U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su poznate druge dvije.
Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i nejednaki. Od sve raznolikosti, za prvi primjer odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, stranice koje se nalaze uz njega nazivaju se nogama, a treći je hipotenuza).
Brza navigacija kroz članak
Duljine stranica pravokutnog trokuta
Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²
- Nađi kvadrat duljine kraka a;
- Nađi kvadrat kraka b;
- Sastavljamo ih;
- Iz dobivenog rezultata izdvajamo drugi korijen.
Primjer: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. Odnosno, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.
Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti kut, visina trokuta, polumjer kruga upisanog u njega itd.
Ako je poznat opseg
U ovom slučaju zadatak je još jednostavniji. Opseg (P) je zbroj svih stranica trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.
Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Jednadžbu rješavamo pomicanjem svih poznatih parametara na jednu stranu znaka jednakosti:
2) Umjesto toga zamijenimo vrijednosti i izračunamo treću stranu:
c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.
Ako je kut poznat
Da bi se izračunala treća stranica trokuta s kutom i dvije druge strane, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijska jednadžba. Poznavajući odnos između stranica trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, trebate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim od dobivenog umnoška oduzmite umnožak stranica i kosinus kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Ako je područje poznato
U ovom slučaju jedna formula neće poslužiti.
1) Prvo izračunajte sin γ, izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:
sin γ= 2S/(a*b)
2) Pomoću sljedeće formule izračunavamo kosinus istog kuta:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) I opet koristimo teorem sinusa:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.
U geometriji, kut je figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke (vrha kuta). Kutovi se najčešće mjere u stupnjevima, pri čemu puni kut, odnosno revolucija, iznosi 360 stupnjeva. Možete izračunati kut mnogokuta ako znate vrstu mnogokuta i veličinu njegovih ostalih kutova ili, u slučaju pravokutnog trokuta, duljinu dviju njegovih stranica.
Koraci
Izračunavanje kutova poligona
- Zbroj kutova trokuta (trostranog mnogokuta) je 180 stupnjeva.
- Zbroj kutova četverokuta (četverostranog mnogokuta) je 360 stupnjeva.
- Zbroj kutova peterokuta (peterostranog mnogokuta) je 540 stupnjeva.
- Zbroj kutova šesterokuta (šesterostranog poligona) je 720 stupnjeva.
- Zbroj kutova osmerokuta (osmostranog mnogokuta) je 1080 stupnjeva.
-
Utvrdite je li mnogokut pravilan. Pravilan mnogokut je onaj u kojem su sve stranice i svi kutovi jednaki. Primjeri pravilni poligoni može poslužiti kao jednakostranični trokut i kvadrat, dok je zgrada Pentagona u Washingtonu izgrađena u obliku pravilan peterokut, A prometni znak“stop” ima oblik pravilnog osmerokuta.
Zbrojite poznate kutove mnogokuta, a zatim oduzmite taj zbroj od ukupnog zbroja svih njegovih kutova. Većina geometrijskih zadataka ove vrste bavi se trokutima ili četverokutima, budući da zahtijevaju manje ulaznih podataka, pa ćemo i mi učiniti isto.
- Ako su dva kuta trokuta jednaka 60 stupnjeva odnosno 80 stupnjeva, zbrojite te brojeve. Rezultat će biti 140 stupnjeva. Zatim taj iznos oduzmite od ukupnog zbroja svih kutova trokuta, odnosno od 180 stupnjeva: 180 - 140 = 40 stupnjeva. (Trokut čiji su svi kutovi nejednaki naziva se jednakostraničnim.)
- Ovo rješenje možete napisati kao formulu a = 180 - (b + c), gdje je a kut čiju vrijednost treba pronaći, b i c su vrijednosti poznatih kutova. Za poligone s više od tri stranice, zamijenite 180 sa zbrojem kutova mnogokuta te vrste i dodajte jedan član zbroju u zagradi za svaki poznati kut.
- Neki poligoni imaju svoje "trikove" koji će vam pomoći da izračunate nepoznati kut. Na primjer, jednakokračni trokut je trokut s dva jednake strane i dva jednaki kutovi. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice i suprotni kutovi jednaki.
Izračunavanje kutova pravokutnog trokuta
-
Odredite koje podatke znate. Pravokutni trokut zove se tako jer mu je jedan kut prav. Možete pronaći veličinu jednog od dva preostala kuta ako znate nešto od sljedećeg:
Odredite koju trigonometrijsku funkciju koristiti. Trigonometrijske funkcije izražavaju omjere dviju od tri stranice trokuta. Ima ih šest trigonometrijske funkcije, ali najčešće se koriste sljedeći:
Izbroji broj kutova u mnogokutu.
Nađi zbroj svih kutova mnogokuta. Formula za pronalaženje zbroja svih unutarnjih kutova mnogokuta je (n - 2) x 180, gdje je n broj stranica i kutova mnogokuta. Ovdje su zbrojevi kutova nekih poligona koji se često susreću:
Trokut je primitivni poligon omeđen na ravnini s tri točke i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima. Kutovi u trokutu su oštri, tupi i pravi. Zbroj kutova u trokutu je kontinuiran i jednak je 180 stupnjeva.
Trebat će vam
- Osnovna znanja iz geometrije i trigonometrije.
upute
1. Označimo duljine stranica trokuta s a=2, b=3, c=4, a njegove kutove s u, v, w, od kojih svaki leži nasuprot jednoj od stranica. Prema teoremu kosinusa, kvadrat duljine stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata duljina druge 2 stranice umanjen za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih. Odnosno, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Zamijenimo duljine stranica u ovaj izraz i dobijemo: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).
2. Izrazimo cos(u) iz dobivene jednakosti. Dobivamo sljedeće: cos(u) = 7/8. Zatim ćemo pronaći stvarni kut u. Da bismo to učinili, izračunajmo arccos(7/8). Odnosno, kut u = arccos(7/8).
3. Slično, izražavajući druge strane u odnosu na druge, nalazimo preostale kutove.
Obratiti pažnju!
Vrijednost jednog kuta ne smije biti veća od 180 stupnjeva. Znak arccos() ne može sadržavati broj veći od 1 i manji od -1.
Koristan savjet
Da bi se detektirala sva tri kuta, nije potrebno izraziti sve tri strane, dopušteno je detektirati samo 2 kuta, a treći se dobije oduzimanjem vrijednosti preostala 2 od 180 stupnjeva. To slijedi iz činjenice da je zbroj svih kutova trokuta kontinuiran i jednak 180 stupnjeva.
Online kalkulator.
Rješavanje trokuta.
Rješavanje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) iz bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.
Ovaj matematički program pronalazi stranicu \(c\), kutove \(\alpha \) i \(\beta \) od korisnički navedenih stranica \(a, b\) i kut između njih \(\gamma \)
Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.
Ovaj online kalkulator može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontroliraju rješavanje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je brže moguće? domaća zadaća
u matematici ili algebri? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima. Na ovaj način možete potrošiti svoje vlastiti trening
i/ili obučavanje svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina obrazovanja u području problema koji se rješava povećava.
Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.
Pravila za unos brojeva
Brojevi se mogu odrediti ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Cijeli i razlomački dio u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti točkom ili zarezom. Na primjer, možete unijeti decimale
Riješite trokut
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod. Molimo pričekajte
sekund... ako ti uočio grešku u rješenju
, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije. Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Teorem sinusa
Teorema
Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Kosinusni teorem
Teorema
Neka je AB = c, BC = a, CA = b u trokutu ABC. Zatim
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Rješavanje trokuta
Rješavanje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) bilo koja tri zadana elementa koja određuju trokut.
Pogledajmo tri problema koji uključuju rješavanje trokuta. U ovom ćemo slučaju za stranice trokuta ABC koristiti sljedeće oznake: AB = c, BC = a, CA = b.
Rješavanje trokuta pomoću dviju stranica i kuta između njih
Dano je: \(a, b, \kut C\). Pronađite \(c, \kut A, \kut B\)
Otopina
1. Koristeći kosinusni teorem nalazimo \(c\):
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$
3. \(\kut B = 180^\krug -\kut A -\kut C\)
Rješavanje trokuta po stranici i pridruženim kutovima
Zadano: \(a, \kut B, \kut C\). Pronađite \(\kut A, b, c\)
Otopina
1. \(\kut A = 180^\krug -\kut B -\kut C\)
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Rješavanje trokuta pomoću tri stranice
Zadano: \(a, b, c\). Pronađite \(\kut A, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Korištenjem kosinusnog teorema dobivamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Slično nalazimo kut B.
3. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
Rješavanje trokuta s dvije stranice i kutom nasuprot poznate stranice
Dano je: \(a, b, \kut A\). Pronađite \(c, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Koristeći teorem sinusa, nalazimo \(\sin B\) dobivamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Uvedimo oznaku: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Ovisno o broju D mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B\) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\kut B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \kut B = 90^\circ \)
Ako D Ako je D 2. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
3. Pomoću sinusnog teorema izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Online kalkulator.
Rješavanje trokuta.
Rješavanje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) iz bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.
Ovaj matematički program pronalazi stranice \(b, c\) i kut \(\alpha \) od stranice koju je odredio korisnik \(a\) i dva susjedna kuta \(\beta \) i \(\gamma \)
Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.
Ovaj internetski kalkulator može biti koristan srednjoškolcima u srednjim školama kada se pripremaju za testove i ispite, kada testiraju znanje prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre.
Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.
i/ili obučavanje svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina obrazovanja u području problema koji se rješava povećava.
Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.
Pravila za unos brojeva
Brojevi se mogu odrediti ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.
Riješite trokut
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod. Molimo pričekajte
sekund... ako ti uočio grešku u rješenju
, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije. Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Teorem sinusa
Teorema
Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Kosinusni teorem
Teorema
Neka je AB = c, BC = a, CA = b u trokutu ABC. Zatim
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Rješavanje trokuta
\(\gama=\)
Pogledajmo tri problema koji uključuju rješavanje trokuta. U ovom ćemo slučaju za stranice trokuta ABC koristiti sljedeće oznake: AB = c, BC = a, CA = b.
Rješavanje trokuta pomoću dviju stranica i kuta između njih
Dano je: \(a, b, \kut C\). Pronađite \(c, \kut A, \kut B\)
Otopina
1. Koristeći kosinusni teorem nalazimo \(c\):
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$
3. \(\kut B = 180^\krug -\kut A -\kut C\)
Rješavanje trokuta po stranici i pridruženim kutovima
Zadano: \(a, \kut B, \kut C\). Pronađite \(\kut A, b, c\)
Otopina
1. \(\kut A = 180^\krug -\kut B -\kut C\)
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Rješavanje trokuta pomoću tri stranice
Zadano: \(a, b, c\). Pronađite \(\kut A, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Korištenjem kosinusnog teorema dobivamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Slično nalazimo kut B.
3. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
Rješavanje trokuta s dvije stranice i kutom nasuprot poznate stranice
Dano je: \(a, b, \kut A\). Pronađite \(c, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Koristeći teorem sinusa, nalazimo \(\sin B\) dobivamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Uvedimo oznaku: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Ovisno o broju D mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B\) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\kut B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \kut B = 90^\circ \)
Ako D Ako je D 2. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
3. Pomoću sinusnog teorema izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$