Ova lekcija pokriva koncept algebarskog razlomka. Ljudi se susreću s razlomcima u najjednostavnijim životnim situacijama: kada je potrebno podijeliti predmet na nekoliko dijelova, na primjer, rezati tortu jednako na deset ljudi. Očito, svatko dobiva dio kolača. U ovom slučaju suočeni smo s pojmom numeričke frakcije, ali je moguća situacija kada je objekt podijeljen na nepoznati broj dijelova, na primjer, x. U ovom slučaju javlja se koncept frakcijskog izraza. S cijelim izrazima (ne sadrže dijeljenje na izraze s varijablama) i njihovim svojstvima već ste se upoznali u 7. razredu. Zatim ćemo pogledati koncept racionalnog razlomka, kao i prihvatljive vrijednosti varijabli.

Racionalni izrazi se dijele na cjelobrojni i razlomački izrazi.

Definicija.Racionalni razlomak je frakcijski izraz oblika , gdje su polinomi. - brojnik, - nazivnik.

Primjeriracionalni izrazi:- frakcijski izrazi; - cijeli izrazi. U prvom izrazu, na primjer, brojnik je , a nazivnik je .

Značenje algebarski razlomak kao bilo tko algebarski izraz, ovisi o numeričkoj vrijednosti varijabli koje su u njega uključene. Konkretno, u prvom primjeru vrijednost razlomka ovisi o vrijednostima varijabli i , au drugom primjeru samo o vrijednosti varijable .

Razmotrimo prvi tipični zadatak: izračunavanje vrijednosti racionalni razlomak za različite vrijednosti varijabli uključenih u njega.

Primjer 1. Izračunajte vrijednost razlomka za a), b), c)

Otopina. Zamijenimo vrijednosti varijabli u naznačeni razlomak: a), b), c) - ne postoji (budući da ne možete podijeliti s nulom).

Odgovor: a) 3; b) 1; c) ne postoji.

Kao što vidite, dva tipična problema javljaju se za svaki razlomak: 1) izračunavanje razlomka, 2) pronalaženje važeće i nevažeće vrijednosti slovne varijable.

Definicija.Važeće vrijednosti varijable- vrijednosti varijabli pri kojima izraz ima smisla. Skup svih mogućih vrijednosti varijabli naziva se ODZ ili domena definicije.

Vrijednost literalnih varijabli može biti nevažeća ako je nazivnik razlomka na tim vrijednostima nula. U svim ostalim slučajevima, vrijednosti varijabli su važeće, budući da se ulomak može izračunati.

Primjer 2.

Otopina. Da bi ovaj izraz imao smisla, potrebno je i dovoljno da nazivnik razlomka nije jednak nuli. Dakle, samo one vrijednosti varijable bit će nevažeće za koje je nazivnik jednak nuli. Nazivnik razlomka je , pa rješavamo linearnu jednadžbu:

Stoga, s obzirom na vrijednost varijable, razlomak nema značenje.

Odgovor: -5.

Iz rješenja primjera slijedi pravilo za pronalaženje nevažećih vrijednosti varijabli - nazivnik razlomka je jednak nuli i nalaze se korijeni odgovarajuće jednadžbe.

Pogledajmo nekoliko sličnih primjera.

Primjer 3. Utvrdite na kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla .

Otopina..

Odgovor..

Primjer 4. Utvrdite pri kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Otopina..

Postoje i druge formulacije ovog problema - nađi domena definicije ili raspon prihvatljivih vrijednosti ekspresije (APV). To znači pronaći sve važeće vrijednosti varijabli. U našem primjeru, to su sve vrijednosti osim . Pogodno je prikazati domenu definicije na brojčanoj osi.

Da bismo to učinili, na njemu ćemo izrezati točku, kao što je prikazano na slici:

Riža. 1

dakle, domena definicije razlomaka bit će svi brojevi osim 3.

Odgovor..

Primjer 5. Utvrdite pri kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Otopina..

Oslikajmo dobiveno rješenje na numeričkoj osi:

Riža. 2

Odgovor..

Primjer 6.

Otopina.. Dobili smo jednakost dviju varijabli, dat ćemo numeričke primjere: ili itd.

Prikažimo ovo rješenje na grafu u kartezijevom koordinatnom sustavu:

Riža. 3. Grafik funkcije

Koordinate bilo koje točke koja leži na ovom grafikonu nisu uključene u raspon prihvatljivih vrijednosti razlomaka.

Odgovor..

U razmotrenim primjerima naišli smo na situaciju u kojoj je došlo do dijeljenja s nulom. Razmotrimo sada slučaj kada dolazi do zanimljivije situacije s podjelom tipa.

Primjer 7. Utvrdite pri kojim vrijednostima varijabli razlomak nema smisla.

Otopina..

Ispada da razlomak nema smisla na . No netko bi mogao tvrditi da to nije slučaj jer: .

Može se činiti da ako je konačni izraz jednak 8 na , tada se izvorni također može izračunati, pa stoga ima smisla na . Međutim, ako ga zamijenimo u izvorni izraz, dobivamo - nema smisla.

Odgovor..

Da bismo detaljnije razumjeli ovaj primjer, riješimo sljedeći problem: pri kojim vrijednostima je navedeni razlomak jednak nuli?

Ali tada smo ga formulirali u "pojednostavljenom" obliku, prikladnom i dovoljnom za rad s običnim razlomcima. U ovom ćemo članku pogledati osnovna svojstva razlomaka koja se primjenjuju na algebarske razlomke (tj. razlomke čiji su brojnik i nazivnik polinomi; u nekim udžbenicima algebre takvi se razlomci nazivaju racionalnim razlomcima, a ne algebarskim). Prvo formulirajmo glavno svojstvo algebarskog razlomka, obrazložit ćemo ga, a nakon toga navest ćemo glavna područja njegove primjene.

Navigacija po stranici.

Formulacija i obrazloženje

Za početak, podsjetimo se kako je formulirano osnovno svojstvo razlomka za obične razlomke: ako se i brojnik i nazivnik običnog razlomka pomnože ili podijele nekim prirodnim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti. Ova tvrdnja odgovara jednakostima i (koje vrijede i s preuređenim dijelovima u obliku i ), gdje su a, b i m neki.

Zapravo, nema potrebe govoriti o dijeljenju brojnika i nazivnika brojem - ovaj slučaj pokriva jednakost oblika . Na primjer, jednakost se može opravdati podjelom koristeći jednakost kao , ali se može opravdati i na temelju jednakosti kao . Stoga ćemo dalje glavno svojstvo razlomka povezivati ​​s jednakošću (i), a nećemo se zadržavati na jednakosti (i).

Sada ćemo pokazati da glavno svojstvo razlomka vrijedi i za razlomke čiji su brojnik i nazivnik . Da bismo to učinili, dokazujemo da je zapisana jednakost istinita ne samo za prirodne brojeve, već i za sve realne brojeve. Drugim riječima, dokazat ćemo da jednakost vrijedi za sve realne brojeve a, b i m, a b i m su različiti od nule (inače ćemo naići na dijeljenje s nulom).

Neka je razlomak a/b prikaz broja z, tj. Dokažimo da i razlomak odgovara broju z, odnosno dokažimo da je . Ovo će dokazati jednakost.

Vrijedno je napomenuti da ako algebarski razlomak ima frakcijske koeficijente, tada nam množenje njegovog brojnika i nazivnika s određenim brojem omogućuje prijelaz na cjelobrojne koeficijente i time pojednostavljuje njegov oblik. Na primjer, . A pravila za promjenu predznaka članova algebarskog razlomka temelje se na množenju brojnika i nazivnika s minus jedan.

Druga najvažnija primjena osnovnog svojstva razlomaka je redukcija algebarskih razlomaka. U općem slučaju redukcija se provodi u dvije faze: prvo se faktoriziraju brojnik i nazivnik, što omogućuje pronalaženje zajedničkog faktora m, a zatim se na temelju jednakosti prelazi na razlomak oblik a/b bez ovog zajedničkog faktora. Na primjer, algebarski razlomak nakon rastavljanja brojnika i nazivnika ima oblik www.site, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne može se reproducirati u bilo kojem obliku niti koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.

§ 1 Pojam algebarskog razlomka

Algebarski razlomak je izraz

gdje su P i Q polinomi; P je brojnik algebarskog razlomka, Q je nazivnik algebarskog razlomka.

Evo primjera algebarskih razlomaka:

Svaki polinom je poseban slučaj algebarskog razlomka, jer se svaki polinom može napisati u obliku

Na primjer:

Vrijednost algebarskog razlomka ovisi o vrijednosti varijabli.

Na primjer, izračunajmo vrijednost razlomka

1)

2)

U prvom slučaju dobivamo:

Imajte na umu da se ovaj ulomak može smanjiti:

Stoga je izračunavanje vrijednosti algebarskog razlomka pojednostavljeno. Iskoristimo ovo.

U drugom slučaju dobivamo:

Kao što vidite, s promjenom vrijednosti varijabli promijenila se i vrijednost algebarskog ulomka.

§ 2 Dopuštene vrijednosti varijabli algebarskog razlomka

Razmotrimo algebarski razlomak

Vrijednost x = -1 nije važeća za ovaj razlomak, jer nazivnik razlomka pri ovoj vrijednosti x postaje nula. Uz ovu vrijednost varijable, algebarski razlomak nema nikakvog značenja.

Dakle, dopuštene vrijednosti varijabli algebarske frakcije su one vrijednosti varijabli kod kojih nazivnik frakcije ne nestaje.

Riješimo nekoliko primjera.

Pri kojim vrijednostima varijable algebarski ulomak nema smisla:

Da biste pronašli nevažeće vrijednosti varijabli, nazivnik razlomka postavlja se na nulu i pronalaze se korijeni odgovarajuće jednadžbe.

Pri kojim je vrijednostima varijable algebarski razlomak jednak nuli:

Razlomak je jednak nuli ako je brojnik nula. Izjednačimo brojnik našeg razlomka s nulom i pronađemo korijene dobivene jednadžbe:

Dakle, za x = 0 i x = 3, ovaj algebarski razlomak nema smisla, što znači da moramo isključiti ove vrijednosti varijable iz odgovora.

Dakle, u ovoj ste lekciji naučili osnovne koncepte algebarskog razlomka: brojnik i nazivnik razlomka, kao i prihvatljive vrijednosti varijabli algebarskog razlomka.

Popis korištene literature:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Na 2 sata 1. dio Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. – 9. izd., revidirano. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 str.: ilustr.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Na 2 sata 2. dio Knjiga zadataka za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulčinskaja. – 8. izdanje, – M.: Mnemosyne, 2006. – 239 str.
3. Algebra. 8. razred. Testovi za studente obrazovnih institucija L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 str.
4. Algebra. 8. razred. Samostalni rad za studente odgojno-obrazovnih ustanova: uz udžbenik A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich. 9. izd. izbrisano. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 str.

Kada učenik uđe u srednju školu, matematika se dijeli na dva predmeta: algebru i geometriju. Pojmova je sve više, zadaci su sve teži. Neki ljudi imaju poteškoća s razumijevanjem razlomaka. Propustio sam prvu lekciju na ovu temu, i evo. razlomci? Pitanje koje će me mučiti cijeli školski život.

Pojam algebarskog razlomka

Počnimo s definicijom. Pod algebarski razlomak odnosi se na izraze P/Q, gdje je P brojnik, a Q nazivnik. Ispod slovnog unosa može se sakriti broj, brojčani izraz ili brojčano-slovni izraz.

Prije nego što se pitate kako riješiti algebarske razlomke, prvo morate shvatiti da je takav izraz dio cjeline.

Cijeli broj je u pravilu 1. Broj u nazivniku pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena. Brojnik je potreban da bi se saznalo koliko je elemenata uzeto. Crta razlomka odgovara znaku dijeljenja. Dopušteno je pisati razlomačke izraze kao matematičku operaciju “dijeljenje”. U ovom slučaju, brojnik je dividenda, nazivnik je djelitelj.

Osnovno pravilo običnih razlomaka

Kada učenici proučavaju ovu temu u školi, daju im se primjeri za učvršćivanje. Da biste ih ispravno riješili i pronašli različite izlaze iz složenih situacija, morate primijeniti osnovno svojstvo razlomaka.

To ide ovako: ako i brojnik i nazivnik pomnožite istim brojem ili izrazom (osim nule), vrijednost običnog razlomka se ne mijenja. Poseban slučaj ovog pravila je dijeljenje obiju strana izraza istim brojem ili polinomom. Takve se transformacije nazivaju identične jednakosti.

U nastavku ćemo pogledati kako riješiti zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka, množenje, dijeljenje i smanjivanje razlomaka.

Matematičke operacije s razlomcima

Pogledajmo kako riješiti glavno svojstvo algebarskog razlomka i kako ga primijeniti u praksi. Ako trebate pomnožiti dva razlomka, zbrojiti ih, podijeliti jedan s drugim ili oduzeti, uvijek se morate pridržavati pravila.

Dakle, za operaciju zbrajanja i oduzimanja potrebno je pronaći dodatni faktor kako bi se izrazi doveli na zajednički nazivnik. Ako su razlomci inicijalno dani s istim izrazima Q, tada ovaj stavak treba izostaviti. Kad se pronađe zajednički nazivnik, kako riješiti algebarske razlomke? Trebate zbrajati ili oduzimati brojnike. Ali! Morate imati na umu da ako postoji znak "-" ispred razlomka, svi znakovi u brojniku su obrnuti. Ponekad ne biste trebali izvoditi nikakve zamjene ili matematičke operacije. Dovoljno je promijeniti predznak ispred razlomka.

Koncept se često koristi kao smanjivanje razlomaka. To znači sljedeće: ako se brojnik i nazivnik podijeli izrazom koji nije jedan (isti za oba dijela), tada se dobije novi razlomak. Dividend i djelitelj su manji nego prije, ali zbog osnovnog pravila razlomaka ostaju jednaki izvornom primjeru.

Svrha ove operacije je dobiti novi nesvodivi izraz. Ovaj problem možete riješiti smanjivanjem brojnika i nazivnika za najveći zajednički faktor. Algoritam rada sastoji se od dvije točke:

1. Pronalaženje gcd za obje strane razlomka.
2. Dijeljenje brojnika i nazivnika pronađenim izrazom i dobivanje nesvodivog razlomka jednakog prethodnom.

Ispod je tablica koja prikazuje formule. Radi praktičnosti, možete ga ispisati i nositi sa sobom u bilježnici. Međutim, kako u budućnosti, prilikom rješavanja testa ili ispita, ne bi bilo poteškoća u pitanju rješavanja algebarskih razlomaka, ove formule morate naučiti napamet.

Nekoliko primjera s rješenjima

S teorijskog gledišta razmatra se pitanje kako riješiti algebarske razlomke. Primjeri navedeni u članku pomoći će vam da bolje razumijete materijal.

1. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

2. Pretvori razlomke i dovedi ih na zajednički nazivnik.

Nakon proučavanja teorijskog dijela i razmatranja praktičnog dijela više se ne bi trebalo postavljati nikakva pitanja.

U § 42 je rečeno da ako se dijeljenje polinoma ne može izvršiti u potpunosti, onda se kvocijent piše u obliku razlomka u kojem je djelitelj brojnik, a djelitelj nazivnik.

Primjeri frakcijskih izraza:

Brojnik i nazivnik razlomaka mogu i sami biti izrazi razlomaka, na primjer:

Od frakcijskih algebarskih izraza najčešće imate posla s onima u kojima su brojnik i nazivnik polinomi (osobito monomi). Svaki takav izraz naziva se algebarski razlomak.

Definicija. Algebarski izraz koji je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi naziva se algebarski razlomak.

Kao i u aritmetici, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka nazivaju se članovima razlomka.

U budućnosti, nakon proučavanja operacija na algebarskim razlomcima, moći ćemo transformirati bilo koji frakcijski izraz u algebarski razlomak koristeći identične transformacije.

Primjeri algebarskih razlomaka:

Imajte na umu da se cijeli izraz, odnosno polinom, može napisati kao razlomak; za to je dovoljno upisati ovaj izraz u brojnik, a 1 u nazivnik.

2. Prihvatljive vrijednosti slova.

Slova uključena samo u brojnik mogu poprimiti bilo koje vrijednosti (osim ako uvjetom problema nisu uvedena dodatna ograničenja).

Za slova uključena u nazivnik, prihvatljive su samo one vrijednosti koje nazivnik ne pretvaraju u nulu. Stoga ćemo u nastavku uvijek pretpostavljati da nazivnik algebarskog razlomka nije jednak nuli.