Визначення 1. Числовою віссю називається пряма з обраним у ньому початком відліку, масштабом і напрямом.

Теорема 1. Між точками числової осі та дійсними числами існує одно-однозначна відповідність (бієкція).

Необхідність.Покажемо, що кожній точці числової осі відповідає дійсне число. Для цього відкладемо масштабний відрізок одиничної довжини

раз так, що точка лежатиме ліворуч від точки , а крапка
вже правіше. Далі відрізок
поділимо на
частин і відкладемо відрізок та раз так, що точка лежатиме ліворуч від точки , а крапка
вже правіше. Таким чином, на кожному етапі число
,
… Якщо ця процедура закінчиться на якомусь етапі, ми отримаємо число
(координату точки на числовій осі). Якщо ні, то назвемо ліву межу будь-якого інтервалу «числом з недоліком», а праву – «числом з надлишком», або «наближенням числа з недоліком або надлишком», а саме число буде нескінченним неперіодичним (чому?) десятковим дробом. Можна показати, що всі операції з раціональними наближеннями ірраціонального числа визначаються однозначно.

Достатність.Покажемо, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка числової осі. 

Визначення 2. Якщо
, то числовий проміжок
називаютьсегментом , якщо
, то числовий проміжок називаютьінтервалом , якщо
, то числовий проміжок
називаютьнапівінтервалом .

Про
розподіл 3. Якщо сегмент
вкладені сегменти так, що
, а
, то така система називається СВС (системою вкладених сегментів ).

Визначення 4. Кажуть що

(довжина сегмента
прагне до нуля , за умови, що
), якщо.

Визначення 5. СВС, у якої
називається ССС (системою стягуючих сегментів).

Аксіома Кантора-Дедекінда: У будь-якій СВС існує хоч одна точка, що належить усім їм одразу.

Оскільки раціональні наближення числа можна зобразити системою стягуються сегментів, то раціональному числу буде відповідати єдина точка числової осі, якщо в системі стягуючих сегментів буде єдина точка, що належить всім їм відразу ( теорема Кантора). Покажемо це від неприємного.

. Нехай і дві такі точки, причому
,
. Т
як,
, то
. Але з іншого боку,
, а ті. починаючи з деякого номера
,
буде менше будь-якої константи. Це протиріччя доводить необхідне.

Таким чином, ми показали, що числова вісь безперервна (не має дірок) і більше ніяких чисел на ній розмістити не можна. Однак, ми, як і раніше, не вміємо отримувати коріння з будь-яких дійсних чисел (зокрема з негативних) і не вміємо вирішувати рівняння типу
. У п.5 ми займемося вирішенням цієї проблеми.

3. 4. Теорія граней

Визначення 1. Безліч
обмежено зверху (знизу ), якщо існує число , таке що
. Число називаєтьсяверхній (нижній ) гранню .

Визначення 2. Безлічобмежено якщо воно обмежене і зверху, і знизу.

Визначення 3. Точною верхньою гранню обмеженої зверху безлічі дійсних чисел
називається :

(Тобто. - Одна з верхніх граней);

(Тобто. – незрушна).

Зауваження. Точна верхня грань (ТВГ) числової множини
позначається
(Від лат. supremum- найменший із великих).

Зауваження. Відповідне визначення для ТНГ ( точної нижньої грані) дати самостійно. ТНГ числової множини
позначається
(Від лат. infinum- найбільший із менших).

Зауваження. може належати
, а може й ні. Число є ТВГ множини негативних дійсних чисел, і ТНГ множини позитивних дійсних чисел, але не належить ні тим, ні іншим. Число є ТНГ безлічі натуральних чисел і належить до них.

Виникає питання: чи будь-яка обмежена множина має точні межі і скільки їх?

Теорема 1. Будь-яке непусте обмежене зверху безліч дійсних чисел має єдину ТВГ. (аналогічно теорему для ТНГ сформулювати та довести самостійно).

Конструкція.Безліч
непорожня, обмежена зверху безліч дійсних чисел. Тоді
і
. Розділимо відрізок

п
опалам і назвемо відрізком
той з них, який має наступні властивості:

відрізок
містить хоч одну точку
. (наприклад, точку );

все безліч
лежить ліворуч від точки , тобто.
.

Продовживши цю процедуру, отримаємо ССС
. Таким чином, за теоремою Кантора існує і єдина точка , Що належить всім сегментам відразу. Покажемо, що
.

Покажемо, що
(Тобто. - Одна з граней). Припустимо неприємне, що
. Так як
, то
як тільки
,
, тобто.
, тобто.
. За правилом вибору точок
, крапка завжди ліворуч , тобто.
, отже, і
. Але вибирається так, що все
, а
, тобто. і
. Ця суперечність доводить цю частину теореми.

Покажемо незрушність , тобто.
. Зафіксуємо
та знайдемо номер. Відповідно
із правилом 1 вибору відрізків. Ми щойно показали, що
, тобто.
, або
. Таким чином
, або
. ■

Ми вже знаємо, що безліч дійсних чисел $R$ утворюють раціональні та ірраціональні числа.

Раціональні числа завжди можна подати у вигляді десяткових дробів (кінцевих або нескінченних періодичних).

Ірраціональні числа записуються у вигляді нескінченних, але неперіодичних десяткових дробів.

До множини дійсних чисел $R$ належать також елементи $-\infty $ і $+\infty $, для яких виконуються нерівності $-\infty

Розглянемо методи уявлення дійсних чисел.

Звичайні дроби

Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чисел та горизонтальної дробової риси. Дробова характеристика практично замінює символ поділу. Число під межею - це знаменник дробу (дільник), число над межею - чисельник (ділене).

Визначення

Дроб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник. І навпаки, дріб називається неправильним, якщо його чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Для звичайних дробів існують прості, практично очевидні правила порівняння ($m$,$n$,$p$ - натуральні числа):

1. з двох дробів з однаковими знаменниками більше та, у якої чисельник більший, тобто $ frac(m) (p) > frac (n) (p) $ при $ m> n $;
2. з двох дробів з однаковими чисельниками більша та, у якої знаменник менший, тобто $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ при $ m
3. правильний дріб завжди менше одиниці; неправильний дрібзавжди більше одиниці; дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, дорівнює одиниці;
4. будь-який неправильний дріб більше будь-якої правильної.

Десяткові числа

Запис десяткового числа (десяткового дробу) має вигляд: ціла частина, десяткова кома, дробова частина. Десятковий запис звичайного дробу можна отримати, виконавши поділ "кутом" чисельника на знаменник. При цьому може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Визначення

Цифри дробової частини називають десятковими знаками. У цьому перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий - розрядом сотих, третій - розрядом тисячних тощо.

Приклад 1

Визначаємо значення десяткового числа 3,74. Отримуємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Десяткове число можна округлити. У цьому слід зазначити розряд, до якого виконується округлення.

Правило округлення полягає в наступному:

1. усі цифри правіше за цей розряд замінюють нулями (якщо ці цифри знаходяться до коми) або відкидають (якщо ці цифри знаходяться після коми);
2. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, менше 5, то цифру даного розряду не змінюють;
3. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, 5 і більше, то цифру даного розряду збільшують на одиницю.

Приклад 2

1. Округлимо число 17302 до тисяч: 17000.
2. Округлимо число 17378 до сотень: 17400.
3. Округлимо число 17378,45 до десятків: 17380.
4. Округлимо число 378,91434 до сотих: 378,91.
5. Округлимо число 378,91534 до сотих: 378,92.

Перетворення десяткового числа на звичайний дріб.

Випадок 1

Десяткове число є кінцевою десятковий дріб.

Спосіб перетворення демонструє такий приклад.

Приклад 2

Маємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Наводимо до спільному знаменникуі отримуємо:

Дроб можна скоротити: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Випадок 2

Десятичне число являє собою нескінченний періодичний десятковий дріб.

Спосіб перетворення заснований на тому, що періодичну частину періодичного десяткового дробу можна розглядати як суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії.

Приклад 4

$0,\left(74right)=frac(74)(100) +frac(74)(10000) +frac(74)(1000000) +ldots $. Перший член прогресії $ a = 0,74 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $.

Приклад 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Перший член прогресії $ a = 0,08 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $.

Сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою $s=\frac(a)(1-q) $, де $a$ - перший член, а $q$ - знаменник прогресії $ \left (0

Приклад 6

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,\left(72\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,72 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $. Отримуємо: $s = frac (a) (1-q) = frac (0,72) (1-0,01) = frac (0,72) (0,99) = frac (72) ( 99) = frac (8) (11) $. Таким чином, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Приклад 7

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,5\left(3\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,03 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $. Отримуємо: $ s = frac (a) (1-q) = frac (0,03) (1-0,1) = frac (0,03) (0,9) = frac (3) ( 90) = frac (1) (30) $.

Таким чином, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1) (30) = frac (15) (30) + frac (1) (30) = frac (16) (30) = frac (8) (15) $.

Справжні числаможна зображати точками числової осі.

У цьому числовій віссю ми називаємо нескінченну пряму, де обрано початок відліку (точка $O$), позитивний напрямок (вказується стрілкою) і масштаб (для відображення значень).

Між усіма дійсними числами та всіма точками числової осі існує взаємно однозначна відповідність: кожній точці відповідає однина і, навпаки, кожному числу відповідає єдина точка. Отже, безліч дійсних чисел є безперервним і нескінченним так само, як безперервна та нескінченна числова вісь.

Деякі підмножини множини дійсних чисел називають числовими проміжками. Елементами числового проміжку є числа $x\in R$, що задовольняють певну нерівність. Нехай $a\in R$, $b\in R$ і $a\le b$. У цьому випадку різновиди проміжків можуть бути такими:

1. Інтервал $ \ left (a, \; b \ right) $. При цьому $a
2. Відрізок $ \ left $. У цьому $a\le x\le b$.
3. Напіввідрізки або напівінтервали $\left$. При цьому $ a \le x
4. Нескінченні проміжки, наприклад, $a

Важливе значення має також різновид проміжку, що називається околицею точки. Околиця даної точки $x_(0) \in R$ -- це довільний інтервал $\left(a,\; b\right)$, що містить цю точку в собі, тобто $a 0$ - його радіусом.

Абсолютна величина числа

Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа $x$називається невід'ємне дійсне число $\left|x\right|$, що визначається за формулою: $\left|x\right|=\left\(\begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm при)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm при)\; \; x;

Геометрично $\left|x\right|$ означає відстань між точками $x$ і 0 на числовій осі.

Властивості абсолютних величин:

1. з визначення слідує, що $ \ left | x \ right | \ ge 0 $, $ \ left | x \ right | = \ left | -x \ right | $;
2. для модуля суми і для модуля різниці двох чисел справедливі нерівності $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, а також $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. для модуля твору і модуля приватного двох чисел справедливі рівності $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ і $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

На підставі визначення абсолютної величини для довільного числа $a>0$ можна встановити рівносильність наступних пар нерівностей:

1. якщо $ \ left | x \ right |
2. якщо $\left|x\right|\le a$, то $-a\le x\le a$;
3. якщо $\left|x\right|>a$, або $xa$;
4. якщо $\left|x\right|\ge a$, або $x\le -a$, або $x\ge a$.

Приклад 8

Розв'язати нерівність $\left|2\cdot x+1\right|

Ця нерівність дорівнює нерівностям $-7

Звідси отримуємо: $-8

2 РІВНЯННЯ І НЕРАВЕНСТВА ПЕРШОГО СТУПЕНЯ
Вивчення теми розпочати з розв'язання завдань на повторення розділу 1

§ 4. Нерівності

Числові нерівності та їх властивості

175. Поставити знак нерівності між числами аі b, якщо відомо, що:
1) (а - b) - додатне число;
2) (а - b) - від'ємне число;
3) (а - b) - Число невід'ємне.

176. х, якщо:
1) х> 0; 2) х < 0; 3) 1 < х; 4) х > -3,2?

177. Записати за допомогою знаків нерівності, що:
1) х- додатне число;
2) у-від'ємне число;
3) | а| - Число невід'ємне;
4) середнє арифметичне двох позитивних чисел аі bне менше їх середнього геометричного;
5) абсолютна величина суми двох раціональних чисел аі bне більше суми абсолютних величин доданків.

178. Що можна сказати про знаки чисел аі b, якщо:

1) а b> 0; 2) a / b > 0; 3) а b< 0; 4) a / b < 0?

179. 1) Розмістити такі числа у порядку зростання, поєднавши їх знаком нерівності: 0; -5; 2. Як прочитати цей запис?

2) Розмістити такі числа у порядку спадання, поєднавши їх знаком нерівності: -10; 0,1; - 2/3. Як прочитати цей запис?

180. Виписати в порядку зростання всі трицифрові числа, кожне з яких містить цифри 2; 0; 5, і поєднати їх знаком нерівності.

181. 1) При одноразовому вимірі деякої довжини lзнайшли, що вона більша за 217 см, але менша за 218 см. Записати результат вимірювання, взявши ці числа як межі значення довжини l.

2) При зважуванні предмета виявилося, що він важчий за 19,5 Г, але легший за 20,0 Г. Записати результат зважування із зазначенням кордонів.

182. При зважуванні деякого предмета з точністю до 0,05 кг отримали вагу
Р ≈ 26,4 кг. Вказати межі ваги цього предмета.

183. Де на числовій осі лежить точка, що зображує число х, якщо:
1) 3 < х < 10; 2) - 2 < х < 7; 3) - 1 > х > - 6?

184. Знайти та вказати на числовій осі цілі значення х, що задовольняють нерівності.

1) 0,2 < х <4;
2)-3 < х <2;
3) 1 / 2 < х< 5;
4) -1< х<;3.

185. Яке число, кратне 9, укладено між числами 141 та 152? Дати ілюстрацію на числовій осі.

186. Визначити, яке з двох чисел більше, якщо відомо, що кожне з них більше 103 і менше 115, причому перше число кратне 13, а друге кратно 3. Навести геометричну ілюстрацію.

187. Між якими найближчими цілими числами полягають правильні дроби? Чи можна вказати два цілі числа, між якими укладені всі неправильні дроби?

188. Куплено 6 книг з математики, фізики та історії. Скільки книг куплено з кожного предмета, якщо з математики книг куплено більше, ніж з історії, а з фізики менше, ніж з історії?

189. На уроці алгебри було перевірено знання трьох учнів. Яку оцінку отримав кожен учень, якщо відомо, що перший отримав бал більший за другий, а другий більший, ніж третій, і кількість балів, отриманих кожним учнем, більша за два?

190. У шаховому турнірі кращих результатів досягли шахісти А, В, С і D. Чи можна дізнатися, яке місце зайняв кожен з учасників турніру, якщо відомо, що А набрав більше очок, ніж D, а менше, ніж С?

191. Дана нерівність а > b. Чи завжди a с > b с? Навести приклади.

192. Дана нерівність а< b. Чи правильна нерівність - а > - b?

193. Чи можна, не змінюючи знаку нерівності, помножити обидві частини його на вираз х 2+1, де х- будь-яке раціональне число?

194. Помножити обидві частини нерівності на вказаний у дужках множник.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) х > 2 (х);
4) а < - 1 (а); 5) b < - 3 (-b); 6)х -2 > 1 (х).

195. Привести до цілого виду нерівності:

196. Дана функція у = kx, де k узі зростанням аргументу х, якщо: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Дана функція у = kx + b, де k =/= 0, b=/= 0. Як змінюються значення функції уіз зменшенням значень аргументу х, якщо: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Довести, що якщо а > bі з> 0, то a / c > b / c; якщо а > bі з< 0, то a / c < b / c .

199. Розділити обидві частини нерівності на вказані у дужках числа:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) а < - 2а 2 (а);
4) а > а 2 (а); 5) а 3 > а 2 (-а).

200. Скласти почленно нерівності:

1) 12 > 11 та 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) а - 2 < 8 + bта 5 - 2 а < 2 - b;
4) х 2 + 1 > 2хі х - 3 < 9 - х 2 .

201. Довести, що кожна діагональ опуклого чотирикутникаменше його напівпер іметра.

202. Довести, що сума двох протилежних сторін опуклого чотирикутника менша за суму його діагоналей.

203. Відняти почленно другу нерівність з першого:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2а- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Довести, що якщо | х |< а , то - а< х < а .

205. Наступні нерівності записати у вигляді подвійних нерівностей:
1) | т |< 1; 2) | х - 2 | < 2.

206. Вказати на числовій осі безліч усіх значень х, що задовольняють нерівності: 1) | х |< 2; 2) | х | < 1; 3) | х | > 3; 4) | х - 1 | < 1.

207. Довести, що якщо - а< х < а , то | х |< а.

208. Замінити скороченим записом подвійні нерівності:
1) -2 < а < 2; 2) -1 < 2п < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Наближене значення довжини l= 24,08(±0,01) мм. Встановити межі довжини l.

210. П'ятикратне вимірювання однієї й тієї ж відстані за допомогою метрової лінійки дало такі результати: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (м). Знайти середнє арифметичне результатів вимірювання із зазначенням меж абсолютної та відносної похибок.

211. При зважуванні вантажу одержано Р = 16,7(±0,4%)кГ. Знайти межі ваги Р.

212. а≈ 16,4 відносна похибка ε = 0,5%. Знайти абсолютну похибку
Δ aта встановити межі, між якими знаходиться наближене число.

213. Визначити межу відносної похибки наближеного значення кожного з наступних чисел, якщо наближене значення взяти із зазначеною кількістю вірних цифр: 1) 11/6 із трьома вірними цифрами; 2) √5 із чотирма вірними цифрами.

214. При вимірі по карті відстані між двома містами знайшли, що вона більша за 24,4 см, але менша за 24,8 см. Знайти дійсну відстань між містами та абсолютну похибку обчислення, якщо масштаб карти 1: 2 500 000.

215. Здійснити обчислення та визначити абсолютну та відносну похибки результату: х = а + b - с, якщо а= 7,22 (±0,01); 3,14< b < 3,17; з= 5,4(±0,05).

216. Перемножити почленно нерівності:

1) 7> 5 і 3> 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)а> 2 та b < -2.

217. Дана нерівність а > b. Чи завжди а 2 > b 2? Навести приклади.

218. Якщо а > b > 0 та п- натуральне число, то ап > b. Довести.

219. Що більше: (0,3) 20 або (0,1) 10?

220. Якщо а > b > 0 або b< а < 0, то 1/ a < 1 / b. Довести.

221. Обчислити площу земельної ділянки прямокутної форми завдовжки 437 м та шириною 162 м, якщо при вимірі довжини ділянки можлива похибка ±2 м, а при вимірі ширини – похибка ±1 м.

Оссю називається пряма, на якій один із двох можливих напрямків виділено як позитивний (протилежний напрямок вважається негативним). Позитивний напрямок позначається зазвичай стрілкою. Числовою (або координатною) віссю називається вісь, на якій обрано початкову точку (або початок) О та одиниця масштабу або масштабний відрізок ОЕ (рис. 1).

Таким чином, числова вісь задається вказівкою на прямий напрям, початок і масштаб.

За допомогою точок числової осі зображують дійсні числа. Цілі числа зображуються точками, які виходять відкладання масштабного відрізка потрібне числораз вправо від початку Про разі позитивного цілого числа і вліво у разі негативного. Нуль зображується початковою точкою О (сама літера Про нагадує про нулі; вона є першою літерою слова origo, що означає «початок»). Дробові (раціональні) числа також легко зображуються точками осі; наприклад, щоб побудувати точку, що відповідає числу , слід відкласти вліво від Про три масштабні відрізки і ще одну третину масштабного відрізка (точка А на рис. 1). Окрім точки А на рис. 1 показані ще точки, З, ​​D, що зображують відповідно числа -2; 3/2; 4.

Цілих чисел є безлічАле на числовій осі цілі числа зображуються точками, розташованими «рідко», цілочисленні точки осі відстоять від сусідніх на одиницю масштабу. Раціональні точки розташовані на осі дуже «густо» - неважко показати, що на будь-якій скільки завгодно малій ділянці осі є нескінченно багато точок, що зображають раціональні числа. Проте на числовій осі є точки, які є зображеннями раціональних чисел. Так, якщо на числовій осі побудувати відрізок ОА, що дорівнює гіпотенузі ОС прямокутного трикутника ОЕС з катетами , то довжина цього відрізка (за теоремою Піфагора, п. 216) виявиться рівною і точка А не буде зображенням раціонального числа.

Історично саме факт існування відрізків, довжини яких можуть бути виражені числом (раціональним числом!), призвів до запровадження ірраціональних чисел.

Введення ірраціональних чисел, які разом із раціональними утворюють безліч всіх дійсних чисел, призводить до того, що кожній точці числової осі відповідає єдине дійсне число, зображенням якого вона служить. Навпаки, кожне дійсне число зображується певною точкою числової осі. Між дійсними числами та точками числової осі встановлюється взаємно однозначна відповідність.

Оскільки ми числову вісь мислимо як безперервну лінію, а точки її знаходяться у взаємно однозначній відповідності до дійсних чисел, то ми говоримо про властивість безперервності безлічі дійсних чисел (п. 6).

Зауважимо ще, що у певному сенсі (ми його не уточнюємо) ірраціональних чисел незрівнянно більше, ніж раціональних.

Число, зображенням якого є дана точка А числової осі, називається координатою цієї точки; той факт, що а - координата точки А записують так: А (а). Координата будь-якої точки А виражається як відношення ОА/ОЕ відрізка ОА до масштабного відрізка ОЕ, якому для точок, що лежать від початку О в негативному напрямку, приписують мінус.

Введемо тепер прямокутні декартові координатина площині. Візьмемо дві взаємно перпендикулярні числові осі Ох і Оу, що мають загальний початок Про і рівні масштабні відрізки (на практиці часто застосовують координатні осі з різними масштабними одиницями). Скажімо, ці осі (рис. 3) утворюють декартову прямокутну систему координат на площині. Точка О називається початком координат, осі Ох та Оу - осями координат (вісь Ох називають віссю абсцис, вісь Оу - віссю ординат). На рис. 3, як завжди, вісь абсцис розташована горизонтально, вісь ординат - вертикально. Площина, на якій задана система координат, називають координатною площиною.

Кожній точці площини ставиться у відповідність пари чисел - координат цієї точки щодо даної координатної системи. Саме, візьмемо прямокутні проекції точки М на осі Ох та Оу, відповідні точки на осях Ох, Оу позначені на рис. 3 через

Точка має, як точка числової осі координату (абсцису) х, точка як точка числової осі координату (ординату) у. Ці два числа (записані в зазначеному порядку) і називаються координатами точки М.

У цьому пишуть: (х, у).

Отже, кожній точці площини ставиться у відповідність упорядкована пара дійсних чисел (х, у) – декартові прямокутні координати цієї точки. Термін «упорядкована пара» вказує на те, що слід розрізняти перше число пари – абсцису та друге – ординату. Навпаки, кожна пара чисел (х, у) визначає єдину точку М, на яку х служить абсцисою, а у - ординатою. Завдання у площині прямокутної декартової системи координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини та впорядкованими парами дійсних чисел.

Координатні осі ділять координатну площинуна чотири частини, чотири квадранти. Квадранти нумеруються, як показано на рис. 3, римські цифри.

Знаки координат точки залежать від того, в якому квадранті вона лежить, як зазначено в таблиці:

Крапки, що лежать на осі мають ординату у, рівну нулю, точки на осі Оу - абсцис рівну нулю. Обидві координати початку О дорівнюють нулю: .

Приклад 1. Побудувати точки точки

Рішення дається на рис. 4.

Якщо відомі координати деякої точки, то легко вказати координати точок, симетричних з нею щодо осей Ох, Оу і початку координат: точка, симетрична з М щодо осі Ох, матиме координати точка, симетрична з М щодо координати нарешті, біля точки, симетричної з М щодо початку, координати будуть (-х, -у).

Можна також вказати зв'язок між координатами пари точок, симетричних щодо бісектриси координатних кутів (рис. 5); якщо одна з цих точок М має координати х і у, то у другої абсцис дорівнює ординаті першої точки, а ординату - абсцисі першої точки.

Інакше кажучи, координати точки N, симетричної з М щодо бісектриси координатних кутів, будуть для доказу цього положення розглянемо прямокутні трикутникиПро AM та OBN. Вони розташовані симетрично щодо бісектриси координатного кута і тому рівні. Порівнюючи їх відповідні катети, переконаємось у правильності нашого твердження.

Систему декартових прямокутних координат можна перетворити за допомогою перенесення її початку в нову точку без зміни напрямку осей і величини масштабного відрізка. На рис. 6 показані одночасно дві системи координат: «стара» з початком О і «нова» з початком О. Довільна точка М тепер має дві пари координат, одну відносно старої координатної системи, іншу відносно нової. Якщо координати нового початку в старій системі позначені через , то зв'язок між старими координатами точки М та її новими координатами (х, у) виразиться формулами

Ці формули називають формулами перенесення системи координат; при їх виведенні за рис. 6 вибрано найзручніше положення точки М, що у першому квадранті як старої, і нової системи.

Можна переконатися, що формули (8.1) залишаються вірними за будь-якого розташування точки М.

Положення точки М на площині може бути задано не тільки її прямокутними декартовими координатами у, але і іншими способами. З'єднаємо, наприклад, точку М з початком О (рис. 7) і розглянемо наступні два числа: довжину відрізка та кут нахилу цього відрізка до позитивного напрямку осі кут визначається як кут, на який треба повернути вісь до її суміщення з ОМ, і вважається позитивним , якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки, і негативним інакше, як це прийнято в тригонометрії Відрізок називається полярним радіусом точки М, кут полярним кутом, пара чисел - полярними координатами точки М. Як видно, для визначення полярних координат точки потрібно завдання лише однієї координатної осі Ох (названої в цьому випадку полярною віссю). Зручно, однак, розглядати одночасно і полярні та декартові прямокутні координати, як це зроблено на рис. 7.

Полярний кут точки визначається завданням точки неоднозначно: якщо - один із полярних кутів точки, то і всякий кут

буде її полярним кутом. Завдання полярного радіусу та кута визначає положення точки єдиним чином. Початок О (званий полюсом полярної системи координат) має радіус, що дорівнює нулю, ніякого певного полярного кута точці Про не приписується.

Між декартовими та полярними координатами точки є такі співвідношення:

безпосередньо випливають із визначення тригонометричних функцій(П. 97). Ці співвідношення дозволяють знаходити декартові координати по заданим полярним. Наступні формули:

дозволяють вирішувати зворотне завдання: за даними декартових координат точки знаходити її полярні координати.

При цьому за значенням (або ) можна знайти два можливі значення кута в межах першого кола; за знаком соеф вибирається одне з них. Можна також визначати кут за його тангенсом: , але і в цьому випадку чверть, в якій лежить уточнюється за знаком соеф або .

Точка, задана своїми полярними координатами, будується (без обчислення декартових координат) за своїм полярним кутом та радіусом.

Приклад 2. Знайти декартові координати точок.