Система масового обслуговування складається з таких елементів (рисунок 5.6).

1 - вхідний потіквимог ω( t) - сукупність вимог до СМО на проведення певних робіт (заправка, миття, ТО та ін.) або надання послуг (купівля виробів, деталей, матеріалів та ін.). Вхідний потік вимог може бути постійним та змінним.

Вимоги бувають однорідні (однакові види робіт чи послуг) та неоднорідні (різні види робіт чи послуг).

2 - черга –вимоги, що очікують на обслуговування. Черга оцінюється середньою довжиною r– числом об'єктів чи клієнтів, які очікують обслуговування.

Рисунок 5.6 – Загальна схема системи масового обслуговування

3 - обслуговуючі апарати(Канали обслуговування) – сукупність робочих місць, виконавців, обладнання, що здійснюють обслуговування вимог за певною технологією.

4 -вихідний потік вимогω’( t) – потік вимог, що пройшли СМО. У загальному випадку вихідний потік може складатися із вимог обслужених та необслужених. Приклад необслужених вимог: відсутність потрібної деталі автомобіля, що у ремонті.

5- замикання(можливе) СМО – стан системи, у якому вхідний потік вимог залежить від вихідного.

На автомобільному транспорті після обслуговування вимог (ТО, ремонт) автомобіль має бути технічно справним.

Системи масового обслуговування класифікуються в такий спосіб.

1 За обмеженнями на довжину черги:

СМО із втратами – вимога залишає СМО необслуженим, якщо на момент його надходження всі канали зайняті;

СМО без втрат - вимога займає чергу, навіть якщо всі канали
зайняті;

СМО з обмеженнями за довжиною черги mабо часу очікування: якщо існує обмеження на чергу, то знову надійшло ( m+1)-е вимога вибуває із системи необслуженим (наприклад, обмежена ємність накопичувального майданчика перед АЗС).

2 За кількістю каналів обслуговування п:

Одноканальні: n=1;

Багатоканальні n≥2.

3 За типом обслуговуючих каналів:

Однотипні (універсальні);

Різнотипні (спеціалізовані).

4 По порядку обслуговування:

Однофазові - обслуговування проводиться на одному апараті (посту);

Багатофазові – вимоги послідовно проходять кілька апаратів обслуговування (наприклад, потокові лінії ТО; конвеєрне складання автомобіля; лінія зовнішнього догляду: прибирання → миття → обсушування → полірування).

5 За пріоритетністю обслуговування:

Без пріоритету – вимоги обслуговуються у порядку їх надходження на СМО;

З пріоритетом – вимоги обслуговуються залежно від присвоєного їм під час надходження рангу пріоритетності (наприклад, заправка автомобілів швидкої допомоги на АЗС; першочерговий ремонт на АТП автомобілів, які приносять найбільший прибуток на перевезеннях).

6 За величиною вхідного потоку вимог:

З необмеженим вхідним потоком;

З обмеженим вхідним потоком (наприклад, у разі попереднього запису на певні види робіт та послуг).

7 За структурою СМО:

Замкнуті – вхідний потік вимог за інших рівних умов залежить від числа раніше обслуговуваних вимог (комплексне АТП, що обслуговує лише свої автомобілі ( 5 на малюнку 5.6));

Відкриті – вхідний потік вимог залежить від кількості раніше обслужених: АЗС загального користування, магазин із продажу запасних частин.

8 По взаємозв'язку обслуговуючих апаратів:

З взаємодопомогою – пропускна спроможність апаратів непостійна та залежить від зайнятості інших апаратів: бригадне обслуговування кількох постів СТО; використання «ковзаючих» робітників;

Без взаємодопомоги – пропускна здатність апарату залежить від роботи інших апаратів СМО.

Щодо технічної експлуатації автомобілів знаходять поширення замкнуті та відкриті, одно- та багатоканальні СМО, з однотипними або спеціалізованими обслуговуючими апаратами, з одно- або багатофазовим обслуговуванням, без втрат або з обмеженням на довжину черги або на час перебування в ній.

Як показники ефективності роботи СМО використовують наведені нижче параметри.

Інтенсивність обслуговування

де - параметр потоку вимог.

показує кількість вимог, які у одиницю часу, тобто.

A=ω g,

(5.13)

де g- .

Відносна пропускна здатністьвизначає частку обслужених вимог від їх загальної кількості.

Імовірність того,що всі пости вільні Р 0 , характеризує такий стан системи, у якому всі об'єкти справні не вимагають проведення технічних впливів, тобто. вимоги відсутні.

Ймовірність відмови в обслуговуванні Рвідк має сенс для СМО з втратами та з обмеженням по довжині черги або часу перебування в ній. Вона вказує на частку «втрачених» для системи вимог.

Роч визначає такий стан системи, при якому всі обслуговуючі апарати зайняті, і наступна вимога «встає» у чергу з кількістю очікуваних вимог r.

Залежності визначення названих параметрів функціонування СМО визначаються її структурою.

де nзан - .

Час зв'язку вимоги із системою:

СМО із втратами

tсист = gtд;

(5.16)

СМО без втрат

tсист = tд + tож.

(5.17)

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ,

(5.18)

де З 1 - вартість простою автомобіля у черзі;

r- Середня довжина черги;

З 2 - вартість простою обслуговуючого каналу;

nсн - кількість простоюючих (вільних) каналів;

tож - середній час перебування у черзі.

Через випадковість вхідного потоку вимог і тривалість їх виконання завжди є якась середня кількість автомобілів, що простоюють. Тому потрібно так розподілити кількість обслуговуючих апаратів (постів, робочих місць, виконавців) за різними підсистемами, щоб І = min. Цей клас завдань має справу з дискретним зміною параметрів, оскільки кількість апаратів може змінюватися лише дискретним чином. Тому при аналізі системи забезпечення працездатності автомобілів використовуються методи дослідження операцій, теорії масового обслуговування, лінійного, нелінійного та динамічного програмування та імітаційного моделювання.

приклад.Станція технічного обслуговування має одну посаду діагностування ( п= 1). Довжина черги обмежена двома автомобілями ( т= 2). Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо інтенсивність потоку вимог на діагностування в середньому А=2 треб./ч, тривалість діагностування tд = 0,4 год.

Інтенсивність діагностування μ=1/0,4=2,5.

Наведена густина потоку ρ=2/2,5=0,8.

Імовірність того, що піст вільний,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Ймовірність відмови в обслуговуванні

Pвідк = ρ m+1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Відносна пропускна спроможність

g=1-Pвідк = 1-0,173 = 0,827.

Абсолютна пропускна спроможність

А=2 0,827=1,654 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів або ймовірність завантаження посту

nзан =(ρ-ρ m+2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Середня кількість вимог, що знаходяться у черзі,

Середній час знаходження вимоги у черзі

tож = r/ω=0,564/2=0,282 год.

приклад.На автотранспортному підприємстві є одна посада діагностування ( п= 1). В даному випадку довжина черги практично необмежена. Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо вартість простою автомобілів у черзі становить З 1 = 20 ре (розрахункових одиниць) за зміну, а вартість простою постів З 2 = 15 ре Інші вихідні дані ті ж, що й для попереднього прикладу.

Імовірність того, що піст вільний

P 0 = 1-ρ = 1-0,8 = 0,2.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі намічені автомобілі пройдуть через діагностичну посаду.

Абсолютна пропускна спроможність А=ω=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

r= ρ 2 / (1-ρ) = 0,8 2 / (1-0,8) = 3,2.

Середній час очікування у черзі

tож = ρ 2 / (1-ρ) / μ = 0,8 2 / (1-0,8) / 2,5 = 1,6.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/зміну.

приклад.На тому автотранспортному підприємстві кількість постів діагностування збільшено до двох ( n=2), тобто. створено багатоканальну систему. Так як для створення другого посту необхідні капіталовкладення (площі, обладнання тощо), то ціна простою засобів обслуговування збільшується до С’ 1 = 22 ре. Визначити параметри ефективності роботи системи діагностування. Інші вихідні дані ті ж, що для попереднього прикладу.

Інтенсивність діагностування та наведена щільність потоку залишаються тими самими: μ=2,5, ρ=0,8.

Імовірність того, що обидва пости вільні,

Р 0 =1:
=0,294.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ n Р 0 /n!=0,8 2 0,294/2=0,094,

тобто. на 37% нижче, ніж у попередньому прикладі.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі автомобілі пройдуть через діагностичні пости.

Абсолютна пропускна спроможність А=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

Середня кількість вимог, що перебувають у черзі,

r=ρ Pоч /( n-ρ) = 0,8 2 0,094 / (2-0,8) = 0,063.

Середній час перебування у черзі

tож = Pоч /( n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/зміну,

тобто. в 1,55 рази нижче, ніж за тих же умов для одного діагностичного посту, головним чином за рахунок скорочення черги автомобілів на діагностику та часу очікування автомобілів більш ніж у 50 разів. Отже, будівництво другого діагностичного посту в умовах доцільно. Використовуючи формулу (5.18) із умови І 1 =І 2 , можна оцінити граничні значення ціни простою засобів обслуговування при будівництві та оснащенні другого діагностичного посту, що у розглянутому прикладі становить C 2 ін =39 ре.

У всіх розглянутих вище СМО передбачалося, що це запити, які у систему - однорідні, тобто, вони мають і той ж закон розподілу часу обслуговування та обслуговуються у системі відповідно до загальної дисципліни вибору з черги. Проте, у багатьох реальних системах запити, які у систему, неоднорідні як у розподілу часу обслуговування, і їх цінності для системи і, отже, праву претендувати на першочергове обслуговування на момент звільнення приладу. Такі моделі досліджуються у межах теорії пріоритетних СМО. Ця теорія досить добре розвинена та її викладу присвячено чимало монографій (див., наприклад, , , , і т.д.). Тут ми обмежимося коротким описом пріоритетних систем та розглянемо одну систему.

Розглянемо однолінійну СМО з очікуванням. На вхід системи надходять незалежні найпростіші потоки, потік має інтенсивність . Будемо позначати

Часи обслуговування запитів з потоку характеризуються функцією розподілу з перетворенням Лапласа - Стілтьєса та кінцевими початковими моментами

Запити з потоку назвемо запитами пріоритету.

Вважаємо, що запити з потоку пріоритетніші, ніж запити з потоку, якщо Пріоритетність виявляється в тому, що в момент закінчення обслуговування наступним на обслуговування вибирається із черги запит, що має максимальний пріоритет. Запити, які мають один і той же пріоритет, вибираються згідно з встановленою дисципліною обслуговування, наприклад, згідно з дисципліною FIFO.

Розглядаються різні варіанти поведінки системи у ситуації, коли під час обслуговування запиту деякого пріоритету до системи надходить запит вищого пріоритету.

Система називається СМО з відносним пріоритетом, якщо надходження такого запиту не перериває обслуговування запиту. Якщо ж таке переривання відбувається, система називається СМО з абсолютним пріоритетом. У цьому випадку, однак, потрібно уточнити подальшу поведінку запиту, обслуговування якого виявилося перерваним. Розрізняють такі варіанти: перерваний запит йде з системи і втрачається; перерваний запит повертається в чергу і продовжує обслуговування з місця переривання після виходу із системи всіх запитів, які мають більший пріоритет; перерваний запит повертається в чергу і починає обслуговування знову після виходу з системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет. Перерваний запит обслуговується приладом після виходу із системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет, протягом часу, що має колишній або деякий інший розподіл. Можливий варіант, коли необхідний час обслуговування в наступних спробах ідентичний часу, який був потрібний для повного обслуговування цього запиту в першій спробі.

Таким чином, є досить велика кількість варіантів поведінки системи з пріоритетом, з якими можна ознайомитись у вищезгаданих книгах. Спільним в аналізі всіх систем із пріоритетами є використання поняття періоду зайнятості системи запитами пріоритету до і вище. При цьому основним методом дослідження цих систем є метод запровадження додаткової події, коротко описаний у розділі 6.

Проілюструємо особливості знаходження характеристик систем із пріоритетами на прикладі системи, описаної на початку розділу. Вважатимемо, що це система з відносним пріоритетом і знайдемо стаціонарний розподіл часу очікування запиту пріоритету якби він надійшов у систему в момент часу t (так званого віртуального часу очікування) для системи з відносними пріоритетами.

Позначимо

Умовою існування цих меж є виконання нерівності

де величина обчислюється за такою формулою:

Позначимо також.

Твердження 21. Перетворення Лапласа - Стілтьєса стаціонарного розподілу віртуального часу очікування запиту пріоритету визначається таким чином:

де функції задаються формулою:

а функції перебувають як розв'язання функціональних рівнянь:

Доведення. Зауважимо, що функція являє собою перетворення Лапласа - Стілтьєса розподілу довжини періоду зайнятості системи запитами пріоритету I і вище (тобто інтервалу часу з моменту надходження в порожню систему запиту пріоритету I і вище і до першого після моменту, коли система виявиться вільною від присутності запитів пріоритету I та вище). Доказ того, що функція задовольняє рівнянню (1.118), майже дослівно повторює доказ Твердження 13. Зазначимо лише, що величина є ймовірність того, що період зайнятості системи запитами пріоритету I і вище починається з приходу запиту пріоритету а величина трактується як ймовірність пріоритету I і вище, за періоди зайнятості, породжені якими настає катастрофа, під час обслуговування запиту пріоритету , що розпочав цей період зайнятості.

Спочатку замість процесу розглянемо суттєво більш простий допоміжний процес - час, протягом якого очікував початку обслуговування запит пріоритету до, якби він надійшов до системи в момент часу t і після цього в систему не надходило запитів вищого пріоритету.

Нехай - перетворення Лапласа-Стілтьєса розподілу випадкової величини. Покажемо, що функція визначається так:

(1.119)

Імовірність того, що система порожня в момент часу – ймовірність того, що в інтервалі почалося обслуговування запиту пріоритету

Для доказу (1.119) застосуємо метод запровадження додаткової події. Нехай незалежно від роботи системи надходить найпростіший потік катастроф інтенсивності s. Кожен запит назвемо «поганим», якщо під час його обслуговування надходить катастрофа, і «хорошим» - інакше. Як випливає із тверджень 5 і 6, потік поганих запитів пріоритету до і вище є найпростішим з інтенсивністю

Введемо подію A(s,t) - за час t в систему не надходили погані запити пріоритету до і вище. В силу затвердження 1 ймовірність цієї події підраховується як:

Підрахуємо цю можливість інакше. Подія A(s,t) є об'єднанням трьох несумісних подій

Подія полягає в тому, що катастрофи не надійшли ні за час t, ні за час. При цьому, природно, за час t в систему надходили лише хороші запити пріоритету до і вище. Ймовірність події, очевидно, дорівнює

Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент надходження система була порожня, а за час не надійшло поганих запитів пріоритету до і вище.

Імовірність події обчислюється як:

Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент її надходження в системі обслуговувався запит пріоритету нижче k, який почав обслуговуватися в інтервалі, а за час t - і не надійшло поганих запитів пріоритету k і вище. Імовірність події визначається так:

Оскільки подія є сума трьох несумісних подій, його ймовірність є сума ймовірностей цих подій. Тому

Прирівнюючи два отримані вирази для ймовірності і помножуючи обидві частини рівності після нескладних перетворень отримуємо (1.119)

Очевидно, що для того, щоб за час очікування запиту, що надійшов у момент t не надійшло катастрофи, необхідно і достатньо, щоб за час не надійшло катастроф і запитів пріоритету та вище, таких, що за періоди зайнятості (запитами пріоритету та вище), породжені ними, настає катастрофа. З цих міркувань і ймовірнісного трактування перетворення Лапласа - Стілтьєса отримуємо формулу, що дає зв'язок перетворень у очевидній формі.

1. Інтенсивність потоку обслуговування заявок

2. Коефіцієнт завантаження СМО

3. Імовірність утворення черги

4. Імовірність відмови системи

5. Пропускна спроможність

6. Середня кількість заявок, що перебувають у черзі

7. Середня кількість заявок, що обслуговуються СМО

8. Середня кількість заявок, які перебувають у СМО

9. Середній час заявки до СМО

10. Середній час перебування заявки у черзі

11. Середня кількість зайнятих каналів.

Судити про якість отриманої системи треба за сов-ти значень показників. При аналізі результатів моделювання важливо звертати увагу інтереси клієнта і власника системи. Зокрема, слід min-ть чи max-ть той чи інший показник.

26. Одноканальна СМО

27. Одноканальна СМО з відмовами

28. Багатоканальна СМО з обмеженою чергою

Параметри СМО:

o Інтенсивність потоку заявок.

o Інтенсивність потоку обслуговування.

o Середнє t обслуговування заявки.

o Кількість каналів обслуговування.

o Дисципліна обслуговування.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не >3х машин одночасно. Чергу вважаємо загальною. Якщо всі місця в черзі зайняті, машина отримує відмову в обслуговуванні.

29. Транспортне завдання

- широке коло завдань як транспортного хар-ра, розподіл ресурсів, перебуває-ся в дек. постачальників, д/іншого довільного числа споживачів. Д/перевізників найчастіше отн-ся до транспорту:

1. Прив'язка споживачів до ресурсів виробників.

2. Прив'язка до пунктів призначення пунктів відправлення.

3. Взаємоприв'язка вантажопотоку прямого та зворотного напряму.

4. Оптимальний розподіл V випуску промислов. продукції м/в виготов-ми.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Тр. завдання закрите- ∑V відправ. грузов= ∑V потреб-ти у цьому вантажі, тобто. ∑ai=∑bj (m – кількість постачальників, n – кількість споживачів).

31 . Якщо ця умова неможлива – відкрита тр. завдання. Тоді її треба привести до закритої:

1. Якщо потреба пунктів призначення перевищує запаси пунктів відправлення, то вводиться фіктивний постачальник з відсутнім V відправлення.

2. Весь запас постачальників > потреби, то введення-сяфікт. споживач.

32. Алгоритм розв'язання задачі методом потенціалів (етапи):

1. Розробка початкового плану (опорного рішення).

2. Розрахунок потенціалів.

3. Перевірка плану оптимальність.

4. Пошук max ланки не оптимальності (якщо п.3 не виконано)

5. Складання контуру перерозподілу ресурсів.

6. Визначення min ел-та в контурі перераспр-ня і перераспр. ресурсів за контуром.

7. Отримання нового плану.

Ця процедура повторюється кілька разів, доки не буде знайдено оптимальне рішення. Алгоритм залишається незмінним. Методи відшукання початкового плану:

1. Метод С-З кута

2. Метод min вартості

3. Метод подвійної переваги

Метод потенціалів дозволяє за кінцеве число планів знайти оптимальний. (Метод Фогеля) Метод потенціалів розроблений д/класич. транспорт.задач, але такі зустрічаються рідко, доводиться запроваджувати ряд обмежень.

33. У економіці організації встреч-ся норма завдань, кот.м.б. зведені до транспортного завдання:

1. Від. постачання від опред. постачальників некіт. споживачами д.б. виключені через відсутність необх. ум. зберігання, перевантаження комунікацій тощо.

2. Організація. необх. визна. min ∑витрати на пр-во та транспортування продукції. М. виявитися економічним. вигіднішим доставляти сировину з більш віддал.пунктів, але при<себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. Ряд трансп. маршрутів мають обмеження щодо пропускної спос-ти.

4. Постачання за визнач. маршрутам обов'язкові та зобов'язати. д. увійти в оптим. план.

5. Економічне завдання не є транспортним. (Пр. – розподіл виробів виробів між підприємствами).

6. Необхідність max-ти цільову ф-ю завдання транспортного типу.

7. Необхідність в те саме t розподілити вантаж різного роду по споживачам – Багатопродуктове транспортне завдання.

8. Доставка вантажів у стислі терміни. (Метод потенціалів не придатний, вирішується за прим. спец. алгоритму).

34. Транспортне завдання у мережному підстановці

Якщо умова транспортної задачі задано у вигляді схеми, на кот. зображені постачальники, споживачі та зв'язки. їх дороги, зазначені величини запасів вантажу та потреб у ньому та показники критерію оптимальності (тарифи, відстані). У вершинах (вузлах) мережі зображують постачальників та споживачів. Запаси вантажу вважають позитивними, а потреби – негативними числами. Ребра (дуги) мережі - дороги. Рішення трансп. Завдання в мережевій постановці засноване на методі потенціалів і поч-ся з побудови початкового опорного плану, який повинен задовольняти вимогам:

1. Усі запаси мають бути розподілені, а споживачі задоволені.

2. Для кожної вершини має бути вказано постачання вантажу (+ або -)

3. Загальна кількість поставок має бути на 1 менша за кількість вершин.

4. Стрілки, якими позначають поставки, не д. утворювати замкнут. контур.

Потім план перевіряють на оптимальність, навіщо обчислюють потенціали. Отримують новий план і знову досліджують оптимальність. Визначають значення цільової функції.

У разі відкритої моделі вводять фіктивного споживача чи постачальника.

35. Д/рішення наукових та практичних завдань у галузі логістики прим. основні методи:

1. Методи системного аналізу

2. Методи теорії дослідження операції

3. Кібернетичні методи

4. Метод прогнозування

5. Методи експертних оцінок

6. Методи моделювання

36. Найбільш частина в логістиці застосовується імітація. моделювання, в кіт.закономірності, що визначають кількісне відношення залишаються невідомими, а сам логістичний процес залишається «чорною скринькою» або «сірою скринькою».

До основних процесів імітації. моделювання відн-ся:

1. Конструювання моделі реальної системи.

2. Постановка експериментів цієї моделі.

Цілі моделювання:

o Визначення поведінки логістичної системи.

o Вибір стратегії д/забезпечення. наиб.эфф-го функціонування логістич. системи.

Імітац. моделювання доцільно виконувати, коли вип-ся умови:

1. Не сущ. закінченої постановки завдань чи не розроблено аналітичних методів вирішення сформулірів. матем. моделі.

2. Аналітич. модель є, але процедури складні та трудомісткі, сл. імітація. моделювання дає більш простий спосіб розв'язання задачі.

3. Аналітич. рішення сущ., та їх реалізація неможлива через недостатню математичну підготовку персоналу.

37. Широке застосування у логістиці знайшли експертні системи- Спец. комп.програми, кіт. допомагають фахівцям приймати рішення, зв'язок. з керуванням матеріальним потоком.

Експертна система дозволяє:

1. Приймати швидкі та якісні рішення у сфері управління матеріальними потоками.

2. підготувати досвідчених фахівців за отн-но короткий термін.

4. Використовувати досвід та знання висококваліфікованих спеціалістів на різних робочих місцях.

Недоліки експертної системи:

1. Обмежені воз-ти використання здорового глузду.

2. Неможливо врахувати всі особливості у програмі експертної системи.

2 - черга- вимоги, що очікують на обслуговування.

Черга оцінюється середньою довжиною г -числом об'єктів чи клієнтів, які чекають на обслуговування.

3 - обслуговуючі апарати(Канали обслуговування) - сукупність робочих місць, виконавців, обладнання, що здійснюють обслуговування вимог за певною технологією.

4 - вихідний потік вимогз"(г) - потік вимог, що пройшли СМО. У загальному випадку потік, що виходить, може складатися з вимог обслужених і необслужених. Приклад необслужених вимог: відсутність потрібної деталі для автомобіля, що знаходиться в ремонті.

5 - замикання(Можливо) СМО - стан системи, при якому вхідний потік вимог залежить від вихідного.

На автомобільному транспорті після обслуговування вимог (ТО, ремонт) автомобіль має бути технічно справним.

Системи масового обслуговування класифікуються в такий спосіб.

1. За обмеженнями на довжину черги:

СМО із втратами - вимога залишає СМО необслуженим, якщо на момент його надходження всі канали зайняті;

СМО без втрат – вимога займає чергу, навіть якщо всі канали зайняті;

СМО з обмеженнями за довжиною черги табо часу очікування: якщо існує обмеження на чергу, то вимога, що знову надійшла (/?/ + 1), вибуває з системи необслуженим (наприклад, обмежена ємність накопичувального майданчика перед АЗС).

2. За кількістю каналів обслуговування п:

Одноканальні: п= 1;

Багатоканальні п^ 2.

3. За типом обслуговуючих каналів:

Однотипні (універсальні);

Різнотипні (спеціалізовані).

4. По порядку обслуговування:

Однофазові – обслуговування проводиться на одному апараті (посту);

Багатофазові - вимоги послідовно проходить кілька апаратів обслуговування (наприклад, потокові лінії ТО; конвеєрне складання автомобіля; лінія зовнішнього догляду: прибирання -> миття -> обсушування -> полірування).

5. За пріоритетністю обслуговування:

Без пріоритету - вимоги обслуговуються в порядку їх надходження на
СМО;

З пріоритетом – вимоги обслуговуються залежно від присвоєного
їм при надходженні рангу пріоритетності (наприклад, заправка автомобілів
швидкої допомоги на АЗС; першочерговий ремонт на АТП автомобілів,
які приносять найбільший прибуток на перевезеннях).

6. За величиною вхідного потоку вимог:

З необмеженим вхідним потоком;

З обмеженим вхідним потоком (наприклад, у разі попереднього запису на певні види робіт та послуг).

7. За структурою З МО:

Замкнуті - вхідний потік вимог за інших рівних умов залежить від числа раніше обслужених вимог (комплексне АТП, що обслуговує лише свої автомобілі (5 на рис. 6.6));

Відкриті - вхідний потік вимог залежить від числа раніше обслужених: АЗС загального користування, магазин із продажу запасних частин.

8. По взаємозв'язку обслуговуючих апаратів:

З взаємодопомогою - пропускна спроможність апаратів непостійна та залежить від зайнятості інших апаратів: бригадне обслуговування кількох постів СТО; використання "ковзаючих" робітників;

Без взаємодопомоги - пропускна здатність апарату залежить від роботи інших апаратів СМО.

Щодо технічної експлуатації автомобілів знаходять поширення замкнуті та відкриті, одно- та багатоканальні СМО, з однотипними або спеціалізованими обслуговуючими апаратами, з одно- або багатофазовим обслуговуванням, без втрат або з обмеженням на довжину черги або на час перебування в ній.

Як показники ефективності роботи СМО використовують наведені нижче параметри.

Інтенсивність обслуговування

Відносна пропускна спроможністьвизначає частку обслужених вимог від їх загальної кількості.

Імовірність того,що всі пости вільні Р(),характеризує такий стан системи, у якому всі об'єкти справні не вимагають проведення технічних впливів, тобто. вимоги відсутні.

Імовірність відмови в обслуговуванні Р огкмає сенс для СМО із втратами та з обмеженням по довжині черги або часу перебування в ній. Вона показує частку "втрачених" для системи вимог.

Імовірність утворення черги Роцвизначає такий стан системи, при якому всі обслуговуючі апарати зайняті, і наступна вимога "встає" у чергу з кількістю очікуваних вимог р.

Залежності визначення названих параметрів функціонування СМО визначаються її структурою.

Середній час перебування у черзі

Через випадковість вхідного потоку вимог і тривалість їх виконання завжди є якась середня кількість автомобілів, що простоюють. Тому потрібно так розподілити кількість обслуговуючих апаратів (постів, робочих місць, виконавців) за різними підсистемами, щоб І - min. Цей клас завдань має справу з дискретним зміною параметрів, оскільки кількість апаратів може змінюватися лише дискретним чином. Тому при аналізі системи забезпечення працездатності автомобілів використовуються методи дослідження операцій, теорії масового обслуговування, лінійного, нелінійного та динамічного програмування та імітаційного моделювання.

приклад.На автотранспортному підприємстві є один пост діагностування (п= 1). В даному випадку довжина черги практично необмежена. Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо вартість простою автомобілів у черзі становить С\= 20 р. (Розрахункових одиниць) за зміну, а вартість простою постів З 2 = 15 р.е. Інші вихідні дані ті ж, що й для попереднього прикладу.

приклад.На тому ж автотранспортному підприємстві кількість постів діагностування збільшено до двох (п = 2), тобто. створено багатоканальну систему. Оскільки створення другого посту необхідні капіталовкладення (площі, устаткування й т.д.), то вартість простою засобів обслуговування збільшується до С2 = 22р.е. Визначити параметри ефективності роботи системи діагностування. Інші вихідні дані ті ж, що для попереднього прикладу.

Інтенсивність діагностування та наведена щільність потоку залишаються такими ж:

> 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit + = k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

(p_currentCondit++;)

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Зміна часу перебування СМО у станах із довжиною черги 1, 2,3,4.Це реалізується наступним програмним кодом:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (queueLength > 1)

(timeInQueue += timeStep;)

Є така операція, як розміщення заявки на обслуговування у вільний канал. Проглядаються, починаючи з першого, всі канали, коли виконується умовачасузакінченнямперенесення Req [ i ] <= 0 (канал вільний), до нього подається заявка, тобто. генерується час закінчення обслуговування заявки.

for (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i]<= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Обслуговування заявок в каналах моделюється кодом:

for (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Алгоритм методу імітаційного моделювання реалізовано мовою програмування C#.

3.3 Розрахунок показників ефективності СМО на основі результатів її імітаційного моделювання

Найбільш важливими є такі показники, як:

1) Ймовірність відмови у обслуговуванні заявки, тобто. ймовірність того, що заявка залишає систему не обслуженою. У нашому випадку заявці відмовляється в обслуговуванні, якщо всі 2 канали зайняті, і черга максимально заповнена (тобто 4 особи в черзі). Для знаходження ймовірності відмови розділимо час перебування СМО у стані з чергою 4 загальний час роботи системи.

2) Відносна пропускна здатність – це середня частка заявок, що надійшли, обслуговуються системою.

3) Абсолютна пропускна спроможність - це середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу.

4) Довжина черги, тобто. середня кількість заявок у черзі. Довжина черги дорівнює сумі творів числа осіб у черзі на ймовірність відповідного стану. Імовірності станів знайдемо як відношення часу знаходження СМО у цьому стані до загального часу роботи системи.

5) Середній час перебування заявки у черзі визначається формулою Літтла

6) Середня кількість зайнятих каналів визначається наступним чином:

7) Відсоток заявок, яким було відмовлено в обслуговуванні, знаходиться за формулою

8) Відсоток обслужених заявок знаходиться за формулою

3.4 Статистична обробка результатів та їх порівняння з результатами аналітичного моделювання

Т.к. показники ефективності виходять у результаті моделювання СМО протягом кінцевого часу, вони містять випадкову компоненту. Тому для отримання більш надійних результатів потрібно провести їх статистичну обробку. З цією метою оцінимо довірчий інтервал для них за результатами 20 прогонів програми.

Величина потрапляє у довірчий інтервал, якщо виконується нерівність

, де

математичне очікування (середнє значення), що знаходиться за формулою

Виправлена ​​дисперсія,

,

N =20 - Число прогонів,

- Надійність. При і N =20 .

Результат роботи програми представлено на рис. 6.

Мал. 6. Вид програми

Для зручності порівняння результатів, отриманих різними методами моделювання, представимо їх у вигляді таблиці.

Таблиця 2.

Показники ефективності СМО	Результати аналітичного моделювання	Результати імітаційного моделювання (послід. крок)	Результати імітаційного моделювання
			Нижня границя довірчого інтервалу	Верхня межа довірчого інтервалу
Ймовірність відмови		0,174698253017626	0,158495148639101	0,246483801571923
Відносна пропускна спроможність		0,825301746982374	0,753516198428077	0,841504851360899
Абсолютна пропускна спроможність		3,96144838551539	3,61687775245477	4,03922328653232
Середня довжина черги		1,68655313447018	1,62655862750852	2,10148609204869
Середній час перебування заявки у черзі	0,4242558575	0,351365236347954	0,338866380730942	0,437809602510145
Середня кількість зайнятих каналів		1,9807241927577	1,80843887622738	2,01961164326616

З табл. 2 видно, що результати, одержані при аналітичному моделюванні СМО, потрапляють у довірчий інтервал, одержаний за результатами імітаційного моделювання. Тобто результати, отримані різними методами, узгоджуються.

Висновок

У цій роботі розглянуто основні методи моделювання СМО та розрахунку показників їхньої ефективності.

Проведено моделювання двоканальної СМО з максимальною довжиною черги рівною 4 за допомогою рівнянь Колмогорова, а також знайдено фінальні ймовірності станів системи. Розраховано показники її ефективності.

Проведено імітаційне моделювання роботи такої СМО. Мовою програмування C# складено програму, що імітує її роботу. Проведено серію розрахунків, за результатами яких знайдено значення показників ефективності системи та виконано їх статистичну обробку.

Отримані під час імітаційного моделювання результати узгоджуються з результатами аналітичного моделювання.

Література

1. Вентцель Є.С. Дослідження операцій. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.

2. Волков І.К., Загоруйко О.О. Дослідження операцій. - М.: Вид.-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2002. - 435 с.

3. Волков І.К., Зуєв С.М., Цвєткова Г.М. Випадкові процеси. - М.: Вид.-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2000. - 447 с.

4. Гмурман В.Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1979. - 400 с.

5. Івницький В.Л. Теорія мереж масового обслуговування. - М.: Фізматліт, 2004. - 772 с.

6. Дослідження операцій на економіці/ під ред. Н.Ш. Кремер. - М.: Юніті, 2004. - 407 с.

7. Таха Х.А. Введення у дослідження операцій. - М.: ВД «Вільямс», 2005. - 902 с.

8. Харін Ю.С., Малюгін В.І., Кирлиця В.П. та ін. Основи імітаційного та статистичного моделювання. - Мінськ: Дизайн ПРО, 1997. - 288 с.