RJEŠAVANJE ZADATAKA POMOĆU “EULEROVIH KRUGOVA”

Rybina Angelina

Razred 5 "D", Općinska obrazovna ustanova "Srednja škola br. 59 s UIP", Ruska Federacija,Saratov

Bagaeva Irina Viktorovna

znanstveni voditelj,učiteljica najviše kategorije, profesorica matematike,Općinska obrazovna ustanova "Srednja škola br. 59 s UIP", Ruska Federacija,Saratov

“... krugovi su vrlo pogodni za olakšavanje našeg razmišljanja”

Leonard Euler

Ne postoji znanstvenik čije se ime tako često spominje u obrazovnoj matematičkoj literaturi kao Eulerovo ime. Čak iu srednjoj školi, logaritmi i trigonometrija još uvijek se uglavnom uče "prema Euleru".

Godine 1741. Euler je napisao “Pisma o raznim fizičkim i filozofskim stvarima, pisana jednoj njemačkoj princezi...”, gdje se prvi put pojavljuju “Eulerovi krugovi”. Euler je tada napisao da su "krugovi vrlo prikladni za olakšavanje našeg razmišljanja".

Prilikom rješavanja brojnih problema, Leonhard Euler je koristio ideju predstavljanja skupova pomoću krugova, a oni su nazvani “Eulerovim krugovima”.

Koristeći ove krugove, Euler je također prikazao skup svih realnih brojeva:

N - skup prirodnih brojeva,

Z - skup cijelih brojeva,

Q - skup racionalnih brojeva,

· R je skup svih realnih brojeva.

Slika 1. Ilustracija skupa realnih brojeva

Što je set?

U matematici ne postoji precizna definicija ovog pojma. Pojam “set” nije definiran, objašnjen je na primjerima: mnogo jabuka u košari; skup točaka na dužini. Skup se sastoji od elemenata. U navedenim primjerima to su jabuke, slova, točkice.

Skupovi se označavaju velikim slovima latinične abecede: A, B, C, ... K, M, N ... X, ...; elementi skupa - malim slovima abecede: a, b, c, ... k, m, n ... x, y, .... A = (a; b; c; d) - skup A se sastoji od elemenata a, b , c, d ili, kažu da element a pripada skupu A, piše se: aA (znak glasi: “pripada”). Element 5 nije uključen u skup A, kažu da "5 ne pripada A": 5 A, ili . Ako skup B ne sadrži niti jedan element, tada se kaže da je prazan, označava se: B =.

Skup se može shvatiti kao zbirka bilo kojih objekata koji se nazivaju elementi skupa. Primjeri skupova mogu biti kuće u našoj ulici, a abeceda je skup slova, a naš 5. D razred je skup učenika.

Setovi mogu biti:

· Konačni (čiji se elementi mogu prebrojati; na primjer, skup brojeva)

· Prazan (ne sadrži niti jedan element; na primjer, puno zečeva koji uče u našem razredu).

Skup K se naziva podskup skupa N ako je svaki element skupa K element skupa N. Označava se sa: KÍN. Za skup K se kaže da je uključen u skup N.

Podskupovi se mogu ilustrirati Eulerovim krugovima.

Slika 2. Slika podskupa

Akcije sa skupovima

U matematici postoji nekoliko operacija nad skupovima. Pogledat ćemo dva od njih: raskrižje i uniju.

1. Presjek skupova

Presjek skupova M I N je skup koji se sastoji od elemenata koji istovremeno pripadaju M I N. Presjek skupova M I N označen sa .

Primjer. Postavite N = ( A N D R E Y );

skup K = ( A L E K S E Y ); postaviti M = ( D M I T R I Y )

Slika 3. Primjer presjeka skupova

2. Unija skupova

Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente izvornih skupova. Unija skupova M I N označen sa .

Primjer ; 2) unija skupa svih pasmina pasa i skupa mopsova je skup svih pasa.

Operacije unije i presjeka skupova vrlo su zgodno prikazane pomoću Eulerovih kružnica.

Po definiciji, presjek dva skupa M i N uključuje elemente koji pripadaju skupovima M i N istovremeno

Primjer. Neka D bude skup od 12 najljepših djevojčica, M neka bude skup od 12 najpametnijih dječaka. Dobili smo svoj razred.

Slika 4. Primjer spajanja skupova

3. Ugniježđeni skupovi.

Primjer. Postoje tri skupa: “djeca”, “školarci”, “osnovci”. Vidimo da se ova 3 skupa nalaze jedan u drugom . Za skup koji se nalazi unutar drugog skupa kaže se da je ugniježđen.

Slika 5. Primjer ugniježđenih skupova

Problemi koji se mogu riješiti pomoću Eulerovih dijagrama

Zadatak br. 1

Na stol su bačene dvije salvete veličine 10 cm x 10 cm. Pokrivale su površinu stola jednaku 168. Kolika je površina preklapanja?

1)168 – 10 x 10 = 68;

2) 10 x 10 – 68 = 32.

Odgovor: 32 cm

Slika 6. Crtež za zadatak br.1

Problem br. 2

Na izlete je išlo 80% razreda, a na izlete 60% i svi su bili na izletu ili izletu. Koliki je postotak razreda bio i tamo i tamo?

A - mnogo učenika koji su išli na izlet

B - mnogo učenika koji su bili na ekskurziji

100 % – 80 % = 20 %

60 % – 20 % = 40 %

Odgovor: 40%

Slika 7. Crtež za zadatak br.2

Problem br. 3

U našem razredu ima 24 učenika. Svi su se lijepo zabavili na skijanju, 16 na klizalištu, a 12 je pravila snjegovića. Koliko je učenika znalo skijati, klizati i napraviti snjegovića?

A - puno momaka na skijanju

B - puno momaka kliza

C - puno momaka koji rade snjegovića

Neka je x broj momaka

koji su sve uspjeli napraviti za ove blagdane!

(12 - x) + (16 - x) + (10 - x) + x = 24

Odgovor: 7 momaka

Slika 8. Crtež za zadatak br.3

Problem broj 4

9 mojih prijatelja voli banane, 8 voli naranče, 7 voli šljive, 5 voli banane i naranče, 3 vole banane i šljive, 4 vole naranče i šljive, 2 vole banane, naranče i šljive. Koliko prijatelja imam?

5 – 2 = 3 3 – 2 = 1 4 – 2 = 2

9 – 6 = 3 8 – 7 = 1 7 – 5 = 2

3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 14

Odgovor: 14 prijatelja

Slika 9. Crtež za problem br. 4

Problem br. 5

U pionirskom kampu Dubki tijekom smjene odmaralo se 30 odličnih učenika, 28 pobjednika Olimpijskih igara i 42 sportaša. 10 osoba su bili i odlični učenici i pobjednici olimpijada, 5 su bili izvrsni učenici i sportaši, 8 su bili sportaši i pobjednici olimpijada, 3 su bili i odlični učenici i sportaši i pobjednici olimpijada.

Koliko je momaka bilo u kampu?

A - mnogo odličnih učenika

B - mnogi pobjednici Olimpijade

C - mnogi sportaši

10 – 3 = 7 5 – 3 = 2 8 – 3 = 5

30 – 12 = 18 28 – 15 = 13 42 – 10 = 32

18 + 13 + 32 + 7 + 2 + 5 + 3 = 80

Odgovor: 80 momaka

Slika 10. Crtež za problem br. 5

3. Zaključak

Eulerovi dijagrami opći su naziv za niz metoda grafičke ilustracije, široko korištenih u raznim područjima matematike: teoriji skupova, teoriji vjerojatnosti, logici, statistici, informatici itd. Korištenje Eulerovih krugova omogućuje čak i učeniku petog razreda da lako rješavati probleme koji se mogu riješiti samo na uobičajeni način u srednjoj školi.

Reference:

1.Alexandrova R.A., Potapov A.M. Elementi teorije skupova i matematičke logike. Radionica / Kaliningrad. 1997. - 66 str.

2.Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. Priručnik za učenike 5-6 razreda. M.: Obrazovanje, 1999. str. 189-191, 231 (prikaz, stručni).

3. Zadatci za izvannastavni rad iz matematike od V. do VI. razreda: Priručnik za učitelje / Komp. V.Yu. Safonova. ur. D.B. Fuksa, A.L. Gavronski. M.: MIROS, 1993. - str. 42.

4. Zabavna matematika. 5-11 razreda. Kako lekcije ne budu dosadne / Autor. komp. T.D. Gavrilova. Volgograd: Učitelj, 2005. - str. 32-38 (prikaz, stručni).

5. Smykalova E.V. Dodatna poglavlja iz matematike za učenike 5. razreda. St. Petersburg: SMIO Press, 2009. - str. 14-20 (prikaz, stručni).

6.Enciklopedija za djecu. T. 11. Matematika Glavni urednik. DOKTOR MEDICINE. Aksenov. M.: Avanta +, 2001. - str. 537-542 (prikaz, ostalo).

Svaki predmet ili pojava ima određena svojstva (znakove).

Ispada da formiranje pojma o predmetu prije svega znači sposobnost da ga razlikujemo od drugih njemu sličnih predmeta.

Možemo reći da je pojam mentalni sadržaj riječi.

Koncept - to je oblik mišljenja koji prikazuje predmete u njihovim najopćenitijim i najbitnijim karakteristikama.

Pojam je oblik mišljenja, a ne oblik riječi, budući da je riječ samo oznaka kojom obilježavamo ovu ili onu misao.

Riječi mogu biti različite, ali ipak znače isti koncept. Na ruskom - "olovka", na engleskom - "olovka", na njemačkom - bleistift. Ista misao ima različite verbalne izraze u različitim jezicima.

ODNOSI IZMEĐU POJMOVA. EULEROVI KRUGOVI.

Pojmovi koji u svom sadržaju imaju zajedničke značajke nazivaju se USPOREDIV(“pravnik” i “zamjenik”; “student” i “sportaš”).

Inače se razmatraju pojmovi NEUSPOREDIV("krokodil" i "bilježnica"; "čovjek" i "parobrod").

Ako pojmovi osim zajedničkih obilježja imaju i zajedničke elemente volumena, tada se nazivaju KOMPATIBILAN.

Postoji šest vrsta odnosa između usporedivih pojmova. Pogodno je označavati odnose između opsega pojmova pomoću Eulerovih krugova (kružnih dijagrama gdje svaki krug označava opseg pojma).

VRSTA ODNOSA IZMEĐU POJMOVA	SLIKA POMOĆU EULEROVIH KRUGOVA
JEDNAKOST (IDENTITET) Opsezi pojmova potpuno se podudaraju. one. To su sadržajno različiti pojmovi, ali se u njima misli na iste elemente volumena.	1) A - Aristotel B - utemeljitelj logike 2) A - kvadrat B - jednakostranični pravokutnik
SUBORDINACIJA (SUBORDINACIJA) Opseg jednog pojma u potpunosti ulazi u opseg drugog, ali ga ne iscrpljuje.	1) A - osoba B - učenik 2) A - životinja B - slon
RASKRIŠĆE (KRIŽANJE) Volumeni dvaju pojmova djelomično se podudaraju. Odnosno, pojmovi sadrže zajedničke elemente, ali uključuju i elemente koji pripadaju samo jednom od njih.	1) A - pravnik B - zamjenik 2) A - student B - sportaš
KOORDINACIJA (KOORDINACIJA) Pojmovi koji nemaju zajedničkih elemenata u potpunosti ulaze u okvire trećeg, šireg pojma.	1) A - životinja B - mačka; C - pas; D - miš 2) A - plemeniti metal B - zlato; C - srebro; D - platina
SUPROTNOST (KONTRAPARNOST) Pojmovi A i B nisu samo uključeni u opseg trećeg pojma, nego se čini da su na njegovim suprotnim polovima. Odnosno, pojam A ima u svom sadržaju takvo obilježje, koje je u pojmu B zamijenjeno suprotnim.	1) A - bijela mačka; B - crvena mačka (mačke su i crne i sive) 2) A - vrući čaj; ledeni čaj (čaj može biti i topao) tj. koncepti A i B ne iscrpljuju cijeli opseg pojma u koji su uključeni.
KONTRADICIJA (KONTRADICIONALNOST) Odnos između pojmova, od kojih jedan izražava prisutnost nekih karakteristika, a drugi - njihovu odsutnost, to jest, jednostavno negira te karakteristike, ne zamjenjujući ih bilo kojim drugim.	1) A - visoka kuća B - niska kuća 2) A - dobitni listić B - nedobitni listić, tj. pojmovi A i ne-A iscrpljuju cijeli opseg pojma u koji su uključeni, budući da se između njih ne može staviti nikakav dodatni pojam.

Vježba : Odredite vrstu odnosa na temelju opsega pojmova u nastavku. Nacrtajte ih pomoću Eulerovih kružnica.

1) A - vrući čaj; B - ledeni čaj; C - čaj s limunom

Vrući čaj (B) i ledeni čaj (C) su u suprotnom odnosu.

Čaj s limunom (C) može biti vruć,

tako hladno, ali može biti i npr. toplo.

2)A- drveni; U- kamen; S- struktura; D- kuća.

Je li svaka zgrada (C) kuća (D)? - Ne.

Je li svaka kuća (D) zgrada (C)? - da

Nešto drveno (A) je li to nužno kuća (D) ili zgrada (C) - Ne.

Ali možete pronaći drvenu konstrukciju (na primjer, kabinu),

Možete pronaći i drvenu kuću.

Nešto što je napravljeno od kamena (B) nije nužno kuća (D) ili zgrada (C).

Ali može postojati kamena zgrada ili kamena kuća.

3)A- ruski grad; U- glavni grad Rusije;

S- Moskva; D- grad na Volgi; E- Uglich.

Glavni grad Rusije (B) i Moskva (C) su isti grad.

Uglich (E) je grad na Volgi (D).

U isto vrijeme, Moskva, Uglich, kao i svaki grad na Volgi,

su ruski gradovi (A)

P O N I T I E

Svaki predmet ili pojava ima određena svojstva (znakove).

Ispada da formiranje pojma o predmetu prije svega znači sposobnost da ga razlikujemo od drugih njemu sličnih predmeta.

Možemo reći da je pojam mentalni sadržaj riječi.

Koncept je oblik mišljenja koji odražava objekte u njihovim najopćenitijim i najbitnijim karakteristikama*.

Pojam je oblik mišljenja, a ne oblik riječi, jer je riječ samo oznaka kojom obilježavamo ovu ili onu misao.

Riječi mogu biti različite, ali i dalje znače isti koncept. Na ruskom - "olovka", na engleskom - "olovka", na njemačkom - bleistift. Ista misao ima različite verbalne izraze u različitim jezicima.

ODNOSI IZMEĐU POJMOVA. EULEROVI KRUGOVI.

Pojmovi koji u svom sadržaju imaju zajedničke značajke nazivaju se USPOREDIV(“pravnik” i “zamjenik”; “student” i “sportaš”).

Inače se razmatraju pojmovi NEUSPOREDIV("krokodil" i "bilježnica"; "čovjek" i "parobrod").

Ako pojmovi osim zajedničkih obilježja imaju i zajedničke elemente volumena, tada se nazivaju KOMPATIBILAN.

Postoji šest vrsta odnosa između usporedivih pojmova. Pogodno je označavati odnose između opsega pojmova pomoću Eulerovih krugova (kružnih dijagrama gdje svaki krug označava opseg pojma).

VRSTA ODNOSA IZMEĐU POJMOVA	SLIKA POMOĆU EULEROVIH KRUGOVA
JEDNAKA VRIJEDNOST(IDENTITET) Opseg pojmova u potpunosti se podudara. one. To su sadržajno različiti pojmovi, ali se u njima misli na iste elemente volumena.	1) A – Aristotel B – utemeljitelj logike 2) A – kvadrat B – jednakostranični pravokutnik
PODČINJENOST(PODRUŽENJE) Opseg jednog pojma u potpunosti je uključen u opseg drugog, ali ga ne iscrpljuje.	1) A – osoba B – student 2) A – životinja
PRIJELAZ(PRIJELAZ) Opseg dvaju pojmova djelomično se podudara. Odnosno, pojmovi sadrže zajedničke elemente, ali uključuju i elemente koji pripadaju samo jednom od njih.	1) A – odvjetnik B – zamjenik 2) A – student B – sportaš
PODNOŠENJE(KOORDINACIJA) Pojmovi koji nemaju zajedničkih elemenata u potpunosti ulaze u okvir trećeg, šireg pojma.	1) A – životinja B – mačka; C – pas; D – miš 2) A – plemeniti metal B – zlato; C – srebro; D - platina
SUPROTAN(KONTRAARNOST) Koncepti A i B nisu samo uključeni u opseg trećeg pojma, nego se čini da su na njegovim suprotnim polovima. Odnosno, pojam A ima u svom sadržaju takvo obilježje, koje je u pojmu B zamijenjeno suprotnim.	1) A – bijela mačka; B – crvena mačka (mačke dolaze u crnoj i sivoj boji) 2) A – topli čaj; ledeni čaj (čaj može biti topao)
one. koncepti A i B ne iscrpljuju cijeli opseg pojma u koji su uključeni. PROTUDIJSTVO (KONTRADICIONALNOST)	Odnos između koncepata, od kojih jedan izražava prisutnost bilo kakvih karakteristika, a drugi - njihovu odsutnost, to jest, jednostavno negira te karakteristike, bez zamjene s bilo kojim drugim. 1) A – visoka kuća B – niska kuća 2) A – dobitni listić B – nedobitni listić

one. pojmovi A i ne-A iscrpljuju cijeli opseg pojma u koji su uključeni, budući da se između njih ne može staviti nikakav dodatni pojam. Vježba:

1) Odredite vrstu odnosa na temelju opsega pojmova u nastavku. Nacrtajte ih pomoću Eulerovih kružnica.

A – topli čaj; B – ledeni čaj; C – čaj s limunom

Topli čaj (B) i ledeni čaj (C) nalaze se

Čaj s limunom (C) može biti vruć,

tako hladno, ali može biti i npr. toplo.

2) A– drveni; U– kamen; S– struktura; D- kuća.

Je li svaka zgrada (C) kuća (D)? - Ne.

Je li svaka kuća (D) zgrada (C)? - da

Nešto drveno (A) je li to nužno kuća (D) ili zgrada (C) – Ne.

Ali možete pronaći drvenu konstrukciju (na primjer, kabinu),

Možete pronaći i drvenu kuću.

Nešto što je napravljeno od kamena (B) nije nužno kuća (D) ili zgrada (C).

Ali može postojati kamena zgrada ili kamena kuća.

3) A– ruski grad; U– glavni grad Rusije;

S- Moskva; D- grad na Volgi; E- Uglich.

Glavni grad Rusije (B) i Moskva (C) su isti grad.

Uglich (E) je grad na Volgi (D).

U isto vrijeme, Moskva, Uglich, kao i svaki grad na Volgi,

su ruski gradovi (A)

Eulerove kružnice- jedna od najjednostavnijih tema koje trebate prijem u 5. razred fizikalno-matematičkih liceja. Zapravo, Eulerove kružnice nije ništa više od grafičkog prikaza skupova. Unutra se nalaze objekti s određenim svojstvom Euler-Vennov krug oni koji ne posjeduju su vani. Naravno, obično dijagram ne sadrži jedan krug, već nekoliko, od kojih svaki kombinira objekte s nekom vrstom svojstva. Svaki zadatak iz ovog bloka svodi se na činjenicu da je potrebno prebrojati broj elemenata u bilo kojem području. Pogledajmo primjere onoga što treba učiniti:

Zadaci za mnoge ljude

U razredu ima učenika. učiti engleski, njemački i francuski. Ljudi ne znaju nijedan jezik. Također je poznato da od sve djece samo jedan dječak uči jezike: engleski i francuski. Koliko ljudi uči jezik?

Da bismo riješili problem, označimo broj potrebnih studenata kao (oni koji uče jezik). Broj učenika koji uče različiti broj jezika može se izraziti kroz i uvjete u zadatku. Euler-Vennov dijagram u ovom slučaju to će izgledati ovako: Na primjer, dečki koji znaju samo engleski označeni su crvenom bojom i njihov broj.

Imajte na umu da nismo ni na koji način koristili ukupan broj učenika - ovaj uvjet će generirati upravo onu jednadžbu kojom će se problem riješiti:





Ispostavilo se da sve jezike proučavaju ljudi (Sada, znajući , možete samostalno rekonstruirati koliko je učenika bilo u razredu i provjeriti odgovor)

Problemi djeljivosti (kompleksna djeljivost)

To su zadaci povećane složenosti. Preporučujemo da prvo proučite temu. Obavezno štivo samo za one koji planiraju osvojiti nagrade.

Za koliko brojeva između i vrijedi sljedeća tvrdnja: broj je djeljiv sa ili nije djeljiv sa?

Takvo strašno i neshvatljivo stanje postaje jednostavno ako koristite Eulerove kružnice. Jasno je da u ovom problemu razmatramo brojeve koji - zanimaju nas oni unutar odgovarajućeg kruga. Postoje i brojevi koji vdots 12 - zanimaju nas brojevi koji su izvan. Ali što je s brojevima koji pripadaju oba skupa? Prvo, kakvu zajedničku imovinu imaju, i drugo, zanimaju li nas?

Odgovorimo prvo na prvo pitanje. Ispada da ako je broj istovremeno djeljiv s dva druga broja, onda je djeljiv s Najmanji zajednički višekratnik ta dva broja, odnosno najmanjim brojem koji je s oba djeljiv bez ostatka. Za brojeve i LCM ne postoji ništa više od broja , budući da je i , a ne postoji manji broj s takvim svojstvima. Ukupno, na presjeku naših skupova nalaze se brojevi koji .

Dalje, treba napomenuti da se riječ koristi u uvjetu "ILI". To znači da za tražene brojeve BAREM JEDNA od predloženih tvrdnji mora biti točna (može i obje). Odnosno, prikladni su nam brojevi koji su unutar kruga brojeva, koji jesu, kao i svi brojevi koji su izvan kruga.

Tako, Euler-Vennov dijagram izgleda ovako: Sjenčanje označava brojeve koje je potrebno pronaći. Sada, nadam se, očito je da trebamo pronaći koliko brojeva ima u problemu koji razmatramo, od ove količine oduzeti broj brojeva koji i dodati broj brojeva koji .

Pa počnimo:

Ispada da traženi brojevi

Dakle, rezimirajmo. Ako idete upisati 5. razred fizikalno-matematičkog liceja, zatim opće znanje o Euler-Vennove kružnice Trebate ga. Glavno područje primjene su problemi gdje postoje skupovi objekata koji imaju određena svojstva, a potrebno je pronaći broj objekata koji imaju (ili nemaju) skup navedenih svojstava.

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

U današnje vrijeme oko nas se skupila ogromna količina informacija i teško ih je razumjeti. Stoga mnogi ne znaju da se iza naziva “Eulerovi krugovi” krije praktična i zgodna metoda za rješavanje različitih problema. Svi su čuli za njih, ali malo tko može objasniti što su. No, vjerujem da su Eulerovi krugovi korisni iu svakodnevnom životu iu znanosti, pa bi ih svatko trebao znati koristiti. U ovom sam radu prikupio sve potrebne informacije kako bih razumio što su Eulerovi krugovi i gdje su prikladni za korištenje.

Eulerovi krugovi su geometrijski dijagram koji se može koristiti za vizualizaciju odnosa između različitih skupova i podskupova. Ova shema pomaže u pronalaženju logičkih veza između pojava i pojmova; izumio ju je Leonhard Euler i koristi se u matematici i drugim znanstvenim disciplinama. Korištenje Eulerovih krugova pojednostavljuje zaključivanje i pomaže vam da brže i lakše dobijete odgovor. (1), (2)

Eulerove kružnice neraskidivo su povezane s pojmom skupa. Stoga, da biste bolje razumjeli što je prikazano na Eulerovim krugovima, morate znati što je skup i koje vrste skupova postoje.

Skup se može shvatiti kao skup bilo kojih objekata koji se nazivaju elementima skupa. Skupovi mogu kombinirati bilo koje objekte sa zajedničkim karakteristikama. Na primjer, skup učenika u gimnaziji 11 i učenika 7. razreda "B" čine zaseban skup. Mogu postojati i skupovi neživih predmeta. Na primjer, mnoge knjige koje je napisao neki autor. Uz pomoć Eulerovih kružnica, skup se označava kao prazan krug, a njegovi elementi kao točke. (5)

Izvucimo puno brojeva. Na slici obris označava skup, a elementi tog skupa označeni su točkama.

Postoje tri vrste setova:

· Konačna (na primjer - puno brojeva)

· Beskonačno (na primjer - skup brojeva)

· Prazan (skup prirodnih brojeva

manje od nule). (5)

Grupa objekata koja čini skup unutar većeg skupa prikazuje se kao manji krug nacrtan unutar većeg kruga i naziva se podskup. Ovaj odnos se formira između velikog skupa životinja i njegove podskupe pljosnatih crva. (5)

U slučajevima kada se dva pojma samo djelomično podudaraju, odnos između takvih skupova prikazuje se pomoću dva kruga koji se sijeku. Ovaj odnos se formira između mnogih učenika u 7. razredu “B” i mnogih učenika C. Neki elementi skupa učenika 7. “B” razreda također pripadaju skupu učenika C. (5)

Kada nijedan predmet iz jednog skupa ne može istovremeno pripadati drugom skupu, tada se odnos između njih prikazuje pomoću dva kruga nacrtana jedan izvan drugog. Takvi skupovi su skup negativnih i skup pozitivnih brojeva. (5)

Eulerovi krugovi su izmišljeni i nazvani po Leonardu Euleru (portret lijevo). Bio je švicarski matematičar koji je dao značajan doprinos razvoju matematike, ali i mehanike, fizike, astronomije i niza primijenjenih znanosti. Euler je rođen u Švicarskoj, studirao je u Njemačkoj, ali je radio i umro u Rusiji. Ovaj znanstvenik je autor 800 radova. Leonhard Euler rođen je 1707. u pastorskoj obitelji. Otac mu je bio prijatelj obitelji Bernoulli. Euler je rano pokazao matematičke sposobnosti. Dok je studirao u gimnaziji, dječak je s entuzijazmom proučavao matematiku, a kasnije je počeo pohađati sveučilišna predavanja Johanna Bernoullija. Leonhard Euler je 20. listopada 1720. postao student Filozofskog fakulteta Sveučilišta u Baselu. Daroviti mladić privukao je pozornost profesora Johanna Bernoullija. Studentu je dao na proučavanje matematičke članke, a pozvao ga je i da dođe k njemu doma kako bi zajedno analizirali neshvatljivo. U kući svog učitelja Euler je upoznao i počeo komunicirati s Bernoullijevim sinovima, Danielom (portret lijevo) i Nikolajem (portret desno), koji su se također bavili matematikom. (6)

Mladi Euler napisao je nekoliko znanstvenih radova. “Physics Dissertation on Sound” dobila je povoljnu ocjenu. U to je vrijeme broj slobodnih znanstvenih mjesta u Švicarskoj bio mali. Stoga su braća Daniil i Nikolai Bernoulli otišli u Rusiju, gdje se počela stvarati Ruska akademija znanosti; obećali su da će tamo raditi za mjesto za Eulera. Početkom zime 1726. Euler je dobio pismo iz Sankt Peterburga: na preporuku braće Bernoulli, pozvan je na mjesto pomoćnika fiziologije s plaćom od 200 rubalja. Euler je proveo mnogo vremena u Rusiji, gdje je dao značajan doprinos ruskoj znanosti. Godine 1731. izabran je za akademika Petrogradske akademije. Dobro je poznavao ruski jezik, objavljivao je eseje i udžbenike na ruskom jeziku. (6)

Zatim Euler detaljno opisuje svoju metodu rješavanja određenih problema pomoću Eulerovih krugova. Godine 1741. Euler piše “Pisma o raznim fizičkim i filozofskim pitanjima, jednoj njemačkoj princezi...”, u kojima se spominju “Eulerovi krugovi”. Euler je napisao da su "krugovi vrlo pogodni za olakšavanje našeg razmišljanja". (3)

Eulerova metoda dobila je zasluženo priznanje i popularnost. A nakon njega, mnogi znanstvenici su ga koristili u svom radu, a također ga modificirali na svoj način. Bernard Bolzano koristio je istu metodu, ali s pravokutnim uzorcima. Zahvaljujući Vennovom doprinosu, metoda se čak naziva Vennovi dijagrami ili Euler-Vennovi dijagrami. Eulerove kružnice imaju primijenjenu svrhu, odnosno pomoću njih se u praksi rješavaju problemi unije ili presjeka skupova u matematici, logici, upravljanju i drugo. (1)

Evo nekoliko problema za rješavanje koji su prikladni za korištenje Eulerovih krugova:

Zadatak 1.

Djecu iz jedne škole pitali su o njihovim kućnim ljubimcima. Njih 100 odgovorilo je da kod kuće ima psa i/ili mačku. 87 momaka imalo je jednog psa, a 63 momka jednu mačku. Koliko muškaraca ima i psa i mačku?

Otopina:

Da biste riješili ovaj problem bez korištenja Eulerovih krugova, trebate izbrojati koliko su pasa i mačaka učenici imali. Da biste to učinili, morate zbrojiti 87 i 63. 87+63=150 ljubimaca. Bilo je samo 100 učenika, a ne može se dobiti mali broj kućnih ljubimaca. To znači da ako svaki učenik ima 1 kućnog ljubimca, ostaje još 50 dodatnih. Dakle, 50 učenika ima 2 kućna ljubimca. A kako u zadatku stoji da nitko od učenika nema 2 mačke ili 2 psa, to znači da 50 učenika ima i mačku i psa.

Ali ova je metoda duga i prikladna samo za jednostavne zadatke. Mnogo je prikladnije riješiti takav problem pomoću Eulerovih krugova.

Skup vlasnika pasa označimo crvenim krugom, a skup vlasnika mačaka plavim krugom. Bilo je ukupno 100 učenika. Onih koji imaju i mačku i psa X. Da bismo pronašli broj učenika koji imaju samo psa, potrebno je oduzeti X od 87. Budući da ima ukupno 100 učenika, dobivamo:

X=50 učenika

Odgovor: 50 učenika ima i mačku i psa

Zadatak 2.

Jednog dana učenike su pitali tko od njih voli matematiku, tko ruski jezik, a tko fiziku. Pokazalo se da od 36 učenika njih 2 ne vole matematiku, ruski ili fiziku. 25 učenika voli matematiku, 11 učenika voli ruski jezik, 17 učenika voli fiziku; i matematika i ruski - 6; i matematika i fizika - 10; Ruski jezik i fizika - 4.

Koliko ljudi voli sva tri predmeta?

Otopina:

Prikažimo 3 skupa. Crveni set su oni koji vole matematiku, plavi su oni koji vole ruski jezik, a zeleni set je fizika.

Sada unesite broj elemenata u skupove. 6 ljudi voli i ruski i matematiku. Od njih X osoba također voli fiziku. To znači da samo 6 ljudi voli matematiku i ruski. Samo matematika i fizika 10-X ljudi, samo ruski i fizika 4-X ljudi. 25 ljudi voli matematiku. Ali X, 6-X, 10-X ljudi također vole druge predmete. To znači da samo matematiku voli 25-(6-X)-(10-X)-X= 25-6+X-10+X -X=5+X ljudi. Samo ruski vole učenici 11-(6-H)-(4-H)-H= 11-10+2H-H=1+H, samo fiziku 17-(10-H)-(4-H) -H= 17-14+2X-X= 3+X.

Budući da se 2 osobe ne sviđaju niti jedna od ovih stavki, tada:

3+X+9+X+1+X+6-X+10-X+4-X+X=36-2

Odgovor: 1 osoba voli sve tri stavke

Zadatak 3.

Tablica prikazuje upite i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Koliko će stranica (u tisućama) biti pronađeno za prirodu upita? (4)

Otopina :

Na zahtjev ljudi pronađeno je 2.100 tisuća stranica. Njih 900 također se odnosi na prirodu. To znači da ima 2100-900=200 tisuća stranica samo o čovjeku, a X-900 tisuća samo o prirodi. Dobivamo to:

2100-900+X-900+900=3400

2100-900+X=3400

X=2200 tisuća stranica

Odgovor: priroda upita pronaći će 2200 tisuća stranica.

Kao što vidite, Eulerove kružnice su korisno i važno otkriće za matematiku općenito i za svakoga od nas posebno. Eulerove krugove ne nalazimo samo na ispitima, već su nam potrebni iu svakodnevnom životu. Ovo je zanimljiva i potrebna stvar koju ne treba zaboraviti.

Književnost:

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1 %80%D0%B0

http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD %D0%B0%D1%80%D0%B4