Aritmetička operacija koja se izvodi zadnja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna" operacija.
To jest, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako posljednja radnja doći će do množenja, što znači da imamo umnožak (izraz je faktoriziran).
Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).
Da biste to potvrdili, sami riješite nekoliko primjera:
Primjeri:
rješenja:
1. Nadam se da niste odmah požurili rezati i? Još uvijek nije bilo dovoljno ovako “smanjiti” jedinice:
Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:
4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka poznata je operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike.
Prisjetimo se:
odgovori:
1. Nazivnici i su relativno prosti, tj. nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:
2. Ovdje je zajednički nazivnik:
3. Ovdje prije svega pretvaramo mješovite razlomke u neprave, a zatim prema uobičajenoj shemi:
Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, npr.
Počnimo s nečim jednostavnim:
a) Nazivnici ne sadrže slova
Ovdje je sve isto kao i kod običnih brojčanih razlomaka: nalazimo zajednički nazivnik, svaki razlomak množimo faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike:
Sada u brojniku možete dati slične, ako ih ima, i faktorizirati ih:
Pokušajte sami:
odgovori:
b) Nazivnici sadrže slova
Sjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:
· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;
· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;
· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.
Da bismo odredili zajedničke faktore nazivnika, prvo ih rastavimo na proste faktore:
Naglasimo zajedničke čimbenike:
Sada ispisujemo zajedničke faktore jedan po jedan i dodamo im sve neuobičajene (nepodcrtane) faktore:
Ovo je zajednički nazivnik.
Vratimo se slovima. Nazivnici su dati na potpuno isti način:
· rastavite nazivnike na faktore;
· odrediti zajedničke (identične) faktore;
· ispisati sve zajedničke faktore jednom;
· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.
Dakle, redom:
1) rastavite nazivnike na faktore:
2) odrediti zajedničke (identične) faktore:
3) sve zajedničke faktore ispišite jednom i pomnožite sa svim ostalim (nenaglašenim) faktorima:
Dakle, ovdje postoji zajednički nazivnik. Prvi razlomak mora se pomnožiti s, drugi s:
Usput, postoji jedan trik:
Na primjer: .
Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:
do stupnja
do stupnja
do stupnja
do stupnja.
Zakomplicirajmo zadatak:
Kako postići da razlomci imaju isti nazivnik?
Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:
Nigdje ne piše da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer nije istina!
Uvjerite se sami: uzmite, na primjer, bilo koji razlomak i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer, . Što ste naučili?
Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:
Kada razlomke svedete na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!
Ali s čim trebate pomnožiti da biste dobili?
Dakle, pomnožite sa. I pomnožite sa:
Izraze koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori".
Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.
Što je s izrazom? Je li elementarno?
Ne, jer se može faktorizirati:
(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).
Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima analogni su jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I mi ćemo se s njima nositi na isti način.
Vidimo da oba nazivnika imaju množitelj. Ići će na zajednički nazivnik na stupanj (sjećate se zašto?).
Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:
Još jedan primjer:
Otopina:
Prije nego što u panici pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:
odlično! Zatim:
Još jedan primjer:
Otopina:
Kao i obično, faktorizirajmo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo izvan zagrade; u drugom - razlika kvadrata:
Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, slični su... I to je istina:
Pa napišimo:
Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, morat ćete to činiti često.
Dovedimo sada to pod zajednički nazivnik:
kužiš Provjerimo sada.
Zadaci za samostalno rješavanje:
odgovori:
Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kockica:
Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu "kvadrat zbroja"! Kvadrat zbroja bi izgledao ovako: .
A je takozvani nepotpuni kvadrat zbroja: drugi član u njemu je umnožak prvog i posljednjeg, a ne njihov dvostruki umnožak. Parcijalni kvadrat zbroja je jedan od faktora u proširenju razlike kubova:
Što učiniti ako već postoje tri razlomka?
Da, ista stvar! Prije svega, uvjerimo se u to maksimalna količina faktori u nazivnicima bili su isti:
Imajte na umu: ako promijenite znakove unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kad promijenimo predznake u drugoj zagradi, predznak ispred razlomka ponovno se promijeni u suprotan. Zbog toga se on (znak ispred razlomka) nije promijenio.
Cijeli prvi nazivnik ispišemo u zajednički nazivnik, a zatim mu dodamo sve faktore koji još nisu napisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:
Hmm... Jasno je što s razlomcima. Ali što je s njih dvoje?
Jednostavno je: znate kako zbrajati razlomke, zar ne? Dakle, moramo učiniti da dva postanu razlomak! Podsjetimo: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik se dijeli nazivnikom, ako ste zaboravili). A nema ništa lakše nego podijeliti broj s. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:
Baš ono što vam treba!
5. Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pa, najteži dio je sada prošao. A pred nama je najjednostavniji, ali ujedno i najvažniji:
Postupak
Koji je postupak za izračunavanje brojevnog izraza? Zapamtite izračunavanjem značenja ovog izraza:
Jeste li brojali?
Trebalo bi raditi.
Dakle, da vas podsjetim.
Prvi korak je izračunavanje stupnja.
Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se raditi bilo kojim redoslijedom.
I na kraju, izvodimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.
Ali: izraz u zagradama vrednuje se izvan reda!
Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih pomnožimo ili podijelimo.
Što ako postoji više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Kada izračunavate izraz, što trebate učiniti prvo? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.
Dakle, postupak za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju upravo sada izvodim):
U redu, sve je jednostavno.
Ali to nije isto što i izraz sa slovima?
Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija trebate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: dovođenje sličnih, zbrajanje razlomaka, smanjivanje razlomaka i tako dalje. Jedina će razlika biti faktoriranje polinoma (ovo često koristimo kada radimo s razlomcima). Najčešće, za rastavljanje na faktore, morate koristiti I ili jednostavno zajednički faktor staviti izvan zagrade.
Obično je naš cilj predstaviti izraz kao produkt ili kvocijent.
Na primjer:
Pojednostavimo izraz.
1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je prikazati je kao umnožak ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:
Nemoguće je dalje pojednostaviti ovaj izraz; svi faktori ovdje su elementarni (sjećate li se još što to znači?).
2) Dobivamo:
Množenje razlomaka: što može biti jednostavnije.
3) Sada možete skratiti:
Pa, to je sve. Ništa komplicirano, zar ne?
Još jedan primjer:
Pojednostavite izraz.
Prvo pokušajte sami riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.
Otopina:
Prije svega, odredimo redoslijed radnji.
Prvo zbrojimo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan.
Zatim ćemo raditi dijeljenje razlomaka. Pa, zbrojimo rezultat sa zadnjim razlomkom.
Shematski ću numerirati korake:
Sada ću vam pokazati proces, obojenjem trenutne radnje u crveno:
1. Ako postoje slični, moraju se odmah donijeti. Kad god se slični pojave kod nas, uputno ih je odmah iznijeti.
2. Isto vrijedi i za smanjivanje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako oni sada imaju iste nazivnike, tada smanjenje treba ostaviti za kasnije.
Evo nekoliko zadataka koje možete riješiti sami:
I ono što je obećano na samom početku:
odgovori:
Rješenja (ukratko):
Ako ste se snašli barem u prva tri primjera, onda ste svladali temu.
Sada na učenje!
PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
Osnovne operacije pojednostavljenja:
- Dovođenje sličnih: za zbrajanje (reduciranje) sličnih članova potrebno je zbrojiti njihove koeficijente i dodijeliti slovni dio.
- Faktorizacija: izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena itd.
- Smanjenje razlomka: Brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce
2) ako brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, mogu se precrtati.VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!
- Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
; - Množenje i dijeljenje razlomaka:
;
“Identiteti. Identična transformacija izraza.”
Ciljevi lekcije
Obrazovni:
uvesti i početno učvrstiti pojmove “identično jednaki izrazi”, “identitet”, “identične transformacije”;
razmotriti načine dokazivanja identiteta, promicati razvoj vještina dokazivanja identiteta;
provjeriti asimilaciju obrađenog materijala kod učenika, razviti sposobnost korištenja onoga što su naučili za percipiranje novih stvari.
Razvojni : razvijati mišljenje i govor učenika.
Edukativni : njegovati marljivost, točnost i pravilno bilježenje rješenja vježbi.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva
Oprema : Multimedijska ploča, tabla, udžbenik, radna bilježnica.
P lan lekcija
Organizacijski trenutak(usredotočite učenike na lekciju)
Provjera domaće zadaće (ispravak greške)
Usmene vježbe
Učenje novog gradiva (Upoznavanje i početno učvršćivanje pojmova „identitet“, „identične transformacije“).
Vježbe obuke (Formiranje pojmova „identitet“, „identične transformacije“).
Sažetak lekcije (Sažeti teorijske informacije primljene tijekom lekcije).
Poruka zadaće (Objasniti sadržaj zadaće)
Napredak lekcije
I. Organizacijski trenutak.
Provjera domaće zadaće.
Pitanja za domaću zadaću.
Analiza rješenja na ploči.
Potrebna je matematika
Bez nje se ne može
Učimo, učimo, prijatelji,
Čega se sjećamo ujutro?
II . Usmene vježbe.
Idemo napraviti zagrijavanje.
Rezultat zbrajanja. (Iznos)
Koliko brojeva znaš? (Deset)
Stoti dio broja. (Postotak)
Rezultat podjele? (Privatno)
Najmanji prirodni broj? (1)
Je li moguće kod podjele prirodni brojevi dobiti nulu? (Ne)
Koliki je zbroj brojeva od -200 do 200? (0)
Navedite najveći negativni cijeli broj. (-1)
S kojim se brojem ne može podijeliti? (0)
Rezultat množenja? (Raditi)
Najveći dvoznamenkasti broj? (99)
Koliki je umnožak od -200 do 200? (0)
Rezultat oduzimanja. (Razlika)
Koliko je grama u kilogramu? (1000)
Komutativno svojstvo sabiranja. (Zbroj se ne mijenja preraspodjelom mjesta članova)
Komutativno svojstvo množenja. (Umnožak se ne mijenja preraspodjelom mjesta faktora)
Kombinativno svojstvo sabiranja. (Da biste dodali broj zbroju dvaju brojeva, možete zbroju drugog i trećeg dodati prvom broju)
Kombinativno svojstvo množenja. (za množenje umnoška dva broja s trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj s umnoškom drugog i trećeg)
Distributivno svojstvo. (Da biste pomnožili broj sa zbrojem dvaju brojeva, možete pomnožiti taj broj sa svakim članom i dodati rezultate)
III . Učenje novog gradiva .
Učitelj. Nađimo vrijednost izraza za x=5 i y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3h+3u=3*5+3*4=27
Dobili smo isti rezultat. Iz svojstva distribucije slijedi da su općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y jednake.
Razmotrimo sada izraze 2x+y i 2xy. Kada x=1 i y=2 imaju jednake vrijednosti:
2x+y=2*1+2=4
2xy=2*1*2=4
Međutim, možete navesti vrijednosti x i y tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, tada
2x+y=2*3+4=10
2xy=2*3*4=24
Definicija: Dva izraza čije su vrijednosti jednake za bilo koje vrijednosti varijabli nazivaju se identično jednakima.
Izrazi 3(x+y) i 3x+3y su identički jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identički jednaki.
Jednakost 3(x+y) i 3x+3y vrijedi za sve vrijednosti x i y. Takve jednakosti nazivamo identitetima.
Definicija: Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.
Prave numeričke jednakosti također se smatraju identitetima. Već smo se susreli s identitetima. Identiteti su jednakosti kojima se izražavaju osnovna svojstva operacija nad brojevima (Učenici izgovaranjem komentiraju svako svojstvo).
a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Mogu se dati i drugi primjeri identiteta (Učenici komentiraju svako svojstvo izgovarajući ga).
a + 0 = a
a * 1 = a
a + (-a) = 0
A * (- b ) = - ab
a - b = a + (- b )
(- a ) * (- b ) = ab
Definicija: Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.
Učitelj:
Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.
Identične transformacije izraza naširoko se koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Već ste morali izvršiti neke identične transformacije, na primjer, dovođenje sličnih pojmova, otvaranje zagrada. Prisjetimo se pravila ovih transformacija:
studenti:
Da biste donijeli slične pojmove, trebate zbrojiti njihove koeficijente i rezultat pomnožiti sa zajedničkim slovom;
Ako ispred zagrada stoji znak plus, zagrade se mogu izostaviti, zadržavajući znak svakog pojma unutar zagrada;
Ako ispred zagrada stoji znak minus, zagrade se mogu izostaviti mijenjanjem znaka svakog pojma u zagradama.
Učitelj:
Primjer 1. Navedimo slične pojmove
5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x
Koje smo pravilo koristili?
Student:
Koristili smo pravilo za smanjenje sličnih pojmova. Ova se transformacija temelji na svojstvu distributivnosti množenja.
Učitelj:
Primjer 2. Otvorimo zagrade u izrazu 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c
Primijenili smo pravilo otvaranja zagrada ispred kojih stoji znak plus.
Student:
Provedena transformacija temelji se na kombinatornom svojstvu zbrajanja.
Učitelj:
Primjer 3. Otvorimo zagrade u izrazu a – (4b– c) =a – 4 b + c
Koristili smo pravilo za otvaranje zagrada ispred kojih je znak minus.
Na kojem se svojstvu temelji ta transformacija?
Student:
Provedena transformacija temelji se na distributivnom svojstvu množenja i kombinatornom svojstvu zbrajanja.
IV . Vježbe obuke
(Prije nego što počnemo, odradit ćemo fizički trening
Brzo su ustali i nasmiješili se.
Protezali su se sve više i više.
Hajde, ispravi ramena,
Podignite, spustite.
Skreni desno, skreni lijevo,
Sjeli su i ustali. Sjeli su i ustali.
I trčali su na mjestu.
(Bravo, sjedni.)
Držimo mini samostalan rad- usklađenost, A oni koji smatraju da su temu dobro razumjeli - odlučuju se za online testiranje.
1)5(3x -2) –(4x+9) A) 5-10:x
2)5x-4(2x-5)+5 B) 11x -19
3)(5x-10):x B) 3x+25
4)11x-4(x - 3)+5x D) -3x+25
D) 12x +12
V . Sažimanje lekcije .
Nastavnik postavlja pitanja, a učenici odgovaraju po želji.
Za koja se dva izraza kaže da su identički jednaka? Navedite primjere.
Kakva se jednakost naziva identitetom? Navedite primjer.
Koje transformacije identiteta poznajete?
VI . domaća zadaća . korak 5, pronađite drevne identične izraze koristeći Internet
Pretvorbe identiteta posao su koji radimo s numeričkim i doslovnim izrazima, kao i s izrazima koji sadrže varijable. Sve ove transformacije provodimo kako bismo izvorni izraz doveli u oblik koji će biti prikladan za rješavanje problema. U ovoj temi razmotrit ćemo glavne vrste transformacija identiteta.
Identična transformacija izraza. Što je to?
S konceptom identične transformacije prvi put smo se susreli na nastavi algebre u 7. razredu. Tada smo se prvi put upoznali s pojmom identično jednakih izraza. Hajdemo razumjeti koncepte i definicije kako bismo lakše razumjeli temu.
Definicija 1
Transformacija identičnog izraza– to su radnje koje se izvode s ciljem zamjene izvornog izraza izrazom koji će biti identično jednak izvornom.
Često se ova definicija koristi u skraćenom obliku, u kojem se izostavlja riječ "identičan". Pretpostavlja se da u svakom slučaju transformiramo izraz na način da dobijemo izraz identičan izvornom, i to ne treba posebno naglašavati.
Ilustrirajmo ovu definiciju primjeri.
Primjer 1
Ako zamijenimo izraz x + 3 − 2 identično jednakom izrazu x+1, tada ćemo izvršiti identičnu transformaciju izraza x + 3 − 2.
Primjer 2
Zamjena izraza 2 a 6 izrazom a 3 je transformacija identiteta, a zamjena izraza x do izražaja x 2 nije transformacija identiteta, budući da izrazi x I x 2 nisu identično jednaki.
Skrećemo vam pozornost na oblik pisanja izraza pri izvođenju identičnih transformacija. Obično izvorni i rezultirajući izraz zapisujemo kao jednakost. Dakle, pisanje x + 1 + 2 = x + 3 znači da je izraz x + 1 + 2 sveden na oblik x + 3.
Uzastopno izvođenje akcija dovodi nas do lanca jednakosti, koji predstavlja nekoliko identičnih transformacija smještenih u nizu. Stoga unos x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x shvaćamo kao sekvencijalnu implementaciju dviju transformacija: prvo je izraz x + 1 + 2 doveden u oblik x + 3, a zatim je doveden u oblik obliku 3 + x.
Identične transformacije i ODZ
Brojni izrazi koje počinjemo proučavati u 8. razredu nemaju smisla za sve vrijednosti varijabli. Provođenje identičnih transformacija u ovim slučajevima zahtijeva da obratimo pozornost na raspon dopuštenih vrijednosti varijabli (APV). Izvođenje identičnih transformacija može ostaviti DL nepromijenjenim ili ga suziti.
Primjer 3
Prilikom izvođenja prijelaza iz izraza a + (− b) do izražaja a−b raspon dopuštenih varijabilnih vrijednosti a I b ostaje isti.
Primjer 4
Prelazak s izraza x na izraz x 2 x dovodi do sužavanja raspona dopuštenih vrijednosti varijable x iz skupa svih realni brojevi na skup svih realnih brojeva iz kojih je isključena nula.
Primjer 5
Transformacija identičnog izraza x 2 x izraz x dovodi do proširenja raspona dopuštenih vrijednosti varijable x sa skupa svih realnih brojeva osim nule na skup svih realnih brojeva.
Sužavanje ili proširenje raspona dopuštenih vrijednosti varijabli pri provođenju transformacija identiteta važno je pri rješavanju problema, jer može utjecati na točnost izračuna i dovesti do pogrešaka.
Osnovne transformacije identiteta
Pogledajmo sada što su transformacije identiteta i kako se izvode. Izdvojimo one vrste identičnih transformacija s kojima se najčešće bavimo u skupinu osnovnih.
Uz glavne transformacije identiteta, postoji niz transformacija koje se odnose na izraze određene vrste. Za razlomke, to su tehnike smanjivanja i dovođenja na novi nazivnik. Za izraze s korijenima i potencijama, sve radnje koje se izvode na temelju svojstava korijena i potencija. Za logaritamski izrazi akcije koje se provode na temelju svojstava logaritama. Za trigonometrijske izraze, sve operacije koriste trigonometrijske formule. Sve te konkretne transformacije detaljno se raspravljaju u zasebnim temama koje se mogu pronaći na našem resursu. S tim u vezi, u ovom članku nećemo se zadržavati na njima.
Prijeđimo na razmatranje glavnih transformacija identiteta.
Preuređivanje termina i faktora
Počnimo preuređivanjem pojmova. S tom identičnom transformacijom najčešće se bavimo. A glavnim pravilom ovdje može se smatrati sljedeća izjava: u bilo kojem zbroju, preuređivanje izraza ne utječe na rezultat.
Ovo se pravilo temelji na komutativnim i asocijativnim svojstvima zbrajanja. Ova svojstva nam omogućuju preuređivanje članova i dobivanje izraza koji su identično jednaki izvornim. Zato je preuređivanje članova u zbroju transformacija identiteta.
Primjer 6
Imamo zbroj tri člana 3 + 5 + 7. Ako zamijenimo članove 3 i 5, tada će izraz dobiti oblik 5 + 3 + 7. Postoji nekoliko opcija za zamjenu uvjeta u ovom slučaju. Svi oni vode do izraza identično jednakih izvornom.
Ne samo brojevi, već i izrazi mogu djelovati kao članovi u zbroju. Oni se, baš kao i brojevi, mogu preuređivati bez utjecaja na konačni rezultat izračuna.
Primjer 7
Zbroj tri člana 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a oblika 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · a članove možemo preurediti, na primjer, ovako (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Zauzvrat, možete preurediti članove u nazivniku razlomka 1 a + b, a razlomak će poprimiti oblik 1 b + a. I izraz pod znakom korijena a 2 + 2 a + 5 je također zbroj u kojem se članovi mogu zamijeniti.
Baš kao i pojmovi, možete zamijeniti faktore u izvornim izrazima i dobiti identično točne jednadžbe. Ova radnja je regulirana sljedećim pravilom:
Definicija 2
U proizvodu faktori preraspodjele ne utječu na rezultat izračuna.
Ovo se pravilo temelji na komutativnim i kombinacijskim svojstvima množenja, koja potvrđuju točnost identične transformacije.
Primjer 8
Raditi 3 5 7 preuređivanjem faktori se mogu prikazati u jednom od sljedećih oblika: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 ili 3 7 5.
Primjer 9
Preuređivanje faktora u umnošku x + 1 x 2 - x + 1 x daje x 2 - x + 1 x x + 1
Proširivanje zagrada
Zagrade mogu sadržavati numeričke i promjenjive izraze. Ti se izrazi mogu transformirati u identično jednake izraze, u kojima uopće neće biti zagrada ili će ih biti manje nego u izvornim izrazima. Ova metoda transformacije izraza naziva se proširenje zagrada.
Primjer 10
Izvršimo operacije sa zagradama u izrazu obrasca 3 + x − 1 x kako bi se dobio identično točan izraz 3 + x − 1 x.
Izraz 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x može se transformirati u identično jednak izraz bez zagrada 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.
Detaljno smo raspravljali o pravilima za pretvaranje izraza sa zagradama u temi "Proširivanje zagrada", koja je objavljena na našem resursu.
Grupiranje pojmova, faktori
U slučajevima kada se radi o tri ili više pojmova, možemo pribjeći ovoj vrsti transformacije identiteta kao grupiranju pojmova. Ova metoda transformacije podrazumijeva spajanje više pojmova u skupinu njihovim preuređivanjem i stavljanjem u zagrade.
Prilikom grupiranja, termini se zamjenjuju tako da su grupirani termini jedan pored drugog u zapisu izraza. Zatim se mogu staviti u zagrade.
Primjer 11
Uzmimo izraz 5 + 7 + 1 . Grupiramo li prvi član s trećim, dobivamo (5 + 1) + 7 .
Grupiranje faktora provodi se slično grupiranju pojmova.
Primjer 12
U radu 2 3 4 5 prvi faktor možemo grupirati s trećim, a drugi s četvrtim i dolazimo do izraza (2 4) (3 5). A kad bismo grupirali prvi, drugi i četvrti faktor, dobili bismo izraz (2 3 5) 4.
Pojmovi i faktori koji su grupirani mogu se predstaviti kao prosti brojevi, i izrazi. Pravila grupiranja detaljno su obrađena u temi “Grupiranje pribrojnika i faktora”.
Zamjena razlika zbrojevima, djelomičnim umnošcima i obrnuto
Zamjena razlika zbrojevima postala je moguća zahvaljujući našem poznavanju suprotnih brojeva. Sada oduzimanje od broja a brojevima b može se smatrati dodatkom broju a brojevima − b. Jednakost a − b = a + (− b) može se smatrati poštenim i na temelju toga razlike zamijeniti svotama.
Primjer 13
Uzmimo izraz 4 + 3 − 2 , u kojem je razlika brojeva 3 − 2 možemo to napisati kao zbroj 3 + (− 2) . Dobivamo 4 + 3 + (− 2) .
Primjer 14
Sve razlike u izražavanju 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 mogu se zamijeniti iznosima poput 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).
Možemo prijeći na zbrojeve iz bilo koje razlike. Slično, možemo napraviti obrnutu zamjenu.
Zamjena dijeljenja množenjem recipročnom vrijednošću djelitelja postaje moguća zahvaljujući konceptu recipročnih brojeva. Ova se transformacija može napisati kao a: b = a (b − 1).
Ovo je pravilo bilo osnova za pravilo dijeljenja običnih razlomaka.
Primjer 15
Privatno 1 2: 3 5 može se zamijeniti proizvodom oblika 1 2 5 3.
Isto tako, po analogiji, dijeljenje se može zamijeniti množenjem.
Primjer 16
U slučaju izraza 1 + 5: x: (x + 3) zamijeniti dijeljenje po x može se pomnožiti sa 1 x. Dijeljenje po x+3 možemo zamijeniti množenjem sa 1 x + 3. Transformacija nam omogućuje da dobijemo izraz identičan originalu: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
Zamjena množenja dijeljenjem provodi se prema shemi a · b = a: (b − 1).
Primjer 17
U izrazu 5 x x 2 + 1 - 3, množenje se može zamijeniti dijeljenjem kao 5: x 2 + 1 x - 3.
Raditi stvari s brojevima
Izvođenje operacija s brojevima podliježe pravilu redoslijeda izvođenja radnji. Prvo se izvode operacije s potencijama brojeva i korijenima brojeva. Nakon toga logaritme, trigonometrijske i druge funkcije zamjenjujemo njihovim vrijednostima. Zatim se izvode radnje u zagradama. Zatim možete izvršiti sve druge radnje slijeva nadesno. Važno je zapamtiti da množenje i dijeljenje dolaze prije zbrajanja i oduzimanja.
Operacije s brojevima omogućuju transformaciju izvornog izraza u identičan njemu jednak.
Primjer 18
Transformirajmo izraz 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x , dovršavajući sve moguće akcije s brojevima.
Otopina
Prije svega, obratimo pozornost na diplomu 2 3 i korijen 4 i izračunajte njihove vrijednosti: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .
Zamijenimo dobivene vrijednosti u izvorni izraz i dobijemo: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Sada napravimo korake u zagradama: 8 − 1 = 7 . I prijeđimo na izraz 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Sve što trebamo učiniti je množiti brojeve 3 I 7 . Dobivamo: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Odgovor: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Operacijama s brojevima mogu prethoditi druge vrste transformacija identiteta, poput grupiranja brojeva ili otvaranja zagrada.
Primjer 19
Uzmimo izraz 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.
Otopina
Prije svega, zamijenit ćemo kvocijent u zagradi 6: 3 na njegovo značenje 2 . Dobivamo: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.
Proširimo zagrade: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.
Grupirajmo numeričke faktore u umnošku, kao i pojmove koji su brojevi: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Izvršimo korake u zagradama: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
Odgovor:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
Ako radimo s numeričkim izrazima, tada će cilj našeg rada biti pronaći vrijednost izraza. Ako transformiramo izraze s varijablama, tada će cilj naših radnji biti pojednostaviti izraz.
Izbacivanje zajedničkog faktora u zagrade
U slučajevima kada pojmovi u izrazu imaju isti faktor, ovaj zajednički faktor možemo izvaditi iz zagrada. Da bismo to učinili, prvo trebamo predstaviti izvorni izraz kao produkt zajedničkog faktora i izraza u zagradama, koji se sastoji od izvornih članova bez zajedničkog faktora.
Primjer 20
Numerički 2 7 + 2 3 možemo izbaciti zajednički faktor 2 izvan zagrada i dobiti identično ispravan izraz oblika 2 (7 + 3).
Možete osvježiti sjećanje na pravila za stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada u odgovarajućem odjeljku našeg resursa. U materijalu se detaljno raspravlja o pravilima uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada i daje brojne primjere.
Smanjenje sličnih uvjeta
Prijeđimo sada na zbrojeve koji sadrže slične članove. Ovdje postoje dvije mogućnosti: sume koje sadrže identične članove i sume čiji se članovi razlikuju za brojčani koeficijent. Operacije sa zbrojevima koji sadrže slične članove nazivaju se smanjenje sličnih članova. Izvodi se na sljedeći način: iz zagrada izvadimo zajednički dio slova i izračunamo zbroj brojčanih koeficijenata u zagradama.
Primjer 21
Razmotrite izraz 1 + 4 x − 2 x. Možemo uzeti doslovni dio x iz zagrada i dobiti izraz 1 + x (4 − 2). Izračunajmo vrijednost izraza u zagradama i dobijemo zbroj oblika 1 + x · 2.
Zamjena brojeva i izraza identično jednakim izrazima
Brojevi i izrazi koji čine izvorni izraz mogu se zamijeniti identično jednakim izrazima. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji mu je identički jednak.
Primjer 22 Primjer 23
Razmotrite izraz 1 + a 5, u kojem stupanj a 5 možemo zamijeniti njemu identično jednakim umnoškom, na primjer, oblika a · a 4. Ovo će nam dati izraz 1 + a · a 4.
Provedena transformacija je umjetna. Ima smisla samo u pripremi za druge promjene.
Primjer 24
Razmotrimo transformaciju zbroja 4 x 3 + 2 x 2. Evo termina 4 x 3 možemo zamisliti kao djelo 2 x 2 2 x. Kao rezultat, izvorni izraz poprima oblik 2 x 2 2 x + 2 x 2. Sada možemo izolirati zajednički faktor 2 x 2 i izbaci to iz zagrada: 2 x 2 (2 x + 1).
Zbrajanje i oduzimanje istog broja
Zbrajanje i oduzimanje istog broja ili izraza u isto vrijeme je umjetna tehnika za transformaciju izraza.
Primjer 25
Razmotrite izraz x 2 + 2 x. Možemo mu dodati ili oduzeti jedan, što će nam omogućiti da naknadno izvršimo drugu identičnu transformaciju - da izoliramo kvadrat binoma: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Sadržaj lekcijeDizanje binoma na potenciju
Binom je polinom koji se sastoji od dva člana. U prethodnim lekcijama podigli smo binome na drugu i treću potenciju, čime smo dobili skraćene formule množenja:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ali binom se može podići ne samo na drugu i treću potenciju, već i na četvrtu, petu ili više potencije.
Na primjer, konstruirajmo binom a+b na četvrtu potenciju:
(a+b) 4
Predstavimo ovaj izraz kao produkt binoma a+b a kub istog binoma
(a+b)(a+b) 3
faktor ( a+b) 3 možemo zamijeniti desnom stranom formule za kub zbroja dvaju izraza. Tada dobivamo:
(a+b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)
A ovo je uobičajeno množenje polinoma. Izvršimo to:
Odnosno pri podizanju binoma a+b na četvrtu potenciju dobivamo polinom a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Konstruiranje binoma a+b na četvrtu potenciju možete učiniti i ovo: zamislite izraz ( a+b) 4 kao produkt potencija (a+b) 2 (a+b) 2
(a+b) 2 (a+b) 2
Ali izraz ( a+b) 2 jednako a 2 + 2ab + b 2 . Zamijenimo u izrazu (a+b) 2 (a+b) 2 kvadrati zbroja po polinomu a 2 + 2ab + b 2
(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)
I to je opet uobičajeno množenje polinoma. Učinimo to. Dobivamo isti rezultat kao i prije:
Dizanje trinoma na potenciju
Trinom je polinom koji se sastoji od tri člana. Na primjer, izraz a+b+c je trinom.
Ponekad se može pojaviti zadatak podići trinom na potenciju. Na primjer, kvadrirajmo trinom a+b+c
(a+b+c) 2
Dva pojma unutar zagrada mogu se staviti u zagrade. Na primjer, zaključimo zbroj a+ b u zagradama:
((a+b) + c) 2
U ovom slučaju iznos a+bće se tretirati kao jedan član. Tada se ispostavlja da ne kvadriramo trinom, nego binom. Iznos a+b bit će prvi član, a član c- drugi član. A već znamo kako kvadrirati binom. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za kvadrat zbroja dvaju izraza:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Primijenimo ovu formulu na naš primjer:
Na isti način možete kvadrirati polinom koji se sastoji od četiri ili više članova. Na primjer, kvadrirajmo polinom a+b+c+d
(a+b+c+d) 2
Zamislimo polinom kao zbroj dvaju izraza: a+b I c + d. Da bismo to učinili, stavljamo ih u zagrade:
((a+b) + (c + d)) 2
Sada upotrijebimo formulu za kvadrat zbroja dvaju izraza:
Izdvajanje savršenog kvadrata iz kvadratnog trinoma
Još jedna identična transformacija koja može biti korisna pri rješavanju problema je izbor kompletnog kvadrata iz kvadratni trinom.
Kvadratni trinom je trinom drugog stupnja. Na primjer, sljedeći trinomi su kvadratni:
Ideja izolacije savršenog kvadrata od takvih trinoma je predstavljanje izvornog kvadratnog trinoma kao izraz ( a+b) 2 + c, Gdje ( a+b) 2 je potpuni kvadrat, i c— neki brojčani ili slovni izraz.
Na primjer, odaberimo potpuni kvadrat iz trinoma 4x 2 + 16x+ 19 .
Prvo morate konstruirati izraz forme a 2 + 2ab+ b 2 . Sagradit ćemo ga iz trinoma 4x 2 + 16x+ 19 . Prvo, odlučimo koji će članovi igrati uloge varijabli a I b
Uloga varijable a igrat će dick 2 x, od prvog člana trinoma 4x 2 + 16x+ 19 , odnosno 4 x 2 se dobiva ako je 2 x kvadrat:
(2x) 2 = 4x 2
Dakle, varijabla a jednako 2 x
a = 2x
Sada se vraćamo na izvorni trinom i odmah obraćamo pažnju na izraz 16 x. Ovaj izraz je dvostruko veći umnožak prvog izraza a(u našem slučaju to je 2 x) i drugi nama još nepoznat izraz b. Stavimo privremeno upitnik na njegovo mjesto:
2×2 x × ? = 16x
Ako pažljivo pogledate izraz 2 × 2 x × ? = 16x , tada će postati intuitivno jasno da član b u ovoj situaciji broj je 4, jer je izraz 2 × 2 x jednako 4 x, i dobiti 16 x treba pomnožiti 4 x prema 4.
2×2 x × 4 = 16x
Iz ovoga zaključujemo da varijabla b jednako 4
b = 4
To znači da će naš savršen kvadrat biti izraz (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Sada smo spremni izolirati potpuni kvadrat od trinoma 4x 2 + 16x+ 19 .
Dakle, vratimo se na izvorni trinom 4x 2 + 16x+ 19 i pokušajmo pažljivo implementirati kompletan kvadrat koji smo dobili u njega (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
4x 2 + 16x+ 19 =
Umjesto 4 x 2 zapiši (2 x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
A za sada prepisujemo član 19 kako jest:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19
Sada obratimo pozornost na činjenicu da polinom koji smo dobili (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 nije identičan izvornom trinomu 4x 2 + 16x+ 19 . To možete provjeriti donošenjem polinoma (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 u standardni obrazac:
(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19
Vidimo da smo dobili polinom 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , ali trebalo je uspjeti 4x 2 + 16x+ 19 . To je zbog činjenice da je izraz 4 2 umjetno uveden u izvorni trinom kako bi se organizirao potpuni kvadrat trinoma 4x 2 + 16x+ 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Sada izraz (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 može se sažeti, odnosno napisati u obliku ( a+b) 2 . U našem slučaju dobivamo izraz (2 x+ 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Preostali članovi −4 2 i 19 mogu se zbrojiti. −4 2 je −16, stoga je −16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3
Sredstva, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3
Primjer 2. Izdvojite potpuni kvadrat iz kvadratnog trinoma x 2 + 2x+ 2
Prvo konstruiramo izraz forme a 2 + 2 ab + b 2. Uloga varijable a u ovom slučaju x igra, jer x 2 = x 2 .
Sljedeći član izvornog trinoma 2 x prepišimo umnožak prvog izraza u obliku udvostručenog (ovo je naš x) i drugi izraz b(ovo će biti 1).
2× x× 1 = 2 x
Ako b= 1, tada je izraz potpuni kvadrat x 2 + 2x+ 1 2 .
Sada se vratimo na izvorni kvadratni trinom i uvedimo cijeli kvadrat u njega x 2 + 2x+ 1 2
x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1
Kao u prethodnom primjeru, član b(u ovom primjeru je 1) nakon što je zbrajanje odmah oduzeto kako bi se sačuvala vrijednost izvornog trinoma.
Razmotrimo sljedeći numerički izraz:
9 + 6 + 2
Vrijednost ovog izraza je 17
9 + 6 + 2 = 17
Pokušajmo izdvojiti cijeli kvadrat u ovom numeričkom izrazu. Da bismo to učinili, prvo konstruiramo izraz forme a 2 + 2ab+ b 2 . Uloga varijable a u ovom slučaju igra broj 3, budući da se prvi član izraza 9 + 6 + 2, odnosno 9, može predstaviti kao 3 2.
Drugi član 6 predstavljamo kao dvostruki umnožak prvog člana 3 i drugog člana 1
2 × 3 × 1 = 6
Odnosno varijabla b bit će jednak jedan. Tada će savršeni kvadrat biti izraz 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2. Implementirajmo to u izvorni izraz:
− 1 2 + 2
Presavijmo cijeli kvadrat i zbrojimo članove −1 2 i 2:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Rezultat je (3 + 1) 2 + 2, što je još uvijek jednako 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Recimo da imamo kvadrat i dva pravokutnika. Kvadrat sa stranicama 3 cm, pravokutnik sa stranicama 2 cm i 3 cm i pravokutnik sa stranicama 1 cm i 2 cm
Izračunajmo površinu svake figure. Površina kvadrata bit će 3 2 = 9 cm 2, površina ružičastog pravokutnika bit će 2 × 3 = 6 cm 2, površina lila pravokutnika bit će 1 × 2 = 2 cm. 2
Zapišimo zbroj površina ovih pravokutnika:
9 + 6 + 2
Ovaj izraz se može shvatiti kao kombinacija kvadrata i dva pravokutnika u jednu figuru:
Tada ćete dobiti lik s površinom od 17 cm 2. Doista, prikazana figura sadrži 17 kvadrata sa stranicom od 1 cm.
Pokušajmo od postojeće figure oblikovati kvadrat. I najveći mogući kvadrat. Za to ćemo koristiti dijelove ružičastog i lila pravokutnika.
Da biste formirali najveći mogući kvadrat od postojećeg oblika, možete ostaviti žuti kvadrat nepromijenjen i pričvrstiti polovicu ružičastog pravokutnika na dno žutog kvadrata:
Vidimo da nedostaje još jedan kvadratni centimetar do formiranja potpunog kvadrata. Možemo ga uzeti iz lila pravokutnika. Dakle, uzmimo jedan kvadrat iz lila pravokutnika i pričvrstimo ga na veliki kvadrat koji se formira:
Sada pogledajmo pobliže do čega smo došli. Naime, žuti dio figure i rozi dio koji je bitno povećao prethodni žuti kvadrat. Ne znači li to da je stranica kvadrata bila jednaka 3 cm, a ta je stranica povećana za 1 cm, što je u konačnici dovelo do povećanja površine?
(3 + 1) 2
Izraz (3 + 1) 2 jednak je 16, budući da je 3 + 1 = 4, a 4 2 = 16. Isti se rezultat može dobiti ako upotrijebite formulu za kvadrat zbroja dvaju izraza:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Doista, dobiveni kvadrat sadrži 16 kvadrata.
Preostali jedan kvadrat iz lila pravokutnika može se pričvrstiti na dobiveni veliki kvadrat. Uostalom, u početku smo govorili o jednoj brojci:
(3 + 1) 2 + 1
Spajanje malog kvadrata na postojeći veliki kvadrat opisuje se izrazom (3 + 1) 2 + 1. A ovo je izdvajanje cijelog kvadrata iz izraza 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Izraz (3 + 1) 2 + 1, kao i izraz 9 + 6 + 2, jednak je 17. Doista, površina dobivene figure je 17 cm 2.
Primjer 4. Izolirajmo potpuni kvadrat od kvadratnog trinoma x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1
U nekim primjerima, prilikom konstruiranja izraza a 2 + 2ab+ b 2 Nije moguće odmah odrediti vrijednosti varijabli a I b .
Na primjer, izolirajmo potpuni kvadrat od kvadratnog trinoma x 2 + 3x+ 2
Varijabilna a odgovara x. Drugi član 3 x ne može se prikazati kao dvostruki umnožak prvog izraza i drugog. U ovom slučaju, drugi član treba pomnožiti s 2, a kako se vrijednost izvornog polinoma ne bi promijenila, odmah podijelite s 2. To će izgledati ovako.
Uz proučavanje operacija i njihovih svojstava u algebri, oni proučavaju koncepte kao što su izraz, jednadžba, nejednakost . Početno upoznavanje s njima događa se u početni tečaj matematika. Uvode se, u pravilu, bez strogih definicija, najčešće napadno, što od učitelja zahtijeva ne samo veliku opreznost u uporabi pojmova koji označavaju te pojmove, već i poznavanje niza njihovih svojstava. Stoga je glavni zadatak koji postavljamo pri početku proučavanja gradiva u ovom odjeljku razjasniti i produbiti znanje o izrazima (brojčanim i s varijablama), brojčanim jednakostima i numeričkim nejednakostima, jednadžbama i nejednadžbama.
Proučavanje ovih pojmova povezano je s korištenjem matematičkog jezika; odnosi se na umjetne jezike koji su stvoreni i razvijeni zajedno s ovom ili onom znanošću. Kao i svaki drugi matematički jezik ima svoju abecedu. U našem kolegiju to će biti djelomično prikazano, zbog potrebe da se više pažnje posveti odnosu algebre i aritmetike. Ova abeceda uključuje:
1) brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; uz njihovu pomoć brojevi se pišu prema posebnim pravilima;
2) znakovi operacije +, -, , :;
3) znakovi odnosa<, >, =, M;
4) mala slova latiničnog alfabeta, njima se označavaju brojevi;
5) zagrade (okrugle, kovrčave itd.), nazivaju se tehničkim znakovima.
Pomoću ove abecede u algebri se tvore riječi nazivajući ih izrazima, a od riječi se dobivaju rečenice - brojčane jednakosti, numeričke nejednakosti, jednadžbe, nejednadžbe s varijablama.
Kao što znate, zapisi 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 se zovu numerički izrazi. Formiraju se od brojeva, znakova akcije i zagrada. Ako izvršimo sve radnje navedene u izrazu, dobit ćemo pozvani broj vrijednost numeričkog izraza . Dakle, vrijednost numeričkog izraza je 3 × 2 - 4 jednako je 2.
Postoje numerički izrazi čije se vrijednosti ne mogu pronaći. Za takve izraze kažu da oni nema smisla .
Na primjer, izraz 8: (4 - 4) nema smisla, jer se njegova vrijednost ne može pronaći: 4 - 4 = 0, a dijeljenje s nulom je nemoguće. Izraz 7-9 također nema smisla ako ga promatramo na skupu prirodnih brojeva, budući da se značenje izraza 7-9 ne može pronaći na tom skupu.
Razmotrimo unos 2a + 3. Sastavljen je od brojeva, znakova radnje i slova a. Ako zamijenite brojeve umjesto a, dobit ćete različite numeričke izraze:
ako je a = 7, tada je 2 × 7 + 3;
ako je a = 0, tada je 2 × 0 + 3;
ako je a = - 4, tada je 2 × (- 4) + 3.
U zapisu 2a + 3 takvo se slovo naziva varijabla , a sam unos je 2a + 3 - izraz s varijablom.
Varijabla se u matematici obično označava bilo kojim malim slovom latinične abecede. U osnovna škola Osim slova, za označavanje varijable koriste se i drugi simboli, na primjer . Tada izraz s varijablom ima oblik: 2× + 3.
Svaki izraz s varijablom odgovara skupu brojeva, čija zamjena proizvodi numerički izraz koji ima smisla. Ovaj skup se zove opseg izražavanja .
Na primjer, domenu definicije izraza 5: (x - 7) čine svi realni brojevi osim broja 7, budući da pri x = 7 izraz 5: (7 - 7) nema smisla.
U matematici se razmatraju izrazi koji sadrže jednu, dvije ili više varijabli.
Na primjer, 2a + 3 je izraz s jednom varijablom, a (3x + 8y) × 2 je izraz s tri varijable. Da biste dobili numerički izraz iz izraza s tri varijable, morate umjesto svake varijable zamijeniti brojeve koji pripadaju domeni definicije izraza.
Dakle, saznali smo kako iz abecede matematičkog jezika nastaju numerički izrazi i izrazi s varijablama. Ako povučemo analogiju s ruskim jezikom, onda su izrazi riječi matematičkog jezika.
No, koristeći abecedu matematičkog jezika, moguće je oblikovati takve, na primjer, unose: (3 + 2)) - × 12 ili 3x – y: +)8, koji se ne može nazvati ni brojevnim izrazom ni izrazom s varijablom. Ovi primjeri pokazuju da opis koji se simboli abecede matematičkog jezika koriste za oblikovanje numeričkih i varijabilnih izraza nije definicija ovih koncepata. Dajmo definiciju numeričkog izraza (slično se definira i izraz s varijablama).
Definicija.Ako su f i q numerički izrazi, tada (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - numerički izrazi. Svaki broj se smatra numeričkim izrazom.
Kad bismo točno slijedili ovu definiciju, morali bismo napisati previše zagrada, npr. (7) + (5) ili (6): (2). Kako bismo skratili zapis, dogovorili smo se da ne pišemo zagrade ako se nekoliko izraza zbraja ili oduzima, a te se operacije izvode slijeva na desno. Na isti način se ne pišu zagrade kada se više brojeva množi ili dijeli, a te se operacije izvode redom s lijeva na desno.
Na primjer, pišu ovako: 37 – 12 + 62 - 17+13 ili 120:15-7:12.
Osim toga, dogovorili smo se da prvo izvedemo radnje drugog stupnja (množenje i dijeljenje), a zatim radnje prvog stupnja (zbrajanje i oduzimanje). Stoga se izraz (12-4:3) + (5-8:2-7) piše na sljedeći način: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 - 7.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza 3x (x - 2) + 4 (x - 2) za x = 6.
Otopina
1 način. Zamijenimo broj 6 umjesto varijable u ovom izrazu: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Da bismo pronašli vrijednost dobivenog numeričkog izraza, izvodimo sve navedene radnje: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Prema tome , kada X= 6 vrijednost izraza 3x (x-2) + 4(x-2) je 88.
Metoda 2. Prije nego što zamijenimo broj 6 u ovaj izraz, pojednostavimo ga: 3x (x - 2) + 4(x - 2) = (X - 2)(3x + 4). A zatim, zamjena u rezultirajući izraz umjesto toga X broj 6, izvršite sljedeće korake: (6 - 2) × (3×6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.
Obratimo pozornost na sljedeće: i kod prvog načina rješavanja problema i kod drugog smo jedan izraz zamijenili drugim.
Na primjer, izraz 18×4 + 4×4 zamijenjen je izrazom 72+16, a izraz 3x (x - 2) + 4(x - 2) - izrazom (X - 2)(3x + 4), a te su zamjene dovele do istog rezultata. U matematici, kada se opisuje rješenje zadanog problema, kažu da jesmo transformacije identiteta izrazi.
Definicija.Kaže se da su dva izraza identički jednaka ako su, za bilo koje vrijednosti varijabli u domeni definiranja izraza, njihove odgovarajuće vrijednosti jednake.
Primjeri identično jednakih izraza su izrazi 5(x + 2) i 5x+ 10, jer za sve realne vrijednosti X njihove vrijednosti su jednake.
Povežemo li znakom jednakosti dva identično jednaka izraza na određenom skupu, dobit ćemo rečenicu tzv identitet na ovom skupu.
Na primjer, 5(x + 2) = 5x + 10 je identitet na skupu realnih brojeva, jer su za sve realne brojeve vrijednosti izraza 5(x + 2) i 5x + 10 iste. Koristeći notaciju općeg kvantifikatora, ovaj identitet se može napisati na sljedeći način: (" x O R) 5(x + 2) = 5x + 10. Prave numeričke jednakosti također se smatraju identitetima.
Zamjena izraza drugim koji mu je identično jednak na nekom skupu naziva se identična transformacija zadanog izraza na ovom skupu.
Dakle, zamjenom izraza 5(x + 2) identično jednakim izrazom 5x + 10 izvršili smo identičnu transformaciju prvog izraza. Ali kako se, s obzirom na dva izraza, može saznati jesu li identički jednaki ili ne? Pronađite odgovarajuće vrijednosti izraza zamjenom određenih brojeva za varijable? To traje dugo i nije uvijek moguće. Ali koja su onda pravila koja se moraju poštovati pri izvođenju identičnih transformacija izraza? Mnogo je tih pravila, među njima su i svojstva algebarskih operacija.
Zadatak. Faktoriziraj izraz ax - bx + ab - b 2 .
Otopina. Grupirajmo članove ovog izraza po dva (prvi s drugim, treći s četvrtim): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). Ova transformacija je moguća na temelju asocijativnog svojstva zbrajanja realnih brojeva.
Izvadimo zajednički faktor iz svake zagrade u rezultirajućem izrazu: (ax - bx) + (ab - b 2) = x(a - b) + b(a - b) - ova transformacija je moguća na temelju distributivne svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje realnih brojeva.
U rezultirajućem izrazu, članovi imaju zajednički faktor, izbacimo ga iz zagrada: x(a - b) + b(a - b) = (a - b)(x - b). Osnova izvršene transformacije je svojstvo razdiobe množenja u odnosu na zbrajanje.
Dakle, ax - bx + ab - b 2 = (a - b)(x -b) .
U početnom tečaju matematike u pravilu se izvode samo identične transformacije brojčanih izraza. Teorijska osnova Takve transformacije su svojstva zbrajanja i množenja, razna pravila: zbrajanje zbroja broju, broja zbroju, oduzimanje broja od zbroja itd.
Na primjer da biste pronašli proizvod 35 × 4, morate izvršiti sljedeće transformacije: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Provedene transformacije temelje se na: svojstvu razdiobe množenja u odnosu na zbrajanje; princip zapisivanja brojeva u dekadskom brojevnom sustavu (35 = 30 + 5); pravila množenja i zbrajanja prirodnih brojeva.