Iz školskih lekcija matematike svatko se sjeća sinusnog grafikona koji se proteže u daljinu u jednoličnim valovima. Mnoge druge funkcije imaju slično svojstvo - ponavljanje u određenom intervalu. Zovu se periodični. Periodičnost je vrlo značajna kvaliteta funkcije, koja se često nalazi u različitim zadacima. Posljedično, korisno je moći odrediti je li funkcija periodična.

upute

1. Ako je F(x) funkcija argumenta x, tada se naziva periodičkom ako postoji broj T takav da je za svaki x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T nazivamo periodom funkcije. Može biti nekoliko perioda. Recimo da funkcija F = const uzima istu vrijednost za sve vrijednosti argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njezinim periodom. Tradicionalno, matematika se bavi minimalnim razdobljem funkcije različitim od nule. Ukratko, naziva se primitivnim razdobljem.

2. Tipičan primjer periodične funkcije - trigonometrijske: sinus, kosinus i tangens. Period im je identičan i jednak 2?, odnosno sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) i tako dalje. Međutim, naravno trigonometrijske funkcije- nije iznimno periodično.

3. Što se tiče primitivnih, bazičnih funkcija, jedini način utvrđivanja njihove periodičnosti ili neperiodičnosti su proračuni. Ali za teške funkcije već postoji nekoliko primitivnih pravila.

4. Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, a za nju je definirana derivacija, tada je i ta derivacija f(x) = F?(x) također periodična funkcija s periodom T. Vrijednost derivacije u točki x je jednak tangensu kuta tangente grafa njegove antiderivacije u ovoj točki na x-os, a budući da se antiderivacija periodički ponavlja, derivacija se također mora ponoviti. Recimo izvedenica od funkcije sin(x) je jednak cos(x) i periodičan je. Uzimanje derivata cos(x) daje vam –sin(x). Periodičnost ostaje konstantna, međutim, suprotno nije uvijek točno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njezina antiderivacija F(x) = const*x + C nije.

5. Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, tada je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante, a k nije jednako nuli - također periodična funkcija , a period mu je T/k. Recimo da je sin(2x) periodična funkcija i da je njezin period jednak?. To se može vizualno prikazati na sljedeći način: množenjem x s bilo kojim brojem, čini se da komprimirate graf funkcije vodoravno točno toliko puta

6. Ako su F1(x) i F2(x) periodičke funkcije, a njihove su periode jednake T1 odnosno T2, tada zbroj tih funkcija također može biti periodičan. Međutim, njegovo razdoblje neće biti jednostavan zbroj razdoblja T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 razuman broj, tada je zbroj funkcija periodičan, a njegov period jednak najmanjem univerzalnom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Recimo, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihovog zbroja biti jednak LCM (12, 15) = 60. To se vizualno može prikazati na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim “širinama koraka”, ali ako je omjer njihovih širina smislen, tada će se prije ili kasnije (točnije, upravo kroz LCM koraka) ponovno izjednačiti, a njihov zbroj započet će novo razdoblje.

7. Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, tada ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Recimo, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak dijeljenja x s 2), i F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 će biti jednak 2?. Je li omjer perioda jednak? - iracionalan broj. Prema tome, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Puno matematičke funkcije imaju jednu specifičnu osobinu koja olakšava njihovu konstrukciju – ovo periodičnost, odnosno ponovljivost grafa na koordinatnoj mreži u jednakim intervalima.

upute

1. Najpoznatije periodične funkcije u matematici su sinus i kosinus. Ove funkcije imaju valnu prirodu i period zakretanja jednak 2P. Također poseban slučaj periodičke funkcije je f(x)=const. Bilo koji broj glavne periode prikladan je za poziciju x ovu funkciju nema, jer je ravna linija.

2. Općenito, funkcija je periodična ako postoji cijeli broj N koji nije nula i zadovoljava pravilo f(x)=f(x+N), čime se osigurava ponovljivost. Period funkcije je najmanji broj N, ali ne nula. To jest, recimo, funkcija sin x jednaka je funkciji sin (x+2PN), gdje je N=±1, ±2 itd.

3. Povremeno, funkcija može imati množitelj (recimo, sin 2x), onaj koji će povećati ili smanjiti period funkcije. Kako bi se otkrilo razdoblje po grafika, potrebno je odrediti ekstreme funkcije - najvišu i najnižu točku grafa funkcije. Budući da sinusni i kosinusni valovi imaju valnu prirodu, to je prilično lako učiniti. Iz ovih točaka konstruirajte okomite ravne linije dok se ne sijeku s X osi.

4. Udaljenost od gornjeg do donjeg ekstremuma bit će polovica perioda funkcije. Svima je prikladnije izračunati razdoblje od sjecišta grafikona s Y osi i, prema tome, nulte oznake na x osi. Nakon toga, trebate pomnožiti dobivenu vrijednost s dva i dobiti pivot period funkcije.

5. Kako biste olakšali iscrtavanje sinusne i kosinusne krivulje, morate imati na umu da ako funkcija ima cjelobrojnu vrijednost, tada će se njezino razdoblje produžiti (odnosno, 2P se mora pomnožiti s ovim pokazateljem), a grafikon će izgledati mekše i glatko ; a ako je broj razlomački, naprotiv, smanjit će se i grafikon će postati „oštriji“, izgledati kao skok.

Video na temu

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Algebra i početak analize, 10. razred ( razini profila) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Učitelj Volkova S.E.

Definicija 1 Za funkciju y = f (x), x ∈ X kaže se da ima period T ako za bilo koji x ∈ X vrijedi jednakost f (x – T) = f (x) = f (x + T). Ako je funkcija s periodom T definirana u točki x, tada je definirana i u točkama x + T, x – T. Svaka funkcija ima period jednak nuli u T = 0, dobivamo f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .

Definicija 2. Funkcija koja ima period T različit od nule naziva se periodičkom. Ako funkcija y = f (x), x ∈ X ima period T, tada je svaki broj koji je višekratnik T (to jest, broj oblika kT, k ∈ Z) također njezin period.

Dokaz Neka je 2T period funkcije. Tada je f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Slično se dokazuje da je f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), itd. Dakle, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Najmanji period među pozitivnim periodima periodičke funkcije naziva se glavni period te funkcije.

Značajke grafa periodične funkcije Ako je T glavni period funkcije y = f(x), tada je dovoljno: konstruirati granu grafa na jednom od intervala duljine T, izvršiti paralelnu translaciju ove grane duž osi x za ±T, ±2T, ±3T, itd. Obično se odabire razmak s krajevima u točkama

Svojstva periodičnih funkcija 1. Ako je f(x) periodična funkcija s periodom T, tada je i funkcija g(x) = A f(kx + b), gdje je k > 0, također periodična s periodom T 1 = T/ k. 2. Neka su funkcije f 1 (x) i f 2 (x) definirane na cjelini brojna os i periodični su s periodima T 1 > 0 i T 2 > 0. Tada je za T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) periodična funkcija s periodom T jednakom najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva T 1 i T 2.

Primjeri 1. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realni brojevi. Njegov period je 3 i f(0) =4. Pronađite vrijednost izraza 2f(3) – f(-3). Riješenje. T = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Zamjenom dobivenih vrijednosti u izraz 2f (3) - f(-3) , dobivamo 8 - 4 =4 . Odgovor: 4.

Primjeri 2. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realne brojeve. Njegov period je 5, a f(-1) = 1. Nađite f(-12) ako je 2f(3) – 5f(9) = 9. Rješenje T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odgovor:7.

Korištena literatura A.G. Mordkovich, P.V.Semenov. Algebra i počeci analize (razina profila), 10. razred A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algebra i početak analize (profilna razina), 10. razred. Alati za učitelja

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

Periodni zakon i periodni sustav D.I. Mendeljejev.

Cjelovit sat na ovu temu provodi se u obliku igre, koristeći elemente tehnologije iz pedagoških radionica....

Izvannastavni događaj "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendelejeva"

Izvannastavna aktivnost otkriva povijest nastanka periodnog zakona i periodnog sustava D.I. Mendeljejev. Informacije su predstavljene u pjesnički oblik, koji potiče brzo pamćenje...

Dodatak izvannastavnoj aktivnosti "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendeljejeva"

Otvorenju zakona prethodio je dug i intenzivan znanstveni rad DI. Mendeljejeva 15 godina, a daljnjem produbljivanju dano je još 25 godina....

Argument x, tada se naziva periodičnim ako postoji broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Taj se broj T naziva periodom funkcije.

Može postojati nekoliko razdoblja. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njezinom periodom.

Obično vas zanima najmanji period funkcije različit od nule. Radi sažetosti, jednostavno se naziva razdoblje.

Klasičan primjer periodičkih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangens. Njihov period je isti i jednak 2π, odnosno sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tako dalje. No, naravno, trigonometrijske funkcije nisu jedine periodične.

Za jednostavne, osnovne funkcije, jedini način da se utvrdi jesu li periodične ili neperiodične je proračun. Ali za složene funkcije već ih ima nekoliko jednostavna pravila.

Ako je F(x) s periodom T, a za nju je definirana derivacija, tada je ta derivacija f(x) = F′(x) također periodična funkcija s periodom T. Uostalom, vrijednost derivacije u točki x je jednak tangensu tangentnog kuta grafa njegove antiderivacije u ovoj točki na x-os, a budući da se antiderivacija periodički ponavlja, derivacija se također mora ponavljati. Na primjer, derivacija funkcije sin(x) jednaka je cos(x) i periodična je. Uzimanje derivata cos(x) daje vam –sin(x). Frekvencija ostaje nepromijenjena.

Međutim, suprotno nije uvijek točno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njezina antiderivacija F(x) = const*x + C nije.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, tada je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante, a k nije jednako nuli - također periodična funkcija , a period mu je T/k. Na primjer, sin(2x) je periodična funkcija, a njezin period je π. To se može vizualno prikazati na sljedeći način: množenjem x s nekim brojem, čini se da komprimirate graf funkcije vodoravno točno toliko puta

Ako su F1(x) i F2(x) periodičke funkcije, a njihove su periode jednake T1 odnosno T2, tada zbroj tih funkcija također može biti periodičan. Međutim, njegovo razdoblje neće biti jednostavan zbroj razdoblja T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalan broj, tada je zbroj funkcija periodičan, a njegov period jednak najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihovog zbroja biti jednak LCM (12, 15) = 60.

Vizualno se to može prikazati na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim "širinama koraka", ali ako je omjer njihovih širina racionalan, tada će se prije ili kasnije (točnije, upravo kroz LCM koraka) ponovno izjednačiti, i njihov će se zbroj početi novo razdoblje.

Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, tada ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak kada se x podijeli s 2), i F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 će biti jednak 2π. Omjer perioda jednak je π – iracionalnom broju. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Ponavljanje njegovih vrijednosti u nekom redovnom intervalu argumenta, to jest, ne mijenjanje njegove vrijednosti kada se argumentu doda neki fiksni broj koji nije nula ( razdoblje funkcije) preko cijele domene definicije.

Formalnije rečeno, funkcija se naziva periodična s periodom T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ako za svaku točku x (\displaystyle x) iz svoje domene definicije točke x + T (\displaystyle x+T) I x − T (\displaystyle x-T) također pripadaju domeni njegove definicije i za njih vrijedi jednakost f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Na temelju definicije, jednakost vrijedi i za periodičku funkciju f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Gdje n (\displaystyle n)- bilo koji cijeli broj.

Međutim, ako skup razdoblja ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) dostupno najmanja vrijednost, onda se zove glavno (ili glavno) razdoblje funkcije.

Primjeri

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• Dirichletova funkcija je periodična; njen period je svaki racionalni broj različit od nule. Također nema glavno razdoblje.

Neke značajke periodičkih funkcija

I T 2 (\displaystyle T_(2))(međutim, ovaj broj će biti samo točka). Na primjer, funkcija f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) glavno razdoblje je 2 π (\displaystyle 2\pi ), na funkciji g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) razdoblje je 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), i njihov zbroj f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) glavno razdoblje je očito jednako π (\displaystyle \pi ).

• Zbroj dviju funkcija s nesumjerljivim periodima nije uvijek neperiodična funkcija.

Značajke konstruiranja grafa periodičnih funkcija

Graf periodične funkcije obično se prvo crta na intervalu [ x 0 ; x 0 + T). Izvršite paralelni prijenos točaka grafikona na cijelo definirano područje.

Primjeri periodičnih funkcija i njihovih grafova.

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Pogledajmo one glavne.

Funkcija F(x) =sin(x)

a) Domena definicije: D (sin x) = R .

b) Skup vrijednosti: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Par, nepar: funkcija je neparna.

d) Periodičnost: periodička funkcija s glavnim periodom.

e) Nule funkcije: sin x = 0 za , n Z.

f) Intervali konstantnog predznaka funkcije:

g) Intervali monotonosti: funkcija raste kao ;

funkcija opada kao,

h) Ekstremumi funkcije:
; .

Graf funkcije y= sin x prikazan je na slici.

Funkcija F(x) = cos(x)

a) Opseg definicije.

b) Višestruke vrijednosti: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] .

c) Par, nepar: funkcija je parna.

G ) Periodičnost: funkcija je periodička s glavnim periodom.

d) Nule funkcije: pri .

e) Intervali konstantnosti predznaka:

g) Intervali monotonije:

funkcija raste kao ;

funkcija se smanjuje kao

h) Ekstremi:

Graf funkcije g=cos x prikazano na slici.

Funkcija F(x) = tan(x)

a) Opseg definicije:

b) Skup vrijednosti: E()

c) Parni, neparni. Funkcija je čudna.

d) Učestalost. Periodična funkcija s glavnom periodom

e) Nule funkcije: tan x = 0 za x = n, n Z.

f) Intervali postojanosti predznaka:

g) Intervali monotonosti: funkcija raste na svakom intervalu koji u potpunosti pripada njezinoj domeni definicije.

h) Ekstremi: ne.

Graf funkcije g= tg x prikazano na slici.

Funkcija F(x) = cot(x)

a) Domena definicije: D (ctg x) = R\ ( n(n Z)).

b) Više vrijednosti: E (ctg x) = R .
c) Par, nepar je neparna funkcija.

d) Periodičnost: periodička funkcija s glavnim periodom T = .

e) Nule funkcije: cot x = 0 pri x = /2 + n, n Z.

f) Intervali konstantnosti predznaka;

g) Intervali monotonosti: funkcija opada na svakom intervalu koji u cijelosti pripada njezinoj domeni definicije.

h) Ekstremi: ne.

Graf funkcije y = ctg x prikazan je na slici.

Zanimljivi grafikoni se dobivaju pomoću superpozicije - formiranja složenih funkcija na temelju trigonometrijskih periodičnih funkcija.

Graf periodičke funkcije

II. Primjene periodičkih funkcija. Periodične fluktuacije.

Oscilacije.

Oscilacije su procesi koji se razlikuju u različitim stupnjevima ponovljivosti. Oscilacije su procesi koji se ponavljaju u pravilnim intervalima (međutim, nisu svi ponavljajući procesi oscilacije). Ovisno o fizičkoj prirodi procesa koji se ponavlja, vibracije se razlikuju na mehaničke, elektromagnetske, elektromehaničke itd. Tijekom mehaničkih vibracija položaji i koordinate tijela povremeno se mijenjaju. Za električne - napon i struja. Ovisno o prirodi utjecaja na titrajni sustav, razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, samooscilacije i parametarske oscilacije.

Ponavljajuće procesi se kontinuirano odvijaju unutar bilo kojeg živog organizma, na primjer: kontrakcije srca, rad pluća; drhtimo kad nam je hladno; čujemo i govorimo zahvaljujući vibracijama bubnjića i glasnica; Kada hodamo, naše noge čine oscilatorne pokrete. Atomi od kojih smo sazdani vibriraju. Svijet u kojem živimo sklon je fluktuacijama.

Periodične fluktuacije.

Periodički nazivaju se takve oscilacije kod kojih se nakon određenog vremena ponavljaju sve karakteristike gibanja.

Za periodične oscilacije koriste se sljedeće karakteristike:

period oscilacije T, jednako vremenu tijekom kojeg se dogodi jedna potpuna oscilacija;

frekvencija osciliranjaν, jednak broju oscilacije izvedene u jednoj sekundi (ν = 1/T);

Parametarske oscilacije se ostvaruju periodičkom promjenom parametara oscilirajućeg sustava (osoba koja se ljulja na ljuljački povremeno podiže i spušta svoje težište, čime se mijenjaju parametri sustava). Pod određenim uvjetima sustav postaje nestabilan - slučajno odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i povećanja oscilacija. Ta se pojava naziva parametarsko pobuđivanje oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sustava), a same oscilacije nazivaju se parametrijske. Unatoč različitim fizička priroda, oscilacije karakteriziraju isti uzorci koji se proučavaju opće metode. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracija. Određeno je tipom vremenske funkcije koja opisuje promjenu jednog ili drugog fizička količina tijekom fluktuacija. Najvažnije su one oscilacije kod kojih se fluktuirajuća veličina tijekom vremena mijenja prema zakonu sinusa ili kosinusa. Zovu se harmonički. Ova vrsta oscilacija posebno je važna iz sljedećih razloga. Prvo, vibracije u prirodi i tehnici često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi drugačijeg oblika (s različitom vremenskom ovisnošću) mogu se prikazati kao impozicija, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.