Stereometrija razvijena iz zapažanja i rješenja pitanja koja su nastala u procesu ljudske praktične djelatnosti. Nema sumnje da već primitivni čovjek Zamijenivši nomadski život ustaljenim životom i posvetivši se zemljoradnji, pokušao je barem najgrublje procijeniti veličinu žetve koju je prikupio masama žita nagomilanim u hrpe, hrpe ili hrpe. Graditelj i najstarijih primitivnih građevina morao je nekako voditi računa o materijalu s kojim je raspolagao i znati izračunati koliko će materijala biti potrebno za izgradnju pojedine građevine. Klesarstvo kod starih Egipćana i Kaldejaca zahtijevalo je poznavanje metričkih svojstava barem najjednostavnijih geometrijskih tijela: kocke, paralelopipeda, prizme, cilindra itd. Potrebe poljoprivrede, plovidbe i orijentacije u vremenu tjerale su ljude na astronomska promatranja, a potonje na proučavanje svojstava sfere i njezinih dijelova, a time i zakona relativni položaj ravnine i pravci u prostoru.
U razdoblju gospodarskog i kulturnog procvata Stara Grčka i njezinih kolonija, geometrija je dosegla visok teorijski razvoj. Među istaknutim geometrima Grčke, Anaksagora, Demokrit i Hipokrat (5. st. pr. Kr.) zanimali su se za pitanja stereometrije. Hipokrat je među prvima koji je riješio poznati antički problem – delhijski problem udvostručenja kocke. U Platonovoj školi problemi stereometrije su značajno napredovali. Jedan od predstavnika Platonove škole, Teetet, proučavao je oktaedar i dvadesetedar i prvi put dao teoriju o nekim svojstvima pet pravilnih poliedara. Platonov učenik Menaechme prvi je dao neku teoriju konusnih presjeka. Najveća Euklidova zasluga leži u tome što je građu koja je do njega stigla prikupio, obradio i doveo u koherentan sustav. Od 13 knjiga njegovih Elemenata, knjige XI-XIII posvećene su stereometriji. Podatke o stereometriji koje je prikupio Euklid dopunio je, produbio i proširio najveći matematičar antike Arhimed. Dao je trinaest polupravilnih tijela, od kojih je svako ograničeno pravilni poligoni, ali ne iste vrste, i izračunao volumene tijela revolucije. Zahvaljujući Arhimedovim djelima, stereometrija je dosegla svoj vrhunac, a elementarna geometrija u svom modernom smislu konačno je uspostavljena.
Nakon pada Grčke dolazi do dugog zastoja u razvoju matematike, a posebno stereometrije, koji je trajao tisuću godina. Kepler je učinio mnogo za razvoj stereometrije u moderno doba. U svojoj "Novoj stereometriji" - "bačvastoj stereometriji" - prvi je upotrijebio infinitezimalnu količinu u geometriji. Otkriće integralnog računa od strane Newtona i Leibniza konačno je riješilo problem kvadrature i kubature.
Cilindar- tijelo koje se sastoji od dvije kružnice koje ne leže u istoj ravnini i spojene su paralelnom translacijom, te svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih kružnica.
r – polumjer cilindra;
d – promjer cilindra;
l – generatrisa cilindra;
h – visina cilindra.
Bilješka: u pravom kružnom cilindru duljina generatrixa jednaka je duljini visine.
Volumen kružnog valjka izračunava se formulom:
V= π r 2 h, Gdje
π
– konstantna vrijednost (≈3,1415);
r – radijus baze cilindra;
h – visina cilindra.
Kocka- pravilan poliedar, čija je svaka strana kvadrat. Svi rubovi kocke su jednaki.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kocka;
A, B, C, D, A1, B1, C1, D1- vrhovi kocke;
a je duljina ruba kocke.
Volumen kocke izračunava se formulom:
V kocka = a 3, gdje je
a je duljina ruba kocke.
Tetraedar- pravilan poliedar čija su lica četiri trokuta.
ABCD - tetraedar;
A, B, C, D - vrhovi tetraedra;
AD, BD, CD, AB, BC, AC - bridovi tetraedra;
ABD, BCD, ACD - lica tetraedra.
Volumen tetraedra izračunava se formulom:
a– duljina bilo kojeg ruba tetraedra.
Smjernice
Za uspješno rješenje zadatke iz ove kategorije morate:
poznavati definicije geometrijskih tijela i njihova svojstva;
moći izvoditi radnje s geometrijski oblici, koordinate i vektori;
znati rješavati stereometrijske probleme za pronalaženje geometrijskih veličina (duljine, kutovi, površine, volumeni);
poznavati formule za izračunavanje površina i obujma geometrijskih tijela.
Vrsta posla: 8
Tema: Cilindar
Stanje
U cilindričnoj posudi razina tekućine doseže 20 cm. Na kojoj će visini biti tekućina ako se ulije u drugu cilindričnu posudu čiji je promjer dvostruko veći od promjera prve? Odgovor izrazite u centimetrima.
Prikaži rješenjeOtopina
Neka je R polumjer baze prve posude, tada je 2 R polumjer baze druge posude. Prema uvjetu, volumen tekućine V u prvoj i drugoj posudi je isti. S H označavamo razinu do koje se tekućina podigla u drugoj posudi. Zatim
V=\pi R^2\cdot 20, I V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. Odavde \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H,
H = 5
Vrsta posla: 8
Tema: Cilindar
Stanje
Odgovor
Otopina
U cilindričnu posudu uliveno je 2000 cm 3 vode. Pokazalo se da je razina tekućine 15 cm potpuno uronjena u vodu. Pritom se razina tekućine u posudi povisila za 9 cm. Koliki je volumen dijela? Odgovor izrazite u cm3. · Neka je R radijus baze valjka, a h razina vode ulivene u posudu. Tada je volumen izlivene vode jednak volumenu valjka polumjera baze R i visine h. V voda = S baza. h = \pi R^2\cdot h.
Prema uvjetu je zadovoljena jednakost 2000=\pi R^2\cdot15. Odavde, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3). Neka je H razina vode u posudi nakon što je dio u nju uronjen. Tada je ukupni volumen vode i dijela jednak volumenu valjka polumjera baze R i visine H. Po uvjetu H=h+9=15+9=24.
H = 5
Dakle, V voda + detalji = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Dakle, V dijelova = V vode + dijelova − V vode = 3200-2000=1200.
Vrsta posla: 8
Tema: Cilindar
Stanje
Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017.
Prikaži rješenjeOtopina
Razina profila
" ur. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.
Odredite visinu valjka ako je polumjer njegove baze 8, a površina bočne plohe 96\pi.
H = 5
S=2\pi rh,
Vrsta posla: 8
Tema: Cilindar
Stanje
96\pi=2\pi\cdot8h,
Prikaži rješenjeOtopina
h=\frac(96\pi)(16\pi)=6. Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2016. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova. U cilindričnu posudu uliveno je 500 kubika. cm vode. Odredite volumen dijela potpuno uronjenog u vodu ako se nakon uranjanja razina tekućine poveća za 1,2 puta. Svoj odgovor izrazite kockama. cm.
H = 5
Označimo s V 1 početni volumen tekućine u cilindru. Nakon uranjanja dijela volumen tekućine se povećao za 1,2 puta, što znači da je konačni volumen tekućine V 2 = 1,2· V 1. Volumen dijela jednak je razlici volumena prije i poslije uranjanja, što znači V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100
kocka cm.
Kada se tekućina prelije, njen početni volumen se ne mijenja, tj.: V 1 = V 2, što znači da vrijedi jednakost:
\pi\lijevo(\frac(d_1)(2)\desno)^2h_1=\pi\lijevo(\frac(3d_1)(2)\desno)^2h_2
Zamijenimo vrijednosti iz uvjeta, pojednostavimo izraz i pronađemo traženu visinu tekućine druge posude h 2:
\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2jede br. 8 Volumen cilindra Opcija 1.
1. Odredi obujam valjka visine 3 cm i promjera baze 6 cm a) 27π cm 3;
b) 9π cm 3; c) 36π cm 3; d) 18π cm 3;
e) 54π cm 3.
2. Zapremina cilindra je 27π.
Odredite promjer baze valjka ako je njegova ukupna površina dvostruko veća
više površine
bočna površina.
a) 3;
b) ne može se odrediti; c) 6; d) 2; d) 9.
3. Dijagonala osnog presjeka valjka s ravninom baze valjka zatvara kut od 60˚.
Odredi obujam valjka ako je površina osnog presjeka 16√3 cm2.
a) 16π cm 3;
b) 16√3 cm 3;
c) 32π√3 cm 3;
d) 8π√3 cm 3;
e) 16π√3 cm 3.
4. U cilindar je upisana lopta polumjera 1 cm.
a) 4π cm 3;
b) 2π cm 3;
c) 8π cm 3;
\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2d) π cm 3;
e) ne može se odrediti.
2. Zapremina valjka je 32π.
Odredite visinu valjka ako je njegova ukupna površina tri puta veća od bočne površine.
a) 3;
b) ne može se odrediti; c) 4; d) 8; d) 2.
3. Dijagonala osnog presjeka valjka s ravninom baze valjka zatvara kut od 60˚.
Odredite površinu osnog presjeka ako je obujam valjka 16 π √3 cm 2.
a) 16 cm 2;
b) 16√3 cm 2;
c) 32√3 cm 2;
d) 8√3 cm 2;
e) 16π√3 cm 2.
4. Oko valjka je opisana lopta polumjera 1 cm. Odredite volumen valjka. a) 4π√2 cm 3; b) 0,5π√2 cm 3;
c) ne može se odrediti; d) π cm 3;
e) π√2 cm 3.
5. Volumen valjka je 120. Odredite visinu valjka s točnošću 0,01 ako je polumjer baze 3 puta manji od nje. a) 2,3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2,335; e) 2.34. 6. Površina aksijalnog presjeka cilindra je 30 cm 2, baza je 9π cm 2.
Nađi obujam cilindra.
a) 45π cm 3;
b) 22,5π cm 3;
c) 23π cm 3;
d) 9π cm 3;