Predavanje 13. Maxwellova generalizacija ideja o elektromagnetskoj indukciji. Međuodnos promjenljivih električnih i magnetskih polja. Maxwellove jednadžbe u integralnom i diferencijalnom obliku, njihova fizikalna interpretacija električnih i magnetskih polja.

O klasičnoj teoriji elektromagnetske interakcije i njenom nositelju - elektromagnetskom polju - ponekad kažu da su Maxwellova elektrodinamika Maxwellove jednadžbe. Maxwell je 60-ih godina prošlog stoljeća izveo rad sličan onom koji je dva stoljeća prije njega izveo Newton. Ako je Newton dovršio stvaranje prve temeljne teorije pokret, tada je Maxwell dovršio stvaranje prve fizikalne teorije interakcije(elektromagnetski). Kao i Newtonova klasična mehanika, Maxwellova elektrodinamika također se temeljila na nekim izuzetno temeljnim i elementarnim odnosima, izraženim jednadžbama koje su dobile ime Maxwell.

Ove jednadžbe imaju dva oblika - integralni i diferencijalni izraz, a zapravo izražavaju odnos između karakteristika elektromagnetskog polja i karakteristika izvora (naboja i struja), to je generirajuće polje. Ta veza nema tako jednostavan izraz kao npr. veza između mjera gibanja i međudjelovanja, izražena osnovnim zakonom dinamike - drugim Newtonovim zakonom. Stoga se Maxwellove jednadžbe, koje izražavaju osnovnu ideju elektrodinamike - doktrinu elektromagnetske interakcije - pojavljuju kada se proučava na sveučilištu - tek na kraju tečaja.

Kao i bilo koje druge krajnje općenite teorijske postavke, Maxwellove jednadžbe nisu formalno izvedene unutar okvira same elektrodinamike. Dobiveni su kao rezultat kreativne generalizacije različitih eksperimentalnih materijala, a njihova ispravnost potvrđena je različitim posljedicama i praktičnim primjenama.

Prije Maxwella bio je poznat cjelovit sustav elektro- i magnetskih jednadžbi statika i jedna elektro jednadžba zvučnici- jednadžba koja izražava zakon elektromagnetske indukcije. Općenito, ovaj skup jednadžbi nije bio potpuni sustav koji je jedinstveno definirao stanje elektromagnetskog polja. Da bi dobio takav sustav, Maxwell je generalizirao zakon elektromagnetske indukcije e = - dF¤dt, zapisavši njegovu jednadžbu u integralnom obliku:

= -= - (vektor ovisi i o t i , a protok F = - samo o t)

Rezultirajuća jednadžba može se smatrati teoremom o vektorskoj cirkulaciji u elektrostatici generaliziranoj na vrtložno električno polje. Ovdje je Maxwell zapravo izbacio provodni krug koji je imao Faraday i koji je, prema Maxwellu, bio jednostavno pokazatelj prisutnosti (induciranim strujama) vrtložnog električnog polja u području oko promjenjivog magnetskog polja.

U obliku zakona elektromagnetske indukcije koji je predstavio Maxwell, jasnije se otkriva fizikalna bit fenomena, prema kojem izmjenično magnetsko polje stvara vrtložno (s cirkulacijom različitom od nule) električno polje u okolnom prostoru. Prikazavši na ovaj način fenomen elektromagnetske indukcije, Maxwell je mogao, na temelju razmatranja simetrije, sugerirati mogućnost postojanja u prirodi učinka suprotnog od elektromagnetske indukcije. Može se nazvati magnetoelektrična indukcija, čija je bit da električno polje koje se mijenja tijekom vremena stvara magnetsko polje u okolnom prostoru. Formalno, ovo je zapisano tako da je kruženje jakosti magnetskog polja jednako brzini promjene u vremenu toka indukcije električnog polja. Uzimajući u obzir činjenicu da je magnetsko polje od samog početka (od statičkog stanja) vrtložno, odnosno da je za njega cirkulacija uvijek različita od nule, generalizirani odnos između magnetskog i električnog polja će imati oblik:

I + I cm, gdje je I cm =

Ovdje je brzina promjene toka indukcije električnog polja formalno ekvivalentna određenoj struji. Ova struja se zove struja pomaka. Može se zamisliti da ta struja, takoreći, zatvara tok struje u strujnom krugu, na primjer, s kondenzatorima, kroz koje ne teče uobičajena vodljiva struja. Gustoća struje pomaka jednaka je brzini promjene električnog pomaka (vektora): = (¶/¶t). Kada se nabijeni kondenzator isprazni, vodljiva struja teče kroz žice, a, osim toga, električno polje se smanjuje (mijenja) u prostoru između ploča.

Brzina promjene indukcije električnog polja, odnosno ¶¤¶t je gustoća struje pomaka. Struja pomaka zatvara struju provođenja u međuprostorima vodiča. Ona, poput kondukcijske struje, stvara oko sebe magnetsko polje, au dielektriku (gdje se naziva polarizacijska struja) stvara toplinu - tzv. dielektrične gubitke.

Dakle, sada možemo napisati kompletan sustav jednadžbi jedinstvenog elektromagnetskog polja - Maxwellov sustav jednadžbi:

U statičkom stanju, električno (elektrostatičko) polje generiraju samo stacionarni (ili jednoliko pokretni) električni naboji u danom ISO i potencijalno je (ima nultu cirkulaciju). Magnetostatsko polje generiraju samo struje i uvijek je nepotencijalno (vrtložno). Elektrostatičko polje, čiji su izvori naboji, ima početak linija polja na pozitivnim nabojima, a kraj na negativnim nabojima (ili u beskonačnosti). Magnetsko polje nema takve izvore, jer magnetski monopoli još nije otkrivena, pa su stoga njezine linije sile, čak i u statičkom stanju, zatvorene, nemaju ni početka ni kraja.

U dinamičkom, nestacionarnom stanju, kada izvori polja i sama polja koja oni stvaraju postaju vremenski promjenjivi, otkriva se nova temeljna značajka električnih i magnetskih nestacionarnih polja. Ispostavilo se da u tom stanju oni stječu sposobnost da generiraju jedni druge, da postanu jedni drugima izvori. Kao rezultat, nastaje novo neraskidivo međusobno povezano stanje jednog elektromagnetskog polja. Maxwellova prva jednadžba, kao što je već spomenuto, pokazuje da vremenski promjenjivo magnetsko polje stvara vrtložno električno polje u okolnom prostoru. Maxwellova druga jednadžba kaže da magnetsko polje ne stvaraju samo struje, već i vremenski promjenjivo električno polje. Slijedom toga možemo zaključiti da su promjenjiva (nestacionarna) električna i magnetska polja međusobni izvori, a njihova je razlika u velikoj mjeri relativna. U nestacionarnom stanju, oni mogu postojati potpuno neovisno o izvorima (izmjeničnim strujama) koji ih generiraju, u obliku jedinstvenog neraskidivog elektromagnetskog polja.

Posljednje dvije Maxwellove jednadžbe ukazuju na različitu prirodu simetrije električnog i magnetskog stacionarnog polja.

Da bi se riješio glavni problem elektrodinamike, Maxwellove jednadžbe, koje izražavaju njezinu temeljnu ideju (veza između karakteristika polja i karakteristika njegovih izvora), moraju se nadopuniti tzv. materijalne jednadžbe, povezivanje karakteristika polja sa karakteristikama materijalne sredine. Ove jednadžbe su:

E o e; = m o m i = g, gdje su e i m dielektrična i magnetska permeabilnost medija, a g je specifična električna vodljivost medija.

Maxwellove jednadžbe često se pišu u kompaktnijem - diferencijalnom obliku, koji se dobiva iz integralnog oblika prelaskom kontura i integracijskih ploha na nulu do granice: S ® 0 i L ® 0.

Predstavimo se vektorski operator, naziva "nabla" i označ Ñ , kao vektor sa sljedećim komponentama: Ñ = (¶/¶h, ¶/¶u, ¶/¶z).

Za bilo koje vektorsko polje () = (A x, A y, A z), važni su sljedeći skupovi diferencijalnih operacija:

a) skalar, tzv divergencija:Ñ= diu = ¶A x /¶x + ¶A y /¶y + ¶A z /¶z

b) vektor, tzv rotor :

Ñ = truljenje = (¶A y /¶ z - ¶A i /¶ y) + (¶A z /¶x - ¶A x /¶ z) + (¶A y /¶ X - ¶A X /¶ Y)

U ovoj notaciji, Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku imaju sljedeći oblik:

rot= - ¶/¶t ; truljenje = + ¶/¶t; diu = r; diu = 0

ili Ñ = - ¶/¶t ; Ñ = + ¶/¶t; Ñ = r; Ñ = 0

Maxwellove jednadžbe uključuju samo besplatno naboji r i struje provodljivost . Povezano optužbe i molekularni struje ulaze u te jednadžbe implicitno - kroz karakteristike medija - dielektričnu i magnetsku permeabilnost e i m.

Za prelazak na diferencijalni oblik pisanja teorema o cirkulaciji upotrijebit ćemo Stokesov teorem, poznat iz vektorske analize, koji povezuje cirkulaciju vektora s površinskim integralom rotora tog vektora:

gdje je S površina omeđena konturom L. Zavoj vektora se shvaća kao vektorski diferencijalni operator definiran na sljedeći način:

trulež = (¶E y /¶z - ¶E z /¶y) + (¶E z /¶x - ¶E x /¶z) + (¶E x /¶y - ¶E y /¶x)

Fizikalni smisao rotora otkriva se usmjeravanjem površine S na nulu. Unutar dovoljno male površine, rotor vektora se može smatrati konstantnim i izuzeti iz predznaka integrala:

= trulež × = trulež × S.

Zatim, prema Stokesovom teoremu: rot = (1/S)at S ® 0.

Odavde vektorski rotor može se definirati kao gustoća površinske cirkulacije ovog vektora.

Budući da je vektorska cirkulacija u ESP-u jednaka nuli, vektorski rotor je također jednak nuli:

Ova jednadžba je diferencijalni oblik teorema o vektorskoj cirkulaciji u ESP.

Da bismo prešli na diferencijalni oblik pisanja Ostrogradsky–Gaussovog teorema, koristimo Gaussov teorem, poznat iz vektorske analize, koji povezuje protok vektora preko zatvorene površine s integralom divergencije ovog vektora preko volumena zatvorenog u ovom površinski:

Divergencija vektora se shvaća kao skalarni diferencijalni operator (skup derivacija), definiran na sljedeći način:

div = ¶E x /¶x + ¶E y /¶y + ¶E z /¶z.

Fizičko značenje divergencije otkriva se usmjeravanjem volumena V na nulu. Unutar dovoljno malog volumena, divergencija vektora se može smatrati konstantnom i izuzeti iz predznaka integrala:

= div × = (1/V) div. Zatim, prema Gaussovoj teoremi ,

div = (1/V) pri V ® 0.

Odavde vektorska divergencija može se definirati kao volumetrijska gustoća toka ovog vektora.

Korelirajući Ostrogradsky – Gaussov teorem = q å /e o = (1/e o) i Gaussov teorem = , vidimo da su njihove lijeve strane međusobno jednake. Izjednačavanjem njihovih desnih strana dobivamo:

Ova jednadžba je diferencijalni oblik Ostrogradsky-Gaussovog teoreme.

Predavanje 14. Elektromagnetski valovi. Objašnjenje nastanka elektromagnetskih valova iz perspektive Maxwellovih jednadžbi. Jednadžba putujućeg elektromagnetskog vala. Valna jednadžba. Prijenos energije elektromagnetskim valovima. Umov - Pointingov vektor. Dipolno zračenje.

Elektromagnetski valovi su međusobno povezane oscilacije električnog i magnetskog polja koje se šire u prostoru. Za razliku od zvučnih (akustičnih) valova, elektromagnetski valovi mogu se širiti u vakuumu.

Kvalitativno, mehanizam nastanka slobodnog (iz izvora u obliku električnih naboja i struja) elektromagnetskog polja može se objasniti na temelju analize fizikalne suštine Maxwellovih jednadžbi. Dva temeljna učinka predstavljena Maxwellovim jednadžbama - elektromagnetska indukcija(generiranje izmjeničnog vrtložnog električnog polja izmjeničnim magnetskim poljem) i magnetoelektrična indukcija(generiranje izmjeničnog magnetskog polja izmjeničnim električnim poljem) dovode do mogućnosti da električno i magnetsko izmjenično polje budu međusobni izvori. Međusobno povezana promjena električnog i magnetskog polja predstavlja jedinstveno elektromagnetsko polje koje se može širiti u vakuumu brzinom svjetlosti
s = 3×10 8 m/s. Ovo polje je sposobno egzistirati potpuno neovisno o nabojima i strujama te općenito o materiji i predstavlja drugu (uz materiju) vrstu (oblik) polja postojanja materije.

Elektromagnetske valove eksperimentalno je otkrio 1886. G. Hertz, 10 godina nakon Maxwellove smrti, koji je teoretski predvidio njihovo postojanje. Iz Maxwellovih jednadžbi u nevodljivom mediju, gdje je r = 0 i = 0, uzimajući rad rotora iz prve jednadžbe i zamjenjujući izraz za truljenje iz druge jednadžbe u nju , dobivamo:

rot= - ¶/¶t = - m o m¶/¶t; rot rot= -m o m¶/¶t(rot) = - m o me o e¶ 2 /¶t 2 = - (1/u 2)¶E 2 /¶t 2 rot = ¶/¶t = e o e ¶/¶ t;

Iz vektorske analize poznato je da je rot rot = grad div– D, ali grad divº 0 i tada

D= 1/u 2)¶ 2 /¶t 2, gdje je D = ¶ 2 /¶x 2 + ¶ 2 /¶y 2 + ¶ 2 /¶z 2 - Laplaceov operator - zbroj druge parcijalne derivacije u odnosu na prostorne koordinate.

U jednodimenzionalnom slučaju dobivamo parcijalnu diferencijalnu jednadžbu tzv val:

¶ 2 /¶h 2 - 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 = 0

Isti tip jednadžbe dobiva se za indukciju magnetskog polja. Njegovo rješenje je putujući ravan monokromatski val, dan jednadžbom:

Cos (wt – kh + j) i =cos (wt – kh + j), gdje je w/k = u = 1/Ö(m o me o e) fazna brzina vala.

Vektori i promjena faze u vremenu, ali u međusobno okomitim ravninama i okomito na smjer širenja (brzinu vala): ^ , ^ , ^ .

Svojstvo međusobne okomitosti vektora i i i omogućuje nam da pripišemo elektromagnetski val poprečni valovi.

U vakuumu se elektromagnetski val širi brzinom svjetlosti u = c = 1/Ö(e o m o) = 3×10 8 m/s, a u materijalnom mediju val se usporava, brzina mu se smanjuje za faktor Ö (em), odnosno u = c/Ö(em) = 1/Ö(e o m o em).

U svakoj točki prostora vrijednosti vektora i su proporcionalne jedna drugoj. Omjer jakosti električnog i magnetskog polja određen je električnim i magnetskim svojstvima (permeabilnosti e i m) medija. Ovaj izraz je povezan s jednakošću volumenskih gustoća energije w e i w m električnog i magnetskog polja vala:

w e = e o eE 2 /2 = w m = m o mH 2 /2 Þ E/H = Ö(m o m/e o e).

Omjer E/H, kao što je lako vidjeti, ima dimenziju otpora: V/m: A/m = V/A = Ohm. U odnosu na vakuum, na primjer, E/H = Ö(m o /e o) = 377 Ohm - naziva se valna impedancija vakuuma. Omjer E/B = 1¤Ö(e o m o) = c = 3×10 8 m/s (u vakuumu).

Elektromagnetske oscilacije (elektromagnetski valovi) šireći se u prostoru prenose energiju bez prijenosa tvari - energiju električnog i magnetskog polja. Prethodno smo dobili izraze za volumetrijske gustoće energije električnog i magnetskog polja:

w e = e o eE 2 /2 i w m = m o mH 2 ¤2 [J / m 3 ].

Glavna karakteristika prijenosa energije valom je vektor gustoće toka energije koji se (u odnosu na elektromagnetske valove) naziva Pointingov vektor, brojčano jednaka energiji prenesenoj kroz jedinicu površine normalnu na smjer širenja vala, po jedinici vremena: = J/m 2 s = W/m 2.

U jedinici vremena sva energija sadržana u volumenu V paralelopipeda (valjka) s osnovicom od 1 m2 i visine jednake brzini širenja vala u, odnosno put koji val prijeđe po jedinici vrijeme će proći kroz jedinicu površine:

S = wV = wu = (w e + w m)¤Ö(e o m o em) = e o eE 2 ¤2Ö(e o m o em) + m o mN 2 ¤2Ö(e o m o em) = [Ö(e o e ¤m o m)]E 2 /2 + [Ö(m o m ¤e o e)] H 2 /2.

Kako je E/H = Ö(m o m/e o e), tada je S = EH/2 + HE/2 = EH.

U vektorskom obliku, Poyntingov vektor bit će izražen kao umnožak vektora jakosti električnog i magnetskog polja: = = w.

Najjednostavniji emiter elektromagnetskih valova je električni dipol, čiji se moment mijenja tijekom vremena. Ako su promjene u električnom momentu ponavljajuće, periodične prirode, tada se takav "oscilirajući dipol" naziva oscilator ili osnovni vibrator. Predstavlja najjednostavniji (elementarni) model radijacijskog sustava u elektrodinamici. Bilo koji električki neutralni emiter dimenzija L<< l в так называемой волновой или дальней зоне (при r >> l) ima isto polje (karakter raspodjele u prostoru) zračenja kao i oscilator s jednakim dipolnim momentom.

Oscilator se naziva linearnim ili harmonijskim ako mu se dipolni moment mijenja po harmonijskom zakonu: P = P m sin wt; R m = q l.

Kao što pokazuje teorija zračenja, trenutna snaga N zračenja elektromagnetskih valova od strane harmonijskog oscilatora proporcionalna je kvadratu druge derivacije promjene njegovog dipolnog momenta, odnosno:

N ~ ïd 2 R/dt 2 ï 2 ; N = m o ïd 2 R/dt 2 ï 2 /6ps = m o w 4 R m 2 sin 2 wt/6ps.

Prosječna snaga< N >dipolno zračenje tijekom perioda titranja jednako je:

< N >= (1/T)N dt = m o w 4 R m 2 /12ps

Zanimljiva je četvrta frekvencijska potencija u formuli za snagu zračenja. To je uglavnom razlog zašto se visokofrekventni nosivi signali koriste za prijenos radijskih i televizijskih informacija.

Dipol različito zrači u različitim smjerovima. U valnoj (dalekoj) zoni intenzitet J zračenja dipola je: J ~ sin 2 q ¤r 2, gdje je q kut između osi dipola i smjera zračenja. Ovisnost J (q) za fiksno r naziva se polarnim dijagramom zračenja dipola. Izgleda kao osmica. Pokazuje da dipol najjače zrači u smjeru q = p/2, odnosno u ravnini okomitoj na os dipola. Duž vlastite osi, odnosno kod q = 0 ili q = p, dipol uopće ne emitira elektromagnetske valove.

Jednadžba putujućeg monokromatskog vala E = E m cos (wt – kh + j) je idealizacija stvarnog valnog procesa. U stvarnosti bi to trebalo odgovarati beskonačnom nizu grba i udubina u vremenu i prostoru, koji se kreću u pozitivnom smjeru osi x brzinom u = w/k. Ova brzina se naziva fazna brzina, jer predstavlja brzinu kretanja u prostoru ekvifazne plohe (plohe konstantne faze). Doista, jednadžba ekvifazne površine ima oblik: F = (wt – kh + j) = const ili, inače, dF = 0, odnosno wdt - kdh = 0, odakle je dh/dt = u = w/k .

Realni valni procesi vremenski su ograničeni, odnosno imaju početak i kraj, a amplituda im se mijenja. Njihov analitički izraz može se prikazati kao skup, grupa, paket valova(monokromatski):

E = E m w cos (wt – k w x + j w)dw

s bliskim frekvencijama koje leže u uskom intervalu od w - Dw/2 do w + Dw/2, gdje je Dw<< w и близ­кими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е м w , волновыми числами k w и начальными фазами j w .

Kada se raspodijeli u vakuumu valovi bilo koje frekvencije imaju istu faznu brzinu u = c = 1¤Ö(e o m o) = 3×10 8 m/s, jednaku brzini svjetlosti. U materijalno okruženje Zbog međudjelovanja elektromagnetskog vala s nabijenim česticama (prvenstveno elektronima), brzina širenja vala počinje ovisiti o svojstvima medija, njegovoj dielektričnoj i magnetskoj propusnosti, prema formuli: u = 1/Ö(e o m o em ).

Pokazalo se da dielektrična i magnetska propusnost tvari ovise o frekvenciji (duljini) elektromagnetskog vala, a posljedično, fazna brzina širenja vala u tvari je različita za njegove različite frekvencije (valne duljine) . Ovaj efekt se zove disperzija elektromagnetski valovi, a medij se naziva raspršujući se. Materijalni medij može biti nedisperzivan samo u određenom, ne baš širokom frekvencijskom području. Jedini nedisperzni medij je vakuum.

Kada se distribuira u disperzivnoj sredini valni paket, njegovi sastavni valovi s različitim frekvencijama imat će različite brzine i tijekom vremena će se "udaljiti" jedan u odnosu na drugi. Paket valova postupno će se širiti i raspršiti u takvom mediju, što se odražava izrazom "disperzija".

Za karakterizaciju brzine širenja valnog paketa kao cjeline, uzmite brzinu njegovog širenja maksimalno- središte valnog paketa s najvećom amplitudom. Ova brzina se zove skupina i za razliku od fazne brzine u = w/k, ona se ne određuje preko omjera w/k, već preko derivacije u = dw/dk.

Naravno, u vakuumu, odnosno u odsutnosti disperzije, fazna brzina (brzina kretanja ekvifazne površine) i skupna brzina (brzina prijenosa energije valom) podudaraju se i jednake su brzini svjetlo. Koncept grupne brzine, definiran kroz derivaciju (brzina promjene kutne frekvencije s povećanjem valnog broja), primjenjiv je samo za blago disperzivne medije, gdje apsorpcija elektromagnetskih valova nije jako jaka. Dobivamo formulu za odnos grupne i fazne brzine:

u = dw/dk = u - (kl/k)×du/dl = u - l×du/dl.

Ovisno o predznaku derivacije du/dl, grupna brzina u = u - l×du/dl može biti manja ili veća od fazne brzine u elektromagnetskog vala u mediju.

U nedostatku disperzije du/dl = 0, a grupna brzina jednaka je faznoj brzini. Uz pozitivnu derivaciju du/dl > 0, grupna brzina je manja od fazne brzine, imamo slučaj tzv. normalna disperzija. Na du/dl< 0, групповая скорость волн больше фазовой: u >u, ovaj slučaj disperzije zove se anomalna disperzija.

Uzroci i mehanizam pojave disperzije mogu se jednostavno i jasno ilustrirati na primjeru prolaska elektromagnetskog vala kroz dielektrični medij. U njemu izmjenično električno polje stupa u interakciju s vanjskim elektronima vezanim u atomima tvari. Jačina električnog polja elektromagnetskog vala igra ulogu periodične pogonske sile za elektron, namećući mu prisilno oscilatorno gibanje. Kao što smo već analizirali, amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile, a tu su i razlozi disperzije elektromagnetskih valova u tvari i ovisnost dielektrične konstante tvari o frekvenciji elektromagnetski val laž.

Kada se elektron povezan s atomom pomakne na udaljenost x od ravnotežnog položaja, atom dobiva dipolni moment p = q e x, a uzorak kao cjelina je makrodipol s polarizacijom P = np = nq e x, gdje je n broj atoma po jedinici volumena , q e – naboj elektrona.

Iz povezanosti vektora i moguće je izraziti dielektričnu susceptibilnost a, permeabilnost e, a zatim i brzinu u elektromagnetskog vala u tvari:

P = e o aE = nq e x Þ a = nq e x/e o E; e = 1 + a = 1 + nq e x/e o E; u = c/Ö(em) » c/Öe (za m » 1). Za male x: u = c/Ö(1 + nq e x/e o E) » c/(1 + nq e x/2e o E).

Polazeći od drugog Newtonovog zakona za elektron elastično vezan za atom koji se nalazi u uznemirujućem električnom polju E = E m cos wt elektromagnetskog vala, nalazimo njegov pomak x od ravnotežnog položaja u atomu. Smatramo da se pomak x elektrona mijenja prema zakonu pogonske sile, odnosno x = X m cos wt.

ma = - kh – ru + F van; mx ¢¢ = - kh – rx ¢ + q e E, ili, za r = 0 Þ x ¢¢ + w o 2 x = q e E m cos wt/m,

gdje je w o 2 = k/m vlastita frekvencija titranja elektrona elastično vezanog za atom.

Rješenje x = X m cos wt zamijenimo u dobivenu diferencijalnu jednadžbu prisilnih oscilacija elektrona:

W 2 x + w o 2 x = q e E m cos wt/m Þ x = q e E m cos wt/ = q e E/

Dobiveni izraz za pomak x zamijenimo formulom za faznu brzinu elektromagnetskog vala:

u » c/(1 + nq e x/2e o E) = c/

Na frekvenciji w = w o fazna brzina u elektromagnetskog vala postaje nula.

Pri određenoj frekvenciji w r, pri kojoj je nq e 2 /me o (w o 2 - w r 2) = - 1, dolazi do diskontinuiteta fazne brzine vala. Vrijednost te “rezonantne” frekvencije je w r = w o + nq e 2 /me o » 10 17 s -1.

Oslikajmo dobivenu ovisnost fazne brzine o frekvenciji i valnoj duljini. Diskontinuirana priroda ovisnosti u(w), nazvana disperzija, posljedica je činjenice da smo zanemarili otpor medija i disipaciju energije vibracija, postavljajući koeficijent otpora r = 0. Uzimanje u obzir trenja dovodi do izglađivanja disperzijska krivulja i eliminacija diskontinuiteta.

Kako su frekvencija w i valna duljina l obrnuto proporcionalne (w = 2pn = 2ps/l), graf ovisnosti disperzije u(l) je inverzan grafu u(w).

U odsječku normalne disperzije 1 - 2 fazna brzina u veća je od brzine svjetlosti u vakuumu. To nije u suprotnosti s teorijom relativnosti, jer se pravi signal (informacija, energija) prenosi grupnom brzinom u, koja je ovdje manja od brzine svjetlosti.

Grupna brzina u = u - l×du/dl premašuje brzinu svjetlosti c u vakuumu u području anomalne disperzije 2 – 3, gdje fazna brzina u opada s povećanjem valne duljine l i izvod du/dl< 0. Но в области аномальной дисперсии имеет место сильное поглощение, и понятие групповой скорости становится неприменимым.

Predavanje 16. Predodžbe o prostoru i vremenu u modernoj fizici. Kombinacija prostora s vremenom u SRT. Relativnost klasičnih pojmova simultanosti, duljine i trajanja.

Godine 1905. A. Einstein je prvi put formalizirao u teorijski sustav kinematičke, tj. prostorno-vremenske koncepte, "sugerirane" iskustvom analize kretanja s velikim, tzv. relativističkim (razmjerljivim s brzinom svjetlosti c = 3 × 10 8 m/s u vakuumu) brzine.

U Newtonovoj mehanici koncepti prostor-vrijeme nisu bili posebno istaknuti i zapravo su se smatrali očitima, u skladu s vizualnim iskustvom sporih pokreta. Međutim, pokušaji u 19. stoljeću da se na temelju tih ideja objasne značajke širenja takvog relativističkog objekta kao što je svjetlost, doveli su do kontradikcije s iskustvom (Michelsonov eksperiment, 1881., 1887., itd.). Analizirajući nastalu problematičnu situaciju, A. Einstein je 1905. uspio formulirati dvije temeljne tvrdnje, nazvane postulati (principi), u skladu s iskustvom relativističkih (brzinskih) kretanja. Ove tvrdnje, nazvane Einsteinovim postulatima, činile su temelj njegove posebne (privatne) teorije relativnosti.

1. Einsteinov princip relativnosti: svi zakoni fizike su invarijantni u odnosu na izbor inercijalnog referentnog sustava (IRS), tj. u svakom IRS-u, zakoni fizike imaju isti oblik i ne ovise o proizvoljnosti subjekta (znanstvenika) u izboru IRS-a. . Ili, drugim riječima, svi ISO-ovi su jednaki u pravima; ne postoji privilegirani, odabrani, apsolutni ISO. Ili, opet, nikakvi fizički eksperimenti provedeni unutar ISO-a ne mogu odrediti kreće li se konstantnom brzinom ili miruje. Ovo načelo je u skladu s načelom objektivnosti znanja.

Prije Einsteina u mehanici je bilo poznato Galilejevo načelo relativnosti koje je bilo ograničeno na okvire samo mehaničkih pojava i zakona. Einstein ga je zapravo generalizirao na sve fizikalne pojave i zakone.

2. Načelo nepromjenjivosti (konstantnosti) i granica brzine svjetlosti. Brzina svjetlosti u vakuumu je konačna, ista u svim ISO-ima, tj. ne ovisi o relativnom kretanju izvora i primatelja svjetlosti i granična je brzina prijenosa međudjelovanja. Ovo načelo učvrstilo je u fizici koncept djelovanja kratkog dometa, koji je zamijenio prethodno dominantni koncept djelovanja dugog dometa, temeljen na hipotezi o trenutnom prijenosu međudjelovanja.

Iz dva Einsteinova principa (postulata) slijede za kinematiku najvažnije, općenitije od klasičnih (Galilejevih) transformacija, odnosno formule za odnos prostornih i vremenskih koordinata x, y, z, t istog događaja promatranog iz različitih ISO-a. .

Uzmimo poseban slučaj odabira dva ISO-a, u kojem se jedan od njih, označen s (K), giba u odnosu na drugi, označen s (K ¢), brzinom V duž x osi. U početnom trenutku vremena ishodišta koordinata O i O ¢ oba ISO-a su se poklapala, a poklapale su se i osi Y i Y ¢, kao i Z i Z ¢. U ovom slučaju, formule za transformaciju prostorno-vremenskih koordinata istog događaja pri prelasku s jednog ISO na drugi, nazvane Lorentzove transformacije, imaju sljedeći oblik:

x ¢ = (x - Vt)/Ö(1 - V 2 /s 2); y ¢ = y; z ¢ = z; t ¢ = (t - Vx/s 2)/Ö(1 - V 2 /s 2) -

Izravne Lorentzove transformacije (od ISO (K) do ISO (K ¢);

x = (x ¢ + Vt ¢)/Ö(1 - V 2 /s 2); y = y ¢; z = z ¢; t = (t ¢ + Vh ¢)/Ö(1 - V 2 /s 2) -

Inverzne Lorentzove transformacije (od ISO (K ¢) do ISO (K).

Lorentzove transformacije su općenitije u usporedbi s Galilejevim transformacijama, koje sadrže kao poseban, granični slučaj, koji vrijedi pri malim, predrelativističkim brzinama (u<< с и V << с) движений тел и ИСО. При таких, «клас­сических» скоростях, Ö(1 – V 2 /с 2) » 1, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
x¢ = x - Vt; y ¢ = y; z ¢ = z; t¢ = t i x = x¢ + Vt¢ ; y = y ¢; z = z ¢; t = t¢

U tom odnosu transformacijskih formula Lorentza i Galileija očituje se važno metodološko načelo znanstveno-teorijske spoznaje – načelo korespondencije. Prema načelu korespondencije, znanstvene teorije razvijaju se dijalektički na putu postupne generalizacije – širenja svog predmetnog područja. Pritom općenitija teorija ne ukida onu prethodnu, partikularnu, već samo otkriva njezina ograničenja, ocrtava okvire i okvire njezine valjanosti i primjenjivosti, te se i sama svodi na nju u području ovih granice.

Pojam “poseban” u nazivu Einsteinove teorije relativnosti upravo znači da je ona sama ograničena (partikularna) u odnosu na drugu teoriju, koju je također stvorio A. Einstein, nazvanu “opća teorija relativnosti”. Ona generalizira specijalnu teoriju relativnosti na bilo koji, a ne samo inercijski referentni okvir.

Iz Lorentzovih transformacija proizlazi niz kinematičkih posljedica koje proturječe vizualnim klasičnim konceptima i daju temelj da se relativistička kinematika i relativistička mehanika općenito nazovu teorijom relativnosti.

Što je relativno, odnosno ovisno o izboru ISO-a u SRT-u? Prije svega, činjenica o istovremenosti dvaju događaja, kao i duljina tijela i trajanje procesa, pokazuje se relativnom. U relativističkim dinamika Snaga, a za neke znanstvenike čak i masa, postaje relativna. Međutim, treba imati na umu da glavna stvar u svakoj teoriji nije relativna, već nepromjenjiva (stabilna, postojana, nepromjenjiva). Relativistička mehanika, otkrivajući relativnost nekih pojmova i veličina, zamjenjuje ih drugim nepromjenjivim veličinama, kao što je, na primjer, kombinacija energija-moment (tenzor).

1. Relativnost simultanosti događaja.

Neka se dva događaja dogode u ISO (K), određena koordinatama x 1, y 1, z 1, t 1 i x 2, y 2, z 2, t 2 i t 1 = t 2, tj. u ISO ( J ) ti se događaji događaju istovremeno.

Einsteinova ogromna zasluga bila je skrenuti pozornost na činjenicu da je u klasičnoj mehanici Galileo - Newton bilo potpuno nejasno kako zabilježiti činjenicu istovremenosti dvaju događaja smještenih na različitim mjestima. Intuitivno, u skladu s načelom djelovanja na velike udaljenosti, koje pretpostavlja beskonačnu brzinu širenja međudjelovanja (što je sasvim opravdano za spora kretanja), smatralo se očiglednim da odvojenost događaja u prostoru ne može utjecati na prirodu njihovog vremenskog kretanja. odnos. Einstein je predložio rigoroznu metodu za utvrđivanje činjenice istovremenosti višesjed događaja na temelju postavljanja sinkroniziranih satova na tim lokacijama. Predložio je sinkronizaciju satova pomoću stvarnog signala najveće brzine - svjetlosnog signala. Jedan od načina sinkronizacije satova u određenom ISO-u je sljedeći: sat koji se nalazi u točki s koordinatom x bit će sinkroniziran s jednim središtem u točki 0 - početku ISO-a, ako je u trenutku svjetlosni signal emitiran iz točke 0 u trenutku kada t o stigne do njih pokazat će vrijeme t x = t o + x/s.

Budući da se sinkronizacija provodi signalom izuzetno velike, ali ne beskonačne brzine, satovi sinkronizirani u jednom ISO-u bit će nesinkronizirani u drugom (iu svim ostalim) ISO-ima zbog relativnog pomicanja. Posljedica toga je relativnost istovremenosti događaja na različitim mjestima i relativnost vremenskih i prostornih intervala (trajanja i duljina).

Formalno, ovaj zaključak slijedi iz Lorentzovih transformacija kako slijedi:
u ISO (K ¢), događaj 1 odgovara trenutku t 1 ¢ = (t 1 - Vh 1 / s 2)/Ö(1 - V 2 / s 2), a događaju 2 ® trenutak t 2 ¢ = (t 2 – Vx 2 /s 2)/Ö(1 – V 2 /s 2), tako da kada je t 1 = t 2, t 2 ¢ – t 1 ¢ = [(x 1 – x 2)V/s 2 ]/ Ö(1 – V 2 /s 2), a dva događaja 1 i 2, istovremena u jednom ISO - u ISO (K), pokazuju se neistodobnim u drugom (u ISO (K ¢).

U klasičnoj (predrelativističkoj) granici, kod V << s, t 2 ¢ – t 1 ¢ » 0, činjenica istovremenosti dvaju događaja postaje apsolutna, što, kao što je već spomenuto, odgovara beskonačnoj brzini prijenosa interakcija i sinkronizacijskog signala: c ® ¥ ili c >> V.

U relativističkoj teoriji, simultanost događaja je samo apsolutna
u posebnom slučaju događaja na jednom mjestu: za x 1 = x 2 uvijek za t 1 = t 2 i t 1 ¢ = t 2 ¢.

2. Relativnost duljina tijela (prostornih intervala).

Neka štap dužine l o = x 2 – x 1.

ISO u kojem tijelo miruje naziva se vlastitim za dano tijelo, a njegove karakteristike, u ovom slučaju duljina štapa, također vlastitim.

U ISO (K ¢), u odnosu na koji se štap pomiče, a koji se naziva laboratorijski ISO, duljina štapa l¢ = x 2 ¢ - x 1 ¢ definira se kao razlika u koordinatama krajeva štapa, fiksno istovremeno prema satu zadanog ISO-a, tj. u t 1 ¢ = t 2 ¢.

Koristeći formule Lorentzove transformacije za x 1 i x 2, koje sadrže vrijeme u šrafiranom ISO (K ¢), uspostavit ćemo odnos l I l ¢ :

x 1 = (x 1 ¢ + Vt 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /s 2); x 2 = (x 2 ¢ + Vt 2 ¢)/Ö(1 - V 2 /s 2); Þ x 2 - x 1 = (x 2 ¢ - x 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /s 2)

ili na kraju: l ¢ = l o Ö(1 - V 2 /c 2) – ova formula izražava zakon pretvorbe duljina
(prostorni intervali), prema kojima se u smjeru kretanja smanjuju veličine tijela. Taj učinak relativnosti duljine tijela, njihova relativistička kontrakcija u smjeru gibanja, stvaran je, a ne prividni fizikalni učinak, ali ne dinamički, nije povezan ni s kakvom silom koja uzrokuje sabijanje tijela i smanjenje njihove veličina. Taj je učinak čisto kinematski, povezan s odabranom metodom određivanja (mjerenja) duljine i konačnosti brzine širenja međudjelovanja. Može se objasniti i na način da je pojam duljine u SRT prestao biti karakteristika samo jednog tijela, sam po sebi, već je postao zajednička karakteristika tijela i referentnog sustava (poput brzine tijela, njegove zamah, kinetička energija itd.).

Takve se karakteristike mijenjaju za različita tijela u istom ISO-u, što je nama prirodno i poznato. Ali na isti način, iako manje uobičajeno, mijenjaju se za isto tijelo, ali u različitim ISO-ima. Pri malim brzinama kretanja ovaj učinak ovisnosti duljine tijela o izboru ISO-a je praktički neprimjetan, zbog čega u Newtonovoj mehanici (mehanici sporih kretanja) nije privlačio pažnju.

Slična analiza Lorentzovih transformacija za razjašnjavanje odnosa između trajanja dvaju procesa mjerenih iz različitih ISO-ova, od kojih je jedan vlastiti, tj. kreće se s nositeljem procesa i mjeri njegovo trajanje (razlika između trenutaka završetka i početka procesa)  koristeći isti sat, dovodi do sljedećih rezultata:

  =  o (1 - V 2 s 2), gdje je  o vlastito trajanje procesa (brojeno istim satovima koji se pomiču zajedno s događajima koji se odvijaju, a   je trajanje procesa isti proces, brojen različitim satovima u ISO-u, u odnosu na koje se nositelj procesa kreće iu trenucima početka i završetka procesa nalazi se na različitim mjestima.

Ponekad se ovaj učinak tumači na sljedeći način: kažu da pokretni satovi idu sporije od nepokretnih, a iz toga se izvodi niz paradoksa, posebice paradoks blizanaca. Treba napomenuti da su zbog jednakosti svih ISO-a u SRT-u svi kinematički učinci (i smanjenje duljine u smjeru kretanja, i dilatacija vremena - trajanje sata koji se kreće u odnosu na nositelj procesa) reverzibilni. A dobar primjer takve reverzibilnosti je eksperiment s mu-mezonima, nestabilnim česticama nastalim kao rezultat interakcije s atmosferom, bombardirajući je kozmičkim zrakama. Fizičari su isprva bili iznenađeni postojanjem ovih čestica na razini mora, gdje bi se morale raspasti tijekom svog života, odnosno prije nego što stignu doputovati iz gornje atmosfere (gdje nastaju) do razine mora.

No, pokazalo se da je stvar u tome što su fizičari u svojim izračunima prvo koristili vlastito vrijeme života -mezona  o = 210 -6 s, a udaljenost koju su oni priješli uzeli su kao laboratorijsku, tj.
l = 20 km. Ali ili u ovom slučaju potrebno je uzeti duljinu (put koji prijeđu -mezoni) kao svoju, koja ispada "smanjena", "skraćena" prema faktoru (l –V 2 /c 2 ). Ili trebate uzeti ne samo duljinu, nego i vrijeme iz laboratorija, a ono se povećava proporcionalno 1/(l–V 2 /s 2). Stoga su relativistički učinci preobrazbe vremenskih i prostornih intervala omogućili fizičarima da vežu labave krajeve u stvarnom eksperimentu i prirodnom fenomenu.

Pri malim brzinama V  s relativističkom formulom za pretvaranje trajanja procesa u klasičnu     . Sukladno tome, trajanje u ovom graničnom slučaju (aproksimaciji) gubi svoju relativističku relativnost i postaje apsolutno, tj. neovisno o izboru ISO.

Zakon zbrajanja brzina također se revidira u SRT. Njegov relativistički (opći) oblik može se dobiti uzimanjem diferencijala iz izraza za x, x , t i t , u formulama Lorentzove transformacije i dijeljenjem dx s dt i dx  s dt , odnosno formiranjem brzina iz ih
 x = dx/dt i  x  = dx  /dt  .

dh = (dh  + Vdt )/(l –V 2 /s 2); dt = (dt  + Vdh  /s 2)/(l –V 2 /s 2); 

dh/dt = (dh  + Vdt )/(dt  + Vdh  /s 2) = (dh  /dt  + V)/   x = ( x  + V)(1 + V  x  /s 2)

dh  = (dh - Vdt)/(l –V 2 /s 2); dt  = (dt - Vdx/s 2)/(l –V 2 /s 2); 

dx  /dt = (dx - Vdt)/(dt - Vdx/s 2) = (dx/dt - V)/   x  = ( x - V)(1 - V x /s 2 )

Formule  x = ( x  + V)(1 + V x  /s 2) i  x  = ( x - V)(1 - V x /s 2) i izražavaju
relativistički zakoni zbrajanja brzina ili, drugim riječima, transformacije brzina
kada prelazite s ISO (K) na ISO (K ) i obrnuto.

U predrelativističkoj granici malih brzina   c ove se formule pretvaraju u dobro poznate izraze klasičnog (Galilejevog) zakona zbrajanja brzina:  x =  x  + V i  x  =  x – V.

Zanimljivo je vidjeti kako je relativistički oblik zakona zbrajanja brzina u skladu s načelom konstantnosti brzine svjetlosti u svim ISO-ima. Ako u ISO (K ) imamo brzinu  x  = c i ISO (K ) se kreće u odnosu na ISO (K) također brzinom V = c, tada će u odnosu na ISO (K) brzina svjetlosti i dalje biti jednaka do c:

 x = ( x  + V)(1 + V x  /s 2) = (s + s)(1 + ss/s 2) = s. Klasični zakon zbrajanja doveo je do rezultata:  x =  x  + V = c + c = 2c, odnosno proturječio je iskustvu, jer nije sadržavao
sadrži ograničenja na "plafon" brzina.

Preuzmite s Depositfilesa

3.2.6. Disperzija elektromagnetskih valova. Indeks loma zraka

(Odlomak nije dovršen. Proučite sami materijal. Pogledajte upute u nastavku)

Šire se monokromatski valovi različitih frekvencija (valnih duljina). u okolini strogo govoreći, različitim brzinama. Ovisnost brzine elektromagnetskih valova o frekvenciji naziva se disperzija .

Brzina elektromagnetskog vala u stvarnom okruženju povezana je s brzinom svjetlosti u vakuumu kroz jednu od najvažnijih karakteristika medija – indeks loma :

(3.30)

Indeks loma u elektrodinamici određuje se iz relacije

(3.31)

Gdje — dielektrična konstanta medija;

— magnetska propusnost medija.

Na temelju navedenog možemo reći da je disperzija svjetlosti pojava uzrokovana ovisnošću indeksa loma tvari od valne duljine

(4.30)

Za radio valove, donji sloj atmosfere, do otprilike 11 km, je nedisperzivni medij. Za optičko i VHF područje atmosfera je disperzivni medij.

Za većinu prozirnih tvari, indeks loma raste s valnom duljinom. Ova vrsta disperzije naziva se normalan .

Ovisnost o u području normalne disperzije opisuje se Cauchyjevom formulom

(4.31)

Gdje , , su konstantni koeficijenti koji se nalaze eksperimentalno za svaku tvar.

Ako tvar apsorbira dio svjetlosnog toka, tada se može uočiti anomalna disperzija u području apsorpcije, tj. smanjenje indeksa loma sa smanjenjem valne duljine.

U prozirnim medijima, kao rezultat promjene smjera prostiranja svjetlosti tijekom loma, disperzija svjetlosti dovodi do razlaganja svjetlosti na spektar. Iskustvo pokazuje da ako se snop bijele svjetlosti propusti kroz lomnu prizmu - prozirno tijelo ograničeno ravnim plohama koje se križaju, tada ćemo na ekranu iza prizme dobiti obojanu prugu u sljedećem nizu boja: crvena, narančasta, žuta , zelena, cijan, indigo, ljubičasta.

Priroda disperzije za različite prozirne medije, uključujući različite vrste stakla, je različita.

Za ultrakratke i svjetlosne valove indeks loma ovisi o meteorološkim parametrima atmosfere: temperaturit, pritisak Pi vlažnost zrakae. U kombinaciji s gore navedenom ovisnošću indeksa loma o valnoj duljini odnosno frekvencije , općenito, ovisnost indeksa loma o navedenim parametrima može se napisati kao

. (4.31)

S tim u vezi, za određivanje indeksa loma ili, što je isto, brzine širenja elektromagnetskog vala s valnom duljinom , potrebno je odrediti temperaturu, tlak i vlažnost zraka. Posljednji parametar u mnogo manjoj mjeri utječe na brzinu širenja elektromagnetskih valova u optičkom području nego temperatura i tlak. Stoga su glavni određeni parametri za daljinomjere koji rade na optičkim valovima samo temperatura i tlak.

Svi moderni daljinomjeri omogućuju uvođenje korekcija za atmosferske parametre. Formule po kojima se izračunava određena korekcija ugrađene su u softver instrumenta.

(Za samostalno proučavanje: Bolshakov V.D., Deimlikh F., Golubev A.N., Vasiliev V.P. Radio geodetska i elektrooptička mjerenja. - M.: Nedra, 1985. - 303 str. - Paragraf 8. Brzina širenja elektromagnetskih valova. pp. 68-78).

Reference

1. Bolshakov V.D., Deimlich F., Golubev A.N., Vasiliev V.P. Radiogeodetska i elektrooptička mjerenja. – M.: Nedra, 1985. – 303 str.

2. Gorelik G.S. Oscilacije i valovi. Uvod u akustiku, radiofiziku i optiku. – M.: Izdavačka kuća. fiz.-matem. litara. 1959. – 572 str.

3. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Tečaj fizike. Svezak 3. Valni procesi. Optika. Atomska i nuklearna fizika. – M.: Viša škola. 1979. – 511 str.

4. Žišman G.A., Todes O.M. Tečaj opće fizike. T. III.. Optika. Fizika atoma i molekula. Fizika atomske jezgre i mikročestica - M.: Nauka. 1970. – 495 str.

5. Landsberg G.S. Elementarni udžbenik fizike. svezak III. Oscilacije, valovi. Optika. Građa atoma. – M.: Znanost. 1970. – 640 str.

6. Schroeder G., Treiber H. Tehnička optika. – M.: Tekhnosfera, 2006. – 424 str.

U optici je dobro poznat fenomen disperzije svjetlosti, tj. ovisnost o brzini širenja svjetlosti u mediju o njegovoj frekvenciji [vidi. (38.4)]

tada o frekvenciji ovisi i indeks loma medija. Slična se ovisnost opaža ne samo u optičkom rasponu, već i za elektromagnetske valove bilo koje druge frekvencije. Prvo zadovoljavajuće objašnjenje fenomena disperzije i istovremene apsorpcije elektromagnetskih valova u medijima dano je u okviru Lorentzove elektronske teorije.

Očito je da je fenomen disperzije prvenstveno povezan s utjecajem elektromagnetskog polja vala koji se širi u mediju na dipolne momente molekula: radi jednostavnosti, pretpostavljamo da su molekule prilično masivne i da je frekvencija dovoljno visoka, pa se promjena s vremenom može zanemariti. Stoga ćemo uzeti u obzir samo inducirani dipolni moment

Kao model molekule, razmotrite jedan elektron s nabojem i masom koji je pomaknut u odnosu na pozitivno nabijenu jezgru. Ako je brzina elektrona mala u usporedbi s brzinom svjetlosti, tj. tada u izrazu za Lorentzovu silu možemo zanemariti doprinos magnetske indukcije B vala, jer B Također pretpostavljajući da se elektron drži u molekule kvazielastičnom silom - a uzimajući u obzir silu reakcije zračenja, jednadžbu gibanja elektrona pišemo u obliku

Rješenje ove jednadžbe može se koristiti za izračunavanje ukupne gustoće struje u mediju, uz pretpostavku da glavni doprinos tome dolazi od elektrona. Konkretno, smatrajući da je medij homogen s koncentracijom elektrona, imamo

Napišimo sada prosječne Maxwell-Lorentzove jednadžbe (57.6):

Uzimajući u obzir da, prema zakonu očuvanja naboja,

Polarizacija, Maxwellove jednadžbe zapisujemo u obliku

Za pronalaženje polarizacije koristimo jednadžbe (61.1) i (61.2). Naime: uzimajući u obzir samo ravnomjerno gibanje elektrona, tj. pretpostavljajući

i pretpostavljajući da se napetost malo mijenja unutar molekule, iz (61.2) zaključujemo

Konačno, uzimajući da je jakost glumačkog polja jednaka

i uzimajući u obzir (61.6) i (61.7), nalazimo iz (61.1)

Ovdje gdje je y koeficijent radijacijskog trenja; vlastita frekvencija oscilacija elektrona u izoliranom atomu; vlastita frekvencija elektroničkih vibracija u atomu u mediju (tj. promijenjena pod utjecajem polja okolnih atoma); plazma frekvencija koja odgovara oscilacijama slobodnih elektrona u kvazineutralnom mediju (plazma ili Lang Muir oscilacije).

(vidi sken)

Imajući izraz (61.8) za polarizaciju, nije teško pronaći vektor električne indukcije:

gdje je uvedena kompleksna dielektrična konstanta

Ovdje je prikladno primijetiti da se y u (61.10) može smatrati koeficijentom radijacijskog trenja samo pod pretpostavkom da su sudari molekula međusobno i sa slobodnim elektronima malo vjerojatni. Zapravo, kao rezultat sudara, dio energije elektrona se pretvara u energiju gibanja samih molekula, tj. u toplinu. Ovi gubici energije elektrona moraju se dodati čisto elektromagnetskim gubicima zbog zračenja. Fenomenološki, to se postiže dodavanjem y-u nekog neovisnog dijela.

Gore dobiveni izraz za tipičan je za jednorezonantni oscilatorni model materije, u kojem se pretpostavlja da su vlastite frekvencije svih elektrona iste i jednake. Zapravo, to nije slučaj, pogotovo jer je i to neophodno uzeti u obzir vibracije iona, čije prirodne frekvencije obično leže u infracrvenom području. Kako bi se uzele u obzir sve elektroničke frekvencije, obično se uvodi funkcija distribucije frekvencije disperzivnih elektrona, normalizirajući je na jedinicu, tj. uz pretpostavku

Može se tumačiti kao koncentracija elektrona čije vlastite frekvencije leže u intervalu. U ovom slučaju izraz (61.10) ima oblik

Zanimljivo je da se isti izraz dobiva u kvantnoj teoriji, gdje se naziva jakost oscilatora.

Koje je fizičko značenje kompleksne dielektrične konstante? Da bismo to pojasnili, izdvojimo stvarni i imaginarni dio

Iz (61.12) slijedi da je a parna, a a neparna funkcija frekvencije:

a, osim toga, nejednakost je istinita

Kao što je pokazano u § 50, to je povezano s gubicima topline. Kako bismo bili sigurni da je to stvarno tako i da su gubici topline proporcionalni jasno pozitivnoj vrijednosti, izračunavamo prosječnu snagu sile "trenja" koja djeluje na pojedinačni elektron tijekom perioda:

Oslobođena toplinska snaga dobiva se množenjem ovog izraza s koncentracijom elektrona i integracijom preko

Uzimajući u obzir izraze koji slijede iz (61.7) i (61.8), dobivamo

Uspoređujući (61.15) s izrazom za Joule gubitke

Dolazimo do zaključka da su električna vodljivost medija i međusobno povezani:

Konkretno, za metale u kojima glavni doprinos vodljivosti dolazi od slobodnih elektrona sa

Taj se odnos naziva Drude-Zenerova formula i izražava ovisnost električne vodljivosti metala o frekvenciji.

Primijetimo da se uz pomoć (61.16) izraz za in svodi na oblik

odakle slijedi da za metale u statičkoj granici ima polnu singularnost tipa

gdje je a statička električna vodljivost.

Posebno je zanimljiva struktura u plazmi, u kojoj glavnu ulogu imaju slobodni elektroni, tj. možemo je izraziti prema (61.11),

Očito, ovakvo ponašanje dielektrične konstante tipično je za bilo koji medij u granicama ekstremno visokih frekvencija, jer se uopće elektroni mogu smatrati slobodnima. Ako zanemarimo gubitke u (61.20), tj. stavimo, tada dobivamo

Proučimo sada širenje elektromagnetskih valova u disperzivnom mediju. Počnimo s najjednostavnijim ravnim monokromatskim valovima, tj. stavimo u jednadžbe (61.4)

gdje su konstantni vektori. Tada, uzimajući u obzir (61.9) imamo:

Eliminirajući ove jednadžbe dolazimo do valne jednadžbe

što dopušta dvije vrste rješenja koja odgovaraju transverzalnim i longitudinalnim valovima.

Transverzalni valovi zadovoljavaju uvjet, tj. vektori k tvore pravu ortogonalnu trojku (sl. 61.1). U ovom slučaju iz valne jednadžbe (61.23) zaključujemo da

tj. valni vektor k je kompleksan. Uz pretpostavku da se val širi duž osi, tj. pod pretpostavkom da imamo

kompleksni indeks loma.

Da bismo pojasnili fizičko značenje, razmotrimo ravan elektromagnetski val:

gdje je valna duljina u vakuumu. Slijedi da on određuje slabljenje amplitude vala na udaljenosti reda veličine valne duljine i stoga se naziva koeficijent apsorpcije. Što se tiče ovoga, ovo je uobičajeni indeks loma, koji određuje brzinu gibanja površine konstantne faze, tj. faznu brzinu vala.

Odvajanjem realnog i imaginarnog dijela u relaciji nalazimo:

Ovisnost u najjednostavnijem slučaju, kada postoji samo jedna izolirana vlastita frekvencija u blizini frekvencije i stoga se možemo ograničiti na aproksimaciju jedne rezonancije, prikazana je na slici. 61.2 [ - krivulja krivulja 2]. Analiza ovisnosti pokazuje da koeficijent y, koji obično zadovoljava uvjet, ima značenje širine apsorpcijske linije.

Konkretno, u području prozirnosti tvari, tj. daleko od apsorpcijske linije, kada se u može staviti u aproksimaciju jednostruke rezonancije

Sjećajući se tog relativnog rješavanja (61.29) dolazimo do relacije

(Lorentz-Lorentzova formula). Razvio ga je neovisno 1869. Danac Lorenz, 1873. J.C. Maxwell i 1879. G.A. Lorenz (rezultat

Maxwell je prošao nezapaženo). Prema (61.30), na danoj frekvenciji ispada da je proporcionalna koncentraciji elektrona. Očito je da je Lorentz-Lorentzova formula generalizacija Clausius-Mosottijeve relacije (58.26).

Prijeđimo na razmatranje drugog tipa ravnih valova u mediju - longitudinalnih. U ovom slučaju, dakle, iz jednadžbi (61.22) slijedi da

tj. ti su valovi čisto električni i mogu postojati samo za one frekvencije koje su korijeni jednadžbe

Ako je c dovoljno velik, tada, zanemarujući gubitke, možemo upotrijebiti pojednostavljeni izraz (61.21), iz kojeg slijedi da Dakle, u skladu s rezultatom problema 61.1, longitudinalni valovi povezani su s polarizacijskim oscilacijama elektrona u mediju i stoga se često nazivaju polarizacijski valovi ili Bohrovi valovi, koji ih je prvi upotrijebio za izračunavanje gubitka energije nabijene čestice koja se kreće u mediju.

(vidi sken)

U stvarnim fizičkim problemima često je potrebno proučavati širenje u mediju ne samo ravnih elektromagnetskih valova, već i valnih paketa. Valni paket u disperzivnom mediju može se konstruirati analogijom s (39.11) i (39.13). Ograničavajući se na transverzalne valove, imamo:

gdje je rješenje disperzijske jednadžbe (61.24).

Razmotrimo prilično uske valne pakete, tj. pretpostavimo da funkcija ima jasno izražen maksimum u određenoj točki. Da bismo opisali ponašanje takvog valnog paketa, zgodno je uvesti koncept njegovog centra, koji može biti

gdje se vrši usrednjavanje tijekom razdoblja

(vidi sken)

Dakle, za gotovo bilo koje vrijeme, moguće je izračunati grupnu brzinu koristeći formulu (61.36) samo u prozirnom području, u kojem U ovom slučaju, diferencirajuća relacija (61.24) s obzirom na k, nalazimo

Iz ovoga se vidi da u području normalne disperzije, kada grupna brzina ne prelazi faznu brzinu, tj. Međutim, u području anomalne disperzije, kada će postojati i budući da su moguće vrijednosti, tada grupna brzina može premašiti brzinu svjetlosti. U međuvremenu, kao što se može vidjeti, na primjer, sa Sl. 61.2, područje anomalne disperzije podudara se s područjem apsorpcije, u kojem se formula (61.36) ne može koristiti i zaključci iz nje nisu valjani.

(vidi sken)

Uz fazne i grupne brzine često se koriste i pojmovi brzine signala i brzine fronta signala. Signal se obično shvaća kao valni paket s oštro ograničenim rubovima. Njegov vodeći rub naziva se prednji dio. Može se pokazati da je brzina fronte signala u bilo kojem mediju jednaka brzini svjetlosti u vakuumu [teorem T. Levi-Civita (1913.)]. Razlog tome nije teško razumjeti ako primijetite da u prednjem području polje doživljava oštre promjene, a to je pak povezano s prisutnošću beskonačno visokih frekvencija u Fourierovom širenju polja. Ali, prema (61.21), stoga se medij ponaša u odnosu na takve promjene polja kao vakuum. Očito je to zbog inertnosti nabijenih čestica.

Strukturu fronte signala u disperzivnom mediju detaljno su proučavali A. Sommerfeld i L. Brillouin 1914. Oni su otkrili da u mediju s apsorpcijom u intervalu između fronte i glavne skupine postoje dva područja s primjetno povećanim poljem. može se razlikovati intenzitet. Brillouin ih je nazvao prvim i drugim vjesnicima. Kao što se i očekivalo, njihove brzine ne prelaze c, a brzina glavne skupine, odnosno brzina signala, razlikuje se od grupne brzine izračunate formulom (61.36) samo u apsorpcijskom području. Ovisnost brzine signala o frekvenciji shematski je prikazana na sl. 61.3 (na primjeru modela s jednom rezonancijom).

Zanimljiv fenomen povezan s utjecajem materije na elektromagnetsko polje otkrili su 1934. godine sovjetski fizičari P. A. Čerenkov i S. I. Vavilov. Promatrali su uski stožac zračenja koji emitiraju brzi elektroni u mediju, pod uvjetom da je njihova brzina veća od fazne brzine svjetlosti, tj.

Danas se kvantitativna spoznaja o elektroničkoj strukturi atoma i molekula, kao i krutina izgrađenih od njih, temelji na eksperimentalnim proučavanjima optičkih spektara refleksije, apsorpcije i transmisije te njihovoj kvantnomehaničkoj interpretaciji. Vrlo se intenzivno proučava tračna struktura i defektnost različitih vrsta čvrstih tijela (poluvodiča, metala, ionskih i atomskih kristala, amorfnih materijala). Usporedba podataka dobivenih tijekom ovih istraživanja s teorijskim izračunima omogućila je pouzdano određivanje strukturnih značajki energetskih vrpci za brojne tvari i veličinu međupojasnih praznina (razmak E g) u blizini glavnih točaka i smjerova prve Brillouinove zone. Ovi rezultati, zauzvrat, omogućuju pouzdano tumačenje takvih makroskopskih svojstava krutina kao što su električna vodljivost i njezina ovisnost o temperaturi, indeks loma i njegova disperzija, boja kristala, stakla, keramike, staklene keramike i njezine varijacije pod utjecajem zračenja i topline utjecaji.

2.4.2.1. Disperzija elektromagnetskih valova, indeks loma

Disperzija je pojava odnosa između indeksa loma tvari, a time i fazne brzine širenja vala, i valne duljine (ili frekvencije) zračenja. Tako je prijenos vidljive svjetlosti kroz staklenu trokutastu prizmu popraćen razlaganjem u spektar, pri čemu se najjače otklanja ljubičasti kratkovalni dio zračenja (sl. 2.4.2).

Disperzija se naziva normalnom ako s povećanjem frekvencije n(w) raste i indeks loma n dn/dn>0 (ili dn/dl<0). Такой характер зависимости n от n наблюдается в тех областях спектра, где среда прозрачна для излучения. Например, силикатное стекло прозрачно для видимого света и обладает в этом интервале частот нормальной дисперсией.

Disperzija se naziva anomalnom ako se s povećanjem frekvencije zračenja smanjuje indeks loma medija (dn/dn<0 или dn/dl>0). Anomalna disperzija odgovara frekvencijama koje odgovaraju vrpcama optičke apsorpcije; fizički sadržaj fenomena apsorpcije bit će ukratko razmotren u nastavku. Na primjer, za natrijevo silikatno staklo, apsorpcijske trake odgovaraju ultraljubičastom i infracrvenom području spektra; kvarcno staklo ima normalnu disperziju u ultraljubičastom i vidljivom dijelu spektra, a anomalnu disperziju u infracrvenom.

Riža. 2.4.2. Disperzija svjetlosti u staklu: a – razlaganje svjetlosti staklenom prizmom, b – grafovi n = n(n) i n = n(l 0) za normalnu disperziju, c – uz normalnu i anomalnu disperziju u vidljivom dijelu i infracrvenog dijela spektra, normalna disperzija je karakteristična za mnoge alkalijske halogene kristale, što određuje njihovu široku upotrebu u optičkim uređajima za infracrveni dio spektra.

Fizička priroda normalne i anomalne disperzije elektromagnetskih valova postaje jasna ako ovaj fenomen razmotrimo sa stajališta klasične elektronske teorije. Razmotrimo jednostavan slučaj normalnog upadanja ravnog elektromagnetskog vala u optičkom području na ravnu granicu homogenog dielektrika. Elektroni materije vezani za atome pod utjecajem izmjeničnog valnog polja intenziteta izvode prisilne oscilacije s istom kružnom frekvencijom w, ali s fazom j koja se razlikuje od faze valova. Uzimajući u obzir moguće prigušenje vala u sredstvu s vlastitom frekvencijom titranja elektrona w 0, jednadžba prisilnih transverzalnih oscilacija u smjeru - smjeru širenja ravnopolariziranog vala - ima oblik

(2.4.13)

poznate iz kolegija opće fizike (q i m su naboj i masa elektrona).

Za optičko područje w 0 » 10 15 s -1 , a koeficijent prigušenja g može se odrediti u idealnoj okolini pod uvjetom nerelativističke brzine elektrona (u<

(2.4.14)

Pri w 0 = 10 15 s -1 vrijednost g » 10 7 s -1 . Zanemarujući relativno kratki stadij nestacionarnih oscilacija, razmotrimo posebno rješenje nehomogene jednadžbe (2.4.13) u stadiju stacionarnih oscilacija. Rješenje tražimo u formi

(2.4.15)

Tada iz jednadžbe (2.4.13) dobivamo

ili , gdje je amplituda oscilacija jednaka

(2.4.16)

Ovdje

Tada se rješenje za koordinatu (2.4.15) može prepisati kao

(2.4.17)

Dakle, javljaju se prisilne harmonijske oscilacije elektrona s amplitudom A i ispred su faze oscilacija u upadnom valu za kut j. U blizini vrijednosti rezonancije w = w 0, ovisnost A i j o w/w 0 je od posebnog interesa.

Na sl. 2.4.3 prikazuje grafove ovisnosti amplitude i faze u blizini rezonantne frekvencije.

Riža. 2.4.3. Grafovi amplitude (a) i faze (b) oscilacija elektrona u blizini rezonantne frekvencije (pri g » 0,1w 0)

U stvarnim slučajevima, g je obično manji od g » 0,1 w 0, odabran radi jasnoće na slici 2.4.3, amplituda i faza se oštrije mijenjaju. Ako svjetlost koja pada na dielektrik nije monokromatska, tada se u blizini rezonancije, na frekvencijama w®w 0, apsorbira, a elektroni tvari raspršuju tu energiju u volumenu. Tako se u spektru pojavljuju apsorpcijske trake. Širina linija apsorpcijskog spektra određena je formulom