TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:

Razmotrite ove stavke:

Cigle za zidanje, kocke, mikrovalna pećnica. Ti su predmeti objedinjeni oblikom.

Ploha koja se sastoji od dva jednaka paralelograma ABCD i A1B1C1D1

i četiri paralelograma AA1B1B i BB1C1C, SS1D1D, AA1D1D naziva se paralelopiped.

Paralelogrami koji čine paralelopiped nazivaju se plohama. Lice A1V1S1D1. Rub VV1S1S. Rub ABCD.

U ovom slučaju, lica ABCD i A1B1C1D1 češće se nazivaju bazama, a preostala lica su bočne.

Stranice paralelograma nazivamo bridovima paralelopipeda. Rebro A1B1. Rebro CC1. Rebro AD.

Brid CC1 ne pripada bazama; naziva se bočni brid.

Vrhovi paralelograma nazivaju se vrhovima paralelopipeda.

Vrh D1. Veršina B. Veršina S.

Vrhovi D1 i B

ne pripadaju istom licu i nazivaju se suprotnim.

Paralelepiped se može prikazati na različite načine

Paralelepiped u čijoj osnovi leži romb, a slike lica su paralelogrami.

Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat. Nevidljivi rubovi AA1, AB, AD prikazani su isprekidanim linijama.

Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat

Paralelepiped u čijoj osnovi leži pravokutnik ili paralelogram

Paralelepiped sa svim kvadratnim stranama. Češće se naziva kocka.

Svi razmatrani paralelopipedi imaju svojstva. Formulirajmo ih i dokažimo.

Svojstvo 1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.

Promotrimo paralelopiped ABCDA1B1C1D1 i dokažimo, na primjer, paralelnost i jednakost stranica BB1C1C i AA1D1D.

Po definiciji paralelopipeda, stranica ABCD je paralelogram, što znači da je po svojstvu paralelograma brid BC paralelan s bridom AD.

Lice ABB1A1 je također paralelogram, što znači da su bridovi BB1 i AA1 paralelni.

To znači da su dvije ravnine BC i BB1 jedne ravnine koje se sijeku paralelne s dvjema ravninama AD odnosno AA1 druge ravnine, što znači da su ravnine ABB1A1 i BCC1D1 paralelne.

Sve plohe paralelopipeda su paralelogrami, što znači BC = AD, BB1 = AA1.

U tom su slučaju stranice kutova B1BC i A1AD suusmjerene, što znači da su jednake.

Dakle, dvije susjedne stranice i kut između njih paralelograma ABB1A1 jednaki su dvjema susjednim stranicama i kutu između njih paralelograma BCC1D1, što znači da su ti paralelogrami jednaki.

Paralelepiped također ima svojstvo dijagonala. Dijagonala paralelopipeda je segment koji povezuje nesusjedne vrhove. Isprekidana linija na crtežu prikazuje dijagonale B1D, BD1, A1C.

Dakle, svojstvo 2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Da bismo dokazali svojstvo, razmotrimo četverokut BB1D1D. Njegove dijagonale B1D, BD1 su dijagonale paralelopipeda ABCDA1B1C1D1.

U prvom svojstvu smo već otkrili da je rub BB1 ​​paralelan i jednak rubu AA1, ali rub AA1 je paralelan i jednak rubu DD1. Dakle, bridovi BB1 i DD1 su paralelni i jednaki, što dokazuje da je četverokut BB1D1D paralelogram. A u paralelogramu, prema svojstvu, dijagonale B1D, BD1 sijeku se u nekoj točki O i tom točkom ih dijeli popola.

Četverokut BC1D1A je također paralelogram i njegove se dijagonale C1A sijeku u jednoj točki i tom točkom raspolavljaju. Dijagonale paralelograma C1A, VD1 su dijagonale paralelopipeda, što znači da je formulirano svojstvo dokazano.

Kako bismo učvrstili teorijsko znanje o paralelopipedu, razmotrimo problem s dokazom.

Označeno na rubovima paralelopipeda točke L,M,N,P tako da je BL=CM=A1N=D1P. Dokažite da je ALMDNB1C1P paralelopiped.

Lice BB1A1A je paralelogram, što znači da je rub BB1 jednak i paralelan s rubom AA1, ali prema uvjetu segmenti BL i A1N, što znači da su segmenti LB1 i NA jednaki i paralelni.

3) Dakle, četverokut LB1NA je paralelogram.

4) Kako je CC1D1D paralelogram, to znači da je rub CC1 jednak i paralelan s rubom D1D, a CM jednak D1P prema uvjetu, što znači da su segmenti MC1 i DP jednaki i paralelni

Stoga je i četverokut MC1PD paralelogram.

5) Kutovi LB1N i MC1P jednaki su kutovi s redom paralelnim i identično usmjerenim stranicama.

6) Utvrdili smo da paralelogrami i MC1PD imaju jednake stranice i da su kutovi između njih jednaki, što znači da su paralelogrami jednaki.

7) Segmenti su jednaki prema uvjetu, što znači da je BLMC paralelogram i stranica BC je paralelna sa stranicom LM je paralelna sa stranicom B1C1.

8) Slično, iz paralelograma NA1D1P slijedi da je stranica A1D1 paralelna sa stranicom NP i paralelna sa stranicom AD.

9) Nasuprotne plohe ABB1A1 i DCC1D1 paralelepipeda su po svojstvu paralelne, a odsječci paralelnih ravnina između paralelnih ravnina su jednaki, što znači da su odsječci B1C1, LM, AD, NP jednaki.

Utvrđeno je da su u četverokutima ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dvije stranice paralelne i jednake, što znači da su paralelogrami. Tada se naša ploha ALMDNB1C1P sastoji od šest paralelograma od kojih su dva jednaka i po definiciji je paralelopiped.

U geometriji su ključni pojmovi ravnina, točka, pravac i kut. Koristeći ove pojmove, možete opisati bilo koji geometrijski lik. Poliedri se obično opisuju pomoću jednostavnijih figura koje leže u istoj ravnini, kao što su krug, trokut, kvadrat, pravokutnik itd. U ovom ćemo članku pogledati što je paralelopiped, opisati vrste paralelopipeda, njegova svojstva, od kojih se elemenata sastoji, a također ćemo dati osnovne formule za izračunavanje površine i volumena za svaku vrstu paralelopipeda.

Definicija

Paralelepiped u trodimenzionalnom prostoru je prizma čije su sve stranice paralelogrami. Prema tome, može imati samo tri para paralelnih paralelograma ili šest lica.

Da biste vizualizirali paralelopiped, zamislite običnu standardnu ​​ciglu. Cigla - dobar primjer pravokutni paralelopiped, što i dijete može zamisliti. Drugi primjeri uključuju višekatne panelne kuće, ormare, spremnike za skladištenje hrane odgovarajućeg oblika itd.

Varijante figure

Postoje samo dvije vrste paralelopipeda:

1. Pravokutni, svi bočna lica koji su pod kutom od 90° prema osnovici i pravokutnici su.
2. Nagnuti, čiji se bočni rubovi nalaze pod određenim kutom u odnosu na bazu.

Na koje elemente se može podijeliti ova figura?

• Kao iu svakom drugom geometrijskom liku, u paralelopipedu se svaka 2 lica sa zajedničkim bridom nazivaju susjednim, a ona koja ga nemaju su paralelna (na temelju svojstva paralelograma, koji ima parove paralelnih suprotnih stranica).
• Vrhovi paralelopipeda koji ne leže na istoj plohi nazivaju se suprotnim.
• Segment koji povezuje takve vrhove je dijagonala.
• Duljine tri brida kvadra koji se sastaju u jednom vrhu njegove su dimenzije (naime, duljina, širina i visina).

Svojstva oblika

1. Uvijek se gradi simetrično u odnosu na sredinu dijagonale.
2. Sjecište svih dijagonala dijeli svaku dijagonalu na dva jednaka segmenta.
3. Nasuprotna lica jednakih su duljina i leže na paralelnim pravcima.
4. Ako zbrojite kvadrate svih dimenzija paralelopipeda, dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu duljine dijagonale.

Formule za izračun

Formule za svaki pojedini slučaj paralelopipeda bit će različite.

Za proizvoljni paralelopiped vrijedi da je njegov volumen jednak apsolutna vrijednost utrostručiti točkasti proizvod vektori od tri strane koji izlaze iz jednog vrha. Međutim, ne postoji formula za izračunavanje volumena proizvoljnog paralelopipeda.

Za pravokutni paralelopiped vrijede sljedeće formule:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - volumen figure;
• Sb - bočna površina;
• Sp - ukupna površina;
• a - duljina;
• b - širina;
• c - visina.

Još jedan poseban slučaj paralelepipeda u kojem su sve stranice kvadrati je kocka. Ako je bilo koja stranica kvadrata označena slovom a, tada se za površinu i volumen ove figure mogu koristiti sljedeće formule:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- područje figure,
• V je volumen figure,
• a je duljina lica figure.

Posljednja vrsta paralelopipeda koju razmatramo je ravni paralelopiped. Koja je razlika između pravog paralelopipeda i kvadra, pitate se. Činjenica je da baza pravokutnog paralelopipeda može biti bilo koji paralelogram, ali baza ravnog paralelopipeda može biti samo pravokutnik. Ako opseg baze, jednak zbroju duljina svih stranica, označimo kao Po, a visinu označimo slovom h, imamo pravo koristiti sljedeće formule za izračunavanje volumena i površina ukupne i bočne površine.

Paralelepiped je geometrijski lik, čijih su svih 6 stranica paralelogrami.

Ovisno o vrsti tih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:

• ravno;
• nagnut;
• pravokutan.

Pravi paralelopiped je četverokutna prizma čiji rubovi s ravninom baze zatvaraju kut od 90°.

Pravokutni paralelopiped je četverokutna prizma čije su sve plohe pravokutnici. Kocka je vrsta četverokutne prizme u kojoj su sve plohe i bridovi međusobno jednaki.

Značajke figure unaprijed određuju njezina svojstva. To uključuje sljedeće 4 izjave:

Sva navedena svojstva je jednostavno zapamtiti, lako su razumljiva i logički se izvode na temelju vrste i karakteristika geometrijskog tijela. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerojatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za prolazak testa.

Formule paralelopipeda

Za pronalaženje odgovora na problem nije dovoljno poznavati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule za pronalaženje površine i volumena geometrijskog tijela.

Područje baza nalazi se na isti način kao i odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Osnovicu paralelograma možete odabrati sami. U pravilu, pri rješavanju problema lakše je raditi s prizmom čija je baza pravokutnik.

Formula za pronalaženje bočne površine paralelopipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.

Primjeri rješavanja tipičnih zadataka Jedinstvenog državnog ispita

Vježba 1.

S obzirom: pravokutni paralelopiped dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno pronađite duljinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Riješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izgradnjom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačena “zadana” i željena vrijednost. Slika ispod prikazuje primjer ispravan dizajn uvjeti zadatka.

Nakon što smo pregledali napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog ispravnog načina rješenja. Primjenom 4. svojstva paralelopipeda dobivamo sljedeći izraz:

Nakon jednostavnih izračuna dobivamo izraz b2=169, dakle b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, ne trebate potrošiti više od 5 minuta na njegovo traženje i crtanje.

Zadatak 2.

S obzirom: nagnuti paralelopiped s bočnim rubom 10 cm, pravokutnik KLNM dimenzija 5 i 7 cm, koji je presjek lika paralelan s navedenim rubom.
Neophodno pronađite bočnu površinu četverokutne prizme.
Riješenje: Prvo treba skicirati zadano.

Za rješavanje ovog zadatka potrebno je upotrijebiti domišljatost. Slika pokazuje da su stranice KL i AD nejednake, kao i par ML i DC. Međutim, opseg tih paralelograma očito je jednak.

Stoga, bočno područje slike bit će jednaka površini poprečnog presjeka pomnoženoj s rubom AA1, budući da je prema uvjetu rub okomit na presjek. Odgovor: 240 cm2.

ili (ekvivalentno) poliedar sa šest stranica koje su paralelogrami. Šesterokut.

Paralelogrami koji čine paralelopiped su rubovi ovog paralelopipeda, stranice tih paralelograma su bridovi paralelopipeda, a vrhovi paralelograma su vrhovi paralelopiped. U paralelepipedu je svaka ploha paralelogram.

U pravilu se identificiraju i pozivaju bilo koja 2 suprotna lica osnovice paralelopipeda, a preostala lica - bočne strane paralelopipeda. Bridovi paralelopipeda koji ne pripadaju osnovicama su bočna rebra.

2 lica paralelopipeda koja imaju zajednički rub su susjedni, i one koje nemaju zajedničke bridove - suprotan.

Isječak koji spaja 2 vrha koji ne pripadaju 1. plohi je dijagonala paralelopipeda.

Duljine bridova pravokutnog paralelopipeda koji nisu paralelni su linearne dimenzije (mjerenja) paralelopiped. Pravokutni paralelopiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelopipeda.

Postoji nekoliko vrsta paralelopipeda:

Direktno je paralelopiped s bridom okomitim na ravninu baze.

Pravokutni paralelopiped u kojem su sve 3 dimenzije jednake je kocka. Svaka strana kocke je jednaka kvadrati .

Bilo koji paralelopiped. Volumen i omjeri u nagnutom paralelopipedu uglavnom se određuju pomoću vektorske algebre. Volumen paralelopipeda jednak je apsolutnoj vrijednosti mješoviti proizvod 3 vektora koja su određena sa 3 stranice paralelopipeda (koje izlaze iz istog vrha). Odnos između duljina stranica paralelopipeda i kutova između njih pokazuje tvrdnju da je Gramova determinanta zadana 3 vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog umnoška.

Svojstva paralelopipeda.

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Bilo koji segment s krajevima koji pripadaju plohi paralelopipeda i koji prolazi sredinom njegove dijagonale podijeljen je njime na dva jednaka dijela. Sve dijagonale paralelopipeda sijeku se u 1. točki i njome se dijele na dva jednaka dijela.
• Nasuprotne plohe paralelepipeda su paralelne i imaju jednake dimenzije.
• Kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je