Урок з геометрії 8 клас.

"Теорема Піфагора"

Вчитель: Науменко Н.М.

• Освітня мета:ознайомиться з біографією Піфагора,вивчення теореми Піфагора, її ролі у геометрії; використання теореми у вирішенні завдань.
• Розвиваюча мета:
• Виховна мета:культури математичної мови.

План уроку:

• Організаційний момент.
• Актуалізація знань.
• Вивчення нового матеріалу
• Історична довідка про Піфагор (презентація)
• Первинне закріплення знань.
• Підсумки уроку.
• Домашнє завдання.
• Весела хвилинка

Обладнання: портрет Піфагора, дошка, мультимедійне обладнання (ПК, проектор, екран), презентаційний матеріал, роздатковий матеріал(за кількістю учнів).

Хід уроку:

(Додаток 1 )

I. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці, сідайте,

А працювати не лінуйтеся.

Зошити та ручки взяли,

Число у зошитах 19.11.15. вмить написали.

Сьогодні на уроці у нас гості. І мені хотілося б, щоб у нас їм було добре. А це залежить від нас із вами. Я сподіваюся, що ми зробите все, щоб гості пішли від нас із добрими враженнями.

Почнемо урок із повторення вивченого матеріалу.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Слайд 2 - прямокутний трикутник.

Слайд 3 -Рівність трикутників по двох катетах

Слайд 4 -Властивість площ

Слайд 5 -Знаходження кута

Слайд 6 - завдання.

Слайд 7

І щоб нам з вами визначитися,

Чому на уроці повинні навчитися,

Усно креслення на дошці розглянь,

Площу фігури кожної знайди.

1.Дан ∆АВС-прямокутний, гіпотенуза АВ=12 см., катет СВ-3 см.

Знайти S ∆.

2. Яку фігуру зображено?

Чому дорівнює S трапеції -?

Що нам невідомо? (висота)

Як знайти висоту?

(Ставиться проблема)

Нам дано ∆АВС - прямокутний, гіпотенуза АВ = 5м., катет СВ-3м.

Знайти S ∆.

Чому дорівнює S ∆ -?

Що нам відомо? (катає, гіпо-тенуза, кут 90 0 )

У цьому вся задачі ми можемо знайти катет АС?

Можемо чи не можемо?

На сьогоднішній урок ми не знаємо як знайти.

Тож яке сьогодні наше завдання? Дізнатися що? (Знайти невідомий бік прямокутного трикутника).

Т.о. ми з вами сформулювали мету нашого уроку: Навчитися знаходити невідому бік прямокутного трикутника.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Учень:

Історії завіси відкриваємо та

У стародавній світми відразу потрапляємо

4 століття до н.е. йде,

А в стародавньої Греціївчений Піфагор ні їсть, ні спить, ні п'є.

Вчитель:

О, боги, мій розум прошу вас обдарувати.

Щоб істину, що всіх дорожче мені відкрити,

Я, в жертву 100 бугаїв готовий віддати,

Щоб цю теорему довести.

Я не один? Сюди народ прийшов?

Тоді, друзі, мені допомагайте,

Щоб істину, що найдорожче я знайшов.

А якщо помилюся, будь ласка, виправте.

Слайд 8

Всім трикутники рівні, прямокутні роздам,

Собі і вам питання поставлю -

Чи можливо їх так розташувати, щоби квадрат у результаті отримати?

Будь ласка, візьміть білі аркуші, чотири трикутники, і спробуйте скласти з них квадрат на білому аркуші. З 4-х трикутників повинні становити квадрат.

Є варіанти?

Все, вийшов у нас квадрат,

І цьому я дуже радий!

На дошці вчитель викладає квадрат із ромом 4-х трикутників і магнітів.

Тепер на дошку уважно дивіться

І площу отриманого квадрата все знайдіть.

Усі способи, що ви знайдете – добрі!

Я вам успіху всім бажаю від душі!

Покладіть та приклейте отриманий квадрат на білий лист. Підпишіть, де катети, де гіпотенуза (катети - а, в, гіпотенуза – з), вершини А, У, З, Д.

Працюємо швидко та акуратно.

Скажіть, а чому ця фігура – ​​квадрат? (Визначення)

1. Кути по 90 0;
2. Сторони дорівнюють (а+в);
3. Отже, як знайти S квадрата АВСД?

S кв = Квадрат сторони. Чому дорівнює довжина сторони нашого квадрата?

S АВСД = (а+в) 2 – запишемо.

А чому це дорівнює квадрат суми?Викликаємо учня до дошки.

S АВСД = (а+в) 2 =а 2 +2ав+в 2 (1)

А як ще можна знайти Sкв ? Думаємо. Ця постать складається з яких фігур?

З чотирьох трикутників і фігури MNLK (підписати вершини), тобто.

S АВСД = 4 S тр + S MNLK

Чому дорівнює S ∆ -? S = ∆ ав

Т.о. S АВСД = 4 ав + S MNLK = 2ав + S MNLK

Чому MNLK – квадрат?

Сторони рівні, але це може бути ромб. Чим ромб відрізняється від квадрата? (кутами)

Чому кут дорівнює 90 0 ? Т.к сума гострих кутівпрямокутного трикутника дорівнює 90 0 і трикутники дорівнюють по 2-м катетам.

Чому дорівнює S MNLK? S MNLK = з 2

Отримали, S АВСД = 2ав + з 2 (2)

Що ми можемо зробити з вами? Ми можемо прирівняти рівності (1) та (2)? 2ав + с 2 = а 2 +2ав+в 2 Як ми спростимо цю рівність? (учень до дошки )

з 2 = а 2 + 2

З -? а -? в -? (гіпотенуза, катет, катет)

Не називаючи літерами, назви те, що ми отримали прямокутного трикутника.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Слайд 9

Все довів! Хвала богам!

Що обіцяв, віддати доведеться,

І 100 биків усіх на жертву вам,

Нехай теорема ім'ям моїм зветься!

Записуємо тему уроку: "Теорема Піфагора".

Багато людей вважають, що Піфагор - це міф, що його вигадали, і він є людиною - легендою. Але ми виходимо з тієї позиції, що реальною є реальна людина, велика людина в історії всього людства.

Слайд 10. Послухаємо розповідь про цього математика, ім'ям якого названо теорему (учень). Повідомлення нам приготувала Орлова Дар'я.

ПІФАГОР САМОССЬКИЙ (бл. 580 – бл. 500 р. до н.е.)

Про життя Піфагора відомо небагато. Він народився 580 р. до н. е. у Стародавній Греції на острові Самос, який знаходиться в Егейському морі біля берегів Малої Азії, тому його називають Піфагор Самос.

Народився Піфагор в сім'ї різьбяра по каменю, який знайшов скоріше славу, ніж багатство. Ще в дитинстві він виявляв неабиякі здібності, а коли підріс, невгамовній уяві юнака стало тісно на маленькому острові.

Він вирушив до Єгипту. Перед Піфагором відкрилася невідома країна. Зрозумів науку єгипетських жерців, і зазбирався додому, щоб там створити свою школу. Але жерці не бажали, щоб їхні знання поширювалися за територію їхніх храмів та не хотіли його відпускати. Насилу йому вдалося подолати цю перешкоду.

Однак дорогою додому Піфагор потрапив у полон і опинився у Вавилоні. Вавилонці цінували розумних людейТому він знайшов своє місце серед вавилонських мудреців. Наука Вавилона була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Вавилоняни винайшли і застосували за рахунку позиційну систему числення, вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі кубічні рівняння.

Піфагор прожив у Вавилоні 10 років і повернувся на батьківщину. Але на острові Самос він залишався недовго і оселився в одній із грецьких колоній Південної Італії. Там Піфагор організував таємну спілку молоді.

Слайд 11. У цей союз нових членів приймали з великими церемоніями після тривалих випробувань. Піфагорійці, як їх стали називати пізніше, займалися математикою, філософією, природничими науками. Піфагорійцями було зроблено багато важливих відкриттівв арифметиці та геометрії, у тому числі:

Геометричні розв'язки квадратних рівнянь;

Розподіл чисел на парні та непарні, прості та складові;

Теорема про суму кутів трикутника та багато інших. ін.

Піфагор брав участь у Олімпійських іграхі двічі перемагав у кулачних боях.

Близько сорока років вчений присвятив створеній ним школі, і у віці вісімдесяти років, за однією з версій, Піфагора було вбито у вуличній сутичці під час народного повстання.

Слайд 12. Доказ теореми Піфагора вважався в колах учнів середньовіччя дуже важким і називався іноді Pons Asinorum"ослячий міст" або elefuga - "втеча убогих",оскільки деякі “убогі” учні, які мали серйозної математичної підготовки, тікали від геометрії.

Слабкі учні, які заучували теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому "ослами", були не в змозі подолати теорему Піфагора, яка служила їм на кшталт непереборного мосту.

Піфагор зробив багато важливих відкриттів, але найбільшу славу вченому принесла доведена ним теорема, яка зараз має його ім'я.

Слайд 13. (вчитель) Отже, теорема Піфагора.

Слайд 14. (учень). Приготував Булгаков

Вчитель:

Слайд 15. Припускають, що за часів Піфагора теорема звучала інакше:

"Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах".

Дивіться, а ось і "Піфагорові штани на всі боки рівні".

Такі віршики вигадували учні середньовіччя щодо теореми; малювали шаржі. Ось наприклад такі.Слайд 16.

Теорема Піфагора - одна з головних теорем геометрії, тому що з її допомогою можна довести багато інших теорем і вирішити безліч завдань.

Вирішимо кілька завдань.

Слайд 17. Завдання № 483. Візьмемо роздатковий матеріал і разом розглянемо розв'язання цієї задачі.

∆АВС – прямокутний із гіпотенузою АВ.

За теоремою Піфагора АВ²=АС²+ВС²

С²=а²+b²

С²=6²+8²

З? = 36 +64

З ² = 100

C=10

Відповідь: 10

Слайд 18 . Завдання № 483. (сам-но)

Слайд 19. Завдання №484.

Слайд 20 . Завдання №486.

Слайд 21. Завдання №487.

Слайд 22.

Рефлексія. (2 хв)

• Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?(Сьогодні на урок ми познайомилися з теоремою Піфагора, з деякими відомостями із життя вченого. Вирішили кілька найпростіших завдань)
• Для яких трикутників використовується теорема Піфагора?
• У чому полягає теорема Піфагора?

Молодці, хлопці. Ви сьогодні добре попрацювали

Слайд 23. Домашнє завдання.

Отже, сьогодні на уроці ми познайомилися з однією з головних теорем геометрії теореми Піфагора та її доказом, з деякими відомостями із життя вченого, ім'я якого вона носить, вирішили кілька найпростіших завдань.

Значення теореми Піфагора у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести безліч теорем геометрії і багато завдань.

До наступного уроку ви повинні вивчити теорему Піфагора з доказом, оскільки ми будемо вчитися застосовувати її до вирішення складніших завдань.

• П.54, завдання 483 (в), 484 (б, г), 486 (б).

• Підготувати повідомлення "Єгипетський трикутник".

Слайд 22 . Весела хвилинка (з питанням для уважних та спостережних – де помилка?)– Додаток 2 .

Емоційна розрядка:

• насупитися, як осіння хмара, розлючена людина, зла чарівниця
• посміхнутися, як кіт на сонці, Буратіно, хитра лисиця, дитина, яка побачила диво
• втомитися, як тато після роботи, людина, що підняла вантаж, мураха, що притягла велику муху
• відпочити як турист, який зняв важкий рюкзак, дитина, яка багато попрацювала, втомлений воїн.

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Теорема Піфагора Геометрія 8 клас Науменко Н.М., учитель МКОУ «Сонячна ЗОШ» Алейського району Алтайського краю

Що зображено? Запитання Чому дорівнює сума гострих кутів у прямокутному трикутнику?  А +  В = 90° Чому дорівнює площа цього трикутника? Як називаються сторони АС та ПС? C A B a b з

B C A C 1 A 1 B 1 Доведіть, що трикутники рівні.

A B C D E S ABCDE = S ABC + S ADC + S ADE

1 3 2 Знайти  3, якщо  1+  2 = 90°.

Розв'яжіть усно C A B Дано: ∆ ABC,  C=90°, AB=18 см, ВC=9 см Знайти:  B,  А 1. 18 9 60 12 10

Усно креслення на дошці розглянь, площу фігури кожної знайди.

Піфагор Самосський о. Самос

Піфагорійцями було зроблено багато важливих відкриттів в арифметиці та геометрії. Піфагор Самоський

«Ослячий міст» Доказ теореми Піфагора вважався в колах учнів середніх віків дуже важким і називався іноді Pons Asinorum «ослячий міст» або elefuga - «втеча убогих», оскільки деякі «убогі» учні, які не мали серйозної математичної підготовки, тікали від геометрії. Слабкі учні, які заучували теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому «ослами», були не в змозі подолати теорему Піфагора, яка служила їм начебто непереборного мосту.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Теорема Піфагора з b а c ²=a²+b² Отже, Якщо дано нам трикутник, І притому з прямим кутом, То квадрат гіпотенузи Ми завжди легко знайдемо: Катети в квадрат зводимо, Суму ступенів знаходимо - І таким простим шляхом До результату ми прийдемо. c ²=a²+b²

Історія теореми Піфагора Піфагор Самоський бл. 580 – бл. 500 до н.

Припускають, що за часів Піфагора теорема звучала інакше: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах».

Через креслення, що супроводжують теорему Піфагора, учні називали її так само “ вітряком”, Складали вірші на кшталт “Піфагорові штани на всі боки рівні”, малювали карикатури. Шаржі з підручника XVI ст. Учнівський шарж XIX ст.

№ 483 6 8 ? С А В Дано: ∆АВС, С=90 º , а=6, b =8 Знайти: с. Рішення: ∆АВС – прямокутний із гіпотенузою АВ. За теоремою Піфагора АВ ² =АС ² +ВС ² с ² =а ² + b² с ² = 6² + 8² с ² = 36+64 с ² = 100 c = 10 Відповідь: 10

с ² = а 2 + b 2 8 6 5 10 8 6 c b а ав с С А В № 483 √61 с = √ а 2 + b 2

с ² = а 2 + b 2 а в с С А В № 484 2 3b 2b 12 13 5 12 c b а 13 ² = 12 2 + b 2169 = 144 + b 2 b 2 = 169-144 = 25 b = 5 4 b ² = 12 2 + b 2 3b ² = 144 b ² = 48 b = √ 48 √ 48 а 2 + b 2 =c ² а 2 =c ²-b² b 2 =c ²-a² а = √ c ² -b² b = √ c ²-a² Запишемо формули для знаходження катетів прямокутного трикутника:

з ² = а 2 + b 2 № 48 6 A C B D 5 13 AD?

№ 487 Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BD AC Знайти: BD. Рішення. 1. AD=DC=AC: 2=8 c м 2. Розглянемо ∆ADB. BD²=AB²-AD² BD=√289-64 BD=15 (см) Відповідь: 15 см А С B D

Провести самооцінку власну навчальної діяльностіпо таблиці Активність висока середня низька тему Засвоїв добре Засвоїв частково Засвоїв слабо Пояснити товаришеві Можу сам Можу, але з підказками важко

Домашнє завдання П.54, завдання 483 (в), 484 (б, г), 486 (б). Підготувати повідомлення "Єгипетський трикутник".

ДЯКУЮ ЗА УРОК!!!

Попередній перегляд:

Слайд 13 (учень). Цікавою є історія теореми Піфагора.

Хоча ця теорема пов'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього. У вавилонських текстах вона трапляється за 1200 років до Піфагора. Очевидно, він першим знайшов її доказ. Збереглося давнє переказ, що на честь свого відкриття Піфагор приніс у жертву богам бика, за іншими свідченнями – навіть сто бугаїв. Але це суперечить відомостям про моральні та релігійні погляди Піфагора. Кажуть, що він “забороняв навіть убивати тварин, а тим більше ними годуватись, бо тварини мають душу, як і ми”. У зв'язку з цим правдоподібнішою можна вважати наступний запис: “... коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність з катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного тесту”.

Попередній перегляд:

Роздатковий матеріал

з²=а²+b²

№ 483

Рішення :

Висновок:

№ 484

Рішення:

С²=а²+b²	С²=а²+b²	С²=а²+b²	а²+b²=з²
13²=12²+b²			а²= с²- b²
b² =			b²=с² -а²

Висновок:

С²=а²+b² № 486

Дано: АВСD - прямокутник,
АВ = 5 см, АС = 13 см

Знайти: АD.

Рішення:

№ 487

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см,
АС=16 см, BD⊥ AC

Знайти: BD.

Рішення:

Попередній перегляд:

Провести самооцінку власної навчальної діяльності за таблицею.

Провести самооцінку власної навчальної діяльності за таблицею.

Активність	висока	середня	низька
тему	Засвоїв добре	Засвоїв частково	Засвоїв слабо
Пояснити товаришу	Можу сам	Можу, але з підказками	важко
Активність	висока	середня	низька
тему Розвиваюча мета:розвиток логічне мислення, пізнавального інтересу, творчого пошуку Виховна мета:виховання сталого інтересу до предмету,культури математичної мови. Урок відповідає тематичного планування робочої програмиз геометрії 8 класу, розробленого за авторською програмою Л.С Атанасяна. Урок тісно пов'язаний з раніше вивченим матеріалом, проводиться відразу після вивчення теми «Площі паралелограма, трикутника та трапеції» і є першим на цю тему, у кожному наступному класі учні будуть застосовувати знання, отримані в 8 класі. Теорема Піфагора є однією з найважливіших теорем геометрії. Теорема Піфагора дозволяє значно розширити коло завдань, які вирішуються у курсі геометрії. На ній значною мірою базується подальший виклад теоретичного курсу. Тип уроку – вивчення та первинне закріплення нових знань. Мета вчителя: Організувати діяльність учнів спільно з учителем для виведення, доказу та первинного закріплення теореми Піфагора Структура уроку спрямовано створення сприятливих умов вивчення цієї теми. Етап актуалізаціїзнань організований у вигляді презентації, що дає учням яскраво та образно повторити вивчений матеріал, який готує їх до вивчення нової темидозволяє швидко включитися в роботу. На наступному етапістворюю проблемну ситуацію визначення мети уроку. На етапі вивчення нового матеріалу, організую діяльність учнів для доказу теореми Піфагора (складання моделі та обговорення доказу). На етапі первинногозастосування теореми Піфагора було розібрано найпростіші завдання, повернулися до розв'язання завдання, яке викликало труднощі на початку уроку. Поставлена ​​мною мета уроку повністю досягнута, учні були мотивовані та залучені до навчально-пізнавальної діяльності на уроці. Взаємодія на уроці була продуктивною, учні виявили самостійність, інтерес та вміння вирішувати геометричні завдання. Всі завдання розібрані та виконані повністю. Прийоми та методи навчання застосовувалися у логічній послідовності, чітко вписуючись у структуру уроку. На цьому уроці я не ставила за мету вирішення складніших завдань, т.к. це перший урок із трьох за програмою та всього різноманіття уроків, де використовується теорема Піфагора. Рефлексивний етап уроку проводила як фронтальних питань:Пояснити товаришу	Можу сам	Можу, але з підказками	важко

1

Шаповалова Л.А. (ст. Єгорлицька, МБОУ ЄСОШ № 11)

1. Глейзер Г.І. Історія математики у школі VII – VIII класи, посібник для вчителів, – М: Просвітництво, 1982.

2. Демпан І.Я., Віленкін Н.Я. «За сторінками підручника математики» Посібник для учнів 5-6 класів. - М.: Просвітництво, 1989.

3. Зенкевич І.Г. "Естетика уроку математики". - М.: Просвітництво, 1981.

4. Літцман В. Теорема Піфагора. - М., 1960.

5. Волошинов О.В. "Піфагор". - М., 1993.

6. Пічурін Л.Ф. "За сторінками підручника алгебри". - М., 1990.

7. Земляков О.М. «Геометрія у 10 класі». - М., 1986.

8. Газета "Математика" 17/1996.

9. Газета "Математика" 3/1997.

10. Антонов Н.П., Вигодський М.Я., Нікітін В.В., Санкін А.І. «Збірник завдань з елементарної математики». - М., 1963.

11. Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Посібник з математики». - М., 1973.

12. Щетников А.І. «Піфагорійське вчення про кількість і величину». - Новосибірськ, 1997.

13. « Справжні числа. Ірраціональні висловлювання» 8 клас. Видавництво Томського університету. - Томськ, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрія" 7-9 клас. - М.: Просвітництво, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

В цьому навчальному роція познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

"Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах".

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору (VI століття до н.е.). Але вивчення стародавніх рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до народження Піфагора.

Я зацікавилися, чому її зв'язують з ім'ям Піфагора.

Актуальність теми: Теорема Піфагора має велике значення: застосовується в геометрії буквально на кожному кроці. Я вважаю, що праці Піфагора досі актуальні, адже куди б ми не подивилися, скрізь можна побачити плоди його великих ідей, втілені у різні галузі сучасного життя.

Метою мого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми.

Вивчаючи історію теореми, я вирішила з'ясувати:

Чи існують інші докази цієї теореми?

Яке значення цієї теореми у житті людей?

Яку роль зіграв Піфагор у розвитку математики?

З біографії Піфагора

Піфагор Самоський – великий грецький вчений. Його популярність пов'язана з назвою теореми Піфагора. Хоча зараз ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоніза 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми, як і раніше, називаємо її на ім'я цього давнього вченого.

Про життя Піфагора майже нічого невідомо, але з його ім'ям пов'язано велика кількістьлегенд.

Піфагор народився в 570 році до н.е. на острові Самос.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові — золоту діадему. Піфагор - це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно та переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - «переконуючий мовою»).

У 550 році до н.е. Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Піфагором відкривається невідома країна та невідома культура. Багато вражало і дивувало Піфагора в цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, що охороняються кастою жерців, лежить через релігію.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по дорозі потрапляє до Вавилонського полону. Там він знайомиться з вавилонською наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилоняни вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі види кубічних рівнянь. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через атмосферу насильства і тиранії, що панувала там. Він вирішив переселитися до Кротона (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротоні починається найславетніший період у житті Піфагора. Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордену, члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Піфагор та піфагорійці

Піфагор організував у грецькій колонії Півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди.

p align="justify"> Система морально-етичних правил, заповідана Піфагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців «Золоті вірші», які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя та епоху Відродження.

Піфагорійська система занять складалася з трьох розділів:

Вчення про числа - арифметику,

Вчення про фігури - геометрії,

Вчення про будову Всесвіту – астрономію.

Система освіти, закладена Піфагором, проіснувала багато століть.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характеру науки. Основною особливістю методу Піфагора було поєднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, оскільки йому приписують вирішення завдання: «За цими двома фігурами побудувати третю, рівновелику однієї з даних і подібну до другої».

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що «поставив арифметику вище за інтереси торговця».

Членами Піфагорійського союзу були жителі багатьох міст Греції.

У своє суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав понад двадцять років, а потім почалися гоніння на його членів, багато учнів було вбито.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора та його учнів продовжувало жити.

З історії створення теореми Піфагора

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо зі стародавнього Китаю. Тут особливу увагуприваблює математична книга Чу-пей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри.

Геометрія в індусів була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними приписами, існують і твори геометрично-теологічного характеру. У цих творах, що належать до 4 або 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кутаза допомогою трикутника із сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема говорить (дослівний переклад):

"У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут".

Як бачимо, в різних країнахі різних мовахІснують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

П'ять способів доказу теореми Піфагора

Давньокитайський доказ

На давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b, а внутрішній - квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказ Дж. Гардфілда (1882)

Розташуємо два рівні прямокутні трикутники так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа трапеції, що розглядається, знаходиться як добуток напівсуми підстав на висоту

З іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані висловлювання, отримуємо:

Доказ найпростіший

Цей доказ виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Ймовірно, з нього починалася теорема.

Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

Наприклад, для трикутника АВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, - по два. Теорему доведено.

Доказ стародавніх індусів

Квадрат зі стороною (a + b) можна розбити на частини або як на рис. 12. а, або як на рис. 12, б. Зрозуміло, що частини 1, 2, 3, 4 обох малюнках однакові. Якщо ж від рівних (площ) відібрати рівні, те й залишаться рівні, тобто. с2 = а2 + b2.

Доказ Евкліда

Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, вигаданий Евклідом. Воно вміщено у його знаменитій книзі «Початку».

Евклід опускав висоту BН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, що застосовується при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Застосування теореми Піфагора

Значення теореми Піфагора у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії і розв'язати безліч завдань. Крім цього, практичне значеннятеореми Піфагора і зворотної йому теореми у тому, що з допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи самих відрізків. Це ніби відкриває шлях від прямої до площини, від площини до об'ємного простору і далі. Саме з цієї причини теорема Піфагора така важлива для людства, яке прагне відкривати все більше вимірів і створювати технології в цих вимірах.

Висновок

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, яка не чула про неї. Я дізналася, що є кілька способів доказу теореми Піфагора. Я вивчила низку історичних та математичних джерел, у тому числі інформацію в Інтернеті, і зрозуміла, що теорема Піфагора цікава не лише своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце у житті та науці. Про це свідчать наведені мною у цій роботі різні трактуваннятексту цієї теореми та шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора – одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутникаможна бачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c2 = a2 + b2. Тому на її докази часто використовують наочність. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінне науковий доказцієї теореми. Цікава особистість самого вченого, пам'ять якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор - чудовий оратор, вчитель і вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики та чисел, добра та справедливості, на знання та здоровий образжиття. Він цілком може бути прикладом для нас, далеких нащадків.

Бібліографічне посилання

Туманова С.В. КІЛЬКА СПОСОБІВ ДОКАЗУ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА // Старт у науці. - 2016. - № 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата звернення: 10.01.2020).

теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведено грецьким математиком Піфагором, на честь якого названо.

Геометричне формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчне формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b:

Обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, воно не

потребує поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотний теорема Піфагора.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, bі c, такий, що

існує прямокутний трикутник із катетами aі bта гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагора для рівнобічного трикутника.

Докази теореми Піфагора.

На даний момент у науковій літературізафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичніі екзотичні докази(наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь).

1. Доказ теореми Піфагора через трикутники.

Наступний доказ алгебраїчного формулювання - найпростіший з доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо

її заснування через H.

Трикутник ACHподібний до трикутника ABЗ двома кутами. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

,

що відповідає -

Склавши a 2 та b 2, отримуємо:

або , що потрібно було довести.

2. Підтвердження теореми Піфагора шляхом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

• Доказ через рівнодоповнюваність.

Розташуємо чотири рівні прямокутні

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c- Квадратом,

оскільки сума двох гострих кутів 90°, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутниківі

Що й потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

​

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і

спостерігаючи зміну сторониa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих прирощень сторінзі a(використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більш загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетів:

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній

пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але достатньо лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складнощі. Тому давайте згадаємо та розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор - філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися на згадку про цю велику людину. Але, як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легенди, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.

Народження теореми

У юності Піфагор переїхав до Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід та створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які згодом і завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме давні греки робили свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 про, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Усього існує 15 різних способів доказу теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявні позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катета довжиною а домалювати відрізок рівний катету, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельні відрізки рівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.

На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.

Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2

Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2

І, отже, з 2 = а 2 + 2

Теорему доведено.

Спосіб два: подібні трикутники

Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються самі, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Ґрунтуючись на вищеописаному затвердженні катети трикутників рівні:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Щоб відповісти питанням, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.

АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти нерівності.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ

Виходить що:

АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ

І, отже:

АС2 + СВ2 = АВ2

Доказ теореми Піфагора та різні способиїї рішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, доти поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.

У разі необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ВС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S авс * з 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)

з 2 -2 = а 2

з 2 = а 2 + 2

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще у Стародавній Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.

Умови для цього способу трохи відрізнятимуться від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС рівнобедрений.

Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.

До катетів АВ і СВ також потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - із З.

Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.

До речі, завдяки цій методиці доказу теореми Піфагора і з'явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.

На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором однієї з вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доказу теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає наступним чином.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

S=а+в/2* (а+в)

Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:

S=ав/2 *2 + з 2/2

Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази

2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2

з 2 = а 2 + 2

Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, у сучасних шкільних програмахпередбачено використання цієї теореми лише у геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.

Насправді ж використовувати теорему Піфагора у своїй повсякденному життіможе кожен. Причому не тільки в професійної діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і її докази можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми та астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки та трикутники на папері. Насправді ж астрономія - це наукова сфера, В якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя у космосі. Відомо, що світло рухається обидві сторони з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c*t=l

Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.

Припустимо, комічний лайнер пливе праворуч. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде до нової точки С. Щоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t ").

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?!

Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) = х;

НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;

ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вишки має становити 2,3 кілометри.

Теорема Піфагора у побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і висотою, і по діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.

При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходиться.

Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.

Клас: 8

Цілі уроку:

• Освітня:домогтися засвоєння теореми Піфагора, прищепити навички обчислення невідомої сторони прямокутного трикутника за двома відомими, навчити застосовувати теорему Піфагора до вирішення найпростіших завдань
• Розвиваюча:сприяти розвитку здатності до зіставлення, спостережливості, уваги, розвиток здатності до аналітико-синтетичного мислення, розширення кругозору
• Виховна:формування потреби у знаннях, інтересу до математики

Тип уроку:урок викладу нового матеріалу

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, презентація до уроку ( Додаток 1)

План уроку:

1. Організаційний момент
2. Усні вправи
3. Дослідницька робота, висування гіпотези та перевірка її на окремих випадках
4. Пояснення нового матеріалу
   a) Про Піфагор
   b) Формулювання та доказ теореми
5. Закріплення викладеного через вирішення завдань
6. Завдання додому, підбиття підсумків уроку.

Хід уроку

Слайд 2: Виконайте вправи

1. Розкрийте дужки: (3+х) 2
2. Обчисліть 3 2 + х 2 при х = 1, 2, 3, 4
   - Чи існує натуральне число, Квадрат якого дорівнює 10, 13, 18, 25?
3. Знайдіть площу квадрата зі стороною 11 см, 50 см, 7 дм.
   - За якою формулою знаходиться площа квадрата?
   – А як знайти площу прямокутного трикутника?

Слайд 3: Питання відповідь

- Кут, градусний західякого дорівнює 90 °. (Прямий)

– Сторона, що лежить навпроти прямого кута трикутника. (Гіпотенуза)

– Трикутник, квадрат, трапеція, коло – це геометричні … (Фігури)

– Менша сторона прямокутного трикутника. (Катет)

– Фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки. (Кут)

– Відрізок перпендикуляра, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону. (Висота)

– Трикутник, у якого дві сторони рівні . (Рівностегновий)

Слайд 4: Завдання

Побудувати прямокутний трикутник із сторонами 3 см, 4 см та 6 см.

Завдання розбивається рядами.

	1 ряд	2 ряд	3 ряд
Катет a	3	3
Катет b	4		4
Гіпотенуза з		6	6

Запитання:

- Чи вийшов у когось трикутник з заданими сторонами?

- Який можна зробити висновок? (Прямокутний трикутник не можна задати довільним чином. Між його сторонами існує залежність).

- Виміряйте сторони. ( Зразковий середній результатвід кожного ряду заноситься до таблиці)

	1 ряд	2 ряд	3 ряд
Катет a	3	3	~4,5
Катет b	4	~5,2	4
Гіпотенуза з	~5	6	6

– Спробуйте встановити зв'язок між катетами та гіпотенузою у кожному з випадків.

(Пропонується згадати усні вправи і перевірити таку ж залежність між іншими числами).

- Звертається увага, що точного результату не вийде, т.к. Вимірювання не можна вважати точними.

– Вчитель просить висловити припущення (гіпотези): учні формулюють

- Так, справді, між гіпотенузою та катетами існує залежність і першим її довів учений, ім'я якого ви назвете самі. На його честь ця теорема і названа.

Слайд 5: Розшифруйте

Слайд 6: Піфагор Самоський

– Хто назве тему сьогоднішнього уроку?

Учні у зошитах записують тему уроку: “Теорема Піфагора”

– Теорема Піфагора – одна з головних теорем геометрії. З її допомогою доводяться багато інших теорем і вирішуються завдання з різних областей: фізики, астрономії, будівництва та ін. Вона була відома задовго до того, як її довів Піфагор. Стародавні єгиптяни використовували її при побудові прямокутного трикутника зі сторонами 3, 4 та 5 одиниць за допомогою мотузки для побудови прямих кутів при закладанні будівель, пірамід. Тому такий трикутник називають єгипетський трикутник.

Існує понад триста способів доказу цієї теореми. Ми розглянемо сьогодні один із них.

Слайд 7: теорема Піфагора

Теорема: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Дано:

Прямокутний трикутник,

a, b - катети, з- гіпотенуза

Довести:

Доведення.

1. Продовжимо катети прямокутного трикутника: катет а– на довжину b, катет b– на довжину а.

- До якої фігури можна добудувати трикутник? Чому до квадрата? Чому дорівнюватиме сторона квадрата?

2. Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною а + b.

– Як можна знайти площу цього квадрата?

3. Площа квадрата дорівнює

– Розіб'ємо квадрат на частини: 4 трикутники та квадрат зі стороною с.

– Як ще можна знайти площу вихідного квадрата?

– Чому рівні прямокутні трикутники, що виходять?

4. З іншого боку,

5. Прирівняємо рівністі, що вийшли:

Теорему доведено.

Існує жартівливе формулювання цієї теореми: "Піфагорові штани на всі боки рівні". Ймовірно, таке формулювання пов'язане з тим, що ця теорема була встановлена ​​для рівнобедреного прямокутного трикутника. Причому, звучала вона трохи інакше: “Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах”.

Слайд 8: Інше формулювання теореми Піфагора

А я наведу вам ще одне формулювання цієї теореми у віршах:

Якщо дано нам трикутник
І до того ж з прямим кутом,
То квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети в квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо
І таким простим шляхом
До результату ми дійдемо.

– Отже, сьогодні ви познайомилися з найвідомішою теоремою планіметрії – теоремою Піфагора. Які ж формулюється теорема Піфагора? Як ще її можна сформулювати?

Первинне закріплення матеріалу

Слайд 9: Розв'язання задач за готовими кресленнями.

Слайд 10: Розв'язання задач у зошити

Три учні одночасно викликаються до дошці на вирішення завдань.

Слайд 11: Завдання індійського математика XII століття Бхаскари

Підбиття підсумків уроку:

- Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

– Сформулюйте теорему Піфагора.

- Що ви навчилися робити на уроці?

Домашнє завдання:

- Вивчити теорему Піфагора з доказом

- Завдання з підручника № 483 ст, г; № 484 ст.

- Для більш підготовлених учнів: знайти інші докази теореми Піфагора, вивчити один із них.

Оцінюється робота класу загалом, виділяючи окремих учнів.