаннями поза шкільною програмою математики. Тема роботи відповідає змісту, матеріал викладений чітко і доступно.

Результати роботи мають практичне значення і можуть бути цікавими широкому колу людей.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МОУ «Куровська середня загальноосвітня школа №6»

РЕФЕРАТ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

«НЕЗВИЧНІ СПОСОБИ МНОЖЕННЯ».

Виконав учень 6 «б» класу

Хрещеників Василь.

керівник:

Смирнова Тетяна Володимирівна.

2011р.

Вступ .............................................................................. ...... 2
Основна частина. Незвичайні способи множення ........................... ... 3

2.1. Трохи історії ........................................................................ ..3

2.2. Множення на пальцях ............................................................... ... 4

2.3. Множення на 9 ........................................................................... 5

2.4. Індійський спосіб множення ...................................................... .6

2.5. Множення способом «Маленький замок» ....................................... 7

2.6. Множення способом «Ревнощі» ................................................ ... 8

2.7. Селянський спосіб множення ................................................ ..... 9

2.8 Новий спосіб ........................................................................... ..10

Висновок .............................................................................. ... 11
Список літератури ..................................................................... .12

I. Вступ.

Мета роботи:

Показати незвичайні способи множення.

завдання:

Знайти якомога більше незвичайних способів обчислень.
Навчитися їх застосовувати.
Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті які пропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.

II. Основна частина. Незвичайні способи множення.

2.1. Трохи історії.

Давайте розглянемо найбільш цікаві та прості способи множення.

2.2. Множення на пальцях.

2.3. Множення на 9.

Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

7 клітин 2 клітини.

2.4. Індійський спосіб множення.

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. Множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

2.6. Множення чисел методом «ревнощі».

Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «гратчасте множення».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. Селянський спосіб множення.

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. Новий спосіб множення.

Цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.

III. Висновок.

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в розумі «перевертати» величезними числами.

Література.

Депман І. «Розповіді про математику». - Ленінград .: Просвещение, 1954. - 140 с.
Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/
Олехнік С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М .: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.
Перельман Я. І. Швидкий рахунок. Тридцять простих прийомів усного рахунку. Л., 1941 - 12 с.
Перельман Я. І. Цікава арифметика. М.Русанова, 1994--205с.https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Роботу виконав учень 6 «Б» класу Хрещеників Василь. Керівник: Смирнова Тетяна Володимирівна Незвичайні способи множення
Мета роботи: Показати незвичайні способи множення. Завдання: Знайти незвичайні способи множення. Навчитися їх застосовувати. Вибрати для себе найцікавіші або легші і використовувати їх при рахунку.
Множення на пальцях.
Множення на 9
Італійський математик Лука Пачіолі народився в 1445 році.
Множення способом "Маленький замок"
Множення методом «Ревнощі»
Множення м етод решітки. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29 \u003d 10063
Русский селянський спосіб 37 32 37 ......... .32 74 ......... .16 148 ......... .8 296 ......... .4 592 ......... .2 1184 ......... 1 37 32 \u003d 1184
спасибі за увагу

опубліковано 20.04.2012
Присвячується Олені Петрівні Каринській ,
моєму шкільному викладачеві математики і класному керівнику
Алма-Ата, РОФМШ , 1984-1987 рік
«Наука тільки тоді досягає досконалості, коли їй вдається користуватися математикою». Карл Генріх Маркс
ці слова були написані над дошкою в нашому кабінеті математики ;-)
уроки інформатики (Лекційні матеріали та практикуми)

Що таке множення?
Ця дія додавання.
Але не дуже-то приємне,
Тому що мно-го-крат-ве ...
Тім Собакін

Спробуємо зробити це дію
приємним і захоплюючим ;-)

СПОСОБИ МНОЖЕННЯ БЕЗ ТАБЛИЦІ МНОЖЕННЯ (гімнастика для розуму)

Пропоную читачам зелених сторінок два способи множення, в яких не використовується таблиця множення ;-) Сподіваюся, що цей матеріал припаде до душі викладачам інформатики, який вони можуть використовувати при проведенні факультативних занять.

Спосіб цей, був уживаний в побуті російських селян і успадкований ними від глибокої давнини. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа, таблиця множення в цій справі без потреби :-)

Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, при цьому паралельно подвоюють інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат (малюнок 1). Неважко зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не змінюється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший вдвічі ж збільшити. Ясно тому, що в результаті багаторазового повторення цієї операції виходить шукане твір.

Однак що робити, якщо при цьому доводиться ділити навпіл непарне число? У цьому випадку від непарного числа відкидаємо одиницю і ділимо залишок навпіл, при цьому до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпчика - сума і буде шуканим твором (малюнки: 2, 3).
Іншими словами всі рядки з парними лівими числами закреслює; залишаємо, а потім підсумовуємо нЕ закреслено числа правого стовпчика.

Для малюнка 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що:
5 × 48 \u003d (4 + 1) × 48 \u003d 4 × 48 + 48
21 × 12 \u003d (20 + 1) × 12 \u003d 20 × 12 + 12
Ясно, що числа 48 , 12 , Втрачаються при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати твір.
Русский спосіб множення і елегантний і екстравагантний одночасно ;-)

§ Логічна задачка про Змія Горинича і прославлених російських богатирів на зеленої сторінці «Хто з богатирів переміг Змія Горинича?»
рішення логічних задач засобами алгебри логіки
Для тих, хто любить вчитися! Для тих, кому в радість гімнастика для розуму ;-)
§ Рішення логічних задач табличним способом

Продовжуємо розмову :-)

Китайський ??? Рісовательний спосіб множення

З цим способом множення мене познайомив син, надавши в моє розпорядження кілька листочків з блокнота з готовими рішеннями у вигляді хитромудрих малюнків. Закипів процес розшифровки алгоритму рісовательного способу множення :-) Для наочності вирішила вдатися до допомоги кольорових олівців, і ... крига скресла панове присяжні :-)
Пропоную Вашій увазі три приклади в кольорових картинках (в правому верхньому куті перевірки стовпчик).

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
малюємо перше число зверху вниз, зліва на право: одна зелененька паличка ( 1 ); дві помаранчевих палички ( 2 ). 12 намалювали :-)
малюємо друге число від низу до верху, зліва на право: три блакитних палички ( 3 ); дві червоненькі ( 2 ); одну Сиреневенький ( 1 ). 321 намалювали :-)

Тепер простим олівцем по малюнку прогуляємося, крапочки перетину чисел-паличок на частини розділимо і приступимо до підрахунку крапочок. Рухаємося справа наліво (за годинниковою стрілкою): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будемо «збирати» зліва направо (проти годинникової стрілки) і ... вуаля, отримали 3852 :-)

Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси ;-) При підрахунку крапочок в першій частині вийшло 16 . Одиничку відправляємо-додаємо до крапочками другій частині ( 20 + 1 )…

Приклад №3: 215 × 741 = 159315
Без коментарів:-)

На перших порах здався мені трохи вигадливим, але при цьому інтригуючим і дивно гармонійним. На п'ятому прикладі зловила себе на думці, що множення йде в років :-) і працює в режимі автопілота: Малюємо, крапочки вважаємо, про таблицю множення не згадувати, ніби як ми її взагалі не знаємо :-)))

Якщо чесно, то здійснюючи перевірку рісовательного способу множення і звернувшись до множення стовпчиком, і не раз, і не два на свій сором зазначила деякі пригальмовування, які свідчили про те, що таблиця множення у мене проржавіла в деяких місцях :-( і забувати її таки не варто. При роботі з більш «серйозними» числами рісовательний спосіб множення став надто громіздким, а множення стовпчиком пішло в радість.

Таблиця множення (Ескіз тильної сторони блокнота)

P.S.: Слава і хвала рідному радянському стовпчику!
У плані побудови спосіб невибагливий і компактний, дуже навіть швидкісний, пам'ять тренує - таблицю множення забувати не допускає :-) І тому, настійно рекомендую і собі і Вам по можливості забувати про калькулятори в телефонах і на комп'ютерах ;-) і періодично балувати себе множенням стовпчиком. А то чого доброго і сюжет з фільму «Повстання машин» розгорнеться не на екрані кінотеатру, а на нашій з Вами кухні або галявині поряд з будинком ...
Три рази через ліве плече ..., стукаємо по дереву ... :-))) ... і головне не забуваємо про гімнастику для розуму!

для допитливих: множення позначається знаком [×] або [·]
Знак [×] ввів англійський математик Вільям Оутред в 1631 році.
Знак [·] ввів німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц в 1698 році.
У буквеному позначенні ці знаки не беруться і замість a × b або a · b пишуть ab.

У скарбничку веб-майстри: Деякі математичні символи на HTML

°	° або °	градус
±	± або ±	плюс мінус
¼	¼ або ¼	дріб - одна чверть
½	½ або ½	дріб - одна друга
¾	¾ або ¾	дріб - три чверті
×	× або ×	знак множення
÷	÷ або ÷	знак ділення
ƒ	ƒ або ƒ	знак функції
′	'Або'	одиночний штрих - хвилини і фути
″	"Або"	подвійний штрих - секунди і дюйми
≈	≈ або ≈	знак приблизної рівності
≠	≠ або ≠	знак не дорівнює
≡	≡ або ≡	тотожно
>	\u003e Або\u003e	більше
<	< или	менше
≥	≥ або ≥	більше або дорівнює
≤	≤ або ≤	менше або дорівнює
∑	Σ або Σ	знак підсумовування
√	√ або √	квадратний корінь (радикал)
∞	∞ або ∞	нескінченність
Ø	Ø або Ø	діаметр
∠	∠ або ∠	кут
⊥	⊥ або ⊥	перпендикулярно

samarapedsovet.ru

Керівник:,

учитель математики

Завантажити:

Попередній перегляд:

Підписи до слайдів:

СПОСОБИ МНОЖЕННЯ БЕЗ ТАБЛИЦІ МНОЖЕННЯ (гімнастика для розуму)

Китайський ??? Рісовательний спосіб множення