Розглянемо нескінченну послідовність чисел, тобто. безліч чисел, у якому кожному натуральному числу nза певним правилом відповідає деяке число a n. Вираз виду називається числовим рядом, самі числа - членами ряду, - спільним членом ряду. Коротко ряд записують так: .

Суми , в яких присутні тільки nперших членів ряду, називаються частковими сумами ряду.

Числовий ряд називається схожим, якщо послідовність його часткових сум має кінцеву межу. Число Sназивається сумою ряду.

Якщо межа не існує, то ряд називається .

приклад 1.Дана нескінченна геометрична прогресія. Складемо ряд

і досліджуємо його на збіжність, з визначення збіжності ряду. І тому складемо часткову суму =. Зі шкільного курсу математики відомо, що . Нагадаємо, як це виходить. Для доказу зробимо поділ

Обчислимо тепер межу , враховуючи, що тут можливі три випадки:

2) якщо q= 1, то = і ,

3) якщо q= -1, то =, і, а =, і. Отже, послідовність часткових сум єдиної межі немає.

Тому робимо висновок: геометрична прогресія сходиться, як і розходиться при .

приклад 2.Довести розбіжністьряду

Рішення.Оцінимо часткову суму ряду:

> , тобто. > ,

а межа часткової суми дорівнює нескінченності (за відомою теоремою про межі: якщо x n > y n, то): = ¥. Отже, цей ряд розходиться.

Властивості рядів, що сходяться

Розглянемо два ряди та . Другий ряд отримано з першого шляхом відкидання перших mйого членів. Цей ряд називається залишком ряду та позначається r n.

Теорема 1. Якщо члени ряду, що сходить, помножити на деяке число З, то збіжність ряду не порушиться, а сума помножиться на З.

Теорема 2. Два ряди, що сходяться, можна почленно складати (віднімати) і сума отриманого ряду дорівнюватиме , де - сума першого ряду, а - сума другого.

Теорема 3. Якщо сходиться ряд, то сходиться кожен із його залишків. Зі збіжності залишку ряду випливає збіжність самого ряду.

Можна сказати й інакше: на збіжність низки впливає відкидання (чи приписування) кінцевого число членів ряду. І ця властивість найчудовіша. Справді, нехай сума ряду дорівнює нескінченності (ряд розходиться). Ми складаємо дуже велику, але кінцеву кількість членів ряду. Ця сума може бути дуже великою, але, знову ж таки, кінцевим числом. Так, значить, сума залишку ряду, а там члени ряду вже мізерно малі числа, все одно дорівнює нескінченності за рахунок нескінченності числа доданків.

Теорема 4. Необхідна ознака збіжності.

Якщо ряд сходиться, то його спільний член a nпрагне нуля, тобто. .

Доведення. Справді,

І якщо ряд сходиться, то і, отже, при .

Зазначимо, що це ознака перестав бути достатнім, тобто. ряд може розходитися, яке спільний член прагне нулю. У прикладі 2 ряд розходиться, хоча його спільний член.

Але якщо а nне прагне нуля при , то ряд є розбіжним ( достатня ознака розбіжності ряду).

Схожість рядів із позитивними членами

Ряд називається позитивним, якщо все.

Часткові суми такого ряду S nутворюють зростаючу послідовність, оскільки кожна попередня менше наступної, тобто. . З теорії меж відомо (теорема Больцано-Вейєрштрасса), якщо зростаюча послідовність обмежена зверху (тобто всім S nіснує така кількість М, що S n < Мдля всіх n), вона має межу. Звідси випливає наступна теорема.

Теорема. Ряд з позитивними членами сходиться, якщо часткові суми його обмежені зверху, і розходиться інакше.

На цій властивості засновані всі достатні ознаки збіжності рядів із позитивними членами. Розглянемо основні їх.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з неотрицательными членами: - (3) і - (4), причому , починаючи з деякого n. Тоді зі збіжності ряду (4) випливає збіжність ряду (3). А з розбіжності ряду (3) випливає розбіжність ряду (4).

Інакше: якщо сходиться ряд із більшими членами, то сходиться й ряд із меншими членами; якщо розходиться ряд із меншими членами, то розходиться і ряд із більшими членами.

приклад.Дослідити на збіжність ряд.

Рішення.Загальний член ряду, а ряд є нескінченна сума членів геометричної прогресії зі знаменником< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Ознака порівняння у граничній формі

Розглянемо два ряди і , і нехай - кінцеве число. Тоді обидва ряди сходяться чи розходяться одночасно.

приклад.

Рішення. Виберемо ряд для порівняння, з'ясувавши для цього, як поводиться загальний член ряду при великих n:

Тобто. ~ , і як ряд порівняння беремо ряд , який розходиться, що було показано раніше.

Обчислимо межу

і отже, обидва ряди поводяться однаково, тобто. цей ряд теж розходиться.

Ознака Даламбера

Нехай дано ряд і існує межа. Тоді, якщо l < 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, цей ознака відповіді не дає (тобто. необхідне додаткове дослідження).

приклад.Дослідити збіжність ряд (нагадаємо, що , тобто. n-факторіал є добуток усіх цілих чисел від 1 до n).

Рішення.Для цього ряду , (для знаходження потрібно nпідставити n+ 1). Обчислимо межу

і так як межа менше 1, цей ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Нехай дано ряд і існує межа. Якщо l< 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, цей ознака відповіді не дає (необхідне додаткове дослідження).

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Рішення.Загальний член ряду. Обчислимо межу. Значить, низка сходиться.

Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ряд і припустимо, що на проміжку хÎ існує безперервна, позитивна і монотонно спадна функція така, що , n= 1, 2, 3… . Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.

Зазначимо, що якщо даний ряд то й функція розглядається на проміжку .

Нагадаємо, що вказаний невласний інтегралназивається схожим, якщо існує кінцева межа, і тоді =. Якщо при не має кінцевої межі, то кажуть, що невласний інтегралрозходиться.

приклад.Розглянемо ряд - узагальнений гармонійний рядабо ряд Діріхле з показником ступеня s. Якщо s= 1, то ряд називають гармонійним рядом.

Досліджуємо даний ряд, використовуючи інтегральний ознака Коші: =, і функція = має всі властивості, зазначені в ознакі. Обчислимо невласний інтеграл.

Можливі три випадки:

1) s < 1, и тогда

інтеграл розходиться.

2) при s = 1

інтеграл розходиться.

3) якщо s> 1, то

інтеграл сходиться.

Висновок. Узагальнений гармонійний ряд сходиться, якщо s> 1, і розходиться, якщо s ≤ 1.

Цей ряд часто використовують для порівняння з іншими рядами, що містять ступеня n.

приклад.Дослідити ряд на збіжність.

Рішення.Для цього ряду ~ =, отже, даний ряд порівнюємо з рядом , який сходиться, як ряд Диріхле з показником ступеня s = 2 > 1.

За ознакою порівняння в граничній формі знаходимо межу відношення спільних членів даного ряду та ряду Діріхле:

Отже, цей ряд теж сходиться.

Рекомендації щодо використанняознак збіжності

Насамперед, слід скористатися необхідною ознакою збіжності ряду та обчислити межу загального члена ряду при . Якщо , то ряд свідомо розходиться, і якщо , слід скористатися однією з достатніх ознак.

Ознаки порівняннякорисно використовувати у тих випадках, коли шляхом перетворень виразу для загального члена ряду вдається перейти від вихідного ряду до ряду, збіжність (чи розбіжність) якого відома. Зокрема, якщо містить лише ступені nі не містить жодних інших функцій, це завжди можна зробити.

Ознаки порівняннязастосовують тоді, коли вихідний ряд можна зіставити з узагальненим гармонійним рядом або поруч, складеним із членів нескінченної геометричної прогресії.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Тому, якщо в чисельнику стоїть якась із цих функцій, а в знаменнику - функція лівіше за неї, то, швидше за все, ряд розходиться, і навпаки.

Ця стаття є структурованою і докладною інформацією, яка може стати в нагоді під час розбору вправ і завдань. Ми розглянемо тему числових рядів.

Ця стаття починається з основних визначень та понять. Далі ми стандартні варіанти та вивчимо основні формули. Для того, щоб закріпити матеріал, у статті наведено основні приклади та завдання.

Базові тези

Спочатку представимо систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . де a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Наприклад, візьмемо такі числа, як: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .

Визначення 1

Числовий ряд – це сума членів ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n +. . . .

Щоб краще зрозуміти визначення, розглянемо випадок, у якому q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Визначення 2

a k є загальним або k –имчленом низки.

Він виглядає приблизно таким чином - 16 · - 1 2 k.

Визначення 3

Часткова сума рядувиглядає приблизно таким чином Sn = a1+a2+. . . + a n , у якій n-Будь-яке число. S n є n-ийсумою низки.

Наприклад, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . утворюють нескінченну послідовність числового ряду.

Для ряду n-асуму знаходиться за формулою S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n . Використовуємо наступну послідовність часткових сум: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Визначення 4

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k є схожимтоді, коли послідовність має кінцеву межу S = lim S n n → + ∞ . Якщо межі немає або послідовність нескінченна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k називається розбіжним.

Визначення 5

Сумою ряду, що сходить∑ k = 1 ∞ a k є межа послідовності ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

У даному прикладі lim S n n → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , ряд ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k сходиться. Сума дорівнює 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Приклад 1

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

n -а часткова сума визначається виразом S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 , а межа часткових сум нескінченна: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як Sn = 5n. Межа часткових сум нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Визначення 6

Сума такого виду як ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n +. . . – це гармонійнийчисловий ряд.

Визначення 7

Сума ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 ns + . . . , де s-дійсне число, є узагальнено гармонійним числовим рядом.

Визначення, розглянуті вище, допоможуть вам вирішити більшість прикладів і завдань.

Щоб доповнити визначення, необхідно довести певні рівняння.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний.

Діємо методом від зворотного. Якщо він сходиться, то межа скінченна. Можна записати рівняння як lim n → + ∞ S n = S та lim n → + ∞ S 2 n = S . Після певних дій одержуємо рівність l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

Навпаки,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Справедливі такі нерівності 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Виходить, що S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Вираз S 2 n - S n > 1 2 свідчить про те, що lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 не досягається. Ряд розбіжний.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Необхідно підтвердити, що сума послідовності чисел сходить при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Згідно з наведеними вище визначеннями, сума nчленів визначається згідно з формулою S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Якщо q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Ми довели, що числовий ряд сходиться.

При q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суми можна знайти з допомогою формули S n = b 1 · n , межа нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . У цьому варіанті ряд розходиться.

Якщо q = - 1ряд виглядає як b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Часткові суми виглядають як S n = b 1 для непарних n, і S n = 0 для парних n. Розглянувши цей випадок, ми переконаємося, що межі немає і ряд є розбіжним.

При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Ми довели, що числовий ряд розходиться.

1. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться, якщо s > 1і розходиться, якщо s ≤ 1 .

Для s = 1отримуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд розходиться.

При s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,натурального числа. Оскільки ряд є розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k , то межі немає. Дотримуючись цього, послідовність ∑ k = 1 ∞ 1 k s необмежена. Робимо висновок, що обраний ряд розходиться при s< 1 .

Необхідно надати докази, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1.

Представимо S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Припустимо, що 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Представимо рівняння для чисел, які є натуральними та парними n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Отримуємо:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Це сума геометричної прогресії q = 1 2 s - 1 . Згідно з вихідними даними при s > 1, то 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1збільшується і обмежується зверху 11-12s-1. Уявімо, що є межа і ряд є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Визначення 8

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k позитивний у тому випадкуякщо його члени > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знак чергуєтьсяякщо знаки чисел відрізняються. Даний приклад представлений як ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (-1) k · a k або ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , де a k > 0 , k = 1, 2,. . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакозмінний, тому що в ньому безліч чисел, негативних та позитивних.

Другий варіант ряд – це окремий випадок третього варіанта.

Наведемо приклади для кожного випадку відповідно:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Для третього варіанта також можна визначити абсолютну та умовну збіжність.

Визначення 9

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно збігається в тому випадку, коли ∑ k = 1 ∞ b k також вважається схожим.

Докладно розберемо кілька характерних варіантів

Приклад 2

Якщо ряди 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . і 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . визначаються як схожі, то правильно вважати, що 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Визначення 10

Знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається умовно схожим у тому випадку, якщо ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається схожим.

Приклад 3

Докладно розберемо варіант ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , що складається з абсолютних величин, визначається як розбіжний. Цей варіант вважається таким, що сходить, так як це легко визначити. З цього прикладу ми дізнаємося, що ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . буде вважатися умовно схожим.

Особливості рядів, що сходяться

Проаналізуємо властивості для певних випадків

1. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k буде сходиться, то і ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k також визнається таким, що сходить. Можна зазначити, що ряд без mчленів також вважається схожим. У випадку, якщо ми додаємо до ∑ k = m + 1 ∞ a k кілька чисел, то результат також буде схожим.
2. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k сходиться і сума = S, то сходиться і ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , де A-Постійна.
3. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k є схожими, суми Aі Bтеж, те й ряди ∑ k = 1 ∞ a k + b k і ∑ k = 1 ∞ a k - b k також сходяться. Суми дорівнюватимуть A + Bі A - Bвідповідно.

Приклад 4

Визначити, що ряд сходить ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Змінимо вираз ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 вважається схожим, оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1. Відповідно до другої властивості, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Приклад 5

Визначити, чи сходиться ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

Перетворимо початковий варіант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Отримуємо суму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 та ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Кожен ряд визнається таким, що сходить відповідно до властивості. Оскільки ряди сходяться, то вихідний варіант теж.

Приклад 6

Обчислити, чи сходиться ряд 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . та обчислити суму.

Розкладемо вихідний варіант:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Кожен ряд сходиться, оскільки є одним із членів числової послідовності. Відповідно до третього властивості, ми можемо обчислити, що вихідний варіант також є схожим. Обчислюємо суму: Перший член ряду ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, а знаменник = 0 . 5 , за цим слідує, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Перший член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , а знаменник спадної числової послідовності = 1 3 . Отримуємо: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Використовуємо вирази, одержані вище, для того, щоб визначити суму 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 · 9 2 = - 7

Необхідна умова для визначення, чи є ряд схожим

Визначення 11

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ ak є схожим, то межа його k-огочлена = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Якщо ми перевіримо будь-який варіант, потрібно не забувати про неодмінну умову. Якщо воно не виконується, ряд розходиться. Якщо lim k → + ∞ a k ≠ 0 , ряд розбіжний.

Слід уточнити, що умова важлива, але не достатньо. Якщо рівність lim k → + ∞ a k = 0 виконується, це не гарантує, що ∑ k = 1 ∞ a k є схожим.

Наведемо приклад. Для гармонійного ряду ∑ k = 1 ∞ 1 k умова виконується lim k → + ∞ 1 k = 0 , але ряд однаково розходиться.

Приклад 7

Визначити збіжність ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Перевіримо вихідний вираз виконання умови lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Межа n-огочлена не дорівнює 0 . Ми довели, що цей ряд розходиться.

Як визначити збіжність знакопозитивного ряду.

Якщо користуватися зазначеними ознаками, доведеться постійно обчислювати межі. Цей розділ допоможе уникнути складнощів під час вирішення прикладів та завдань. Щоб визначити збіжність знакопозитивного ряду, існує певна умова.

Для збіжності знакопозитивного ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Необхідно визначати обмежену послідовність сум.

Як порівнювати ряди

Існує кілька ознак порівняння рядів. Ми порівнюємо ряд, збіжність якого пропонується визначити, із тим рядом, збіжність якого відома.

Перша ознака

∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні ряди. Нерівність a k ≤ b k справедлива для k = 1, 2, 3, ...З цього випливає, що з ряду ∑ k = 1 ∞ b k ми можемо отримати ∑ k = 1 ∞ a k . Оскільки ∑ k = 1 ∞ a k розходиться, ряд ∑ k = 1 ∞ b k можна визначити як розбіжний.

Це правило постійно використовується для вирішення рівнянь і є серйозним аргументом, який допоможе визначити збіжність. Складнощі можуть полягати в тому, що підібрати потрібний приклад для порівняння можна знайти далеко не в кожному випадку. Досить часто ряд вибирається за принципом, згідно з яким показник k-огочлена дорівнюватиме результату віднімання показників ступенів чисельника та знаменника k-огочлена низки. Припустимо, що a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 різниця дорівнюватиме 2 – 3 = - 1 . В даному випадку можна визначити, що для порівняння необхідний ряд k-имчленом b k = k - 1 = 1 k, який є гармонійним.

Щоб закріпити отриманий матеріал, детально розглянемо пару типових варіантів.

Приклад 8

Визначити, яким є ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .

Оскільки межа = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 ми виконали необхідну умову. Нерівність буде справедливою 1 k< 1 k - 1 2 для k ,які є натуральними. З попередніх пунктів ми дізналися, що гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний. Згідно з першою ознакою, можна довести, що вихідний варіант є розбіжним.

Приклад 9

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

У цьому прикладі виконується необхідна умова, оскільки lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Подаємо у вигляді нерівності 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 є схожим, оскільки гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться при s > 1. Згідно з першою ознакою, ми можемо зробити висновок, що числовий ряд є схожим.

Приклад 10

Визначити, яким є ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

У цьому вся варіанті можна назвати виконання необхідної умови. Визначимо ряд порівняння. Наприклад, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Щоб визначити, чому дорівнює ступінь, розглянемо послідовність (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Члени послідовності ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . збільшується до безкінечності. Проаналізувавши рівняння, можна назвати, що, взявши ролі значення N = 1619 , то члени послідовності > 2 . Для даної послідовності буде справедлива нерівність 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Друга ознака

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, і ∑ k = 1 ∞ a k сходить також.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ b k розходиться, то ∑ k = 1 ∞ ak також розходиться.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ і lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то збіжність чи розбіжність ряду означає збіжність чи розбіжність іншого.

Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 за допомогою другої ознаки. Для порівняння ∑ k = 1 ∞ b k візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Визначимо межу: lim k → + ∞ k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Згідно з другою ознакою можна визначити, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, що сходить, означає, що початковий варіант також сходиться.

Приклад 11

Визначити, яким є ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Проаналізуємо необхідну умову lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , яка в даному варіанті виконується. Відповідно до другої ознаки, візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Шукаємо межу: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

Згідно з наведеними вище тезами, ряд, що розходиться, тягне собою розбіжність вихідного ряду.

Третя ознака

Розглянемо третю ознаку порівняння.

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та _ ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди. Якщо умова виконується для деякого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то збіжність даного ряду ∑ k = 1 ∞ b k означає, що ряд ∑ k = 1 ∞ ak також є схожим. Розбіжний ряд ∑ k = 1 ∞ a k тягне за собою розбіжність ∑ k = 1 ∞ b k .

Ознака Даламбера

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд. Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 то розбіжним.

Зауваження 1

Ознака Даламбера справедлива у тому випадку, якщо межа нескінченна.

Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , то ряд є схожим, якщо lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , то розбіжним.

Якщо lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 , то ознака Даламбера не допоможе і потрібно провести ще кілька досліджень.

Приклад 12

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k за ознакою Даламбера.

Необхідно перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності. Обчислимо межу, скориставшись правилом Лопіталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Ми можемо побачити, що умова виконується. Скористаємося ознакою Даламбер: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

Ряд є схожим.

Приклад 13

Визначити, чи є ряд розбіжним ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Скористаємося ознакою Даламбера у тому, щоб визначити розбіжність ряду: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Отже, ряд є розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – це знакопозитивний ряд. Якщо lim k → + ∞ ak k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 то розбіжним.

Примітка 2

Якщо lim k → + ∞ ak k k = 1 , то ця ознака не дає жодної інформації – потрібно проведення додаткового аналізу.

Ця ознака може бути використана в прикладах, які легко визначити. Випадок буде характерним тоді, коли член числового ряду – це показово статечне вираз.

Щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька характерних прикладів.

Приклад 14

Визначити, чи є позитивний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на схожому.

Потрібна умова вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Згідно з ознакою, розглянутою вище, отримуємо lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Приклад 15

Чи схожий числовий ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Інтегральна ознака Коші

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ ak є знакопозитивним рядом. Необхідно позначити функцію безперервного аргументу y = f(x), Що збігається a n = f (n) . Якщо y = f(x)більше нуля, не переривається і зменшується на [a; + ∞) , де a ≥ 1

То у випадку, якщо невласний інтеграл ∫ a + ∞ f (x) d x є схожим, то ряд, що розглядається, також сходиться. Якщо ж він розходиться, то в прикладі ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції можна використовувати матеріал, розглянутий на попередніх уроках.

Приклад 16

Розглянути приклад ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на збіжність.

Умова збіжності ряду вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Розглянемо y = 1 x · ln x. Вона більше нуля, не переривається і зменшується на [2; + ∞). Перші два пункти достеменно відомі, а на третьому слід зупинитися докладніше. Знаходимо похідну: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Вона менша за нуль на [ 2 ; + ∞) . Це доводить тезу, що функція є спадною.

Власне, функція y = 1 x · ln x відповідає ознакам принципу, що ми розглядали вище. Скористаємося ним: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Відповідно до отриманих результатів, вихідний приклад розходиться, оскільки невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад 17

Доведіть збіжність ряду ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, то умова вважається виконаною.

Починаючи з k = 4 , вірний вираз 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Якщо ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 буде вважатися схожим, то, згідно з одним із принципів порівняння, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 також вважатиметься схожим. Таким чином, ми зможемо визначити, що вихідний вираз також є схожим.

Перейдемо до доказу ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки функція y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 більша за нуль, не переривається і зменшується на [ 4 ; + ∞). Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

В отриманому ряді, що сходиться, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , можна визначити, що ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) )) 3 також сходиться.

Ознака Раабе

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – знакопозитивний числовий ряд.

Якщо lim k → + ∞ k · ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, то сходиться.

Даний спосіб визначення можна використовувати у тому випадку, якщо описані вище техніки не дають видимих ​​результатів.

Дослідження на абсолютну збіжність

Для дослідження беремо ∑ k = 1 ∞ b k. Використовуємо позитивний ∑ k = 1 ∞ b k . Ми можемо використовувати будь-яку з відповідних ознак, які ми описували вище. Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, то вихідний ряд є абсолютно схожим.

Приклад 18

Дослідити ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 на збіжність ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k-1.

Умова виконується lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Використовуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 і скористаємось другою ознакою: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 сходиться. Вихідний ряд також абсолютно схожий.

Розбіжність знакозмінних рядів

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, то відповідний знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k або розбіжний, або умовно схожий.

Лише ознака Даламбера та радикальна ознака Коші допоможуть зробити висновки про ∑ k = 1 ∞ b k щодо розбіжності з модулів ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k також розходиться, якщо не виконується необхідна умова збіжності, тобто якщо lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Приклад 19

Перевірити розбіжність 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Модуль k-огочлена представлений як b k = k! 7 k.

Досліджуємо ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k на збіжність за ознакою Даламбер: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k розходиться як і, як і вихідний варіант.

Приклад 20

Чи є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) схожим.

Розглянемо необхідну умову lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Умова не виконана, тому ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ряд розбіжний. Межа була обчислена за правилом Лопіталя.

Ознаки умовної збіжності

Ознака Лейбніца

Визначення 12

Якщо величини членів ряду, що чергується, зменшуються b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і межа модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається.

Приклад 17

Розглянути ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) на збіжність.

Ряд представлений як ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Потрібна умова виконується lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k за другою ознакою порівняння lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Отримуємо, що ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) розходиться. Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) сходиться за ознакою Лейбниця: послідовність 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1, . . . зменшується і lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Ряд умовно сходиться.

Ознака Абеля-Діріхле

Визначення 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходить у тому випадку, якщо ( u k ) не зростає, а послідовність ∑ k = 1 + ∞ v k обмежена.

Приклад 17

Дослідіть 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . на збіжність.

Уявимо

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k

де (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Незростаюча, а послідовність (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . обмежена (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ряд сходиться.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Основні визначення.

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності називається числовим рядом.

При цьому числа
називатимемо членами ряду, а u n- Спільним членом ряду.

Визначення. Суми
,n = 1, 2, … називаються приватними (частковими) сумамиряду.

Таким чином, можна розглядати послідовності часткових сум ряду S 1 , S 2 , …, S n , …

Визначення. Ряд
називається схожимякщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума ряду, що сходить- Межа послідовності його приватних сум.

Визначення. Якщо послідовність приватних сум низки розходиться, тобто. не має межі, або має нескінченну межу, то ряд називається розбіжнимі йому не ставлять у відповідність жодної суми.

Властивості рядів.

1) Східність чи розбіжність ряду не порушиться якщо змінити, відкинути чи додати кінцеве число членів ряду.

2) Розглянемо два ряди
і
, де З - постійне число.

Теорема. Якщо ряд
сходиться і його сума дорівнюєS, то ряд
теж сходиться, і його сума дорівнює СS. (C  0)

3) Розглянемо два ряди
і
.сумоюабо різницеюцих рядів буде називатися ряд
, Де елементи отримані в результаті складання (віднімання) вихідних елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди
і
сходяться та їх суми рівні відповідноSі , то ряд
теж сходиться і його сума дорівнюєS +  .

Різниця двох рядів, що сходяться також буде схожим рядом.

Сума ряду, що сходить і розходиться, буде розбіжним рядом.

Про суму двох рядів загального затвердження, що розходяться, зробити не можна.

Під час вивчення рядів вирішують переважно дві завдання: дослідження збіжність і перебування суми ряду.

Критерій Коші.

(Необхідні та достатні умови збіжності ряду)

Для того, щоб послідовність
була схожою, необхідно і достатньо, щоб для будь-кого
існував такий номерN, що заn > Nі будь-комуp> 0, де р – ціле число, виконувалася б нерівність:

.

Доведення. (Необхідність)

Нехай
тоді для будь-якого числа
знайдеться номер N такий, що нерівність

виконується при n>N. При n>N та будь-якому цілому p>0 виконується також нерівність
. Враховуючи обидві нерівності, отримуємо:

Необхідність доведена. Доказ достатності не розглядатимемо.

Сформулюємо критерій Коші для низки.

Для того, щоб ряд
був схожим необхідно і достатньо, щоб для будь-кого
існував номерNтакий, що заn> Nі будь-комуp>0 виконувалася б нерівність

.

Проте, практично використовувати безпосередньо критерій Коші не дуже зручно. Тому зазвичай використовуються прості ознаки збіжності:

1) Якщо ряд
сходиться, то необхідно, щоб спільний член u nпрагнув до нуля. Однак, ця умова не є достатньою. Можна говорити лише тому, що й загальний член прагне до нуля, то ряд точно розходиться. Наприклад, так званий гармонійний ряд є розбіжним, хоча його спільний член і прагне нуля.

приклад.Дослідити збіжність ряду

Знайдемо
- необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розходиться.

2) Якщо ряд сходиться, то послідовність його приватних сум обмежена.

Однак, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… розходиться, т.к. розходиться послідовність його приватних сум через те, що

Проте, у своїй послідовність приватних сум обмежена, т.к.
за будь-якого n.

Ряди з невід'ємними членами.

Під час вивчення знакопостійних рядів обмежимося розглядом рядів із неотрицательными членами, т.к. при простому множенні на -1 із цих рядів можна отримати ряди з негативними членами.

Теорема. Для збіжності ряду
з невід'ємними членами необхідно та достатньо, щоб приватні суми ряду були обмежені.

Ознака порівняння рядів із невід'ємними членами.

Нехай дані два ряди
і
при u n , v n  0 .

Теорема. Якщо u n  v nза будь-якого n, то зі збіжності ряду
слід збіжність ряду
, а з розбіжності ряду
слід розбіжність ряду
.

Доведення. Позначимо через S n і  nприватні суми рядів
і
. Т.к. за умовою теореми ряд
сходиться, його приватні суми обмежені, тобто. при всіх n n  M, де М – деяке число. Але т.к. u n  v n, то S n   nто приватні суми ряду
теж обмежені, а цього достатньо для збіжності.

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Т.к.
, а гармонійний ряд розходиться, то розходиться і ряд
.

приклад.

Т.к.
, а ряд
сходиться (як спадна геометрична прогресія), то ряд
теж сходиться.

Також використовується така ознака збіжності:

Теорема. Якщо
і існує межа
, деh- Число, відмінне від нуля, то ряди
і
ведуть однаково у сенсі збіжності.

Ознака Даламбер.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо для ряду
з позитивними членами існує така кількістьq<1, что для всех достаточно больших nвиконується нерівність

то ряд
сходиться, якщо для всіх досить великихnвиконується умова

то ряд
розходиться.

Гранична ознака Даламбер.

Гранична ознака Даламбер є наслідком з наведеної вище ознаки Даламбер.

Якщо існує межа
, то при < 1 ряд сходится, а при  > 1 – розходиться. Якщо = 1, то питання про збіжності відповісти не можна.

приклад.Визначити збіжність ряду .

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду

Висновок: ряд сходиться.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо для ряду
з невід'ємними членами існує така кількістьq<1, что для всех достаточно больших nвиконується нерівність

,

то ряд
сходиться, якщо для всіх досить великихnвиконується нерівність

то ряд
розходиться.

Слідство. Якщо існує межа
, то при<1 ряд сходится, а при >1 ряд розходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду
.

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду
.

Тобто. ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність низки. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне нуля.

,

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, отже ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо (х) - безперервна позитивна функція, що зменшується на проміжкуі
то інтеграли
і
поводяться однаково у сенсі збіжності.

Знакозмінні ряди.

Знакочередуючі ряди.

Знак, що чергується, можна записати у вигляді:

де

Ознака Лейбниця.

Якщо у ряду, що знак чергується, ряду абсолютні величиниu i спадають
і загальний член прагне нуля
, то ряд сходиться.

Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків).

(1)

та ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):

(2)

Теорема. Зі збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Доведення. Ряд (2) є поруч із невід'ємними членами. Якщо ряд (2) сходиться, то за критерієм Коші для будь-якого 0 існує число N, таке, що при n>N і будь-якому цілому p>0 вірна нерівність:

За якістю абсолютних величин:

Тобто за критерієм Коші зі збіжності ряду (2) слідує збіжність ряду (1).

Визначення. Ряд
називається абсолютно схожимякщо сходиться ряд
.

Очевидно, що для постійних рядів поняття збіжності і абсолютної збіжності збігаються.

Визначення. Ряд
називається умовно схожимякщо він сходиться, а ряд
розходиться.

Ознаки Даламбера та Коші для знакозмінних рядів.

Нехай
- Знакозмінний ряд.

Ознака Даламбер. Якщо існує межа
, то при<1 ряд
буде абсолютно схожим, а >

Ознака Коші. Якщо існує межа
, то при<1 ряд
буде абсолютно схожим, а при>1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді збіжності ряду.

Властивості рядів, що абсолютно сходяться.

1) Теорема. Для абсолютної збіжності ряду
необхідно і достатньо, щоб його можна було подати у вигляді різниці двох рядів, що сходяться, з невід'ємними членами.

Слідство. Умовно сходящийся ряд є різницею двох розбіжних рядів з невід'ємними членами, що прагнуть до нуля.

2) У ряді, що сходить, будь-яка угруповання членів ряду, що не змінює їх порядку, зберігає збіжність і величину ряду.

3) Якщо ряд сходить абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно сходить і має ту ж суму.

Перестановкою членів ряду, що умовно сходиться, можна отримати умовно сходящийся ряд, що має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.

4) Теорема. При будь-якому угрупованні членів абсолютно схожого ряду (при цьому число груп може бути як кінцевим, так і нескінченним і число членів у групі може бути як кінцевим, так і нескінченним) виходить ряд, що сходиться, сума якого дорівнює сумі вихідного ряду.

5) Якщо ряди і сходяться абсолютно та їх суми рівні відповідно S і , то ряд, складений із усіх творів виду
взятих у будь-якому порядку, також сходиться абсолютно і його сума дорівнює S - Добутку сум перемножуваних рядів.

Якщо ж проводити перемноження рядів, що умовно сходяться, то в результаті можна отримати розбіжний ряд.

Функціональні послідовності.

Визначення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше дослідження числових рядів. Один і той же функціональний ряд може при одних значеннях змінної хсходитися, а за інших – розходитися. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної х, у яких ряд сходиться.

Сукупність таких значень називається областю збіжності.

Так як межею кожної функції, що входить в область збіжності ряду, є деяке число, межею функціональної послідовності буде деяка функція:

Визначення. Послідовність ( f n (x) } сходитьсядо функції f(x) на відрізку , якщо для будь-якого числа >0 та будь-якої точки хз аналізованого відрізка існує номер N = N(, x), такий, що нерівність

виконується при n>N.

При вибраному значенні >0 кожній точці відрізка відповідає свій номер і, отже, номерів, що відповідають усім точкам відрізка, буде безліч. Якщо вибрати з усіх цих номерів найбільший, цей номер годиться всім точок відрізка , тобто. буде загальним для всіх точок.

Визначення. Послідовність ( f n (x) } поступово сходитьсядо функції f(x) на відрізку , якщо для будь-якого числа >0 існує номер N = N(), такий, що нерівність

виконується при n>N для всіх точок відрізка.

приклад.Розглянемо послідовність

Ця послідовність сходиться на всій числовій осі до функції f(x)=0 , т.к.

Побудуємо графіки цієї послідовності:

sinx

Як видно, зі збільшенням числа nграфік послідовності наближається до осі х.

Функціональні лави.

Визначення. Приватними (частковими) сумамифункціонального ряду
називаються функції

Визначення. Функціональний ряд
називається схожиму точці ( х=х 0 ), якщо у цій точці сходиться послідовність його приватних сум. Межа послідовності
називається сумоюряду
у точці х 0 .

Визначення. Сукупність усіх значень х, для яких сходиться ряд
називається областю збіжностіряду.

Визначення. Ряд
називається рівномірно схожимна відрізку , якщо рівномірно сходиться у цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду)

Для рівномірної збіжності ряду
необхідно та достатньо, щоб для будь-якого числа >0 існував такий номерN( ), що заn> Nі будь-якому ціломуp>0 нерівність

виконувалося б для всіх х на відрізку [a, b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейєрштраса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрас (1815 – 1897) – німецький математик)

Ряд
сходиться рівномірно і до того ж абсолютно на відрізку [a, b], якщо модулі його членів на тому ж відрізку не перевищують відповідних членів схожого числового ряду з позитивними членами:

тобто. має місце нерівність:

.

Ще кажуть, що у цьому випадку функціональний ряд
мажоруєтьсячисловим рядом
.

приклад.Дослідити на збіжність ряд
.

Так як
завжди, то очевидно, що
.

При цьому відомо, що загальногармонічний ряд при=3>1 сходиться, то відповідно до ознаки Вейерштрасса досліджуваний ряд рівномірно сходиться і до того ж у будь-якому інтервалі.

приклад.Дослідити на збіжність ряд .

На відрізку [-1,1] виконується нерівність
тобто. за ознакою Вейєрштраса на цьому відрізку досліджуваний ряд сходиться, а на інтервалах (-, -1)  (1, ) розходиться.

Властивості рівномірно схожих рядів.

1) Теорема про безперервність суми низки.

Якщо члени ряду
- безперервні на відрізку [a, b] функції та ряд сходиться рівномірно, то і його сумаS(x) є безперервна функція на відрізку [a, b].

2) Теорема про почленное інтегрування низки.

Поступово схожий на відрізку [a, b] ряд із безперервними членами можна почленно інтегрувати у цьому відрізку, тобто. ряд, складений з інтегралів від його членів по відрізку [a, b] , сходиться до інтегралу від суми ряду за цим відрізком.

3) Теорема про почленное диференціювання низки.

Якщо члени ряду
схожого на відрізку [a, b] є безперервними функціями, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних
сходиться у цьому відрізку поступово, те й цей ряд сходиться поступово і можна диференціювати почленно.

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінної х, можна проводити операцію уявлення який – або функції як ряду (розкладання функції до ряду), що має широке застосування при інтегруванні, диференціювання та інших процесах з функціями.

На практиці часто застосовується розкладання функцій у статечний ряд.

Ступінні ряди.

Визначення. Ступіньним рядомназивається ряд виду

.

Для дослідження на збіжність статечних рядів зручно використовувати ознаку Даламбера.

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Застосовуємо ознаку Даламбер:

.

Отримуємо, що цей ряд сходиться за
і розходиться при
.

Тепер визначимо збіжність у граничних точках 1 та –1.

При х = 1:
ряд сходиться за ознакою Лейбніца (див. Ознака Лейбниця.).

При х = -1:
ряд розходиться (гармонійний ряд).

Теореми Абеля.

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

Теорема. Якщо статечний ряд
сходиться заx = x 1 , то він сходиться і до того ж абсолютно для всіх
.

Доведення. За умовою теореми, оскільки члени низки обмежені, то

де k- Деяке постійне число. Справедлива наступна нерівність:

З цієї нерівності видно, що за x< x 1 чисельні величини членів нашого ряду будуть меншими (принаймні не більшими) відповідних членів ряду правої частини записаної вище нерівності, які утворюють геометричну прогресію. Знаменник цієї прогресії за умовою теореми менше одиниці, отже, ця прогресія є схожим рядом.

Тому на підставі ознаки порівняння робимо висновок, що ряд
сходиться, а значить ряд
сходиться абсолютно.

Таким чином, якщо статечний ряд
сходиться у точці х 1 , то він абсолютно сходиться в будь-якій точці інтервалу довжини 2 з центром у точці х = 0.

Слідство. Якщо при х = х 1 ряд розходиться, він розходиться всім
.

Таким чином, для кожного статечного ряду існує таке позитивне число R, що при всіх хтаких, що
ряд абсолютно сходиться, а за всіх
ряд розходиться. При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R) називається інтервалом збіжності.

Зазначимо, що цей інтервал може бути замкнутим з однієї або двох сторін, так і не замкнутим.

Радіус збіжності може бути знайдений за такою формулою:

приклад.Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності
.

Отже, цей ряд сходиться при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прагне нуля.

Теорема. Якщо статечний ряд
сходиться для позитивного значення х=х 1 , то він сходиться рівномірно у будь-якому проміжку всередині
.

Дії зі статечними рядами.

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Числові ряди

лекція.Числові ряди

1. Визначення числового ряду. Збіжність

2. Основні властивості числових рядів

3. Ряди із позитивними членами. Ознаки збіжності

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця

5. Знакозмінні ряди

Запитання для самоперевірки

Література

лекція. ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Визначення числового ряду. Збіжність.

2. Основні властивості числових рядів.

3. Ряди із позитивними членами. Ознаки збіжності.

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця.

5. Знакозмінні ряди.

1. Визначення числового ряду. Збіжність

У математичних додатках, і навіть під час вирішення деяких завдань економіки, статистиці та інших галузях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.

Нехай задана нескінченна числова послідовність

, , …, , …

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

. (1.1) називаються членами ряду, – загальнимабо n – мчленом низки.

Щоб задати ряд (1.1), достатньо задати функцію натурального аргументу

обчислення -го члена ряду за його номером

Приклад 1.1. Нехай

. Ряд (1.2)

називається гармонійним рядом .

Приклад 1.2. Нехай

, ряд (1.3)

називається узагальненим гармонійним рядом. В окремому випадку при

виходить гармонійний ряд.

приклад 1.3. Нехай

=. Ряд (1.4)

називається поряд геометричної прогресії.

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність частковихсумде

- Сума перших членів ряду, яка називається n-й частковою сумою, т. е. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Числова послідовність

при необмеженому зростанні номера може бути:

1) мати кінцеву межу;

2) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

Визначення 1.2. Ряд (1.1) називається схожим,якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцеву межу, тобто.

У цьому випадку число

називається сумоюряду (1.1) і пишеться.

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум не має кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

Таким чином, завдання знаходження суми ряду, що сходить (1.1) рівносильна обчисленню межі послідовності його часткових сум.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.4.Довести, що ряд

сходиться, і знайти його суму.

Знайдемо n- ю часткову суму цього ряду

.

Загальний член

ряду представимо у вигляді.

Звідси маємо:

. Отже, даний ряд сходиться і його сума дорівнює 1:

приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

(1.6)

Для цього ряду

. Отже, цей ряд розходиться.

Зауваження. При

ряд (1.6) є сумою нескінченного числа нулів і є, очевидно, схожим.

приклад 1.6.Дослідити на збіжність ряд

(1.7)

Для цього ряду

У цьому випадку межа послідовності часткових сум

не існує, і низка розходиться.

приклад 1.7.Дослідити на збіжність ряд геометричної прогресії (1.4):

Неважко показати, що n-я часткова сума ряду геометричної прогресії при

задається формулою.

Розглянемо випадки:

Тоді і .

Отже, ряд сходиться і його сума дорівнює

Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, тобто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в будь-якому порядку, від цього сума не зміниться. Існують ряди, що сходяться (умовно сходяться, які будуть розглянуті в розділі 5), для яких, як показав Ріман Ріман Георг Фрідріх Бернхард (1826 - 1866), німецький математик. числу, і навіть розбіжний ряд.

приклад 2.1.Розглянемо розбіжний ряд виду (1.7)

Згрупувавши його члени попарно, отримаємо схожий числовий ряд із сумою, що дорівнює нулю:

З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також ряд, що сходить, але вже з сумою, що дорівнює одиниці:

Ці ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати та віднімати. У них можна об'єднувати в групи будь-які складові, що стоять поруч.

Теорема 2.1. (Необхідна ознака збіжності низки).

Якщо ряд (1.1) сходиться, його спільний членпрагне нулю при необмеженому зростанні n, тобто.

Доказ теореми випливає з того, що, і якщо

S - сума ряду (1.1), то

Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член ряду прагне до нуля при, то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) однак, як показано нижче, він розходиться.

Наслідок (достатня ознака розбіжності ряду).

Якщо загальний член рядуне прагне нуля при, цей ряд розходиться.

приклад 2.2.Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

Отже, цей ряд розходиться.

Розглянуті вище розбіжні ряди (1.6), (1.7) також є такими через те, що їм не виконується необхідний ознака збіжності. Для ряду (1.6) межа ряду (1.7) межа немає.

Властивість 2.1 . Східність або розбіжність ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для ряду, що сходить, його сума може змінитися).

Доказ якості випливає з того, що ряд (1.1) та будь-який його залишок сходяться або розходяться одночасно.

Властивість 2.2 . Ряд, що сходить, можна множити на число, тобто, якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деяке число, тоді

Доказ випливає з того, що для кінцевих сум справедливі рівність

Властивість 2.3. ряди, Що Збігаються, можна почленно складати і віднімати, тобто якщо ряди,

сходяться,

то й ряд

сходиться і його сума дорівнюєтобто.

Доказ випливає з властивостей межі кінцевих сум, тобто.

приклад 2.3.Обчислити суму ряду

Загальний член ряду подаємо у вигляді

Тоді вихідний ряд можна представити у вигляді почленної різниці двох рядів, що сходяться, геометричної прогресії

Використовуючи формулу (1.8), обчислимо суми відповідних рядів геометричної прогресії.

Для першого ряду тому

Для другого ряду тому

Остаточно маємо