Якщо під руками немає циркуля, можна намалювати просту зірку з п'ятьма променями потім просто з'єднати ці промені. як бачимо на малюнку нижче, виходить абсолютно правильний п'ятикутник.

Математика складна наука і має багато своїх секретиків, деякі з них дуже забавні. Якщо ви захоплюєтеся такими речами раджу знайти книгу Забавна математика.

Коло можна намалювати не лише за допомогою циркуля. Можна, наприклад, використовувати олівець та нитку. Вимірюємо потрібний діаметр на нитці. Один кінець щільно затискаємо на аркуші паперу, де креслитимемо коло. А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Тепер діє як з циркулем: натягуємо нитку і по колу злегка натискаючи олівцем чкртим коло.

Усередині кола малюємо селян від центру: вертикальна лінія та горизонтальна лінія. Точка перетину вертикальної лінії та кола буде вершиною п'ятикутника (точка 1). Тепер праву половину горизонтальної лінії ділимо навпіл (точка 2). Вимірюємо відстань від цієї точки до вершини п'ятикутника, і цей відрізок відкладає вліво від точки 2 (точка 3). За допомогою нитки та олівця проводимо від точки 1 радіусом до точки 3 дугу, що перетинає перше коло ліворуч і праворуч - точки перетину будуть вершинами п'ятикутника. Позначимо їх точка 4 та 5.

Тепер від точки 4 робимо дугу, що перетинає коло в нижній частині, радіусом рівної довжинівід точки 1 до 4 - це буде точкою 6. Так само і від точки 5 - позначимо точкою 7.

Залишиться з'єднати наш п'ятикутник із вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

Я знаю, як побудувати простий п'ятикутник за допомогою циркуля: Будуємо коло, відзначаємо п'ять точок, з'єднуємо їх. Можна побудувати п'ятикутник з рівними сторонамиДля цього нам ще знадобиться транспортир. Просто ті самі 5 точок ставимо по транспортирові. Для цього відзначаємо кути по 72 градуси. Після цього з'єднуємо відрізками і отримуємо необхідну нам фігуру.

Зелене коло можна креслити довільним радіусом. У це коло будемо вписувати правильний п'ятикутник. Без циркуля накреслити точно коло не можна, але це не обов'язково. Коло та всі подальші побудови можна виконувати від руки. Далі через центр кола Про потрібно провести дві взаємно перпендикулярні прямі та одну з точок перетину прямої з колом позначити А. Точка А буде вершиною п'ятикутника. Радіус ВВ розділимо навпіл і поставимо точку С. З точки З проводимо друге коло радіусом АС. З точки А проводимо третє коло радіусом АD. Точки перетину третього кола з першою (Е і F) будуть також вершинами п'ятикутника. З точок Е і F радіусом АЕ робимо засічки на першому колі та отримуємо решту вершин п'ятикутника G і H.



Адептам чорного мистецтва: щоб просто, красиво і швидко намалювати п'ятикутник, слід накреслити правильну, гармонійну основу для пентаграми (п'ятикутна зірка) і з'єднати закінчення променів цієї зірки за допомогою прямих, рівних ліній. Якщо все було зроблено правильно - сполучна риса навколо основи і буде шуканим п'ятикутником.

(на малюнку - завершена, але незаповнена пентаграма)



Для тих, хто невпевнений у правильності зображення пентаграми: візьміть за основу вітрувіанської людини Да Вінчі (див. нижче)



Якщо потрібен п'ятикутник - тикаєте довільним чином 5 точці та їх зовнішній контур буде п'ятикутником.

Якщо потрібен правильний п'ятикутник, то без математичного циркуля цю будову зробити неможливо, оскільки без нього не можна провести два однакові, але не паралельні відрізки. Будь-який інший інструмент, який дозволяє провести два однакові, але не паралельні відрізки еквівалентний математичному циркулю.



Спочатку треба накреслити коло, потім напрямні, потім друге пунктирне коло, знаходимо верхню точку, потім відміряємо два кути верхні, від них креслимо нижні. Зауважте, радіус циркуля той самий при всій побудові.

Все залежить від того, який п'ятикутник вам необхідний. Якщо будь-який, то ставите п'ять точок і з'єднуєте їх між собою (природно, точки ставимо не по прямій лінії). А якщо потрібен п'ятикутник правильно форми, візьміть будь-які п'ять по довжині (смужок паперу, сірників, олівців тощо), викладіть п'ятикутник та обкресліть його.

П'ятикутник можна накреслити, наприклад, із зірки. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть олівцем зірку, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть.

Другий спосіб. Виріжте смужку з паперу, довжиною, що дорівнює бажаній стороні п'ятикутника, а шириною вузькою, допустимо 0.5 - 1 см. Як за шаблоном, виріжте по цій смужці ще чотири таких смужки, щоб їх вийшло всього 5.

Потім покладіть аркуш паперу (краще закріпити його на столі за допомогою чотирьох кнопок або голочок). Потім накладіть ці 5 смужок на листок так, щоб вони утворили п'ятикутник. Приколоти ці 5 смужок до аркуша паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть смужки з листка.



Якщо немає циркуля і потрібно збудувати п'ятикутник, то я можу порадити наступне. Я сама так будувала. Можна накреслити правильну п'ятикутну зірку. І після цього, щоб отримати п'ятикутник, потрібно з'єднати всі вершини зірки. Ось так і вийде п'ятикутник. Ось що ми отримаємо



Рівними чорними лініями ми поєднали вершини зірки та отримали п'ятикутник.

Без вивчення техніки цього процесу не обійтись. Існує кілька варіантів виконання роботи. Як намалювати зірку за допомогою лінійки, допоможуть зрозуміти найвідоміші методи цього процесу.

Різновиди зірок

Існує безліч варіантів зовнішнього виглядутакої постаті, як зірка.

Ще з давніх часів п'ятикутний її різновид використовувався для накреслення пентаграм. Це її властивістю, що дозволяє зробити малюнок, не відриваючи ручки від паперу.

Існують також шестикінцеві, хвостаті комети.

П'ять вершин зазвичай має морська зірка. Такої форми нерідко зустрічаються зображення різдвяного варіанта.

У будь-якому випадку, щоб намалювати п'ятикутну зірку поетапно, необхідно вдатися до допомоги спеціальних інструментів, оскільки зображення від руки навряд чи виглядатиме симетрично та красиво.

Виконання креслення

Щоб зрозуміти як намалювати рівну зірку, слід усвідомити суть цієї фігури.

Основою для її зображення є ламана лінія, кінці якої сходяться в початковій точці. Вона утворює правильний п'ятикутник – пентагон.

Відмінними властивостями такої фігури є можливості вписання її в коло, а також кола цього багатокутника.

Усі сторони пентагону рівні між собою. Розуміючи, як правильно виконати креслення, можна усвідомити суть процесу побудови всіх фігур, а також різноманітні схеми деталей, вузлів.

Для досягнення такої мети, як намалювати зірку за допомогою лінійки, необхідно володіти знаннями про найпростіші математичні формули, які є основними в геометрії. А також потрібно вміння рахувати на калькуляторі. Але найголовніше – це логічне мислення.

Робота не є складною, але вона вимагатиме точності та скрупульозності. Витрачені зусилля будуть винагороджені гарним симетричним, а тому й гарним зображенням п'ятикутної зірки.

Класична техніка

Самий відомий спосібтого, як намалювати зірку за допомогою циркуля, лінійки та транспортира є досить нескладним.

Для цієї методики знадобиться кілька інструментів: циркуль чи транспортир, лінійка, простий олівець, гумка та лист білого паперу.

Щоб зрозуміти, як красиво намалювати зірку, діяти слід послідовно, етап за етапом.

Можна скористатися спеціальними обчисленнями.

Розрахунок фігури

На цьому етапі малювання правильної зірки проступають контури готової фігури.

Якщо все зроблено правильно, отримане зображення буде рівним. Це можна перевірити візуально, обертаючи аркуш паперу та оцінюючи форму. Вона буде незмінною при кожному повороті.

Основні контури наводяться за допомогою лінійки та простого олівця чіткіше. Всі допоміжні лінії забираються.

Щоб зрозуміти, як намалювати зірку поетапно, слід проводити усі дії вдумливо. У разі помилки можна підправити малюнок гумкою або провести всі маніпуляції заново.

Оформлення роботи

Готову форму можна прикрасити найрізноманітнішими способами. Головне – не треба боятися експериментувати. Фантазія підкаже оригінальний та гарний образ.

Можна прикрасити намальовану рівну зірку простим олівцем або використати найрізноманітніші кольори та відтінки.

Щоб розібратися в тому, як намалювати правильну зірку, необхідно дотримуватись ідеальних ліній у всьому. Тому найпопулярніший варіант оформлення полягає у поділі кожного променя фігури на дві рівні частини лінією, що виходить від вершини до центру.

Можна не поділяти сторони зірки лініями. Допускається просто зафарбувати кожен промінь фігури темнішим відтінком з одного боку.

Такий варіант також буде відповіддю на питання про те, як намалювати правильну зірку, адже всі її лінії будуть симетричні.

За бажанням при естетичному оформленні фігури можна додати орнамент чи інші елементи. Додавши кружечки до вершин, можна одержати зірку шерифа. Застосувавши плавне розтушування тіньових сторін, можна отримати морську зірку.

Ця техніка є найпоширенішою, тому що без особливих зусиль дозволяє зрозуміти, як намалювати п'ятикутну зірку поетапно. Не вдаючись до складних математичних обчислень, можна отримати правильне, красиве зображення.

Розглянувши всі способи того, як намалювати зірку за допомогою лінійки, можна вибрати для себе більш підходящий. Найбільш популярним є геометричний метод поетапний. Він досить нескладний та ефективний. Застосувавши фантазію та уяву, можна з отриманої правильної, гарної форми створити оригінальну композицію. Варіантів оформлення малюнка існує безліч. Але завжди можна придумати свій власний, найнезвичайніший і незабутній сюжет. Головне – не варто боятися експериментувати!

Тлумачний словник Ожегова говорить, що п'ятикутник є обмеженою п'ятьма прямими, що перетинаються, утворюють п'ять внутрішніх кутів, а також будь-який предмет подібної форми. Якщо в даного багатокутника всі сторони і кути однакові, він називається правильним (пентагоном).

Чим цікавий правильний п'ятикутник?

Саме в такій формі було збудовано всім відомий будинок Міноборони Сполучених Штатів. З правильних об'ємних багатогранників лише додекаедр має грані у формі пентагону. А в природі геть-чисто відсутні кристали, грані яких нагадували б правильний п'ятикутник. Крім того, ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістюкутів, яким неможливо замостити площу. Тільки п'ятикутник кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Погодьтеся, це цікаво!

Основні властивості та формули

Скориставшись формулами для правильного довільного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон.

• Центральний кут α = 360/n = 360/5 = 72 °.
• Внутрішній кут β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Відповідно сума внутрішніх кутів становить 540°.
• Відношення діагоналі до бокової сторони дорівнює (1+√5) /2, тобто (приблизно 1618).
• Довжина сторони, яку має правильний п'ятикутник, може бути розрахована за однією з трьох формул, залежно від того, який параметр вже відомий:

• якщо навколо нього описано коло і відомий його радіус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• у разі коли коло c радіусом r вписано в правильний п'ятикутник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• буває так, що замість радіусів відома величина діагоналі D, тоді сторону визначають наступним чином: а D/1,618.

• Площа правильного п'ятикутника визначається, знову ж таки, залежно від того, який параметр нам відомий:
• якщо є вписане або описане коло, то використовується одна з двох формул:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r або S = (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• площу можна також визначити, знаючи лише довжину бічної сторони:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Правильний п'ятикутник: побудова

Цю геометричну фігуру можна збудувати по-різному. Наприклад, вписати їх у коло із заданим радіусом чи побудувати з урахуванням заданої збоку. Послідовність дій була описана ще в «Початках» Евкліда приблизно 300 років до н. У будь-якому випадку, нам знадобляться циркуль та лінійка. Розглянемо спосіб побудови за допомогою заданого кола.

1. Виберіть довільний радіус і накресліть коло, позначивши його центр точкою O.

2. На лінії кола виберіть точку, яка буде однією з вершин нашого п'ятикутника. Нехай це буде точка А. З'єднайте точки О та А прямим відрізком.

3. Проведіть пряму через точку О перпендикулярно до прямої ОА. Місце перетину цієї прямої з лінією кола позначте, як точку В.

4. На середині відстані між точками О та В побудуйте точку С.

5. Тепер накресліть коло, центр якого буде в точці С і яка проходитиме через точку А. Місце її перетину з прямої OB (воно виявиться всередині самого першого кола) буде точкою D.

6. Побудуйте коло, що проходить через D, центр якого буде в А. Місця його перетину з початковим колом потрібно позначити точками Е та F.

7. Тепер побудуйте коло, центр якого буде в Е. Зробити це треба так, щоб воно проходило через А. Її інше місце перетину оригінального кола потрібно позначити

8. Нарешті, побудуйте коло через А з центром у точці F. Позначте інше місце перетину оригінального кола точкою H.

9. Тепер залишилося лише з'єднати вершини A, E, G, H, F. Наш правильний п'ятикутник буде готовим!

5.3. Золотий п'ятикутник; побудова Евкліда.

Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильним п'ятикутником – опуклим і зірчастим (рис. 5).

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник.

Нехай О – центр кола, А – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Є і золотий кубоїд-це прямокутний паралелепіпедз ребрами, що мають довжини 1.618, 1 та 0.618.

Тепер розглянемо доказ, запропонований Евклідом у «Початках».

Подивимося тепер, як Евклід використовує золотий перетин для того, щоб побудувати кут 72 градуси – саме під таким кутом видно сторону правильного п'ятикутника

з центру описаного кола. Почнемо з

відрізка АВЕ, розділеного в середньому та

Отже, нехай АС = АЕ. Позначимо через a рівні кутиЄВС та ПЕВ. Оскільки АС=АЕ, то кут АСЕ також дорівнює a. Теорема у тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, дозволяє знайти кут ВСІ: він дорівнює 180-2a, а кут ЕАС - 3a - 180. Але тоді кут АВС дорівнює 180-a. Підсумовуючи кути трикутника АВС отримуємо,

180 = (3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Звідки 5a=360, отже a=72.

Отже, кожен з кутів при основі трикутника ВЕС удвічі більший за кут при вершині, що дорівнює 36 градусів. Отже, щоб побудувати правильний п'ятикутник, необхідно лише провести будь-яке коло з центром у точці Е, що перетинає ЄС у точці Х та сторону ЕВ у точці Y: відрізок XY служить однією зі сторін вписаного в коло правильного п'ятикутника; Обійшовши навколо всього кола, можна знайти і всі інші сторони.

Доведемо тепер, що АС = АЕ. Припустимо, що вершина З з'єднана відрізком прямої з серединою N відрізка ВЕ. Зауважимо, що оскільки СВ = РЄ, то кут СNЕ прямий. За теоремою Піфагора:

CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)

Звідси маємо (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Отже, АС = jа = jАВ = АЕ, що потрібно було довести

5.4.Спіраль Архімеда.

Послідовно відтинаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, щоразу з'єднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її та вивів рівняння цієї спіралі.

В даний час спіраль Архімед широко використовується в техніці.

6. Числа Фібоначчі.

Із золотим перетином побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше на прізвисько Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі)

У 1202р. їм була написана книга "Liber abacci", тобто "Книга про абака". "Liber abacci" являє собою об'ємисту працю, що містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу і зіграв помітну роль у розвитку математики Західної Європипротягом кількох наступних століть. Зокрема, саме з цієї книги європейці познайомилися з індуськими ("арабськими") цифрами.

Матеріал, що повідомляється в книзі, пояснюється на великому числізадач, що становлять значну частину цього трактату.

Розглянемо одне таке завдання:

Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народжується?

Хтось помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом цього року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів відтворить іншу, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.

Місяці	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пари кроликів	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Перейдемо тепер від кроликів до чисел та розглянемо наступну числову послідовність:

u 1 , u 2 … u n

у якій кожен член дорівнює сумі двох попередніх, тобто. при всякому n>2

u n = u n -1 + u n -2 .

Ця послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне деякому постійному співвідношенні. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто є числом з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр у дробовій частині. Його неможливо висловити достеменно.

Якщо якийсь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875... і через раз то перевищує, то не досягає його.

Асимптотична поведінка послідовності, загасаючі коливанняїї співвідношення біля ірраціонального числа Ф можуть стати більш зрозумілими, якщо показати відносини кількох перших членів послідовності. У цьому прикладі наведено відношення другого члена до першого, третього до другого, четвертого до третього, і так далі:

1:1 = 1.0000, що менше фі на 0.6180

2:1 = 2.0000, що більше фі на 0.3820

3:2 = 1.5000, що менше фі на 0.1180

5:3 = 1.6667, що більше фі на 0.0486

8:5 = 1.6000, що менше фі на 0.0180

У міру просування по суммаційній послідовності Фібоначчі кожен новий член ділитиме наступний з дедалі більшим і більшим наближенням до недосяжного Ф.

Людина підсвідомо шукає Божественну пропорцію: вона потрібна задоволення її потреби у комфорті.

При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі на наступний за ним виходить просто зворотна до 1.618 величина (1: 1.618 = 0.618). Але це теж дуже незвичайне, навіть чудове явище. Оскільки початкове співвідношення - нескінченна дрібниця, у цього співвідношення також не повинно бути кінця.

При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне отримуємо число 0.382

Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір коефіцієнтів Фібоначчі: 4.235, 2.618, 1.618,0.618,0.382,0.236. Згадаємо також 0.5.

Тут слід зазначити, що Фібоначчі лише нагадав свою послідовність людству, оскільки вона була відома ще в найдавніші часипід назвою Золотий перетин.

Золотий перетин, як ми бачили, виникає у зв'язку з правильним п'ятикутником, тому й числа Фібоначчі грають роль у всьому, що стосується правильних п'ятикутників - опуклих і зірчастих.

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10 проблему Гільберта (про рішення Діофантових рівнянь). Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16 ... (тобто ряд чисел до n де будь-яке натуральне число, Менше n можна уявити сумою деяких чисел цього ряду) на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі?

Дійсно, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожен із наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й членцього ряду ми позначимо через S(n), то отримаємо загальну формулу S(n) = S(n – 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, за S = 1 –ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

Загалом золота S-пропорціяІснує позитивний корінь рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0.

Неважко показати, що за S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а за S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-пропорціями! Тобто золоті S-перетини є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

7.Золотий перетин у мистецтві.

7.1. Золотий перетин у живописі.

Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живописі, не можна не зупинити свою увагу на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю».

Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, замітки, в яких говориться всім у світі».

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

Також пропорція золотого перерізу проявляється у картині Шишкіна. На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі.

У картині Рафаеля "Побиття немовлят" проглядається інший елемент золотої пропорції - золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу . Невідомо, чи Рафаель будував золоту спіраль чи відчував її.

Т.Кук використовував при аналізі картини Сандро Боттічеллі «народження Венери» золотий перетин.

7.2. Піраміди золотого перерізу.

Широко відомі медичні властивості пірамід, особливо золотого перерізу. За деякими найбільш поширеними думками, кімната, в якій знаходиться така піраміда, здається більше, а повітря - прозоріше. Сни починають запам'ятовуватись краще. Також відомо, що золотий перетин широко застосовувався в архітектурі та скульптурі. Прикладом стали: Пантеон і Парфенон у Греції, будівлі архітекторів Баженова і Малевича

8. Висновок.

Необхідно сказати, що золотий переріз має велике застосування у нашому житті.

Було доведено, що тіло людини ділиться в пропорції золотого перерізу лінією пояса.

Раковина наутілуса закручена подібно до золотої спіралі.

Завдяки золотому перерізу було відкрито пояс астероїдів між Марсом і Юпітером – за пропорцією там має бути ще одна планета.

Порушення струни в точці, що ділить її щодо золотого поділу, не викличе коливань струни, тобто це точка компенсації.

на літальних апаратахз електромагнітними джереламиенергії створюються прямокутні осередки із пропорцією золотого перерізу.

Джоконда побудована на золотих трикутниках, золота спіраль присутня на картині Рафаеля «Побиття немовлят».

Пропорція виявлена ​​в картині Сандро Боттічеллі «Народження Венери»

Відомо багато пам'яток архітектури, збудованих з використанням золотої пропорції, зокрема Пантеон та Парфенон в Афінах, будівлі архітекторів Баженова та Малевича.

Іоанну Кеплеру, який жив п'ять століть тому, належить висловлювання: "Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому та середньому відношенні"

Список літератури

1. Д. Підоу. Геометрія та мистецтво. - М.: Світ, 1979.

2. Журнал "Наука та техніка"

3. Журнал «Квант», 1973 № 8.

4. Журнал «Математика в школі», 1994 № 2; №3.

5. Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.

6. Стахов А. Коди золотої пропорції.

7.Воробйов Н.М. "Числа Фібоначчі" - М.: Наука 1964

8. "Математика - Енциклопедія для дітей" М: Аванта +, 1998

9. Інформація з Інтернету.

Матриць Фібоначчі та так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорія кодування та нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з погляду золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить теорії нові і напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному відношенні – «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки...

Чи не вплинуть на цей результат. Заснування золотої пропорції є інваріантом рекурсивних співвідношень 4 і 6. У цьому виявляється «стійкість» золотого перерізу, одного з принципів організації живої матерії. Також, основа золотої пропорції є рішенням двох екзотичних рекурсивних послідовностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивні послідовності Фібоначчі так...

Юшка - j5, а відстань від вуха до верхівки - j6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію із знаменником j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Рис.9). Таким чином, золотий перетин – один із основоположних принципів у мистецтві античної Греції. Ритми серця та мозку. Поступово б'ється серце людини – близько 60 ударів на хвилину у стані спокою. Серце як поршень стискає...

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

Правильний п'ятикутник(грец. πενταγωνον ) - геометрична фігура, правильний багатокутник з п'ятьма сторонами.

Властивості

• Додекаедр - єдиний з правильних багатогранників, грані якого є правильними п'ятикутниками.
• Пентагон – будівля Міністерства оборони США має форму правильного п'ятикутника.
• Правильний п'ятикутник - правильний багатокутник з найменшою кількістюкутів із тих, якими не можна замостити площину.
• У природі немає кристалів з гранями у вигляді правильного п'ятикутника.
• П'ятикутник з усіма його діагоналями є проекцією 4-симплексу.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Правильний п'ятикутник"

Примітки

За кількістю сторін Правильні Трикутники Чотирикутники Див. також

Багатокутники Зірчасті багатокутники Паркети на площині Правильні багатогранники та сферичні паркети Багатогранники Кеплера – Пуансо Соти Чотиривимірні багатогранники

Уривок, що характеризує правильний п'ятикутник

Петя не знав, як довго це тривало: він насолоджувався, весь час дивувався своїй насолоді і шкодував, що нема кому повідомити його. Його розбудив лагідний голос Лихачова.
- Готово, ваше благородіє, надвоє хранцуза розпластаєте.
Петя отямився.
- Вже світає, правда, світає! – скрикнув він.
Невидні раніше коні стали видно до хвостів, і крізь оголені гілки виднілося водянисте світло. Петя струснувся, схопився, дістав з кишені цілковиту і дав Лихачову, махнувши, спробував шашку і поклав її в піхви. Козаки відв'язували коней і підтягували попруги.
– Ось і командир, – сказав Ліхачов. З чату вийшов Денисов і, гукнувши Петю, наказав збиратися.

Швидко в напівтемряві розібрали коней, підтягнули попруги та розібралися по командах. Денисов стояв біля чату, віддаючи останні накази. Піхота партії, шльопаючи сотнею ніг, пройшла вперед дорогою і швидко зникла між дерев у передсвітанковому тумані. Есаул щось наказував козакам. Петя тримав свого коня у поводі, з нетерпінням чекаючи наказу сідати. Обмите холодною водою, його обличчя, особливо очі горіли вогнем, озноб пробігав по спині, і в усьому тілі щось швидко і рівномірно тремтіло.
- Ну, чи готове у вас все? – сказав Денисов. – Давай коней.
Коней подали. Денисов розсердився на козака через те, що попруги були слабкі, і, розібравши його, сів. Петя взявся за стремено. Кінь, за звичкою, хотів куснути його за ногу, але Петя, не відчуваючи своєї тяжкості, швидко скочив у сідло і, озираючись на гусар, що рушили ззаду в темряві, під'їхав до Денисова.
- Василю Федоровичу, ви мені доручите щось? Будь ласка… заради бога… – сказав він. Денисов, здавалося, забув про існування Петі. Він озирнувся на нього.
- Про одного тебе п ошу, - сказав він суворо, - слухатися мене і нікуди не потикатися.
Під час переїзду Денисов ні слова не говорив більше з Петею і їхав мовчки. Коли під'їхали до узлісся, у полі помітно вже стало світлішати. Денисов поговорив щось пошепки з есаулом, і козаки почали проїжджати повз Петі і Денисова. Коли вони всі проїхали, Денисов торкнувся свого коня і поїхав під гору. Сідаючи на зади і ковзаючи, коні спускалися зі своїми сідками в лощину. Петя їхав поряд із Денисовим. Тремтіння у всьому його тілі все посилювалося. Ставало все світлішим і світлішим, тільки туман приховував віддалені предмети. З'їхавши вниз і озирнувшись назад, Денисов кивнув головою козаку, що стояв біля нього.
– Сигнал! – промовив він.
Козак підняв руку, пролунав постріл. І в ту ж мить почувся тупіт коней, що попереду поскакали, крики з різних боків і ще постріли.
Тієї ж миті, як пролунали перші звуки тупоту і крику, Петя, ударивши свого коня і випустивши поводи, не слухаючи Денисова, що кричав на нього, поскакав уперед. Пете здалося, що раптом зовсім, як серед дня, яскраво розвиднілося в ту хвилину, як почувся постріл. Він підскакав до мосту. Попереду дорогою скакали козаки. На мосту він зіткнувся з козаком, що відстав, і поскакав далі. Попереду якісь люди, мабуть, це були французи, бігли з правого боку дороги на ліву. Один упав у багнюку під ногами Петіного коня.
У однієї хати стовпилися козаки, щось роблячи. З середини юрби почувся страшний крик. Петя підскакав до цього натовпу, і перше, що він побачив, було бліде, з тремтячою нижньою щелепою обличчя француза, що тримався за пику, що спрямовано на нього.
– Ура!.. Хлопці… наші… – прокричав Петя і, давши поводи розпаленого коня, поскакав уперед вулицею.
Попереду чути було постріли. Козаки, гусари та російські обірвані полонені, що бігли з обох боків дороги, все голосно й нескладно кричали щось. Молодуватий, без шапки, з червоним нахмуреним обличчям, француз у синій шинелі відбивався багнетом від гусарів. Коли Петя підскакав, француз уже впав. Знову спізнився, майнуло в голові Петі, і він поскакав туди, звідки лунали часті постріли. Постріли лунали надворі того панського будинку, на якому він був учора вночі з Долоховим. Французи засіли там за тином у густому, зарослому кущами саду і стріляли по козаках, що стовпилися біля воріт. Під'їжджаючи до воріт, Петя в пороховому диму побачив Долохова з блідим, зеленуватим обличчям, що щось кричав людям. «В об'їзд! Піхоту почекати! - Кричав він, коли Петя під'їхав до нього.
– Зачекати?.. Ураааа!.. – закричав Петя і, не зволікаючи жодної хвилини, поскакав до того місця, звідки чулися постріли і де густішим був пороховий дим. Почувся залп, провизжали порожні й у щось шльоплі кулі. Козаки і Долохов схопилися за Петею у ворота будинку. Французи в густому димі, що коливається, одні кидали зброю і вибігали з кущів назустріч козакам, інші бігли під гору до ставка. Петя скакав на своєму коні вздовж панським двором і, замість того, щоб тримати поводи, дивно і швидко махав обома руками і все далі і далі збивався з сідла на один бік. Кінь, набігши на вогнище, що тліло в ранковому світло, уперся, і Петя важко впав на мокру землю. Козаки бачили, як швидко засмикалися його руки та ноги, незважаючи на те, що голова його не ворушилася. Куля пробила йому голову.
Переговоривши зі старшим французьким офіцером, який вийшов до нього з-за будинку з хусткою на шпазі і оголосив, що вони здаються, Долохов зліз з коня і підійшов до нерухомо, з розкинутими руками, що лежав Петі.
- Готовий, - сказав він, насупившись, і пішов у ворота назустріч Денисову, що їхав до нього.
- Убитий?! – скрикнув Денисов, побачивши ще здалеку те знайоме йому, безперечно, неживе становище, в якому лежало тіло Петі.
- Готовий, - повторив Долохов, ніби вимовляння цього слова приносило йому задоволення, і швидко пішов до полонених, яких оточили козаки, що поспішали. – Брати не будемо! – крикнув він Денисову.