Тангенційне прискоренняхарактеризує зміну швидкості за модулем (величиною) і спрямовано по дотичній до траєкторії:

,

де  похідна модуля швидкості,  одиничний вектор дотичної, що збігається у напрямку зі швидкістю.

Нормальне прискоренняхарактеризує зміну швидкості за напрямом та спрямовано по радіусу кривизни до центру кривизни траєкторії в даній точці:

,

де R - радіус кривизни траєкторії,  одиничний вектор нормалі.

Модуль вектора прискорення може бути знайдений за формулою

.

1.3. Основне завдання кінематики

Основне завдання кінематики полягає у знаходженні закону руху матеріальної точки. Для цього використовуються такі співвідношення:

;
;
;
;

.

Окремі випадки прямолінійного руху:

1) рівномірний прямолінійний рух: ;

2) рівнозмінний прямолінійний рух:
.

1.4. Обертальний рух та його кінематичні характеристики

При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на одній і тій же прямій, що називається віссю обертання. Для характеристики обертального руху запроваджуються такі кінематичні характеристики (рис. 3).

Кутове переміщення
 вектор, чисельно рівний куту повороту тіла
за час
і спрямований уздовж осі обертання так, що, дивлячись вздовж нього, поворот тіла спостерігається за годинниковою стрілкою.

Кутова швидкість  характеризує швидкість та напрямок обертання тіла, що дорівнює похідній кута повороту за часом і спрямована вздовж осі обертання як кутове переміщення.

П ри обертальний рух справедливі наступні формули:

;
;
.

Кутове прискорення характеризує швидкість зміни кутової швидкості з плином часу, так само першої похідної кутової швидкості і спрямовано вздовж осі обертання:

;
;
.

Залежність
виражає закон обертання тіла.

При рівномірному обертанні:  = 0,  = const,  = t.

При рівнозмінному обертанні:  = const,
,
.

Для характеристики рівномірного обертального руху використовуються період обертання та частота обертання.

Період обертанняТ - час одного обороту тіла, що обертається з постійною кутовою швидкістю.

Частота обертів – кількість обертів, які здійснюють тіло за одиницю часу.

Кутова швидкість може бути виражена наступним чином:

.

Зв'язок між кутовими та лінійними кінематичними характеристиками (рис. 4):

2. Динаміка поступального та обертального рухів

1. Закони Ньютона Перший закон Ньютона: всяке тіло перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, доки вплив із боку інших тіл не виведе його з цього стану.

Тіла, не схильні до зовнішніх впливів, називаються вільними тілами. Система відліку, пов'язана з вільним тілом, називається інерційною системою відліку (ІСО). По відношенню до неї будь-яке вільне тіло рухатиметься рівномірно і прямолінійно або перебуватиме у стані спокою. З відносності руху випливає, що система відліку, що рухається рівномірно і прямолінійно по відношенню до ISO, також є ISO. ІСО відіграють важливу роль у всіх розділах фізики. Це з принципом відносності Ейнштейна, згідно з яким математична форма будь-якого фізичного закону повинна мати той самий вид у всіх інерційних системах відліку.

До основних понять, що використовуються в динаміці поступального руху, належать сила, маса тіла, імпульс тіла (системи тіл).

Силоюназивається векторна фізична величина, що є мірою механічної дії одного тіла інше. Механічна дія виникає як при безпосередньому контакті тіл, що взаємодіють (тертя, реакція опори, вага і т.д.), так і за допомогою силового поля, що існує в просторі (сила тяжіння, кулонівські сили і т.д.). Сила характеризується модулем, напрямом та точкою програми.

Одночасна дія на тіло кількох сил ,,...,може бути замінено дією результуючої (рівнодіючої) сили :

=++...+=.

Масоютіла називається скалярна величина, що є мірою інертностітіла. Під інертністюрозуміється властивість матеріальних тіл зберігати свою швидкість незмінною відсутність зовнішніх впливів і змінювати її поступово (тобто з кінцевим прискоренням) під дією сили.

Імпульсомтіла (матеріальної точки) називається векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:
.

Імпульс системи матеріальних точок дорівнює векторній сумі імпульсів точок, що становлять систему:
.

Другий закон Ньютона: швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює силі, що діє на нього:

.

Якщо маса тіла залишається постійною, то прискорення, яке набуває тіло щодо інерційної системи відліку, прямо пропорційно діє на нього силі і обернено пропорційно масі тіла:

.

Наприклад, автомобіль, який рушає з місця, рухається прискорено, оскільки збільшує швидкість руху. У точці початку руху швидкість автомобіля дорівнює нулю. Розпочавши рух, автомобіль розганяється до деякої швидкості. При необхідності загальмувати автомобіль не зможе зупинитися миттєво, а за якийсь час. Тобто швидкість автомобіля буде прагнути до нуля – автомобіль почне рухатись уповільнено доти, доки не зупиниться повністю. Але фізика немає терміна «уповільнення». Якщо тіло рухається, зменшуючи швидкість, цей процес також називається прискоренням, але зі знаком "-".

Середнім прискореннямназивається відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Обчислюють середнє прискорення за допомогою формули:

де це . Напрямок вектора прискорення такий самий, як у напрямку зміни швидкості Δ = - 0

де 0 є початковою швидкістю. У момент часу t 1(див. Мал. Нижче) у тіла 0 . У момент часу t 2тіло має швидкість. З правила віднімання векторів, визначимо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Звідси обчислюємо прискорення:

.

У системі СІ одиницею прискоренняназивається 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті):

.

Метр на секунду в квадраті - це прискорення точки, що прямолінійно рухається, при якому за 1 зі швидкість цієї точки зростає на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає міру зміни швидкості тіла за 1 с. Наприклад, якщо прискорення становить 5 м/с 2 , отже, швидкість тіла щомиті зростає 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)Зараз часу - це фізична величина , яка дорівнює межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до 0. Іншими словами - це прискорення, що розвивається тілом за дуже короткий період:

.

Прискорення має такий самий напрямок, як і зміна швидкості Δ в украй маленьких проміжках часу, за які швидкість змінюється. Вектор прискорення можна встановити за допомогою проекцій на відповідні осі координат у заданій системі відліку (проекціями а Х, a Y , a Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає по модулю, тобто. v 2 > v 1 , а вектор прискорення має такий самий напрямок, як і вектор швидкості 2 .

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем уповільнення руху(прискорення негативно, а< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Якщо відбувається рух криволінійною траєкторією, то змінюється модуль і напрямок швидкості. Значить вектор прискорення зображують у вигляді 2х складових.

Тангенційним (дотичним) прискореннямназивають ту складову вектора прискорення, яка спрямована по дотичній траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення визначає ступінь зміни швидкості за модулем під час здійснення криволінійного руху.

У вектор тангенціального прискоренняτ (див. рис. вище) напрям такий, як і в лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто. вектор тангенціального прискорення знаходиться в одній осі з дотичного кола, що є траєкторією руху тіла.

Види прискорень у СТО.

Отже, ми показали, що є два види вимірних швидкостей. Крім того, швидкість, що вимірюється в тих самих одиницях, теж дуже цікава. За малих значень усі ці швидкості рівні.

А скільки ж прискорень? Яке прискорення має бути константою при рівноприскореному русі релятивістської ракети, щоб космонавт завжди чинив на підлогу ракети одну й ту саму силу, щоб вона не стала невагомою, або щоб вона не померла від перевантажень?

Введемо визначення різних видів прискорень.

Координатно-координатне прискорення d v/dt ця зміна координатної швидкості, виміряне за синхронізованими координатним годинником

d v/dt=d 2 r/dt 2 .

Забігаючи наперед, зауважимо, що d v/dt = 1·d v/dt = g 0 d v/dt.

Координатно-власне прискорення d v/dt ця зміна координатноїшвидкості, виміряне по власним годинником

d v/dt=d(d r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d v/dt = g 1d v/dt.

Власне-координатне прискорення d b/dt ця зміна власноюшвидкості, виміряне за синхронізованими координатним годинником, Розставленим по ходу руху пробного тіла:

d b/ dt = d (d r/dt)/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt.
Якщо v|| d v/dt, тоді d b/dt = g 3d v/dt.
Якщо vперпендикулярно d v/dt, тоді d b/dt = gd v/dt.

Власне власне прискорення d b/dt ця зміна власноюшвидкості, виміряне по власним годинником, пов'язаним з тілом, що рухається:

d b/ dt = d (d r/dt)/dt = g 4 v(v d v/dt)/c 2 + g 2 d v/dt.
Якщо v|| d v/dt, тодіd b/dt = g 4d v/dt.
Якщо vперпендикулярно d v/dt, тоді d b/dt = g 2 d v/dt.

Порівнюючи показники при коефіцієнті g у чотирьох типах прискорень, записаних вище, помічаємо, що у цій групі відсутній член з коефіцієнтом g 2 при паралельних прискореннях. Але ми ще не взяли похідні від швидкості. Адже це теж швидкість. Візьмемо похідну часу від швидкості, скориставшись формулою v/c = th(r/c):

dr/dt = (c·arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

А якщо взяти dr/dt, отримаємо:

dr/dt = g 3 dv/dt,

або dr/dt = db/dt.

Отже, ми маємо дві вимірні швидкості vі b, І ще одну, незмірну, але найбільш симетричну, швидкість r. І шість видів прискорень, два з яких dr/dt та db/dt збігаються. Яке з цих прискорень є власним, тобто. відчувається тілом, що прискорюється?

До свого прискорення ми повернемося нижче, а поки з'ясуємо, яке прискорення входить до другого закону Ньютона. Як відомо, у релятивістській механіці другий закон механіки, записаний у вигляді f=m a, Виявляється помилковим. Замість нього силу та прискорення пов'язує рівняння

f= m (g 3 v(va)/c 2 + g a),

яка є основою для інженерних розрахунків релятивістських прискорювачів. Якщо ми порівняємо це рівняння з щойно отриманим рівнянням для прискорення d b/dt:

d b/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt,

то зауважимо, що вони відрізняються лише множником m. Тобто можна записати:

f= m·d b/dt.

Останнє рівняння повертає масі статус міри інертності у релятивістській механіці. Сила, що діє на тіло, пропорційна прискоренню d b/dt. Коефіцієнтом пропорційності є інваріантна маса. Вектор сили fіприскорення d b/dt спрямовані за будь-якої орієнтації векторів vі a, або bі d b/dt.

Формула, записана через прискорення d v/dt, не дає такої пропорційності. Сила та координатно-координатне прискорення в загальному випадку не збігаються у напрямку. Паралельними вони будуть лише у двох випадках: якщо вектора vіd v/dtпаралельні один одному, і якщо вони перпендикулярні один одному. Але в першому випадку сила f=mg 3d v/dt, а в другому - f=mgd v/dt.

Таким чином, у законі Ньютона ми повинні використовувати прискорення d b/dt, тобто зміна власноюшвидкості b, виміряне за синхронізованим годинником.

Можливо, з таким же успіхом можна буде довести, що f= md r/dt, де d r/ dt - Вектор власного прискорення, але швидкість величина незмірна, хоча і легко обчислюється. Чи буде вірна векторна рівність, сказати не беруся, але скалярна рівність справедлива через те, що dr/dt=db/dt і f=md b/dt.

Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.

Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, тільки зі знаком мінус (як ви пам'ятаєте, швидкість- Це векторна величина).

Середнє прискорення

Середнє прискорення> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

де – вектор прискорення.

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості Δ = - 0 (тут 0 – це початкова швидкість, тобто швидкість, з якою тіло почало прискорюватися).

На момент часу t1 (див. рис 1.8) тіло має швидкість 0 . У момент часу t2 тіло має швидкість. Відповідно до правила віднімання векторів знайдемо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Тоді визначити прискорення можна так:

Мал. 1.8. Середнє прискорення.

У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійної точки, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Миттєве прискорення

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:

Напрямок прискорення також збігається з напрямом зміни швидкості при дуже малих значеннях проміжку часу, за який відбувається зміна швидкості. Вектор прискорення може бути заданий проекціями на відповідні осі координат у даній системі відліку (проекціями а Х, Y, Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто

V 2 > v 1

а напрямок вектора прискорення збігається з вектором швидкості 2 .

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто

V 2< v 1

то напрям вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості 2 . Інакше висловлюючись, у разі відбувається уповільнення рухупри цьому прискорення буде негативним (а< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Мал. 1.9. Миттєве прискорення.

При русі по криволінійної траєкторії змінюється як модуль швидкості, а й її напрям. У цьому випадку вектор прискорення являють собою дві складові (див. наступний розділ).

Тангенційне прискорення

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (див. рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямом і позначається літерою n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Повне прискорення

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень по правилу складання векторіві визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

Напрямок повного прискорення також визначається правилом складання векторів:

Усі тіла, які оточують нас, перебувають у постійному русі. Переміщення у просторі тіл спостерігається всіх масштабних рівнях, починаючи з руху елементарних частинок в атомах речовини і закінчуючи прискореним рухом галактик у Всесвіті. У будь-якому випадку процес руху відбувається із прискоренням. У цій статті докладно розглянемо поняття щодо прискорення і наведемо формулу, за якою його можна розрахувати.

Кінематичні величини

Перш ніж вести розмову про прискорення, розглянемо, якими величинами прийнято характеризувати довільне механічне переміщення тіл у просторі.

Насамперед це шлях L. Він показує, яка відстань в метрах, сантиметрах, кілометрах і так далі пройшло тіло за деякий проміжок часу.

Друга важлива характеристика у кінематиці – це швидкість тіла. На відміну від шляху, вона є векторною величиною і спрямована вздовж траєкторії руху тіла. Швидкість визначає швидкість зміни просторових координат у часі. Формула для її обчислення має вигляд:

Швидкість – це за часом похідна дорога.

Нарешті, третьою важливою характеристикою руху є прискорення. Згідно з визначенням у фізиці, прискорення - це величина, яка визначає зміну швидкості від часу. Формулу для нього можна записати у вигляді:

Прискорення, як і швидкість, теж є векторною величиною, проте на відміну від неї воно спрямоване в бік зміни швидкості. Напрямок прискорення також збігається з вектором результуючої сили, що діє на тіло.

Траєкторія руху та прискорення

Багато завдань у фізиці розглядають у рамках прямолінійного руху. У цьому випадку, як правило, не говорять про прискорення точки, а працюють з лінійним прискоренням. Однак якщо переміщення тіла не є лінійним, то його повне прискорення може бути розкладене на дві складові:

• дотичну;
• нормальну.

У разі лінійного руху нормальна складова дорівнює нулю, тому про векторне розкладання прискорення не говорять.

Таким чином, траєкторія руху багато в чому визначає характер і складові повного прискорення. Під траєкторією руху розуміють уявну лінію у просторі, вздовж якої тіло переміщається. Будь-яка криволінійна траєкторія призводить до появи ненульових компонентів прискорення, зазначених вище.

Визначення тангенціального прискорення

Тангенціальне або, як його ще називають, дотичне прискорення - це компонента повного прискорення, яка спрямована по траєкторії руху. Оскільки вздовж траєкторії спрямована також швидкість, вектор тангенціального прискорення збігається з вектором швидкості.

Вище було надано поняття прискорення як заходи зміни швидкості. Оскільки швидкість - це вектор, то змінити її можна або за модулем, або за напрямом. Дотичне прискорення визначає лише зміну модуля швидкості.

Зауважимо, що у разі прямолінійного руху вектор швидкості свого напряму не змінює, тому, відповідно до наведеного визначення, тангенціальне прискорення та лінійне прискорення - це та сама величина.

Отримання рівняння щодо прискорення

Припустимо, що тіло рухається деякою кривою траєкторії. Тоді його швидкість v вибраній точці можна представити в наступному вигляді:

Тут v — модуль вектора v?, u t? — одиничний вектор швидкості, спрямований по дотичній до траєкторії.

Використовуючи математичне визначення прискорення, отримуємо:

a = dv / dt = d (v * u t) / dt = dv / dt * u t + v * d (u t) / dt

При знаходженні похідної тут використовувалося властивість виконання двох функцій. Ми бачимо, що повне прискорення a' у точці відповідає сумі двох доданків. Вони є дотичним та нормальним прискоренням точки відповідно.

Скажімо пару слів про Воно є відповідальним за зміну вектора швидкості, тобто за зміну напрямку руху тіла вздовж кривої. Якщо явно обчислити значення другого доданку, то вийде формула для нормального прискорення:

a n = v * d (u t) / dt = v 2 /r

Нормальне прискорення спрямоване вздовж нормалі, відновленої цієї точки кривої. У разі руху по колу нормальне прискорення є доцентровим.

Рівняння дотичного прискорення a t має вигляд:

Цей вислів говорить про те, що тангенціальне прискорення відповідає зміні не напряму, а модуля швидкості за момент часу. Оскільки тангенціальне прискорення спрямоване по дотичній до даної точки траєкторії, воно завжди перпендикулярно нормальній компоненті.

та модуль повного прискорення

Вище була представлена ​​вся інформація, яка дозволяє обчислити через дотичне та нормальне. Дійсно, оскільки обидві компоненти є взаємно перпендикулярними, їх вектора утворюють катети прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є вектор повного прискорення. Цей факт дозволяє записати формулу для повного прискорення модуля в наступному вигляді:

a = √(a n 2 + a t 2)

Кут θ між повним прискоренням та тангенціальним можна визначити так:

Що більше тангенціальне прискорення, то ближче виявляються напрями дотичного і повного прискорення.

Зв'язок дотичного та кутового прискорення

Типовою криволінійною траєкторією, по якій рухаються тіла в техніці та природі, є коло. Справді, переміщення шестерень, лопатей і планет навколо власної осі або навколо світил відбувається саме по колу. Рух, що відповідає цій траєкторії, називається обертанням.

Кінематика обертання характеризується тими ж величинами, що кінематика руху по прямій, однак вони мають кутовий характер. Так, для опису обертання використовують центральний кут повороту θ, кутові швидкість ω та прискорення α. Для цих величин справедливі такі формули:

Припустимо, що тіло здійснило один оберт навколо осі обертання за час t, тоді для швидкості кутовий можна записати:

Лінійна швидкість у цьому випадку дорівнюватиме:

Де r – радіус траєкторії. Останні два вирази дозволяють записати формулу зв'язку двох швидкостей:

Тепер обчислимо похідну за часом від лівої та правої частин рівності, отримаємо:

У правій частині рівності стоїть твір на радіус кола. Ліва частина рівності - це зміна модуля швидкості, тобто дотичне прискорення.

Таким чином, тангенціальне прискорення та аналогічна кутова величина пов'язані рівністю:

Якщо припустити, що обертається диск, тангенціальне прискорення точки при постійній величині α буде зростати лінійно зі збільшенням відстані від цієї точки до осі обертання r.

Визначення тангенціального прискорення за відомою функцією швидкості

Відомо, що швидкість тіла, яке переміщається деякою кривою траєкторії, описується наступною функцією від часу:

Необхідно визначити формулу дотичного прискорення та знайти його значення в момент часу t = 5 секунд.

Спочатку запишемо формулу для модуля тангенціального прискорення:

Тобто обчислення функції a t (t) слід визначити похідну швидкості за часом. Маємо:

a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Підставляючи отриманий вираз час t = 5 секунд, приходимо до відповіді: a t = 23 м/с 2 .

Зауважимо, що графіком швидкості від часу у цій задачі є парабола, графік тангенціального прискорення - це пряма лінія.

Завдання визначення тангенціального прискорення

Відомо, що матеріальна точка почала рівноприскорене обертання з нульового часу. Через 10 секунд після початку обертання її доцентрове прискорення стало рівним 20 м/с 2 . Необхідно визначити прискорення точки через 10 секунд, якщо відомо, що радіус обертання дорівнює 1 метр.

Спочатку запишемо формулу для доцентрового або нормального прискорення a c:

Користуючись формулою зв'язку між лінійною та кутовою швидкістю, отримаємо:

При рівноприскореному русі швидкість із кутовим прискоренням пов'язані формулою:

Підставляючи ω у рівність для a c отримаємо:

Лінійне прискорення через тангенціальне виражається так:

Підставляємо останню рівність до передостанньої, отримуємо:

a c = a t 2 /r 2 * t 2 * r = a t 2 / r * t 2 =>

a t = √(a c *r)/t

Остання формула з урахуванням даних із умови завдання призводить до відповіді: a t = 0,447 м/с2.

Розкладання прискорення a (t) (\displaystyle \mathbf (a) (t)\ \ )на тангенціальне та нормальне a n (\displaystyle \mathbf(a) _(n)); (τ (\displaystyle \mathbf (\tau ) )- одиничний дотичний вектор).

Тангенціальне прискорення- Компонента прискорення , спрямована по дотичній до траєкторії руху. Характеризує зміну модуля швидкості на відміну нормальної компоненти , що характеризує зміна напрямку швидкості. Тангенціальне прискорення дорівнює добутку одиничного вектора, спрямованого швидкості руху, на похідну модуля швидкості за часом. Таким чином, спрямовано в ту ж сторону, що і вектор швидкості при прискореному русі (позитивна похідна) і протилежну при уповільненому (негативна похідна).

Позначається зазвичай символом, вибраним для прискорення, з додаванням індексу, що означає тангенціальну компоненту: a τ (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )\ \ )або a t (\displaystyle \mathbf(a) _(t)\ \ ), w τ (\displaystyle \mathbf (w) _(\tau )\ \ ),u τ (\displaystyle \mathbf (u) _(\tau )\ \ )і т.д.

Іноді використовується не векторна форма, а скалярна - a τ (\displaystyle a_(\tau )\ \ ), Що означає проекцію повного вектора прискорення на одиничний вектор дотичної до траєкторії, що відповідає коефіцієнту розкладання за супутнім базисом .

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Величину тангенціального прискорення як проекцію вектора прискорення на дотичну до траєкторії можна виразити так:

  a τ = d v d t , (\displaystyle a_(\tau )=(\frac (dv)(dt)),)

  де v = d l / d t (\displaystyle v\ =dl/dt)- колійна швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент.

  Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )\ ), можна записати тангенціальне прискорення у векторному вигляді:

  a τ = d v d t e τ.

  (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )=(\frac (dv)(dt))\mathbf (e) _(\tau ).)

  Висновок

  Висновок 1 Вираз для тангенціального прискорення можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості, поданий у вигляді v = v e τ (\displaystyle \mathbf(v) =v\,\mathbf(e) _(\tau )) через одиничний вектор дотичної:

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + d t d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n ( v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)

  де перше доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення .

  Тут використано позначення e n (\displaystyle e_(n)\ )для одиничного вектора нормалі до траєкторії та l (\displaystyle l\)- для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); в останньому переході також використано очевидне

  d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\)

  і, з геометричних міркувань,

  d e d l = e n R .

  (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)

  Висновок 2

  Якщо траєкторія гладка (що передбачається), то:

  Те й інше випливає з того, що кут вектора до дотичної буде не нижче першого порядку . Звідси відразу слідує шукана формула. Говорячи менш суворо, проекція v (\displaystyle \mathbf (v) \ ) на дотичну при малих d t (\displaystyle dt\) Говорячи менш суворо, проекціябуде практично збігатися з довжиною вектора на дотичну при малих, оскільки кут відхилення цього вектора від дотичної при малих

  завжди малий, отже косинус цього кута вважатимуться рівним одиниці .

  Зауваження