ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

Розглянемо ці предмети:

Будівельна цегла, гральний кубик, мікрохвильова піч. Ці предмети поєднує форма.

Поверхня, що складається з двох рівних паралелограмів АВСD та А1В1С1D1

і чотирьох паралелограмів АА1В1В та ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D називається паралелепіпедом.

Паралелограми, з яких складено паралелепіпед, називаються гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

У цьому грані АВСD і А1В1С1D1 частіше називають підставами, інші грані бічними.

Сторони паралелограмів називаються ребрами паралелепіпеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, не належить підстав, воно називаються бічне ребро.

Вершини паралелограмів називають вершинами паралелепіпеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершини D1 та В

не належать однієї грані та називаються протилежними.

Паралелепіпед можна зображати різними способами

Паралелепіпед у основі, якого лежить ромб, При цьому зображеннями граней є паралелограми.

Паралелепіпед у основі, якого лежить квадрат. Невидимі ребра АА1, АВ, АD зображуються штриховими лініями.

Паралелепіпед в основі, якого лежить квадрат

Паралелепіпед в основі, якого лежить прямокутник або паралелограм

Паралелепіпед, у якого всі межі квадрати. Найчастіше його називають кубом.

Всі розглянуті паралелепіпеди мають властивості. Сформулюємо та доведемо їх.

Властивість 1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Розглянемо паралелепіпед АВСDА1В1С1D1 і доведемо, наприклад, паралельність і рівність граней ВВ1С1С та АА1D1D.

За визначенням паралелепіпеда грань АВСD паралелограм, означає за властивістю паралелограма ребро ВС паралельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 теж паралелограм, отже ребра ВВ1 та АА1 паралельні.

Це означає, що дві пересічні прямі ВС і BB1 однієї площини відповідно паралельні двом прямим АD і АА1 відповідно інший площині, значить площини АВВ1А1 і ВСС1D1 паралельні.

Усі грані паралелепіпеда паралелограми отже ВС=АD, ВВ1 =АА1.

У цьому боку кутів В1ВС і А1АD відповідно сонаправлены, отже вони рівні.

Таким чином, дві суміжні сторони і кут між ними паралелограма АВВ1А1 відповідно дорівнюють двом суміжним сторонам і куту між ними паралелограма ВСС1D1, отже, ці паралелограми рівні.

Паралелепіпед має ще властивість про діагоналі. Діагоналлю паралелепіпеда називається відрізок, що з'єднує не сусідні вершини. На креслення пунктирною лінією показано діагоналі В1D, BD1, А1С.

Отже, властивість 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Для доказу якості розглянемо чотирикутник ВВ1D1D. Його діагоналі В1D, BD1 є діагоналями паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1.

У першому властивості ми з'ясували, що ребро ВВ1 паралельно і дорівнює ребру АА1, але ребро АА1 паралельно і дорівнює ребру DD1. Отже ребра ВВ1 і DD1 паралельні та рівні, що доводить чотирикутник ВВ1D1D-паралелограм. А в паралелограмі за властивістю діагоналі В1D, BD1 перетинаються в деякій точці і цією точкою діляться навпіл.

Чотирьохкутник ВС1D1А також є паралелограмом та його діагоналі С1А, перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. Діагоналі паралелограма С1А, ВD1 є діагоналями паралелепіпеда, отже сформульоване властивість доведено.

Для закріплення теоретичних знань про паралелепіпед розглянемо завдання на доказ.

На ребрах паралелепіпеда відмічені точки L, M, N, Pотже, BL=CM=A1N=D1P. Довести, що ALMDNB1C1P паралелепіпед.

Грань ВВ1А1А паралелограм, отже ребро ВВ1 дорівнює і паралельно ребру АА1, але за умовою відрізки BL і A1N, означає рівні та паралельні відрізки LB1 та NA.

3) Отже, чотирикутник LB1NA за ознакою паралелограм.

4) Так як СС1D1D-паралелограм, значить ребро СС1 дорівнює і паралельно ребру D1D, а СМ дорівнює D1P за умовою, значить рівні та паралельні відрізки МС1і DP

Отже, чотирикутник MC1PD теж паралелограм.

5) Кути LB1N і MC1P рівні як кути з відповідно паралельними та однаково спрямованими сторонами.

6) Ми отримали, що у паралелограмів та MC1PD відповідні сторони рівні та кути між ними рівні, отже паралелограми рівні.

7) Відрізки рівні за умовою, отже BLMC-паралелограм і сторона BC паралельна стороні LM паралельна стороні В1С1.

8) Аналогічно з паралелограма NA1D1P випливає, що сторона A1D1 паралельна стороні NP і паралельна стороні AD.

9)Протилежні грані ABB1A1 і DCC1D1 паралелепіпеда за якістю паралельні, а відрізки паралельних прямих ув'язнених між паралельними площинами рівні, отже відрізки В1С1, LM, AD, NP рівні.

Отримано, що у чотирикутниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD дві сторони паралельні та рівні, отже вони паралелограми. Тоді наша поверхня ALMDNB1C1P складається із шести паралелограмів, два з яких рівні, а за визначенням це паралелепіпед.

У геометрії ключовими поняттями є площина, точка, пряма та кут. Використовуючи ці терміни, можна описати будь-яку геометричну фігуру. Багатогранники зазвичай описують через простіші фігури, які лежать в одній площині, такі як коло, трикутник, квадрат, прямокутник і т.д. У цій статті ми розглянемо, що таке паралелепіпед, опишемо типи паралелепіпедів, його властивості, з яких елементів він складається, а також дамо основні формули для обчислення площі та обсягу для кожного різновиду паралелепіпеда.

Визначення

Паралелепіпед у тривимірному просторі – це призма, всі сторони якої є паралелограмами. Відповідно, вона може мати лише три пари паралельних паралелограмів або шість граней.

Щоб візуалізувати паралелепіпед, уявіть собі звичайну стандартну цеглу. Цегла - гарний приклад прямокутного паралелепіпеда, який може уявити навіть дитина. Іншими прикладами можуть бути багатоповерхові панельні будинки, шафи, контейнери для зберігання харчових продуктів відповідної форми і т.д.

Різновиди фігури

Існує всього два різновиди паралелепіпедів:

1. Прямокутні, всі бічні граніяких знаходяться під кутом 90 про основу і є прямокутниками.
2. Похилі, бічні грані яких розташовані під певним кутом до основи.

На які елементи можна поділити цю фігуру?

• Як і в будь-якій іншій геометричній фігурі, в паралелепіпеді будь-які 2 грані із загальним ребром звуться суміжними, а ті, що його не мають, є паралельними (виходячи з властивості паралелограма, що має попарно паралельні протилежні сторони).
• Вершини паралелепіпеда, що не лежать на одній грані, звуться протилежними.
• Відрізок, який з'єднує такі вершини, є діагоналлю.
• Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що з'єднуються в одній вершині, є його вимірами (а саме його довжиною, шириною і висотою).

Властивості фігури

1. Він завжди побудований симетрично до середини діагоналі.
2. Точка перетину всіх діагоналей ділить кожну діагональ на два рівні відрізки.
3. Протилежні грані рівні за довжиною і лежать на паралельних прямих.
4. Якщо скласти квадрати всіх вимірювань паралелепіпеда, отримане значення дорівнює квадрату довжини діагоналі.

Розрахункові формули

Формули для кожного окремого випадку паралелепіпеда будуть свої.

Для довільного паралелепіпеда правильне твердження, що його обсяг дорівнює абсолютної величинипотрійного скалярного творувекторів трьох сторін, що виходять із однієї вершини. Проте формули обчислення обсягу довільного паралелепіпеда немає.

Для прямокутного паралелепіпеда діють такі формули:

• V = a * b * c;
• Sб = 2 * c * (a + b);
• Sп=2*(a*b+b*c+a*c).

• V – обсяг фігури;
• Sб – площа бічної поверхні;
• Sп – площа повної поверхні;
• a – довжина;
• b – ширина;
• c – висота.

Ще одним окремим випадком паралелепіпеда, в якому всі сторони - квадрати, є куб. Якщо будь-яку із сторін квадрата позначити літерою a, то для площі поверхні та об'єму даної фігури можна буде використовувати такі формули:

• S = 6 * a * 2;
• V = 3 * а.

• S - площа фігури,
• V - обсяг фігури,
• a – довжина грані фігури.

Останній аналізований нами різновид паралелепіпеда - прямий паралелепіпед. У чому різниця між прямим паралелепіпедом і прямокутним паралелепіпедом, запитайте ви. Справа в тому, що основою прямокутного паралелепіпеда може бути будь-який паралелограм, а основою прямого - тільки прямокутник. Якщо позначити периметр основи, що дорівнює сумі довжин усіх сторін, як Po, а висоту позначити літерою h, ми маємо право скористатися такими формулами для обчислення об'єму та площ повної та бічної поверхонь.

Паралелепіпед – це геометрична фігура, всі 6 граней якої є паралелограми.

Залежно від виду цих паралелограмів розрізняють такі види паралелепіпеда:

• прямий;
• похилий;
• прямокутний.

Прямим паралелепіпедом називають чотирикутну призму, ребра якої складають з площиною основи кут 90°.

Прямокутним паралелепіпедом називають чотирикутну призму, всі грані якої прямокутники. Куб є різновидом чотирикутної призми, у якої всі грані і ребра рівні між собою.

Особливості фігури визначають її властивості. До них відносять 4 наступні твердження:

Запам'ятати всі наведені властивості просто, вони легкі для розуміння та виводяться логічно виходячи з виду та особливостей геометричного тіла. Однак, нехитрі твердження можуть бути неймовірно корисні при вирішенні типових завдань ЄДІ та дозволять заощадити час, необхідний для проходження тесту.

Формули паралелепіпеда

Для пошуку відповідей на поставлене завдання недостатньо знати лише властивості фігури. Також можуть знадобитися деякі формули для знаходження площі та обсягу геометричного тіла.

Площа основ знаходиться так само, як і відповідний показник паралелограма або прямокутника. Вибирати основу паралелограма можна самостійно. Як правило, при вирішенні завдань простіше працювати з призмою, в основі якої лежить прямокутник.

Формула знаходження бічної поверхні паралелепіпеда також може знадобитися в тестових завданнях.

Приклади вирішення типових завдань ЄДІ

Завдання 1.

Дано: прямокутний паралелепіпед з вимірами 3, 4 та 12 см.
Необхіднознайти довжину однієї з головних діагоналей фігури.
Рішення: Будь-яке рішення геометричної задачі має починатися з побудови правильного та чіткого креслення, на якому буде позначено «дано» та шукана величина. На малюнку нижче наведено приклад правильного оформленняумов завдання.

Розглянувши зроблений малюнок і згадавши всі властивості геометричного тіла, приходимо до єдино правильного способу розв'язання. Застосувавши 4 властивість паралелепіпеда, отримаємо наступне вираз:

Після нескладних обчислень отримаємо вираз b2=169, отже, b=13. Відповідь завдання знайдено, на його пошук та креслення необхідно витратити не більше 5 хвилин.

Завдання 2.

Дано: похилий паралелепіпед з бічним ребром 10 см, прямокутник KLNM з вимірами 5 і 7 см, що є перерізом фігури паралельним вказаному ребру.
Необхіднознайти площу бічної поверхні чотирикутної призми.
Рішення: Спочатку необхідно замалювати дано

Для вирішення цього завдання необхідно застосувати кмітливість. З малюнка видно, що сторони KL і AD – нерівні, як пара ML і DC. Однак, периметри даних паралелограм очевидно рівні.

Отже, бічна площафігури дорівнюватиме площі перерізу помноженої на ребро AA1, так як за умовою ребро перпендикулярно перерізу. Відповідь: 240 см2.

або (рівносильно) багатогранник із шістьма гранями, що є паралелограмами. Шестигранник.

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед є гранямицього паралелепіпеда, сторони цих паралелограмів є ребрами паралелепіпеда, а вершини паралелограмів вершинами паралелепіпеда. У паралелепіпеда кожна грань є паралелограмом.

Як правило виділяють будь-які 2-і протилежні грані та називають їх основами паралелепіпеда, а грані, що залишилися бічними гранями паралелепіпеда. Ребра паралелепіпеда, які не належать основам є бічними ребрами.

2 грані паралелепіпеда, які мають спільне ребро є суміжними, а ті, які не мають спільних ребер протилежними.

Відрізок, який з'єднує 2 вершини, які не належать 1-ій грані є діагоналлю паралелепіпеда.

Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, які не паралельні, є лінійними розмірами (вимірами) паралелепіпеда. У прямокутного паралелепіпеда 3 лінійні розміри.

Типи паралелепіпеда.

Існує кілька видів паралелепіпедів:

Прямимє паралелепіпед з ребром, перпендикулярним площині основи.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі 3 виміри мають рівну величину, є кубом. Кожна з граней куба – це рівні квадрати .

Довільний паралелепіпед.Обсяг та співвідношення в похилому паралелепіпеді в основному визначаються за допомогою векторної алгебри. Об'єм паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твору 3-х векторів, які визначаються трьома сторонами паралелепіпеда (які виходять із однієї вершини). Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда і кутами з-поміж них показує твердження, що визначник Грама даних 3-х векторів дорівнює квадрату їх змішаного твору .

Властивості паралелепіпеда.

• Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
• Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею на дві рівні частини. Всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в 1-ій точці і діляться нею на дві рівні частини.
• Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та мають рівні розміри.
• Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює