Definicija 1

Skalarni umnožak vektora je broj jednak umnošku dina tih vektora i kosinusa kuta između njih.

Oznaka za umnožak vektora a → i b → ima oblik a → , b → . Pretvorimo to u formulu:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → i b → označavaju duljine vektora, a → , b → ^ - oznaku kuta između zadanih vektora. Ako je barem jedan vektor nula, to jest ima vrijednost 0, tada će rezultat biti jednak nuli, a → , b → = 0

Kada vektor množimo samim sobom, dobivamo kvadrat njegove duljine:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definicija 2

Skalarno množenje vektora samim sobom naziva se skalarni kvadrat.

Izračunava se po formuli:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Zapis a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → pokazuje da je n p b → a → numerička projekcija a → na b → , n p a → a → - projekcija b → na a →, redom.

Formulirajmo definiciju produkta za dva vektora:

Skalarni umnožak dvaju vektora a → s b → naziva se umnožak duljine vektora a → s projekcijom b → s pravcem a → odnosno umnožak duljine b → s projekcijom a →.

Točkasti umnožak u koordinatama

Skalarni umnožak može se izračunati pomoću koordinata vektora u zadanoj ravnini ili u prostoru.

Skalarni produkt dvaju vektora na ravnini, u trodimenzionalnom prostoru, naziva se zbroj koordinata zadanih vektora a → i b →.

Pri izračunavanju skalarnog produkta zadanih vektora a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na ravnini u Kartezijevom sustavu, koristite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

za trodimenzionalni prostor vrijedi izraz:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Zapravo, ovo je treća definicija skalarnog produkta.

Dokažimo to.

Dokazi 1

Da bismo to dokazali, koristimo a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y za vektore a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na kartezijanskom sustavu.

Vektore treba ostaviti po strani

O A → = a → = a x , a y i O B → = b → = b x , b y .

Tada će duljina vektora A B → biti jednaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Promotrimo trokut O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) točan je na temelju teorema o kosinusu.

Prema uvjetu je jasno da je O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , što znači da formulu za pronalaženje kuta između vektora pišemo drugačije

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Tada iz prve definicije slijedi da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , što znači (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Primjenom formule za izračunavanje duljine vektora dobivamo:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Dokažimo jednakosti:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– odnosno za vektore trodimenzionalnog prostora.

Skalarni umnožak vektora s koordinatama kaže da je skalarni kvadrat vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata u prostoru odnosno na ravnini. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) i (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Točkasti produkt i njegova svojstva

Postoje svojstva točkastog produkta koja se odnose na a → , b → i c → :

1. komutativnost (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivnost (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. kombinacijsko svojstvo (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - bilo koji broj;
4. skalarni kvadrat je uvijek veći od nule (a → , a →) ≥ 0, gdje je (a → , a →) = 0 u slučaju kada je a → nula.

Primjer 1

Svojstva su objašnjiva zahvaljujući definiciji skalarnog umnoška na ravnini te svojstvima zbrajanja i množenja realnih brojeva.

Dokažite svojstvo komutativnosti (a → , b →) = (b → , a →) . Iz definicije imamo da je (a → , b →) = a y · b y + a y · b y i (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Po svojstvu komutativnosti istinite su jednakosti a x · b x = b x · a x i a y · b y = b y · a y, što znači a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Slijedi (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivnost vrijedi za sve brojeve:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

stoga imamo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Točkasti proizvod s primjerima i rješenjima

Svaki problem ove vrste rješava se korištenjem svojstava i formula koje se odnose na skalarni produkt:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ili (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pogledajmo neke primjere rješenja.

Primjer 2

Duljina a → je 3, duljina b → je 7. Nađite točkasti umnožak ako kut ima 60 stupnjeva.

Riješenje

Po uvjetu imamo sve podatke pa izračunavamo po formuli:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a → , b →) = 21 2 .

Primjer 3

Zadani su vektori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Što je skalarni produkt?

Riješenje

Ovaj primjer razmatra formulu za izračunavanje koordinata, budući da su navedene u izjavi problema:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a → , b →) = - 9

Primjer 4

Pronađite skalarni produkt od A B → i A C →. Na koordinatnoj ravnini zadane su točke A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Riješenje

Za početak se izračunavaju koordinate vektora, budući da su uvjetom zadane koordinate točaka:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Zamjenom u formulu pomoću koordinata dobivamo:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Odgovor: (A B → , A C →) = 28 .

Primjer 5

Zadani su vektori a → = 7 · m → + 3 · n → i b → = 5 · m → + 8 · n → , pronađite njihov umnožak. m → jednako 3 i n → jednako 2 jedinice, oni su okomiti.

Riješenje

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Primjenom svojstva distributivnosti dobivamo:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Oduzimamo koeficijent iz predznaka umnoška i dobivamo:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Svojstvom komutativnosti transformiramo:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Kao rezultat dobivamo:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Sada primjenjujemo formulu za skalarni umnožak s kutom određenim uvjetom:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Odgovor: (a → , b →) = 411

Ako postoji numerička projekcija.

Primjer 6

Pronađite skalarni umnožak a → i b →. Vektor a → ima koordinate a → = (9, 3, - 3), projekciju b → s koordinatama (- 3, - 1, 1).

Riješenje

Po uvjetu su vektori a → i projekcija b → suprotno usmjereni, jer a → = - 1 3 · n p a → b → → , što znači da projekcija b → odgovara dužini n p a → b → → , a uz “ -” znak:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Zamjenom u formulu dobivamo izraz:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Odgovor: (a → , b →) = - 33 .

Zadaci s poznatim skalarnim produktom, gdje je potrebno pronaći duljinu vektora ili numeričke projekcije.

Primjer 7

Koju vrijednost treba uzeti λ za dati skalarni umnožak a → = (1, 0, λ + 1) i b → = (λ, 1, λ) bit će jednako -1.

Riješenje

Iz formule je jasno da je potrebno pronaći zbroj proizvoda koordinata:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Zadano imamo (a → , b →) = - 1 .

Da bismo pronašli λ, izračunavamo jednadžbu:

λ 2 + 2 · λ = - 1, stoga je λ = - 1.

Odgovor: λ = - 1.

Fizičko značenje skalarnog produkta

Mehanika razmatra primjenu točkastog produkta.

Kada A radi s konstantnom silom F → tijelo koje se kreće od točke M do N, možete pronaći umnožak duljina vektora F → i M N → s kosinusom kuta između njih, što znači da je rad jednak umnošku vektora sile i pomaka:

A = (F → , M N →) .

Primjer 8

Kretanje materijalne točke za 3 metra pod utjecajem sile od 5 Ntona usmjereno je pod kutom od 45 stupnjeva u odnosu na os. Pronađi.

Riješenje

Budući da je rad umnožak vektora sile i pomaka, to znači da na temelju uvjeta F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, dobivamo A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Odgovor: A = 15 2 2 .

Primjer 9

Materijalna točka, gibajući se od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod djelovanjem sile F → = (3, 1, 2), izvršila je rad jednak 13 J. Izračunaj duljina kretanja.

Riješenje

Za zadane vektorske koordinate M N → vrijedi M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Koristeći formulu za pronalaženje rada s vektorima F → = (3, 1, 2) i M N → = (3, 3 λ - 1, 7), dobivamo A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Prema uvjetu je dano da je A = 13 J, što znači 22 + 3 λ = 13. Ovo implicira λ = - 3, što znači M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Da biste pronašli duljinu kretanja M N →, primijenite formulu i zamijenite vrijednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Odgovor: 158.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dakle, duljina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata
. Duljina n-dimenzionalnog vektora izračunava se na sličan način
. Ako se sjetimo da je svaka koordinata vektora razlika između koordinata kraja i početka, tada ćemo dobiti formulu za duljinu segmenta, tj. Euklidska udaljenost između točaka.

Skalarni produkt dva vektora na ravnini umnožak je duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih:
. Može se dokazati da skalarni produkt dva vektora = (x 1, x 2) i = (y 1 , y 2) jednaka je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

U n-dimenzionalnom prostoru, skalarni umnožak vektora X= (x 1, x 2,...,x n) i Y= (y 1, y 2,...,y n) definiran je kao zbroj umnožaka njihovih odgovarajućih koordinata: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operacija međusobnog množenja vektora slična je množenju matrice retka matricom stupca. Naglašavamo da će rezultat biti broj, a ne vektor.

Skalarni proizvod vektora ima sljedeća svojstva (aksiome):

1) Komutativno svojstvo: X*Y=Y*X.

2) Svojstvo distribucije u odnosu na zbrajanje: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Za svaki realni broj 
.

4)
, ako X nije nulti vektor;
ako je X nulti vektor.

Linearni vektorski prostor u kojem je dan skalarni umnožak vektora koji zadovoljava četiri odgovarajuća aksioma naziva se Euklidski linearni vektorprostor.

Lako je vidjeti da kada pomnožimo bilo koji vektor samim sobom, dobivamo kvadrat njegove duljine. Dakle, drugačije je duljina vektor se može definirati kao kvadratni korijen njegovog skalarnog kvadrata:.

Duljina vektora ima sljedeća svojstva:

1) |X| = 0H = 0;

2) |X| = ||*|X|, gdje je  realan broj;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky nejednakost);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nejednakost trokuta).

Kut  između vektora u n-dimenzionalnom prostoru određuje se na temelju koncepta skalarnog produkta. Zapravo, ako
, To
. Ovaj razlomak nije veći od jedan (prema nejednakosti Cauchy-Bunyakovskog), pa odavde možemo pronaći .

Dva vektora se nazivaju ortogonalni ili okomito, ako je njihov skalarni produkt jednak nuli. Iz definicije skalarnog umnoška proizlazi da je nulti vektor pravokutan na bilo koji vektor. Ako su oba ortogonalna vektora različita od nule, tada je cos= 0, tj.=/2 = 90 o.

Pogledajmo ponovno sliku 7.4. Sa slike se vidi da se kosinus kuta od nagiba vektora prema vodoravnoj osi može izračunati kao
, a kosinus kutanagiba vektora prema okomitoj osi je kao
. Ti se brojevi obično pozivaju kosinus smjera. Lako je provjeriti da je zbroj kvadrata kosinusa smjera uvijek jednak jedan: cos 2 +cos 2 = 1. Slično, pojmovi kosinusa smjera mogu se uvesti za prostore viših dimenzija.

Osnova vektorskog prostora

Za vektore možemo definirati pojmove linearna kombinacija,linearna ovisnost I neovisnost slično kao što su ovi koncepti uvedeni za retke matrice. Također je istina da ako su vektori linearno ovisni, onda se barem jedan od njih može izraziti linearno u terminima ostalih (tj. to je njihova linearna kombinacija). Vrijedi i obrnuto: ako je jedan od vektora linearna kombinacija ostalih, tada su svi ti vektori zajedno linearno ovisni.

Primijetimo da ako među vektorima a l , a 2 ,...a m postoji nulti vektor, tada je taj skup vektora nužno linearno ovisan. Zapravo, dobivamo l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ako, na primjer, koeficijent j na nultom vektoru izjednačimo s jedinicom, a sve ostale koeficijente s nulom. U tom slučaju neće svi koeficijenti biti jednaki nuli ( j ≠ 0).

Osim toga, ako je neki dio vektora iz skupa vektora linearno ovisan, tada su svi ti vektori linearno ovisni. Zapravo, ako neki vektori daju nulti vektor u svojoj linearnoj kombinaciji s koeficijentima koji nisu oba nula, tada se preostali vektori pomnoženi s nultim koeficijentima mogu dodati ovom zbroju proizvoda, i to će i dalje biti nulti vektor.

Kako odrediti jesu li vektori linearno ovisni?

Na primjer, uzmimo tri vektora: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) i a 3 = (3, 1, 4, 3). Kreirajmo od njih matricu u kojoj će biti stupci:

Tada će se pitanje linearne ovisnosti svesti na određivanje ranga ove matrice. Ako se ispostavi da je jednak tri, tada su sva tri stupca linearno neovisna, a ako se pokaže da je manji, to će značiti linearnu ovisnost vektora.

Budući da je rang 2, vektori su linearno ovisni.

Imajte na umu da bi rješenje problema također moglo započeti razmišljanjem koje se temelji na definiciji linearne neovisnosti. Naime, sastavite vektorsku jednadžbu  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, koja će imati oblik  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tada dobivamo sustav jednadžbi:

Rješavanje ovog sustava Gaussovom metodom svodit će se na dobivanje iste matrice koraka, samo što će imati još jedan stupac - slobodni članovi. Svi će oni biti nula, jer linearne transformacije nula ne mogu dovesti do drugačijeg rezultata. Transformirani sustav jednadžbi će imati oblik:

Rješenje ovog sustava bit će (-s;-s; s), gdje je s proizvoljan broj; na primjer, (-1;-1;1). To znači da ako uzmemo  l = -1; 2 =-1 i  3 = 1, tada je  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, tj. vektori su zapravo linearno ovisni.

Iz riješenog primjera postaje jasno da ako uzmemo broj vektora veći od dimenzije prostora, onda će oni nužno biti linearno ovisni. Zapravo, ako u ovom primjeru uzmemo pet vektora, dobili bismo matricu 4 x 5, čiji rang ne može biti veći od četiri. Oni. najveći broj linearno nezavisnih stupaca i dalje ne bi bio veći od četiri. Dva, tri ili četiri četverodimenzionalna vektora mogu biti linearno neovisna, ali pet ili više ne mogu. Prema tome, na ravnini ne mogu biti linearno neovisna više od dva vektora. Bilo koja tri vektora u dvodimenzionalnom prostoru su linearno ovisna. U trodimenzionalnom prostoru svaka četiri (ili više) vektora uvijek su linearno ovisna. I tako dalje.

Zato dimenzija prostor se može definirati kao najveći broj linearno neovisnih vektora koji se u njemu mogu nalaziti.

Skup od n linearno neovisnih vektora n-dimenzionalnog prostora R naziva se osnova ovaj prostor.

Teorema. Svaki vektor linearnog prostora može se prikazati kao linearna kombinacija baznih vektora, i to na jedinstven način.

Dokaz. Neka vektori e l , e 2 ,...e n tvore bazično-dimenzionalni prostor R. Dokažimo da je svaki vektor X linearna kombinacija ovih vektora. Budući da će zajedno s vektorom X broj vektora postati (n +1), ti (n +1) vektori će biti linearno ovisni, tj. postoje brojevi l , 2 ,..., n ,, koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +H = 0

U ovom slučaju, 0, jer inače bismo dobili l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, gdje nisu svi koeficijenti l , 2 ,..., n jednaki nuli. To znači da bi bazni vektori bili linearno ovisni. Stoga obje strane prve jednadžbe možemo podijeliti s:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

H = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

H = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

gdje je x j = -( j /),
.

Sada dokazujemo da je takav prikaz u obliku linearne kombinacije jedinstven. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedan prikaz:

H = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Oduzimajmo od njega član po član prethodno dobiveni izraz:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Budući da su bazni vektori linearno neovisni, dobivamo da je (y j - x j) = 0,
, tj. y j ​​​​= x j . Dakle, izraz je ispao isti. Teorem je dokazan.

Izraz X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n naziva se raspad vektor X temeljen na e l, e 2,...e n, i brojevima x l, x 2,...x n - koordinate vektor x u odnosu na ovu bazu, ili u ovoj bazi.

Može se dokazati da ako su vektori različiti od nule n-dimenzionalnog euklidskog prostora ortogonalni u paru, onda oni tvore bazu. Zapravo, pomnožimo obje strane jednakosti l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 bilo kojim vektorom e i. Dobivamo  l (e l *e i) +  2 (e 2 *e i) +...+  n (e n *e i) = 0   i (e i *e i) = 0   i = 0 za  i.

Vektori e l , e 2 ,...e n n-dimenzionalnog oblika Euklidskog prostora ortonormirana baza, ako su ti vektori po paru ortogonalni i norma svakog od njih je jednaka jedinici, tj. ako je e i *e j = 0 za i≠j i |e i | = 1 zai.

Teorem (bez dokaza). U svakom n-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza.

Primjer ortonormirane baze je sustav od n jediničnih vektora e i , za koji je i-ta komponenta jednaka jedinici, a preostale komponente jednake su nuli. Svaki takav vektor naziva se ort. Na primjer, vektorski vektori (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1) čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

1. Definicija i najjednostavnija svojstva. Uzmimo vektore a i b različite od nule i nacrtajmo ih iz proizvoljne točke O: OA = a i OB = b. Veličinu kuta AOB nazivamo kutom između vektora a i b i označavamo (a,b). Ako je barem jedan od dva vektora nula, tada se kut između njih, po definiciji, smatra pravim. Imajte na umu da po definiciji kut između vektora nije manji od 0 niti veći od . Štoviše, kut između dva vektora različita od nule jednak je 0 ako i samo ako su ti vektori susmjerni i jednaki ako i samo ako su u suprotnim smjerovima.

Provjerimo da kut između vektora ne ovisi o izboru točke O. To je očito ako su vektori kolinearni. U suprotnom ćemo odgoditi iz proizvoljne točke O 1 vektori O 1 A 1 = a i O 1 U 1 = b i primijetite da trokuti AOB i A 1 OKO 1 U 1 jednak na tri strane, jer je |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 U 1 | = |b|, |AB| = |A 1 U 1 | = |b–a|. Dakle, kutovi AOB i A 1 OKO 1 U 1 su jednaki.

Sada možemo dati glavnu poentu u ovom paragrafu

(5.1) Definicija. Skalarni produkt dvaju vektora a i b (označenih ab) je broj 6 , jednak umnošku duljina ovih vektora i kosinusa kuta između vektora. Ukratko rečeno:

ab = |a||b|cos (a,b).

Operacija pronalaženja skalarnog umnoška naziva se množenje skalarnih vektora. Skalarni produkt aa vektora sa samim sobom naziva se skalarni kvadrat tog vektora i označava se a 2 .

(5.2) Skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu njegove duljine.

 Ako je |a|  0, dakle (a,a) = 0, odakle a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Ako je a = 0, tada je a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Cauchyjeva nejednakost. Modul skalarnog umnoška dvaju vektora ne prelazi umnožak modula faktora: |ab| |a||b|. U tom slučaju jednakost je postignuta ako i samo ako su vektori a i b kolinearni.

 Po definiciji |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Ovo dokazuje samu Cauchyjevu nejednakost. Sada primijetimo. da se za nenulte vektore a i b jednakost u njemu postiže ako i samo ako |cos (a,b)| = 1, tj. na (a,b) = 0 ili (a,b) =  . Potonje je ekvivalentno činjenici da su vektori a i b suusmjereni ili suprotno usmjereni, tj. kolinearni. Ako je barem jedan od vektora a i b nula, tada su kolinearni i |ab| = |a||b| = 0. 

2. Osnovna svojstva skalarnog množenja. To uključuje sljedeće:

(SU1) ab = ba (komutativnost);

(SU2) (xa)b = x(ab) (asocijativnost);

(SU3) a(b+c) = ab + ac (distributivnost).

Komutativnost je ovdje očita, jer ab =  ba. Asocijativnost pri x = 0 je također očita. Ako je x > 0, tada

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

za (xa,b) = (a,b) (iz susmjera vektora xa i a - sl. 21). Ako je x< 0, dakle

(xa)b = |x||a||b|cos (ha,b) = –h|a||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

za (xa,b) = –  (a,b) (iz suprotnog smjera vektora xa i a - sl. 22). Time je i asocijativnost dokazana.

Dokazivanje distributivnosti je teže. Za ovo nam trebaju takvi

(5.4) Lema. Neka je a vektor različit od nule paralelan s pravcem l, a b proizvoljan vektor. Zatim ortogonalna projekcijab" vektora b na ravnu liniju l jednako je
.



Ako je b = 0, tadab" = 0 i ab = 0, pa je u ovom slučaju lema točna. U nastavku ćemo pretpostaviti da vektor b" nije nula. U ovom slučaju iz proizvoljne točke O na pravoj liniji l nacrtamo vektore OA = a i OB = b, a također spustimo okomicu BB" iz točke B na ravnu crtu l. Po definicijiOB" = b"I (a,b) =  AOB. Označimo AOB putem i dokažite lemu zasebno za svaki od sljedeća tri slučaja:

1)  <  /2. Tada vektori a i suusmjereni (slika 23) i

b" = =
=
.

2)  >  /2. Tada vektori a ib" su suprotno usmjereni (slika 24) i

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Zatimb" = 0 i ab = 0, odakleb" =
= 0. 

Sada dokazujemo distributivnost (SU3). Očito je da je vektor a nula. Neka a  0. Zatim povučemo ravnu liniju l || a, i označiti sab"Ic" ortogonalne projekcije vektora b i c na njega, i krozd" je ortogonalna projekcija vektora d = b+c na njega. Prema teoremu 3.5d" = b"+ cPrimjenjujući lemu 5.4 na posljednju jednakost, dobivamo jednakost
=
. Skalarno pomnoživši to s a, nalazimo to 2 =
, odakle je ad = ab+ac, što je i trebalo dokazati.

Svojstva skalarnog množenja vektora koja smo dokazali slična su odgovarajućim svojstvima množenja brojeva. Ali ne prenose se sva svojstva množenja brojeva na skalarno množenje vektora. Evo tipičnih primjera:

1

) Ako je ab = 0, to ne znači da je a = 0 ili b = 0. Primjer: dva vektora različita od nule tvore pravi kut.

2) Ako je ab = ac, to ne znači da je b = c, čak i ako je vektor a različit od nule. Primjer: b i c su dva različita vektora iste duljine koji s vektorom a tvore jednake kutove (slika 25).

3) Nije točno da je a(bc) = (ab)c uvijek istinito: makar samo zato što valjanost takve jednakosti za bc, ab 0 implicira kolinearnost vektora a i c.

3. Ortogonalnost vektora. Dva se vektora nazivaju ortogonalnima ako je kut između njih pravi. Ortogonalnost vektora označena je ikonom .

Kad smo odredili kut između vektora, složili smo se da kut između nultog vektora i bilo kojeg drugog vektora smatramo pravim. Prema tome, nulti vektor je okomit na bilo koji. Ovaj sporazum omogućuje dokazivanje toga

(5.5) Test ortogonalnosti dvaju vektora. Dva vektora su ortogonalna ako i samo ako je njihov točkasti umnožak 0.

 Neka su a i b proizvoljni vektori. Ako je barem jedan od njih nula, onda su ortogonalni, a njihov skalarni umnožak je jednak 0. Dakle, u ovom slučaju teorem je točan. Pretpostavimo sada da su oba ova vektora različita od nule. Po definiciji ab = |a||b|cos (a,b). Budući da su prema našoj pretpostavci brojevi |a| i |b| nisu jednaki 0, tada je ab = 0 cos (a,b) = 0  (a,b) = /2, što je i trebalo dokazati.

Za određivanje ortogonalnosti vektora često se uzima jednakost ab = 0.

(5.6) Korolar. Ako je vektor a okomit na svaki od vektora a 1 , …, A P , onda je ortogonalna na bilo koju njihovu linearnu kombinaciju.

 Dovoljno je uočiti da iz jednakosti aa 1 = ... = aa P = 0 slijedi jednakost a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ahh 1 ) + … + x P (ahh P ) = 0. 

Iz korolara 5.6 možemo lako izvesti školski kriterij za okomitost pravca i ravnine. Zapravo, neka je neki pravac MN okomit na dva pravca AB i AC koji se sijeku. Tada je vektor MN okomit na vektore AB i AC. Uzmimo bilo koji pravac DE u ravnini ABC. Vektor DE je koplanaran s nekolinearnim vektorima AB i AC, pa se širi duž njih. Ali tada je i ortogonalna na vektor MN, odnosno pravci MN i DE su okomiti. Ispada da je pravac MN okomit na bilo koji pravac iz ravnine ABC, što je i trebalo dokazati.

4. Ortonormirane baze. (5.7) Definicija. Baza vektorskog prostora naziva se ortonormirana ako, prvo, svi njeni vektori imaju jediničnu duljinu i, drugo, bilo koja dva njegova vektora su ortogonalna.

Vektori ortonormirane baze u trodimenzionalnom prostoru obično se označavaju slovima i, j i k, au vektorskoj ravnini slovima i i j. Uzimajući u obzir znak ortogonalnosti dvaju vektora i jednakost skalarnog kvadrata vektora kvadratu njegove duljine, uvjeti za ortonormalnost baze (i,j,k) prostora V 3 može se napisati ovako:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

i baza (i,j) vektorske ravnine - ovako:

(5.9)i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Neka vektori a i b imaju ortonormiranu bazu (i,j,k) prostora V 3 koordinate (a 1 , A 2 , A 3 ) i (b 1 b 2 ,b 3 ) odnosno. Zatimab = (A 1 ja+A 2 j+A 3 k)(b 1 ja+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 ja 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . Tako dobivamo formulu za skalarni produkt vektora a(a 1 ,A 2 ,A 3 ) i b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), dane njihovim koordinatama u ortonormiranoj bazi prostora V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

Za vektore a(a 1 ,A 2 ) i b(b 1 ,b 2 ), dan njihovim koordinatama u ortonormiranoj bazi na vektorskoj ravnini, ima oblik

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

Zamijenimo b = a u formulu (5.10). Ispada da u ortonormiranoj bazi a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Od a 2 = |a| 2 , dobivamo sljedeću formulu za pronalaženje duljine vektora a(a 1 ,A 2 ,A 3 ), dana svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi prostora V 3 :

(5.12) |a| =
.

Na vektorskoj ravnini, zbog (5.11), poprima oblik

(5.13) |a| =
.

Zamjenom b = i, b = j, b = k u formulu (5.10), dobivamo još tri korisne jednakosti:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Jednostavnost koordinatnih formula za pronalaženje skalarnog umnoška vektora i duljine vektora glavna je prednost ortonormiranih baza. Za neortonormirane baze ove su formule, općenito govoreći, netočne i njihova je uporaba u ovom slučaju velika pogreška.

5. Kosinusi pravca. Uzmimo ortonormiranu bazu (i,j,k) prostora V 3 vektor a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Zatimai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a,i).S druge strane, ai = a 1 prema formuli 5.14. Ispostavilo se da

(5.15) a 1 = |a|cos (a,i).

i, slično,

A 2 = |a|cos (a,j), a 3 = |a|cos (a,k).

Ako je vektor a jedinica, ove tri jednakosti poprimaju posebno jednostavan oblik:

(5.16) A 1 =cos (a,i),A 2 =cos (a,j),A 3 =cos (a,k).

Kosinusi kutova koje tvori vektor s vektorima ortonormirane baze nazivaju se kosinusima smjera tog vektora u ovoj bazi. Kao što formule 5.16 pokazuju, koordinate jediničnog vektora u ortonormalnoj bazi jednake su njegovim smjernim kosinusima.

Iz 5.15 slijedi da je a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j) +cos 2  (a,k)). S druge strane, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Ispostavilo se da

(5.17) zbroj kvadrata kosinusa smjera vektora različitog od nule jednak je 1.

Ova činjenica može biti korisna za rješavanje nekih problema.

(5.18) Problem. Dijagonala pravokutnog paralelopipeda sa svojim bridovima koji izlaze iz istog vrha tvore kutove od 60°. . Koliki kut tvori s trećim bridom koji izlazi iz tog vrha?

 Razmotrimo ortonormiranu bazu prostora V 3 , čiji su vektori prikazani bridovima paralelopipeda koji se protežu iz zadanog vrha. Budući da vektor dijagonale s dva vektora te baze tvori kutove od 60 , kvadrati dva od njegova tri kosinusa smjera jednaki su cos 2 60  = 1/4. Stoga je kvadrat trećeg kosinusa jednak 1/2, a sam ovaj kosinus jednak je 1/
. To znači da je traženi kut 45 . 

U slučaju ravninskog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y) i b = (b x; b y) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y

Formula za skalarni produkt vektora za prostorne probleme

U slučaju prostornog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula za skalarni produkt n-dimenzionalnih vektora

U slučaju n-dimenzionalnog prostora, skalarni produkt vektora a = (a 1; a 2; ...; a n) i b = (b 1; b 2; ...; b n) može se pronaći pomoću sljedeća formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Svojstva skalarnog umnoška vektora

1. Skalarni produkt vektora sa samim sobom uvijek je veći ili jednak nuli:

2. Skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je nuli ako i samo ako je vektor jednak nultom vektoru:

a · a = 0<=>a = 0

3. Skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula:

4. Operacija skalarnog množenja je komunikativna:

5. Ako je skalarni umnožak dva vektora različita od nule jednak nuli, tada su ti vektori ortogonalni:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacija skalarnog množenja je distributivna:

(a + b) c = a c + b c

Primjeri zadataka za izračunavanje skalarnog umnoška vektora

Primjeri izračunavanja skalarnog umnoška vektora za ravninske probleme

Odredite skalarni produkt vektora a = (1; 2) i b = (4; 8).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Nađite skalarni produkt vektora a i b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 6, a kut između vektora je 60˚.

Riješenje: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Odredite skalarni umnožak vektora p = a + 3b i q = 5a - 3 b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 2, a kut između vektora a i b je 60˚.

Riješenje:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Primjer izračuna skalarnog umnoška vektora za prostorne probleme

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Primjer izračuna točkastog produkta za n-dimenzionalne vektore

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Umnožak vektora i vektora naziva se treći vektor definiran na sljedeći način:

2) okomit, okomit. (1"")

3) vektori su orijentirani na isti način kao i baza cijelog prostora (pozitivno ili negativno).

Označite: .

Fizičko značenje vektorskog produkta

— moment sile u odnosu na točku O; - polumjer - vektor točke primjene sile, zatim

Štoviše, ako ga pomaknemo u točku O, tada bi trojka trebala biti orijentirana kao bazni vektor.

Predavanje: Vektorske koordinate; skalarni produkt vektora; kut između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjeren segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj prikazani određenim točkama, onda one imaju svoje koordinate na ravnini ili u prostoru.

Ako svaka točka ima svoje koordinate, tada možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Recimo da imamo vektor čiji početak i kraj imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Za dobivanje koordinata zadanog vektora potrebno je od koordinata kraja vektora oduzeti odgovarajuće koordinate početka:

Za određivanje koordinata vektora u prostoru upotrijebite sljedeću formulu:

Točkasti umnožak vektora

Postoje dva načina za definiranje koncepta skalarnog proizvoda:

• Geometrijska metoda. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa kuta između njih.

• Algebarsko značenje. S gledišta algebre, skalarni umnožak dvaju vektora je određena veličina koja je dobivena kao rezultat zbroja umnožaka odgovarajućih vektora.

Ako su vektori zadani u prostoru, tada biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako pomnožite dva identična vektora skalarno, tada njihov skalarni produkt neće biti negativan:

• Ako se ispostavi da je skalarni produkt dva identična vektora jednak nuli, tada se ti vektori smatraju nulom:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni umnožak biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni umnožak ima komunikativno svojstvo, odnosno skalarni umnožak se neće promijeniti ako se vektori preurede:

• Skalarni produkt vektora koji nisu nula može biti jednak nuli samo ako su vektori okomiti jedan na drugi:

• Za skalarni produkt vektora vrijedi komutativni zakon u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa skalarnim produktom također možete koristiti svojstvo distribucije množenja:

Kut između vektora