brojevi u trigonometrijskom obliku.

Moivreova formula

Neka je z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja prikladan je za korištenje za izvođenje operacija množenja, dijeljenja, podizanja na cjelobrojnu potenciju i izvlačenja korijena stupnja n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Kod množenja dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku njihovi se moduli množe i dodaju njihovi argumenti. Prilikom dijeljenja njihovi se moduli dijele i argumenti im se oduzimaju.

Posljedica pravila za množenje kompleksnog broja je pravilo za dizanje kompleksnog broja na potenciju.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Taj se omjer naziva Moivreova formula.

Primjer 8.1 Nađi umnožak i kvocijent brojeva:

I

Otopina

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Primjer 8.2 Napiši broj u trigonometrijskom obliku

∙
–i) 7.

Otopina

Označimo
i z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Izdvajanje korijena kompleksnog brojaDefinicija. Korijen n
potencija kompleksnog broja
= 0.

z (označava

) je kompleksan broj w takav da je w n = z. Ako je z = 0, tada

Neka je z  0, z = r(cos + isin). Označimo w = (cos + sin), zatim jednadžbu w n = z napišemo u sljedećem obliku

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Stoga je  n = r,

Stoga je wk =

Među tim vrijednostima ima točno n različitih.
Stoga je k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Na kompleksnoj ravnini te točke su vrhovi pravilnog n-kuta upisanog u krug polumjera

sa središtem u točki O (slika 12). Slika 12
.

Primjer 9.1

Pronađite sve vrijednosti

Otopina.
Predstavimo ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument.

w k =
.

, gdje je k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

Na kompleksnoj ravnini te točke su vrhovi kvadrata upisanog u kružnicu polumjera

sa središtem u ishodištu (slika 13). Slika 12
.

Primjer 9.1

Slika 13 Slika 14

Otopina.
Primjer 9.2

w k =
z = – 64 = 64(cos +isin);
;

w 0 =
, gdje je k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

Na kompleksnoj ravnini te su točke vrhovi pravilnog šesterokuta upisanog u krug polumjera 2 sa središtem u točki O (0; 0) - slika 14.

§ 10 Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Eulerova formula

Označimo
= cos  + isin  i
= cos  - isin  . Ti se odnosi nazivaju .

Eulerove formule
Funkcija

ima uobičajena svojstva eksponencijalne funkcije:

Neka je kompleksni broj z napisan u trigonometrijskom obliku z = r(cos + isin).

Koristeći Eulerovu formulu možemo napisati:
.

z = r Ovaj unos se zove eksponencijalni oblik

složeni broj. Koristeći ga, dobivamo pravila za množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena.
Ako je z 1 = r 1 ·
i z 2 = r 2 ·

?Da
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, gdje je k = 0, 1, … , n – 1. Primjer 10.1

Napiši broj u algebarskom obliku
.

Primjer 9.1

z = Primjer 10.2

Primjer 9.1

Riješite jednadžbu z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Za sve kompleksne koeficijente, ova jednadžba ima dva korijena z 1 i z 1 (moguće da se podudaraju). Ti se korijeni mogu pronaći koristeći istu formulu kao u stvarnom slučaju. Jer

uzima dvije vrijednosti koje se razlikuju samo u predznaku, onda ova formula izgleda ovako:
Kako je –9 = 9 e  i, tada su vrijednosti

bit će brojeva:
Zatim
.

Primjer 9.1

Riješite jednadžbe z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.
.

Traženi korijeni jednadžbe bit će vrijednosti

Otopina.
Za z = –1 imamo r = 1, arg(–1) = .

, k = 0, 1, 2.

Vježbe

G)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Napiši brojeve u algebarskom i geometrijskom obliku:

12 Dati su brojevi
.

Predstavljajući ih u eksponencijalnom obliku, pronađite

13 Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnog broja, izvedite sljedeće korake:
A)

b)
V)

d)

Nemoguće je nedvosmisleno izvući korijen kompleksnog broja, budući da ima broj vrijednosti jednak njegovoj snazi.

Kompleksni brojevi se dižu na potenciju trigonometrijskog oblika, za što vrijedi Moywardova formula:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Slično, ova se formula koristi za izračunavanje k-tog korijena kompleksnog broja (koji nije jednak nuli):

Ako kompleksni broj nije nula, tada korijeni stupnja k uvijek postoje i mogu se prikazati u kompleksnoj ravnini: oni će biti vrhovi k-kuta upisanog u krug sa središtem u ishodištu i radijusu \(\r ^(\frac(1) (k))\)

Primjeri rješavanja problema