Slični dokumenti
Razmatranje učinkovitosti primjene metoda penala, neograničene optimizacije, konjugiranih pravaca i najstrmijeg gradijentnog spuštanja za rješavanje problema nalaženja ekstremuma (maksimuma) funkcije više varijabli uz postojanje ograničenja jednakosti.
test, dodan 16.08.2010
Analiza teorema konjugiranih funktora. Prirodna transformacija kao obitelj morfizama. Karakteristike svojstava refleksivnih potkategorija. Uvod u univerzalne strijele. Razmatranje značajki metode konstruiranja konjugiranih funktora.
kolegij, dodan 27.01.2013
Tehnika rotacijske transformacije i njezino značenje u rješavanju algebarskih sustava jednadžbi. Dobivanje rezultirajuće matrice. Ortogonalne transformacije refleksijom. Iterativne metode s rezidualnom minimizacijom. Rješenje metodom konjugiranih pravaca.
sažetak, dodan 14.08.2009
Metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi, njihove karakteristike i posebnosti, značajke i područja primjene. Struktura metode ortogonalizacije i metode konjugiranog gradijenta, njihove vrste i uvjeti, faze praktične primjene.
kolegij, dodan 01.10.2009
Numeričke metode traženja bezuvjetnog ekstremuma. Neograničeni problemi minimizacije. Izračun minimuma funkcije metodom koordinatnog spuštanja. Rješavanje problema linearnog programiranja grafičkim i simpleksnim metodama. Rad s programom MathCAD.
kolegij, dodan 30.04.2011
Formiranje Lagrangeove funkcije, Kuhnovi i Tuckerovi uvjeti. Numeričke metode optimizacije i dijagrami toka. Primjena metoda kaznenih funkcija, vanjske točke, koordinatnog spuštanja, konjugiranih gradijenata za smanjenje problema uvjetne optimizacije na bezuvjetne.
kolegij, dodan 27.11.2012
Matematički model problema. Rješavanje transportnog problema metodom potencijala. Vrijednost objektivne funkcije. Sustav koji se sastoji od 7 jednadžbi s 8 nepoznanica. Grafičko rješavanje zadataka. Odabir poluravnine koja odgovara nejednadžbi.
test, dodan 06/12/2011
Metode određivanja minimuma funkcije jedne varijable i funkcije više varijabli. Razvoj softvera za izračun lokalnog minimuma Himmelblauove funkcije metodom koordinatnog spuštanja. Nalaženje minimuma funkcije metodom zlatnog reza.
kolegij, dodan 12.10.2009
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi metodom jednostavne iteracije. Polinomna interpolacija funkcije Newtonovom metodom s podijeljenim razlikama. Srednja kvadratna aproksimacija funkcije. Numerička integracija funkcija Gaussovom metodom.
kolegij, dodan 14.04.2009
Osnove simpleks metode, ocjena njezine uloge i značenja u linearnom programiranju. Geometrijska interpretacija i algebarsko značenje. Određivanje maksimuma i minimuma linearne funkcije, posebni slučajevi. Rješavanje problema matrično simpleks metodom.
POVEZANI SMJERI
Par pravaca koji izlaze iz točke P površine S i tako da su ravne linije koje ih sadrže konjugirani promjeri Dupinove indikatrise površine S u točki R. Da biste dobili upute ( du:dv), u točki P plohe S bila je S. n., potrebno je i dovoljno zadovoljiti uvjet
Gdje L, M I N- koeficijenti druge kvadratne forme plohe S, izračunato u točki R. Primjeri: asimptotski pravci, glavni pravci.
Lit.: Pogorelov A.V., Diferencijal, 5. izdanje, M., 1969.
E. V. Šikin.
Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija.
I. M. Vinogradov.
1977-1985. Pogledajte što su "POVEZANE UPUTE" u drugim rječnicima:
Sekcija geometrije, u kojoj se proučava geometrija. slika, prvenstveno krivulja i ploha, matematičkim metodama. analiza. Obično se u dinamičkim geometrijama proučavaju svojstva krivulja i ploha u malom, odnosno svojstva proizvoljno malih njihovih dijelova. Osim toga, u… Pogledajte što su "POVEZANE UPUTE" u drugim rječnicima:
Matematička enciklopedija Pogledajte što su "POVEZANE UPUTE" u drugim rječnicima:
Numeričke metode su grana računalne matematike posvećena matematici. opis i proučavanje procesa numeričkog rješavanja problema linearne algebre. Među zadaćama LA. Dva su od najveće važnosti: rješenje sustava linearne algebre. jednadžbe...... Pogledajte što su "POVEZANE UPUTE" u drugim rječnicima:
Mreža linija na površini koju čine dvije obitelji linija tako da u svakoj točki na površini linije mreže različitih obitelji imaju konjugirane smjerove. Ako je koordinatna mreža koordinatni sustav, tada je koeficijent M drugog kvadratnog oblika... ... Pogledajte što su "POVEZANE UPUTE" u drugim rječnicima:
SO 34.21.308-2005: Hidrotehnika. Osnovni pojmovi. Termini i definicije- Terminologija SO 34.21.308 2005: Hidrotehnika. Osnovni pojmovi. Pojmovi i definicije: 3.10.28 izlazna luka: vodeno područje ograničeno branama za zaštitu od valova u gornjem bazenu hidroelektrane, opremljeno uređajima za sidrenje i namijenjeno za smještaj ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
I I. Povijest razvitka željeznica. Željeznica, u obliku u kojem sada postoji, nije izumljena odmah. Tri elementa, njegove komponente, željeznička pruga, prijevozno sredstvo i pogonska snaga, svaki je prošao kroz zasebnu fazu razvoja,... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron
Plaće- (Plaće) Najvažnije sredstvo povećanja interesa radnika Učešće radnika u udjelu novostvorenih materijalnih i duhovnih koristi Sadržaj Sadržaj. > plaće su najvažnije sredstvo povećanja interesa... ... Enciklopedija investitora
Diversifikacija- (Diversifikacija) Diverzifikacija je investicijski pristup usmjeren na smanjenje financijskih tržišta. Koncept, glavne metode i ciljevi diverzifikacije proizvodnih, poslovnih i financijskih rizika na tržištu valuta, dionica i roba Sadržaj... ... Enciklopedija investitora
XIII. Unutarnji poslovi (1866-1871). Dana 4. travnja 1866. godine, u četiri sata poslijepodne, car Aleksandar je nakon rutinske šetnje Ljetnim vrtom sjedio u kočiji kada ga je nepoznata osoba ustrijelila iz pištolja. U tom trenutku, stojeći u... Velika biografska enciklopedija
Definicija. Pravac određen vektorom koji nije nula naziva se asimptotski smjer u odnosu na liniju drugog reda, ako bilo koji pravac u ovom smjeru (to jest, paralelan s vektorom) ili ima najviše jednu zajedničku točku s pravcem, ili je sadržan u ovom pravcu.
? Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac drugog reda i pravac asimptotičkog smjera u odnosu na taj pravac?
U općoj teoriji linija drugog reda dokazano je da ako
Zatim vektor različit od nule ( specificira asimptotski smjer u odnosu na liniju
(opći kriterij za asimptotski smjer).
Za linije drugog reda
ako , tada nema asimptotskih pravaca,
ako tada postoje dva asimptotska pravca,
ako tada postoji samo jedan asimptotski pravac.
Sljedeća lema pokazala se korisnom ( kriterij za asimptotski smjer linije paraboličnog tipa).
Lema . Neka je linija paraboličnog tipa.
Vektor različit od nule ima asimptotski smjer
relativno 
. (5)
(Problem: dokazati lemu.)
Definicija. Pravac asimptotskog pravca naziva se asimptota pravac drugog reda, ako se ovaj pravac ili ne siječe s njime ili se u njemu nalazi.
Teorema . Ako ima asimptotski smjer u odnosu na , tada je asimptota paralelna vektoru određena jednadžbom
Ispunimo tablicu.
ZADACI.
1. Pronađite vektore asimptotskih pravaca za sljedeće pravce drugog reda:
4 
- hiperbolički tip dva asimptotska pravca.
Upotrijebimo kriterij asimptotskog smjera:
Ima asimptotski smjer u odnosu na ovu liniju 4.
Ako je =0, onda je =0, odnosno nula. Zatim podijelimo s Dobivamo kvadratnu jednadžbu: 
, gdje je t = . Rješavamo ovu kvadratnu jednadžbu i nalazimo dva rješenja: t = 4 i t = 1. Tada su asimptotski pravci pravca .
(Mogu se razmotriti dvije metode, budući da je linija paraboličnog tipa.)
2. Utvrditi imaju li koordinatne osi asimptotske smjerove u odnosu na pravce drugog reda:
3. Napišite opću jednadžbu pravca drugog reda za koju
a) x-os ima asimptotski smjer;
b) Obje koordinatne osi imaju asimptotske pravce;
c) koordinatne osi imaju asimptotske pravce i O je središte pravca.
4. Napišite jednadžbe asimptota za pravce:
a) ng w:val="EN-US"/>
5. Dokažite da ako pravac drugog reda ima dvije neparalelne asimptote, tada je njihovo sjecište središte tog pravca.
Bilješka: Budući da postoje dvije neparalelne asimptote, postoje dva asimptotska pravca, tada , i, prema tome, linija je središnja.
Napiši jednadžbe asimptota u općem obliku i sustav za nalaženje središta. Sve je očito.
6.(br. 920) Napišite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točku A(0, -5) i ima asimptote x – 1 = 0 i 2x – y + 1 = 0.
Bilješka. Upotrijebite tvrdnju iz prethodnog zadatka.
domaća zadaća. , br. 915 (c, e, f), br. 916 (c, d, e), br. 920 (ako niste imali vremena);
Dječji krevetići;
Silajev, Timošenko. Praktični zadaci iz geometrije,
1. semestar. Str.67, pitanja 1-8, str.70, pitanja 1-3 (usmeno).
PROMJERI VODOVA DRUGOG REDA.
SPOJNI PROMJERI.
Zadan je afini koordinatni sustav.
Definicija. Promjer pravac drugog reda, konjugiran vektoru neasimptotskog smjera u odnosu na , skup je središnjica svih tetiva pravca paralelnih s vektorom .
Tijekom predavanja dokazano je da je promjer pravac te je dobivena njegova jednadžba
Preporuke: Pokažite (na elipsi) kako je konstruirana (postavljamo neasimptotski smjer; nacrtajte [dvije] ravne crte ovog pravca koje sijeku crtu; pronađite središta tetiva koje treba odrezati; nacrtajte ravnu crtu kroz središnje točke - ovo je promjer).
Raspravite:
1. Zašto se pri određivanju promjera uzima vektor neasimptotskog smjera. Ako ne mogu odgovoriti, zamolite ih da konstruiraju promjer, na primjer, parabole.
2. Ima li bilo koji pravac drugog reda barem jedan promjer? Zašto?
3. Na predavanju je dokazano da je promjer pravac. Središte koje tetive je točka M na slici?
4. Pogledajte zagrade u jednadžbi (7). Na što vas podsjećaju?
Zaključak: 1) svako središte pripada svakom promjeru;
2) ako postoji linija središta, tada postoji jedan promjer.
5. Koji smjer imaju promjeri parabolične linije? (Asimptotski)
Dokaz (vjerojatno na predavanju).
Neka je promjer d, dan jednadžbom (7`), konjugiran vektoru neasimptotskog smjera. Zatim njegov vektor smjera
(-(
), 
). Pokažimo da ovaj vektor ima asimptotski smjer. Upotrijebimo kriterij asimptotičkog vektora smjera za liniju paraboličnog tipa (vidi (5)). Zamijenimo i uvjerimo se (nemojte to zaboraviti.
6. Koliko promjera ima parabola? Njihov relativni položaj? Koliko promjera imaju preostale parabolične linije? Zašto?
7. Kako konstruirati ukupni promjer nekih parova linija drugog reda (vidi pitanja 30, 31 u nastavku).
8. Ispunjavamo tablicu i obavezno napravimo crteže.
1. . Napiši jednadžbu za skup središnjih točaka svih tetiva paralelnih s vektorom
2. Napišite jednadžbu za promjer d koji prolazi točkom K(1,-2) pravca.
Koraci rješenja:
1. metoda.
1. Odredite vrstu (kako biste znali kako se ponašaju promjeri ove linije).
U ovom slučaju, linija je središnja, tada svi promjeri prolaze kroz središte C.
2. Sastavljamo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke K i C. To je željeni promjer.
2. metoda.
1. Jednadžbu za promjer d napišemo u obliku (7`).
2. Zamjenom koordinata točke K u ovu jednadžbu, nalazimo odnos između koordinata vektora konjugiranog na promjer d.
3. Postavljamo ovaj vektor, uzimajući u obzir pronađenu ovisnost, i sastavljamo jednadžbu za promjer d.
U ovom problemu je lakše izračunati pomoću druge metode.
3. . Napišite jednadžbu za promjer paralelan s x-osi.
4. Pronađite središte tetive odsječene linijom
na pravoj liniji x + 3y – 12 =0.
Upute do rješenja: Naravno, možete pronaći točke sjecišta ravne crte i crte podataka, a zatim sredinu rezultirajućeg segmenta. Želja za tim nestaje ako uzmemo, na primjer, ravnu liniju s jednadžbom x +3y – 2009 =0.
Visoka stopa konvergencije Newtonove metode posljedica je činjenice da minimizira kvadratnu funkciju
Gdje je A simetrična pozitivno određena matrica veličine nxn , u jednom koraku. Kvazi-Newtonove metode omogućuju pronalaženje minimuma kvadratne funkcije u koracima. Ideja metode konjugiranog smjera temelji se na želji da se minimizira kvadratna funkcija u konačnom broju koraka. Preciznije, u metodama konjugiranog smjera potrebno je pronaći smjerove tako da niz jednodimenzionalnih minimizacija duž tih pravaca vodi do pronalaženja minimuma funkcije 2.1, tj. za bilo koji, gdje
Ispada da navedeno svojstvo ima sustav međusobno konjugiranih pravaca u odnosu na matricu A
Neka je A simetrična pozitivno određena matrica veličine .
Definicija 2.1. Vektori (pravci) se nazivaju konjugirani (u odnosu na matricu A) ako su različiti od nule i. Vektori (pravci) se nazivaju međusobno konjugiranim (u odnosu na matricu A) ako su svi različiti od nule i. (2.3)
Lema 3.1. Neka su vektori medusobno konjugirani. Tada su linearno neovisni.
Dokaz. Neka je ovo za neke laž, tj. Zatim 
, što je jedino moguće kada je, budući da je matrica A pozitivno određena. Rezultirajuća kontradikcija dokazuje lemu.
Razmotrite problem minimizacije na R n funkcije 2.1. Riješit ćemo ga metodom 2.2. Ako su vektori međusobno konjugirani, onda se metoda 3.2 može nazvati metodom konjugiranih pravaca. Međutim, ovaj naziv se obično koristi samo za one metode u kojima je želja da se postigne uvjet međusobne konjugacije ono što određuje izbor pravaca. Provedba potpuno nove ideje također može dovesti do ispunjenja istog uvjeta.
Teorem 3.1. Ako vektori h k u metodi 2.2 su međusobno konjugirani, k=0,1,…, m-1 , zatim za funkciju f, dano formulom 2.1,
,
(2.4)
gdje je linearni podprostor razapet na naznačene vektore.
Dokaz. Uzimajući u obzir 2.2 i definiciju 2.1 imamo
(2.5)
Koristeći ovu jednakost, dobivamo
(2.6)
Posljedica. Ako vektori h k u metodi 2.2 su međusobno konjugirani, k=0,1,…, n-1 , zatim za funkciju f, dana formulom 2.1, i proizvoljna točka
Stoga vam metoda 2.2 omogućuje pronalaženje minimalne točke kvadratne funkcije 2.1 u najviše n koraka.
2.2. Metoda konjugiranih pravaca nultog reda.
Algoritam se sastoji od niza petlji, k- od kojih je određeno polazištem t 0 (k) i pravcima minimizacije str 0 (k), str 1 (k), …, str n -1 (k) . Na nultom ciklusu as t 0 (0), odabrana je proizvoljna točka kao str 0 (0), str 1 (k), …, str n -1 (k) – pravci koordinatnih osi.
Sljedeći k-ciklus se sastoji od sekvencijalnog rješavanja jednodimenzionalnih problema
Ovo određuje korak od točke do točke
gdje su oni koji
Nakon završetka k- polazište ciklusa i pravci minimizacije (k+1) -ciklusa određuju formule
Kriterij zaustavljanja može biti ispunjenje nejednakosti , gdje je unaprijed odabran mali pozitivan broj.
Teorem 3.2. Ako su vektori u metodi 2.5-2.7 različiti od nule, tada za funkciju f, dano formulom 2.1
Dokaz. Uzimajući u obzir korolar iz teorema 3.1, dovoljno je pokazati da su vektori međusobno konjugirani. Neka bude. Uz pretpostavku da su vektori međusobno konjugirani, dokazujemo da je vektor konjugiran vektorima.
Imajte na umu da i, stoga, točka t n (k) , prema formulama 2.5, dobiva se iz točke t n - k (k) korištenjem niza jednodimenzionalnih minimizacija duž smjerova. To, prema teoremu 2.1, znači da
Isto tako, točka t 0 (k) dobivena iz točke t n - k +1 (k) korištenjem niza jednodimenzionalnih minimizacija duž istih smjerova, i stoga
Izjava koju sada treba dokazati izravno slijedi iz leme 2.2 jer .
Pretpostavka teorema 2.2 da su različiti od nule nije uvijek zadovoljena. Sustav vektora može, za neke k ispada da je linearno ovisan (ili "gotovo" linearno ovisan), zbog čega metoda možda neće moći pronaći minimum čak ni kvadratne funkcije.
Opišimo modifikaciju metode 2.5-2.7, koja vodi do učinkovitog algoritma minimizacije.
Nakon završetka k ciklusu, provjerava se ispunjenost nejednakosti. Ako je barem jedan od njih završen, tada se zaustavlja. U suprotnom se nejednakost provjerava
,
(2.16)
Ako je zadovoljen, onda su smjerovi minimizacije (k+1) ciklus ostaje isti, tj.
Ako ne, onda smjernice minimizacije (k+1) -ciklus je određen formulama
U oba slučaja polazište (k+1) ciklusa izračunava se na isti način kao u originalnom algoritmu.
Metode najstrmijeg spuštanja ili koordinatnog spuštanja, čak i za kvadratnu funkciju, zahtijevaju beskonačan broj ponavljanja. Međutim, moguće je konstruirati takve smjerove padanja da za kvadratnu funkciju
(gdje postoji -dimenzionalni vektor) sa simetričnom pozitivno određenom matricom A, proces spuštanja će konvergirati točno na minimum u konačnom broju koraka.
Pozitivno određena matrica omogućuje nam da uvedemo normu vektora na sljedeći način:
Lako je provjeriti da su svi aksiomi norme zadovoljeni. Definicija (31) znači da skalarni umnožak dva vektora x i y sada znači količinu Vektori ortogonalni u smislu ovog skalarnog umnoška
nazivaju se konjugirani (u odnosu na zadanu matricu A). U nastavku ćemo vidjeti da je naizmjenično spuštanje duž konjugiranih smjerova posebno korisno kada se traži minimum.
Na tome se temelji velika skupina metoda: konjugirani gradijenti, konjugirani pravci, paralelne tangente i druge. Za kvadratnu funkciju koriste se s jednakim uspjehom. Metoda konjugiranih pravaca, u kojoj su detalji algoritma pažljivo razrađeni, najbolje je generalizirana na proizvoljne funkcije; ova metoda je opisana u ovom paragrafu.
a) Razmotrimo najprije kako se ova metoda primjenjuje na kvadratni oblik (30). Da bismo to učinili potrebna su nam neka svojstva konjugiranih vektora. Neka postoji neki sustav upareno konjugiranih vektora. Svaki od ovih vektora normaliziramo u smislu norme (31); tada će odnosi među njima poprimiti oblik
Dokažimo da su međusobno konjugirani vektori linearno neovisni.
Slijedi iz jednakosti koja proturječi pozitivnoj određenosti matrice.
Ova kontradikcija dokazuje našu tvrdnju. To znači da je sustav konjugiranih vektora baza u -dimenzionalnom prostoru. Za danu matricu postoji beskonačan broj baza koje se sastoje od međusobno konjugiranih vektora.
Nađimo neku konjugiranu bazu. Svaki pokret iz ove točke može se proširiti u konjugiranu osnovu
Zamjenom ovog izraza u desnu stranu formule (30), transformiramo ga, uzimajući u obzir konjugaciju baze (33), u sljedeći oblik:
Posljednji zbroj sastoji se od članova od kojih svaki odgovara samo jednoj komponenti zbroja (34). To znači da kretanje duž jednog od konjugiranih pravaca mijenja samo jedan član zbroja (35), bez utjecaja na ostale.
Napravimo naizmjenične spustove od točke do minimuma u svakom od konjugiranih pravaca Svaki spust minimizira svoj član zbroja (35), tako da se minimum kvadratne funkcije postigne točno nakon jednog ciklusa spuštanja, tj. , u konačnom broju akcija.
Objasnimo geometrijsko značenje konjugirane osnove. Ako su koordinatne osi glavne osi elipsoida razine kvadratne funkcije, tada jedan ciklus spuštanja po tim koordinatama vodi točno do minimuma. Ako prijeđemo na neke afine koordinate, funkcija će ostati kvadratna, ali će se promijeniti koeficijenti kvadratne forme. Našu kvadratnu funkciju s modificiranim koeficijentima možemo formalno smatrati nekom novom kvadratnom formom u Kartezijevim koordinatama i pronaći glavne osi njezinih elipsoida. Položaj ovih glavnih osi u izvornim afinim koordinatama bit će neki sustav konjugiranih pravaca. Različiti izbori afinih koordinata prirodno vode do različitih konjugiranih baza.
b) Konjugirana baza može se konstruirati metodom paralelnih tangentnih ravnina.
Neka je neki pravac paralelan s vektorom i neka kvadratna funkcija na tom pravcu postigne svoju minimalnu vrijednost u točki . Zamijenimo jednadžbu ovog pravca u izraz (30) i zahtijevajmo da uvjet minimuma funkcije bude zadovoljen u točki, tj.
Da bismo to učinili, koristimo izraz (35), gdje ostavljamo samo jedan član u ukupnom iznosu:
i stavi . Ovo implicira jednadžbu koju zadovoljava minimalna točka:
Pretpostavimo da na nekom drugom pravcu paralelnom s prvim funkcija poprima minimalnu vrijednost u točki r; tada na sličan način nalazimo. Oduzimajući ovu jednakost od (36), dobivamo
Prema tome, pravac koji povezuje minimalne točke na dva paralelna pravca konjugiran je s pravcem tih pravaca.
Stoga je uvijek moguće konstruirati vektor konjugiran proizvoljnom zadanom vektoru. Da biste to učinili, dovoljno je nacrtati dvije paralelne crte i na svakoj crti pronaći minimum kvadratne forme (30). Vektor koji povezuje te minimume je konjugiran. Imajte na umu da ravna crta dodiruje liniju razine u točki gdje funkcija na ovoj ravnoj liniji poprima svoju minimalnu vrijednost. S tim je povezan i naziv metode.
Neka postoje dvije paralelne -dimenzionalne ravnine generirane sustavom konjugiranih vektora. Neka kvadratna funkcija postigne svoju minimalnu vrijednost na tim ravninama, odnosno u točkama. Koristeći slično razmišljanje, može se dokazati da je vektor koji povezuje minimalne točke konjugiran svim vektorima. Posljedično, s obzirom na nepotpuni sustav konjugiranih vektora, tada je na ovaj način uvijek moguće konstruirati vektor konjugiran svim vektorima tog sustava.
Razmotrimo jedan ciklus procesa konstruiranja konjugirane baze. Neka je već konstruirana baza u kojoj su posljednji vektori međusobno konjugirani, a prvi vektori nisu konjugirani posljednjem. Nađimo minimum kvadratne funkcije (30) u nekoj -dimenzionalnoj ravnini generiranoj zadnjim baznim vektorima. Budući da su ovi vektori međusobno konjugirani, za to je dovoljno proizvoljno odabrati točku i spustiti se iz nje naizmjenično duž svakog od ovih pravaca (na minimum!). Označavamo minimalnu točku u ovoj ravnini s .
Sada ćemo iz točke napraviti naizmjenično spuštanje duž prvih baznih vektora. Ovo spuštanje će uzeti putanju iz prve ravnine i dovesti je do određene točke
Iz točke ćemo se opet spustiti po posljednjim pravcima, što će dovesti do točke. To spuštanje znači točno pronalaženje minimuma u drugoj ravnini paralelnoj s prvom ravninom. Posljedično, smjer je konjugiran zadnjim baznim vektorima.
Ako se jedan od nekonjugiranih pravaca u bazi zamijeni pravcem, tada će u novoj bazi pravac već biti međusobno konjugiran.
Počnimo računati cikluse od proizvoljne baze; za njega možemo pretpostaviti da . Opisani proces u jednom ciklusu povećava broj konjugiranih vektora u bazi za jedan. To znači da će tijekom ciklusa svi bazni vektori postati konjugirani, a sljedeći ciklus će voditi trajektoriju do točke minimuma kvadratne funkcije (30).
c) Iako je koncept konjugirane baze definiran samo za kvadratnu funkciju, gore opisani proces konstruiran je na takav način da se može formalno primijeniti na proizvoljnu funkciju. Naravno, u ovom slučaju potrebno je pronaći minimum uzduž pravca metodom parabole, a da se nigdje ne koriste formule povezane s određenom vrstom kvadratne funkcije (30).
U maloj okolini minimuma, prirast dovoljno glatke funkcije obično se može prikazati kao simetrična pozitivno određena kvadratna forma tipa (18). Kad bi ovaj prikaz bio točan, tada bi metoda konjugiranog smjera konvergirala u konačnom broju koraka. Ali prikaz je približan, pa će broj koraka biti beskonačan; ali će konvergencija ove metode blizu minimuma biti kvadratna.
Zahvaljujući kvadratnoj konvergenciji, metoda konjugiranog smjera omogućuje pronalaženje minimuma s visokom točnošću. Metode s linearnom konvergencijom obično manje točno određuju ekstremne vrijednosti koordinata.
Napomena 1. U stvarnosti, čak i za kvadratnu funkciju, proces se ne uklapa uvijek u cikluse. Konstruiranje konjugirane baze znači ortogonalizaciju u metrici generiranoj matricom A. Ranije je primijećeno da se u procesu ortogonalizacije gubi točnost; kod velikog broja varijabli pogreška se toliko povećava da se proces mora ponavljati.
Opaska 2. Teoretski, nema razlike koji će od nekonjugiranih pravaca biti izbačen iz baze na kraju ciklusa. Obično izbace smjer u kojem se funkcija najmanje promijenila tijekom spuštanja u određenom ciklusu. Budući da se koncept konjugacije ne može uvesti za proizvoljnu funkciju, smjer najslabijeg opadanja se odbacuje bez obzira na to koji je broj u bazi. Zanimljivo je da se ovo pokazalo korisnim čak i za kvadratnu funkciju, iako je na temelju ovog kriterija ponekad moguće izbaciti konjugirani smjer, ostavljajući one koji nisu konjugirani; ali se smanjuje gubitak točnosti tijekom ortogonalizacije.
Opaska 3. Gore opisani ciklus metode uključuje dva spuštanja duž konjugiranih pravaca i jedno spuštanje duž nekonjugiranih pravaca. Isplativiji je ciklus u kojem se odmah nakon pronalaženja novog konjugiranog pravca vrši spuštanje s točke duž nje, dolaskom u određenu točku tada će spuštanje biti spuštanje u ravnini svih novih konjugiranih pravaca, tj. može se smatrati prvom skupinom novog ciklusa silazaka. Stoga se s točke možete odmah spustiti u nekonjugiranim smjerovima.
U tom slučaju, novi smjer se postavlja na posljednje mjesto u bazi i smjer u kojem je funkcija najslabije opadala pri spuštanju od točke do točke se također može pokazati kao najmanje profitabilan; tada će se sljedeći ciklus spuštanja obaviti sa starom osnovom.
Čini se da je metoda konjugiranog smjera najučinkovitija metoda spuštanja. Dobro funkcionira s degeneriranim minimumom i s rješivim gudurama, te u prisutnosti slabo nagnutih dijelova reljefa - "visoravni" -, i s velikim brojem varijabli - do dva tuceta.
