На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж те саме скалярний добуток, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛЯТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)
Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах
Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторний та змішаний твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!
У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні букви.
Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках з хрестиком.
І відразу питання: якщо в скалярному творі векторівберуть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді в чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:
Результатом скалярного твору векторів є ЧИСЛО:
Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .
Визначення векторного твору
Спочатку буде визначення з картинкою, а потім коментарі.
Визначення: Векторним твором неколінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограмапобудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторів, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію: 
Розбираємо визначення кісточками, тут багато цікавого!
Отже, можна виділити такі суттєві моменти:
1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів буде доречно розглянути пізніше.
2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє ВЕКТОР, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, отримаємо рівний за довжиною і протилежний за напрямом вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність 
.
3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це дуже важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.
Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твору не дорівнює площі паралелограма.
Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи зі сказаного вище, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ векторного твору:
Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що у завданнях аналітичної геометрії площу паралелограма часто знаходять через поняття векторного твору:
Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площу трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:
4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторів, тобто 
. Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.
5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Поясняти буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір буде дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягти відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)
…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)
Векторний твір колінеарних векторів
Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, їх можна розмістити на одній прямий і наш паралелограм теж «складається» в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова
Таким чином, якщо , то 
і 
. Зверніть увагу, що сам вектор твір дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він також дорівнює нулю.
Частковий випадок – векторний добуток вектора на самого себе:
За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.
Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця, щоб знаходити значення синусів.
Ну що ж, розпалюємо вогонь:
Приклад 1
а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо 
б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо 
Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!
а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторні твори). За відповідною формулою:
Відповідь:
Якщо питалося про довжину, то відповіді вказуємо розмірність – одиниці.
б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного добутку:
Відповідь:
Зверніть увагу, що у відповіді про векторний твір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність – квадратні одиниці.
Завжди дивимося, ЩО потрібно знайти за умовою, і виходячи з цього формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але буквоїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка – якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.
Куди поділася велика буква «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.
Популярний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 2
Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо 
Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.
На практиці завдання справді дуже поширене, трикутниками взагалі можуть закатувати.
Для вирішення інших завдань нам знадобляться:
Властивості векторного твору векторів
Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.
Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:
1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.
2) 
- Властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.
3) – поєднані або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?
4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.
Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:
Приклад 3
Знайти , якщо 
Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру: 
(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.
(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.
(3) Подальше зрозуміло.
Відповідь: 
Пора підкинути дров у вогонь:
Приклад 4
Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо 
Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою 
. Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярний добуток векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:
1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!
(1) Підставляємо вирази векторів.
(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.
(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.
(4) Перший і останній доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:
(5) Наводимо подібні доданки.
В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти: 
2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3: 
3) Знайдемо площу шуканого трикутника: 
Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.
Відповідь:
Розглянуте завдання досить поширене у контрольних роботах, ось приклад для самостійного вирішення:
Приклад 5
Знайти , якщо
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)
Векторний твір векторів у координатах
, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:
Формула і справді простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому вкладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями: 
Приклад 10
Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б) 
Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їх векторний добуток дорівнює нулю (нульовому вектору): 
.
а) Знайдемо векторний твір: 
Таким чином, вектори не колінеарні.
б) Знайдемо векторний твір: 
Відповідь: а) не колінеарні, б)
Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторний добуток векторів.
Даний розділ буде не дуже великим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Фактично все впиратиметься у визначення, геометричний зміст і пару робочих формул.
Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:
Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.
Спочатку знову визначення та картинка:
Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається об'єм паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.
Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром: 
Поринаємо у визначення:
2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.
3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний добуток векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».
За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.
Примітка : креслення є схематичним.
4) Не будемо знову паритися з поняттям орієнтації базису і простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним: .
Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.
Змішаним (або векторно-скалярним) творомтрьох векторів a, b, c (взятих у зазначеному порядку) називається скалярний добуток вектора a на векторний добуток b x c , тобто число a (b x c), або, що те саме, (b x c) a.Позначення: abc.
Призначення. Онлайн-калькулятор призначений для обчислення змішаного добутку векторів. Отримане рішення зберігається у файлі Word. Додатково створюється шаблон рішення в Excel.
Ознаки компланарності векторів
Три вектори (або більше) називаються компланарними, якщо вони, будучи приведені до загального початку, лежать в одній площині.Якщо хоча б один із трьох векторів – нульовий, то три вектори теж вважаються компланарними.
Ознака компланарності. Якщо система a, b, c - права, то abc> 0; якщо ліва, то abc Геометричний зміст змішаного твору. Змішаний добуток abc трьох некомпланарних векторів a, b, c дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c взятому зі знаком плюс, якщо система a, b, c - права, і зі знаком мінус, якщо ця система ліва.
Властивості змішаного твору
- При круговій перестановці співмножників змішане твір не змінюється, при перестановці двох співмножників – змінює знак на зворотний: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Випливає із геометричного сенсу. - (a+b)cd=acd+bcd (розподільна властивість). Поширюється на будь-яку кількість доданків.
Випливає із визначення змішаного твору. - (ma)bc=m(abc) (сполучна властивість щодо скалярного множника).
Випливає із визначення змішаного твору. Ці властивості дозволяють застосовувати до змішаних творів перетворення, що відрізняються від звичайних алгебраїчних лише тим, що змінювати порядок співмножників можна лише з урахуванням знака твору. - Змішаний добуток, що має хоча б два рівні співмножники, дорівнює нулю: aab = 0 .
Приклад №1. Знайти змішаний твір.
ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.
Приклад №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba+bcc+bca. Усі члени, крім двох крайніх, дорівнюють нулю. Крім того, bca = abc. Тому (a + b) (b + c) (c + a) = 2abc.
РішенняПриклад №3. Обчислити змішаний добуток трьох векторів a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
. Щоб обчислити змішаний добуток векторів, необхідно знайти визначник системи, що складається з координат векторів. Запишемо систему як.Визначення.
Число [, ] - Змішаним твір впорядкованої трійки векторів, .
Позначаємо: (,) = = [,].
Оскільки у визначенні змішаного твори беруть участь векторне і скалярне твори, їх загальні властивості є властивостями змішаного твори.
Наприклад, () = ().Теорема 1
. Змішаний добуток трьох компланарних векторів дорівнює нулю.Якщо дана трійка векторів, компланарна, то для векторів виконується одна з наступних умов.
- 1. У цій трійці векторів є хоча б один нульовий вектор. І тут доказ теореми очевидно.
- 2. У цій трійці векторів є хоча б одна пара колінеарних векторів. Якщо ||, то [,] = 0, оскільки [,] = . Якщо
|| , то [,] та [,] = 0. Аналогічно, якщо || .
3. Нехай дана трійка векторів є компланарною, але випадки 1 і 2 не виконуються. Тоді вектор [, ] буде перпендикулярним до площини, якій паралельні всі три вектори, .
Отже, [,] та (,) = 0.
Теорема 2.Нехай у базисі () задані вектори (), (), (). Тоді
. Змішаний добуток трьох компланарних векторів дорівнює нулю.Відповідно до визначення змішаного твору
(,) = [,] = з 1 - з 2 + з 3 = .
В силу властивостей визначника маємо:
Теорему доведено.
Теорема 3. (,) = [, ].
Доведення. Так як
а в силу властивостей визначника маємо:
(,) = = = [, ] = [, ].
Теорему доведено.
Теорема 4. Модуль змішаного твору некомпланарної трійки векторів чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на представниках векторів даних із загальним початком.
Доведення. Виберемо довільну точку Про відкладаємо від неї представники даних векторів, : , . У площині ОАВ побудуємо паралелограм ОАDB і, додаючи ребро ОС, побудуємо паралелепіпед ОАDBCADB. Обсяг V цього паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи ОАDB на довжину висоти паралелепіпеда ГО.
Площа паралелограма ОАDB дорівнює | [,] |. З іншого боку
|OO| = || |cos |, де - кут між векторами та [, ].
Розглянемо модуль змішаного твору:
|(,)| = | [, ]| = | [,] | | | | cos | = | [,] | | OO | = V.
Теорему доведено.
Зауваження 1.Якщо змішаний добуток трійки векторів дорівнює нулю, ця трійка векторів лінійно залежна.
Примітка 2.Якщо змішаний добуток цієї трійки векторів позитивно, то трійка векторів права, а якщо негативно, то трійка векторів ліва. Справді, знак змішаного твору збігається зі знаком cos, а величина кута визначає орієнтацію трійки. Якщо кут – гострий, то трійка права, а якщо – тупий кут, то трійка ліва.
приклад 1.Даний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 та координати наступних векторів в ортонормованому базисі: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).
Знайти: 1) обсяг паралелепіпеда;
- 2) площі граней ABCD та CDD 1 C;
- 3) косинус двогранного кута між площинами ABC та CDD 1 .
Рішення.
Цей паралелепіпед побудований на векторах.
Отже, його обсяг дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів, тобто.
Отже, V пар = 12 куб.
Нагадаємо, що площа паралелограма дорівнює довжині векторного добутку векторів, на яких він побудований.
Введемо позначення: ,тоді
Отже, (6; - 8; - 2), звідки
Т.о. кв.од.
Аналогічно,
Нехай тоді
звідки (15; - 20; 1) та
Значить кв.
Введемо такі позначення: пл. (АВС) =, пл. (DCC 1) =.
Відповідно до визначення векторного твору маємо:
А значить справедлива така рівність:
З другого пункту рішення маємо:
Довести, що якщо - взаємно перпендикулярні одиничні вектори, то для будь-яких векторів і справедлива рівність:
Рішення.
Нехай в ортонормованому базисі задані координати векторів: ; . Так як, то за якістю змішаного твору маємо:
Таким чином, рівність (1) можна записати в наступній формі: а це одна з доведених властивостей векторного твору векторів і. Тим самим було справедливість рівності (1) доведено.
Рішення нульового варіанта контрольної роботи
Завдання №1
Вектор утворює з базисними векторами і, відповідно, кути і. Визначити кут, який утворює вектор із вектором.
Рішення.
Побудуємо паралелепіпед на векторах, і на діагоналі, такий, що вектори і рівні.
Тоді прямокутному трикутнику з прямим кутом, величина кута дорівнює, звідки.
Аналогічно прямокутному трикутнику з прямим кутом величина дорівнює, звідки.
У прямокутному трикутнику за теоремою Піфагора знаходимо:
У прямокутному трикутнику з прямим кутом катет, а гіпотенуза. Отже, величина кута дорівнює. Але кут дорівнює куту між векторами і. Тим самим завдання вирішено.
Завдання №2.
Задано три вектори, в базисі. Довести, що чотирикутник – плоский. Знайти його площу.
Рішення.
1. Якщо вектори, і компланарні, то плоский чотирикутник. Обчислимо визначник, складений координат даних векторів.
Так як визначник дорівнює нулю, то вектори і компланарні, а значить, чотирикутник - плоский.
2. Зауважимо, що тому і, таким чином, чотирикутник трапеція з основами АВ і CD.
За властивістю векторного твору маємо:
Знаходимо векторний твір
Завдання №3.Знайти вектор, колінеарний вектор (2; 1; -2), у якого довжина дорівнює 5.
Рішення.
Позначимо координати вектора (x, y, z). Як відомо, у колінеарних векторів координати пропорційні, і тому маємо:
х = 2t, y = t, z =? 2t.
За умовою завдання || = 5, а координатної формі:
Виражаючи змінні через параметр t, отримаємо:
4t 2 +t 2 +4t 2 =25,
Таким чином,
х = , у = , z = .
Отримали два рішення.
8.1. Визначення змішаного твору, його геометричний зміст
Розглянемо добуток векторів а, bі с, складене наступним чином: (а хb) с. Тут перші два вектори перемножуються векторно, які результат скалярно на третій вектор. Такий твір називається векторно-скалярним, або змішаним, твором трьох векторів.
Змішаний твір є деяким числом. bЗ'ясуємо геометричний зміст виразу (а хb) * с. Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори а, b, с і вектор d = а х
(Див. рис. 22). Маємо: (а х b) с = d с = | d |пр Маємо: (а х b) с = d с = | d | d з Маємо: (а х b) с = d с = | d |, | d | = | а x b | =S , де S - площа паралелограма, побудованого на векторах а і b , = Н Для правої трійки векторів та ін= - Н для лівої, де Н-висота паралелепіпеда. Отримуємо: ( = Н Для правої трійки векторів та ін a xb b)*c =S *(±H ), тобто (
)*c =±V , де V - об'єм паралелепіпеда, утвореного векторами а ,
та с.
Таким чином, змішаний добуток трьох векторів дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком «плюс», якщо ці вектори утворюють праву трійку, і зі знаком «мінус», якщо вони утворюють ліву трійку. b 8.2. Властивості змішаного твору
1. Змішаний твір не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто (а х b) с = (
х с) а = (с х а) b. Справді, у разі не змінюється ні обсяг паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер 2. Змішане твір не змінюється при зміні місцями знаків вкторного та скалярного множення, тобто (а хb) з = а * (
b x
с).
Дійсно, (а хb) з = ± V і а (b хс) = (b хс) а = ± V. Знак у правій частині цих рівностей беремо той самий, оскільки трійки векторів а, b, з і b, з, а - однієї орієнтації.
Отже, (a хb) з = a (b хс). Це дозволяє записувати змішаний добуток векторів (а х b )з як abc без знаків векторного, скалярного множення.
3. Змішаний твір змінює свій знак при зміні місць будь-яких вух векторів-множників, тобто abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.
Справді, така перестановка рівносильна перестановці співмножників у векторному творі, що змінює знак.
4.Змішаний добуток ненульових векторів а, b і з дорівнює нулю і тільки тоді, коли вони компланарні. ¹ Якщо abc = 0, то а, b і с - компланарні. ¹ Припустимо, що це не так. Можна було б побудувати паралелепіпед з об'ємом V
0. Але оскільки abc =±V , отримали б, що abc bбуде перпендикулярний площині, в якій лежать вектори а, b, с, і отже, d^с. Тому d з = 0, тобто abc = 0.
8.3. Вираз змішаного твору через координати
Нехай задані вектори a = а x i + a y j+a z k, b = b x i+b y j+b z k, з = c x i+c y j+c z k. Знайдемо їх змішаний твір, використовуючи вирази у координатах для векторного та скалярного творів:
Отриману формулу можна записати коротше:
оскільки права частина рівності (8.1) є розкладання визначника третього порядку за елементами третього рядка.
Отже, змішаний добуток векторів дорівнює визначнику третього порядку, складеному з координат векторів, що перемножуються.
8.4.
Деякі програми змішаного твору
Визначення взаємної орієнтації векторів у просторі bВизначення взаємної орієнтації векторів,<0 , то а , b , с - левая тройка.
і з засноване на таких міркуваннях. Якщо abc > 0, то а, b, с - права трійка; якщо abc
Встановлення компланарності векторів bВектори а,
і з компланарними тоді і тільки тоді, коли їх змішаний твір дорівнює нулю
Визначення обсягів паралелепіпеда та трикутної піраміди bНеважко показати, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах а ,
і обчислюється як V =|аbс |, а обсяг трикутної піраміди, побудованої цих же векторах, дорівнює V =1/6*|abc |.
Приклад 6.3.
Рішення:Вершинами піраміди служать точки А (1; 2; 3), В (0; -1; 1), С (2; 5; 2) і D (3; 0; -2). Знайти обсяг піраміди. bЗнаходимо вектори а,іс :
а = AB = (-1; -3; -2), b = АС = (1; 3; -1), з = AD = (2; -2; -5). bЗнаходиться ,
=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.
і з:
Отже, V = 1/6 * 24 = 4
ЗМІШАНИЙ ТВОР ТРИХ ВЕКТОРІВ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІЗмішаним твором 
трьох векторів називають число, що дорівнює . Позначається
. Тут перші два вектори множаться векторно і потім отриманий вектор скалярно множиться на третій вектор . Очевидно, такий твір є кілька.
- Розглянемо властивості змішаного твору.Геометричний зміст
змішаного твору. Змішане твір 3-х векторів з точністю до знака дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого цих векторах, як у ребрах, тобто. .
.
ДоведенняТаким чином, і
. Відкладемо вектори від загального початку та побудуємо на них паралелепіпед. Позначимо і зауважимо, що . За визначенням скалярного твору Припускаючи, що і позначивши через h
висоту паралелепіпеда, знаходимо .
Таким чином, при
Якщо ж, то й. Отже, .
З підтвердження цієї якості зокрема випливає, що й трійка векторів права, то змішане твір , і якщо – ліва, то .
- Для будь-яких векторів , , справедлива рівність
Доказ цієї властивості випливає із властивості 1. Справді, легко показати, що і . До того ж знаки "+" і "-" беруться одночасно, т.к. кути між векторами та і одночасно гострі або тупі.
- При перестановці будь-яких двох співмножників змішаний твір змінює знак.
Справді, якщо розглянемо змішаний твір, то, наприклад, або
- Змішаний твір тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю або вектори – компланарні.
Доведення.
Т.ч., необхідною та достатньою умовою компланарності 3-х векторів є рівність нулю їх змішаного твору. Крім того, звідси випливає, що три вектори утворюють базис у просторі, якщо .
Якщо вектори задані в координатній формі , то можна показати, що їхнє змішане твір знаходиться за формулою:
.Т. о., змішаний добуток дорівнює визначнику третього порядку, у якого в першому рядку стоять координати першого вектора, у другому рядку - координати другого вектора і в третьому рядку - третього вектора.
приклади.
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
Рівняння F(x, y, z)= 0 визначає у просторі Oxyzдеяку поверхню, тобто. геометричне місце точок, координати яких x, y, zзадовольняють цього рівняння. Це рівняння називається рівнянням поверхні, а x, y, z- поточними координатами.
Однак, часто поверхня задається не рівнянням, а як безліч точок простору, що мають ту чи іншу властивість. І тут потрібно знайти рівняння поверхні, з її геометричних властивостей.
ПЛОЩІСТЬ.
НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР ПЛОЩИНИ.
РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДАНУ ТОЧКУ
Розглянемо у просторі довільну площинуσ. Її положення визначається завданням вектора , перпендикулярного цій площині, та деякої фіксованої точки M 0(x 0, y 0, z 0), що лежить у площині σ.
Вектор перпендикулярний площині σ називається нормальнимвектор цієї площини. Нехай вектор має координати.
Виведемо рівняння площини σ, що проходить через цю точку M 0і має нормальний вектор. Для цього візьмемо на площині σ довільну точку M(x, y, z)і розглянемо вектор.
Для будь-якої точки MÎ σ вектор .Тому їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Ця рівність – умова того, що точка MÎ σ. Воно справедливе для всіх точок цієї площини і порушується, як тільки точка Mопиниться поза площиною σ.
Якщо позначити через радіус-вектор точки M, – радіус-вектор точки M 0, то й рівняння можна записати у вигляді
Це рівняння називається векторнимрівнянням площини. Запишемо його у координатній формі. Оскільки , то
Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить цю точку. Таким чином, для того, щоб скласти рівняння площини, потрібно знати координати нормального вектора та координати деякої точки, що лежить на площині.
Зауважимо, що рівняння площини є рівнянням 1-го ступеня щодо поточних координат x, yі z.
приклади.
ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ
Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zє рівнянням деякої площини. Це рівняння записується як:
Ax+By+Cz+D=0
і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координати нормального вектора площини.
Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площина щодо системи координат, якщо один або декілька коефіцієнтів рівняння звертаються до нуля.
A – це довжина відрізка, що відсікається площиною на осі Ox. Аналогічно, можна показати, що bі c- Довжини відрізків, що відсікаються аналізованої площиною на осях Ойі Oz.
Рівнянням площини у відрізках зручно користуватися для побудови площин.