Визначення 1. Призматична поверхня
Теорема 1. Про паралельні перерізи призматичної поверхні
Визначення 2. Перпендикулярний переріз призматичної поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми

Паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетин діагоналі паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. Ромбоедр
Теорема 4. Про діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а ребра, що не лежать у цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від основ, називаються бічними.
Сторони бічних граней та підстав називаються ребрами призми, кінці ребер називаються вершин призми. Бічні ребраназиваються ребра, що не належать основам. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею призми. Висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхньої основи на площину нижньої основи або довжина цього перпендикуляра. Прямою призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Правильноюназивається пряма призма (Рис.3), основу якої лежить правильний багатокутник.

Позначення:
l - бічне ребро;
P – периметр основи;
S o - площа основи;
H – висота;
P^ - периметр перпендикулярного перерізу;
S б - площа бічної поверхні;
V – обсяг;
S п – площа повної поверхні призми.

V = SH S п = S б + 2S про S б = P ^ l

Визначення 1 . Призматичною поверхнею називається фігура, утворена частинами кількох площин, паралельних однієї прямої обмеженими тими прямими, якими ці площини послідовно перетинаються одна з одною*; ці прямі паралельні між собою і називаються ребрами призматичної поверхні.
*При цьому передбачається, що кожні дві послідовні площини перетинаються і остання площина перетинає першу

Теорема 1 . Перерізи призматичної поверхні площинами, паралельними між собою (але не паралельними її ребрам), є рівними багатокутниками.
Нехай ABCDE і A"B"C"D"E" - перерізи призматичної поверхні двома паралельними площинами. Щоб переконатися, що ці два багатокутники рівні, достатньо показати, що трикутники ABC і А"В"С" рівні і мають однаковий напрямок обертання що те саме має місце і для трикутників ABD та A"B"D", ABE та А"В"Е". Але відповідні сторони цих трикутників паралельні (наприклад, АС паралельно А"С") як лінії перетину деякої площини з двома паралельними площинами; звідси випливає, що ці сторони рівні (наприклад АС дорівнює А "С") як протилежні сторони паралелограма і що кути, утворені цими сторонами, рівні та мають однаковий напрямок.

Визначення 2 . Перпендикулярним перерізом призматичної поверхні називається переріз цієї поверхні площиною, перпендикулярною до її ребер. З попередньої теореми все перпендикулярні перерізу однієї й тієї ж призматичної поверхні будуть рівними багатокутниками.

Визначення 3 . Призмою називається багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрам призматичної поверхні)
Грані, що лежать у цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматичній поверхні, - бічними гранями; ребра призматичної поверхні - бічними ребрами призми. З огляду на попередню теорему, підстави призми - рівні багатокутники. Усі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано основу призми ABCDE і одне з ребер АА" за величиною та за напрямом, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС", .., рівні та паралельні ребру АА".

Визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH).

Визначення 5 . Призма називається прямою, якщо її основами є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні. У цьому випадку висотою призми служить, звичайно, її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, рівному числусторін багатокутника, що служить її основою. Таким чином призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д.

Теорема 2 . Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бокового ребрана периметр перпендикулярного перерізу.
Нехай ABCDEA"B"C"D"E" - дана призма і abcde - її перпендикулярний переріз, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічних ребрів. на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ "С" дорівнює добутку підстави ВВ на висоту bc і т. д. Отже, бічна поверхня(тобто сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ", .., у сумі ab+bc+cd+de+еа.

Багатогранники

Основним об'єктом вивчення стереометрії є просторові тіла. Тілоє частиною простору, обмежену деякою поверхнею.

Багатогранникомназивається тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників. Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називається ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Наприклад, куб складається із шести квадратів, які є його гранями. Він містить 12 ребер (сторони квадратів) та 8 вершин (вершини квадратів).

Найпростішими багатогранниками є призми та піраміди, вивченням яких і займемося далі.

Призма

Визначення та властивості призми

Призмоюназивається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, що лежать у паралельних площинах, що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники називаються підставами призмиа відрізки, що з'єднують відповідні вершини багатокутників, – бічними ребрами призми.

Висотою призминазивається відстань між площинами її основ (). Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані, називається діагоналлю призми(). Призма називається n-вугільнийякщо в її основі лежить n-кутник.

Будь-яка призма має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави призми поєднуються паралельним переносом:

1. Підстави призми рівні.

2. Бічні ребра призми паралельні та рівні.

Поверхня призми складається з підстав та бічної поверхні. Бічна поверхня призми складається з паралелограмів (це випливає із властивостей призми). Площею бічної поверхні призми називається сума площ бічних граней.

Пряма призма

Призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма називається похилій.

Гранями прямої призми є прямокутники. Висота прямої призми дорівнює її бічним граням.

Повною поверхнею призминазивається сума площі бічної поверхні та площ основ.

Правильною призмоюназивається пряма призма з правильним багатокутникомна підставі.

Теорема 13.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра на висоту призми (або, що те саме, на бічне ребро).

Доведення. Бічні грані прямої призми є прямокутниками, основи яких є сторонами багатокутників у підставах призми, а висоти є бічними ребрами призми. Тоді за визначенням площа бічної поверхні:

,

де – периметр основи прямої призми.

Паралелепіпед

Якщо у підставах призми лежать паралелограми, вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. При цьому протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Теорема 13.2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення. Розглянемо дві довільні діагоналі, наприклад, і . Т.к. гранями паралелепіпеда є паралелограми, то і , а значить по Т про дві прямі паралельні третій . Крім того, це означає, що прямі і лежать в одній площині (площині). Ця площина перетинає паралельні площини і паралельним прямим і . Таким чином, чотирикутник - паралелограм, а за властивістю паралелограма його діагоналі і перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, що потрібно було довести.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані – прямокутники. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірюваннями). Таких розмірів три (ширина, висота, довжина).

Теорема 13.3. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (Доказується за допомогою дворазового застосування Т Піфагора).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Завдання

13.1 Скільки діагоналей має n-вугільна призма

13.2У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37, 13 і 40. Знайти відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром.

13.3Через бік нижньої основи правильної трикутної призми проведена площина, що перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими . Знайти кут нахилу цієї площини до основи призми.

"Урок теорема Піфагора" - Теорема Піфагора. Визначити вигляд чотирикутника KMNP. Розминка. Знайомства з теореми. Визначити вид трикутника: План уроку: Історичний екскурс. Вирішення найпростіших завдань. І знайдіть сходи довготою стоп. Обчисліть висоту трапеції CF ABCD. Доведення. Показ картинок. Доказ теореми.

"Обсяг призми" - Поняття призми. Пряма призма. Обсяг вихідної призми дорівнює добутку S · h. Як знайти об'єм прямої призми? Призму можна розбити на прямі трикутні призми із висотою h. Проведення висоти трикутника ABC. Рішення завдання. Цілі уроку. Основні кроки за доказом теореми прямої призми? Вивчення теореми про обсяг призми.

«Многогранники призму» - Дайте визначення багатогранника. DABC - тетраедр, опуклий багатогранник. Застосування призм. Де використовуються призми? ABCDMP – октаедр, складений із восьми трикутників. ABCDA1B1C1D1 – паралелепіпед, опуклий багатогранник. Випуклий багатогранник. Концепція багатогранника. Багатогранник А1А2..АnB1B2..Bn- призма.

«Призма 10 клас» - Призмою називається багатогранник, у якого грані знаходяться в паралельних площинах. Застосування призми у побуті. Sбок. = Pоснован. + h Для прямої призми: Sп.п = Pоснов. h + 2Sоснов. Похила. Правильна. Пряма. Призма. Формули знаходження площі. Застосування призми у архітектурі. Sп.п = Sбок.+2Sзаснований.

«Доказ теореми Піфагора» - Геометричний доказ. Значення теореми Піфагора. Теорема Піфагора. Доказ Евкліда. "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Докази теореми. Значення теореми у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії.

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані в двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать у підставах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого служать дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (AD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно обом основам,називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншої; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерами, тільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються літерами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм виділяється окремий вид: правильні призми.

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

У правильній призми всі бічні грані рівні прямокутники. Приватним випадком призми є паралелепіпед.

Паралелепіпед

Паралелепіпед- це чотирикутна призма, в основі якої лежить паралелограм (похилий паралелепіпед). Прямий паралелепіпед- паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площинам основи.

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

Деякі властивості паралелепіпеда аналогічні відомим властивостям паралелограма. Прямокутний паралелепіпед, що має рівні виміри, називаються кубом .У куба всі грані рівні квадрати.Квадрат діагоналі, дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

,

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Уявлення про призм дають:

• різні архітектурні споруди;
• дитячі іграшки;
• пакувальні коробки;
• дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

Площа повної поверхні призминазивається сума площ усіх її граней Площа бічної поверхніназивається сума площ її бічних гранейТ.к. Основи призми - рівні багатокутники, їх площі рівні. Тому

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.

Обсяг призми

Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

У шкільній програміза курсом стереометрії вивчення об'ємних постатей зазвичай починається з простого геометричного тіла - багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є ​​правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в основах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури- Прямий паралелепіпед.

Малюнок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, у тому числі складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:

Іноді у завданнях з геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать площині, що сить. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз ( максимальна кількістьперерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.

Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить зрізана призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та обсяг

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:

V = Sосн · h

Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:

V = a²·h

Якщо мова йде про куб - правильну призму з рівною довжиною, Завширшки і висотою, об'єм обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхня складена із 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Sбік = Pосн · h

З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:

Sбік = 4a·h

Для куба:

Sбік = 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sповн = Sбік + 2Sосн

Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:

Sповн = 4a·h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sповн = 6a²

Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

• довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √ (V / h);
• довжина висоти або бічного ребра: h = Sбік / 4a = V / a²;
• площа основи: Sосн = V/h;
• площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього випливає:

Sдіаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань із рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються у державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?

Слід міркувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому разі для першої коробки обсяг речовини становитиме:

V₁ = ha² = 10a²

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² = 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівень піску становитиме h = 10/4 = 2,5див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки йдеться про правильну призму, можна дійти невтішного висновку, що у підставі знаходиться квадрат із діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна граньтеж має форму квадрата, рівної основи. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sповн = 6a² = 6 · 6² = 216

Завдання 3.

У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні до горизонтальних поверхонь, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.

Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м ².

Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.

Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба