Definicija izravne proporcionalnosti
Za početak, prisjetimo se sljedeće definicije:
Definicija
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalnima ako je njihov omjer jednak određenom broju koji nije nula, to jest:
\[\frac(y)(x)=k\]
Odavde vidimo da je $y=kx$.
Definicija
Funkcija oblika $y=kx$ naziva se izravna proporcionalnost.
Izravna proporcionalnost je poseban slučaj linearne funkcije $y=kx+b$ za $b=0$. Broj $k$ naziva se koeficijent proporcionalnosti.
Primjer izravne proporcionalnosti je drugi Newtonov zakon: ubrzanje tijela izravno je proporcionalno sili koja na njega djeluje:
Ovdje je masa koeficijent proporcionalnosti.
Proučavanje funkcije izravne proporcionalnosti $f(x)=kx$ i njenog grafa
Prvo razmotrite funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx$, gdje je $k > 0$.
- $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx\desno))"=k>0$. Stoga, ovu funkciju povećava se kroz cijelu domenu definicije. Nema ekstremnih točaka.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Grafikon (slika 1).
Riža. 1. Graf funkcije $y=kx$, za $k>0$
Sada razmotrite funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx$, gdje je $k
- Domena definicije su svi brojevi.
- Raspon vrijednosti su svi brojevi.
- $f\lijevo(-x\desno)=-kx=-f(x)$. Funkcija izravne proporcionalnosti je neparna.
- Funkcija prolazi kroz ishodište.
- $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx\desno))"=k
- $f^("")\lijevo(x\desno)=k"=0$. Stoga funkcija nema točaka infleksije.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Grafikon (slika 2).
Riža. 2. Graf funkcije $y=kx$, za $k
Važno: da biste nacrtali graf funkcije $y=kx$, dovoljno je pronaći jednu točku $\left(x_0,\ y_0\right)$ različitu od ishodišta i povući ravnu liniju kroz tu točku i ishodište.
Trikhleb Daniil, učenik 7. razreda
upoznavanje s ravnom proporcionalnošću i koeficijentom ravne proporcionalnosti (uvođenje pojma kutni koeficijent”);
konstruiranje grafa izravne proporcionalnosti;
razmatranje relativnog položaja grafova izravne proporcionalnosti i linearna funkcija s istim kutnim koeficijentima.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Direktna proporcionalnost i njezin grafikon
Što je argument i vrijednost funkcije? Koja se varijabla naziva nezavisnom ili zavisnom? Što je funkcija? PONAVLJANJE Što je domena funkcije?
Metode za specificiranje funkcije. Analitički (pomoću formule) Grafički (pomoću grafikona) Tabularni (pomoću tablice)
Graf funkcije je skup svih točaka koordinatna ravnina, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcije. RASPORED FUNKCIJA
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
RIJEŠI ZADATAK Konstruiraj graf funkcije y = 2 x +1, gdje je 0 ≤ x ≤ 4. Napravite stol. Pomoću grafa pronađite vrijednost funkcije pri x=2,5. Pri kojoj je vrijednosti argumenta vrijednost funkcije jednaka 8?
Definicija Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može specificirati formulom u obliku y = k x, gdje je x nezavisna varijabla, k je broj različit od nule. (k-koeficijent izravne proporcionalnosti) Izravni proporcionalna ovisnost
8 Graf izravne proporcionalnosti - pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata (točka O(0,0)) Za konstruiranje grafa funkcije y= kx dovoljne su dvije točke od kojih je jedna O (0,0) Za k > 0, graf se nalazi u I i III koordinatnoj četvrtini. Kod k
Grafovi funkcija izravne proporcionalnosti y x k>0 k>0 k
Zadatak Odredite koji od grafova prikazuje funkciju izravne proporcionalnosti.
Zadatak Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici. Odaberite formulu od tri ponuđene.
Usmeni rad. Može li graf funkcije zadana formula y= k x, gdje je k
Odredite koje od točaka A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) pripadaju grafu izravne proporcionalnosti danom formulom y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - netočno. Točka A ne pripada grafu funkcije y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - točno. Točka B pripada grafu funkcije y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - netočno Točka C ne pripada grafu funkcije y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - točno. Točka E pripada grafu funkcije y=5x
TEST 1 opcija 2 opcija br. Koje su funkcije dane formulom izravno proporcionalne? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
broj 2. Zapišite brojeve redaka y = kx, gdje je k > 0 1 opcija k
broj 3. Odredite koje od točaka pripadaju grafu izravne proporcionalnosti danom formulom Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opcija C (1, -1), E (0,0 ) Opcija 2
y =5x y =10x III A VI i IV E 1 2 3 1 2 3 Br.Tačan odgovor Tačan odgovor Br.
Izvršite zadatak: Shematski prikažite kako se nalazi graf funkcije zadane formulom: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
ZADATAK Iz sljedećih grafikona odaberite samo grafikone izravne proporcionalnosti.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Funkcije y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Odaberi funkcije oblika y = k x (ravna proporcionalnost) i zapiši ih
Funkcije izravne proporcionalnosti Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Linearne funkcije koje nisu funkcije izravne proporcionalnosti 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Domaća zadaća: pasus 15 str. 65-67, br. 307; broj 308.
Ponovimo opet. Što ste novoga naučili? Što si naučio? Što vam je bilo posebno teško?
Svidjela mi se lekcija i tema je shvaćena: Svidjela mi se lekcija, ali još uvijek ne razumijem sve: Nije mi se svidjela lekcija i tema nije jasna.
Razmotrimo izravno proporcionalni odnos s određenim koeficijentom proporcionalnosti. Na primjer, . Koristeći koordinatni sustav na ravnini, možete jasno prikazati ovaj odnos. Objasnimo kako se to radi.
Dajmo x neku brojčanu vrijednost; Stavimo, na primjer, i izračunajmo odgovarajuću vrijednost y; u našem primjeru
Konstruirajmo točku na koordinatnoj ravnini s apscisom i ordinatom. Tu ćemo točku nazvati točkom koja odgovara vrijednosti (slika 23).
Dat ćemo x različite vrijednosti i za svaku vrijednost x konstruirati ćemo odgovarajuću točku na ravnini.
Napravimo sljedeću tablicu (u gornjoj liniji zapisat ćemo vrijednosti koje smo dodijelili x-u, a ispod njih u donjoj liniji - odgovarajuće vrijednosti y-a):
Nakon što smo sastavili tablicu, konstruirat ćemo za svaku vrijednost x odgovarajuću točku na koordinatnoj ravnini.
Lako je provjeriti (primjenom npr. ravnala) da sve konstruirane točke leže na istoj ravnici koja prolazi kroz ishodište.
Naravno, x se mogu dati bilo koje vrijednosti, ne samo one navedene u tablici. Možete uzeti bilo koje razlomke, na primjer:
Lako je provjeriti izračunavanjem vrijednosti y da će se odgovarajuće točke nalaziti na istoj liniji.
Ako za svaku vrijednost konstruiramo točku koja joj odgovara, tada će se na ravnini identificirati skup točaka (u našem primjeru, ravna linija), čije koordinate ovise o
Ovaj skup točaka na ravnini (to jest, ravna crta konstruirana na crtežu 23) naziva se graf ovisnosti
Konstruirajmo graf izravno proporcionalnog odnosa s negativnim koeficijentom proporcionalnosti. Stavimo npr.
Učinit ćemo isto kao u prethodnom primjeru: dodijelit ćemo različite numeričke vrijednosti za x i izračunati odgovarajuće vrijednosti za y.
Napravimo, na primjer, sljedeću tablicu:
Konstruirajmo odgovarajuće točke na ravnini.
Iz crteža 24 jasno je da se, kao iu prethodnom primjeru, točke ravnine, čije koordinate ovise, nalaze na jednoj ravnoj liniji koja prolazi kroz ishodište koordinata i nalazi se na
II i IV kvartal.
U nastavku (u VIII razredu) će se dokazati da je graf direktno proporcionalnog odnosa s bilo kojim koeficijentom proporcionalnosti ravna linija koja prolazi kroz ishodište koordinata.
Grafikon izravne proporcionalnosti možete izgraditi puno jednostavnije i lakše nego što smo do sada gradili.
Na primjer, napravimo grafikon ovisnosti
>>Matematika: Izravna proporcionalnost i njezin grafikon
Direktna proporcionalnost i njezin grafikon
Među linearnim funkcijama y = kx + m posebno se ističe slučaj kada je m = 0; u ovom slučaju ima oblik y = kx i naziva se izravna proporcionalnost. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da se dvije veličine y i x nazivaju izravno proporcionalnim ako je njihov omjer jednak određenom
broj različit od nule. Ovdje se taj broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.
Mnoge situacije iz stvarnog života modelirane su izravnom proporcionalnošću.
Na primjer, put s i vrijeme t pri konstantnoj brzini od 20 km/h povezani su ovisnošću s = 20t; ovo je izravna proporcionalnost, s k = 20.
Još jedan primjer:
trošak y i broj x kruha po cijeni od 5 rubalja. za štrucu su povezani ovisnošću y = 5x; ovo je izravna proporcionalnost, gdje je k = 5.
Dokaz. Realizirat ćemo ga u dvije faze.
1. y = kx je poseban slučaj linearne funkcije, a graf linearne funkcije je pravac; Označimo ga sa I.
2. Par x = 0, y = 0 zadovoljava jednadžbu y - kx, pa stoga točka (0; 0) pripada grafu jednadžbe y = kx, tj. pravoj I.
Prema tome, pravac I prolazi kroz ishodište. Teorem je dokazan.
Morate biti u mogućnosti prijeći ne samo s analitičkog modela y = kx na geometrijski (graf izravne proporcionalnosti), već i s geometrijskog. modeli do analitičkog. Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju na koordinatnoj ravnini xOy prikazanu na slici 50. To je graf izravne proporcionalnosti; samo trebate pronaći vrijednost koeficijenta k. Budući da je y, tada je dovoljno uzeti bilo koju točku na pravcu i pronaći omjer ordinate te točke prema njezinoj apscisi. Pravac prolazi točkom P(3; 6) i za tu točku vrijedi: To znači k = 2, pa stoga zadani pravac služi kao graf izravne proporcionalnosti y = 2x.
Zbog toga se koeficijent k u zapisu linearne funkcije y = kx + m također naziva koeficijent nagiba. Ako je k>0, tada je ravna linija y = kx + m s pozitivnim smjerom x osi oštar kut(Sl. 49, a), a ako je k< О, - tup kut(Slika 49, b).
Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove
Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije