Prvi su segmenti koji su uz pravi kut, a hipotenuza je najduži dio figure i nalazi se nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Pitagorin trokut je onaj čije su stranice jednake prirodnim brojevima; njihove se duljine u ovom slučaju nazivaju “Pitagorina trojka”.
Egipatski trokut
Da bi sadašnja generacija prepoznala geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala nekoliko stoljeća. Temeljnom točkom smatra se Pitagorin teorem. Stranice pravokutnika su poznate u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.
Malo tko nije upoznat s izrazom "Pitagorine hlače jednake su u svim smjerovima." Međutim, u stvarnosti teorem zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbroj kvadrata kateta).
Među matematičarima se trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano u lik jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije Krista, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.
Pri gradnji piramida arhitekti i geodeti koristili su omjer 3:4:5. Pokazalo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za gledanje i prostrane, a također su se rijetko srušile.
Da bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na koje je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerojatnost izgradnje točno pravokutni trokut porastao na 95%.
Znakovi jednakosti figura
- Oštri kut u pravokutnom trokutu i duža stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti likova. Uzimajući u obzir zbroj kutova, lako je dokazati da su i drugi šiljasti kutovi jednaki. Dakle, trokuti su identični prema drugom kriteriju.
- Kada postavljamo dvije figure jednu na drugu, okrećemo ih tako da, kada se spoje, postanu jedan jednakokračni trokut. Po svom svojstvu stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i kutovi na bazi, što znači da su ti likovi jednaki.
Na temelju prvog znaka vrlo je lako dokazati da su trokuti doista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. katete) međusobno jednake.
Trokuti će biti identični prema drugom kriteriju, čija je suština jednakost noge i oštrog kuta.
Svojstva trokuta s pravim kutom
Visina s koje je spuštena pravi kut, dijeli lik na dva jednaka dijela.
Stranice pravokutnog trokuta i njegovu središnju lako se prepoznaju po pravilu: središnja koja pada na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici. može se pronaći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovici umnoška krakova.
U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30°, 45° i 60°.
- Uz kut od 30°, zapamtite da će suprotni krak biti jednak 1/2 najveće strane.
- Ako je kut 45 o, to znači drugi oštar kut također 45 o. To sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu katete iste.
- Svojstvo kuta od 60° je da treći kut ima stupanjska mjera u 30 sati
Područje se lako može pronaći pomoću jedne od tri formule:
- kroz visinu i stranu na koju se spušta;
- prema Heronovoj formuli;
- na stranice i kut između njih.
Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je uzeti u obzir dobiveni trokut, a zatim pomoću Pitagorinog teorema izračunati potrebnu duljinu. Osim ove formule, postoji i odnos između dvostruke površine i duljine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje izračuna.
Primjena teoreme na pravokutni trokut
Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:
U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su poznate druge dvije.
Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i nejednaki. Od sve raznolikosti, za prvi primjer odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, stranice koje se nalaze uz njega nazivaju se nogama, a treći je hipotenuza).
Brza navigacija kroz članak
Duljine stranica pravokutnog trokuta
Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²
- Nađi kvadrat duljine kraka a;
- Nađi kvadrat kraka b;
- Sastavljamo ih;
- Iz dobivenog rezultata izdvajamo drugi korijen.
Primjer: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. Odnosno, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.
Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti kut, visina trokuta, polumjer kruga upisanog u njega itd.
Ako je poznat opseg
U ovom slučaju zadatak je još jednostavniji. Opseg (P) je zbroj svih stranica trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.
Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Jednadžbu rješavamo pomicanjem svih poznatih parametara na jednu stranu znaka jednakosti:
2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:
c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.
Ako je kut poznat
Da bi se izračunala treća stranica trokuta s kutom i dvije druge strane, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijska jednadžba. Poznavajući odnos između stranica trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, trebate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim od dobivenog umnoška oduzmite umnožak stranica i kosinus kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Ako je područje poznato
U ovom slučaju jedna formula neće poslužiti.
1) Prvo izračunajte sin γ, izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:
sin γ= 2S/(a*b)
2) Pomoću sljedeće formule izračunavamo kosinus istog kuta:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) I opet koristimo teorem sinusa:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.
U životu ćemo se često morati baviti matematičkim problemima: u školi, na fakultetu, pa onda pomažući djetetu oko zadaće. Ljudi određenih profesija svakodnevno će se susresti s matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili se prisjetiti matematičkih pravila. U ovom ćemo članku pogledati jedan od njih: pronalaženje stranice pravokutnog trokuta.
Što je pravokutni trokut
Prvo, sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijski lik od tri segmenta koji spajaju točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji, a jedan od kutova ove figure je 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katete, a stranica koja leži nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.
Pronalaženje kraka pravokutnog trokuta
Postoji nekoliko načina da saznate duljinu noge. Htio bih ih detaljnije razmotriti.
Pitagorin poučak za pronalaženje stranice pravokutnog trokuta
Ako znamo hipotenuzu i katet, tada možemo pronaći duljinu nepoznatog kateta koristeći Pitagorin teorem. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b katete. Transformiramo formulu i dobijemo: a²=c²-b².
Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a kateta 3 cm Transformiramo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim rješavamo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta
Također možete pronaći nepoznati krak ako su poznate bilo koja druga stranica i bilo koji oštri kut pravokutnog trokuta. Postoje četiri mogućnosti za pronalaženje noge trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Donja tablica pomoći će nam u rješavanju problema. Razmotrimo ove opcije.
Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću sinusa
Sinus kuta (sin) je omjer suprotne strane i hipotenuze. Formula: sin=a/c, gdje je a krak nasuprot zadanom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.
Primjer. Hipotenuza je 10 cm, kut A je 30 stupnjeva. Pomoću tablice izračunavamo sinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim pomoću transformirane formule rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću kosinusa
Kosinus kuta (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos=b/c, gdje je b krak uz zadani kut, a c hipotenuza. Transformirajmo formulu i dobijemo: b=cos*c.
Primjer. Kut A je jednak 60 stupnjeva, hipotenuza je jednaka 10 cm Pomoću tablice izračunavamo kosinus kuta A, on je jednak 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću tangente
Tangens kuta (tg) je omjer suprotne stranice i susjedne stranice. Formula: tg=a/b, gdje je a stranica suprotna kutu, a b susjedna stranica. Transformirajmo formulu i dobijemo: a=tg*b.
Primjer. Kut A je jednak 45 stupnjeva, hipotenuza je jednaka 10 cm Pomoću tablice izračunavamo tangens kuta A, jednak je Riješite: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću kotangensa
Kotangens kuta (ctg) je omjer susjedne i suprotne stranice. Formula: ctg=b/a, gdje je b krak uz kut, a suprotni krak. Drugim riječima, kotangens je "obrnuti tangens". Dobivamo: b=ctg*a.
Primjer. Kut A je 30 stupnjeva, suprotni krak je 5 cm. Prema tablici, tangens kuta A je √3. Računamo: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Dakle, sada znate kako pronaći krak u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.
Online kalkulator.
Rješavanje trokuta.
Rješavanje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) iz bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.
Ovaj matematički program pronalazi stranicu \(c\), kutove \(\alpha \) i \(\beta \) od korisnički navedenih stranica \(a, b\) i kut između njih \(\gamma \)
Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.
Ovaj online kalkulator može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontroliraju rješavanje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je brže moguće? domaća zadaća
u matematici ili algebri? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima. Na ovaj način možete izvršiti svoje vlastiti trening
i/ili obučavanje svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina obrazovanja u području problema koji se rješava povećava.
Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.
Pravila za unos brojeva
Brojevi se mogu odrediti ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Cijeli i razlomački dio u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti točkom ili zarezom. Na primjer, možete unijeti decimale
Riješite trokut
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod. Molimo pričekajte
sekund... ako ti uočio grešku u rješenju
, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije. Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što.
unesite u polja
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Teorem sinusa
Teorema
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Kosinusni teorem
Teorem sinusa
Neka je AB = c, BC = a, CA = b u trokutu ABC. Zatim
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Rješavanje trokuta
Rješavanje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) iz bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.
Pogledajmo tri problema koji uključuju rješavanje trokuta. U ovom ćemo slučaju za stranice trokuta ABC koristiti sljedeće oznake: AB = c, BC = a, CA = b.
Rješavanje trokuta pomoću dviju stranica i kuta između njih
Dano je: \(a, b, \kut C\). Pronađite \(c, \kut A, \kut B\)
Otopina
1. Koristeći kosinusni teorem nalazimo \(c\):
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$
3. \(\kut B = 180^\krug -\kut A -\kut C\)
Rješavanje trokuta po stranici i pridruženim kutovima
Zadano: \(a, \kut B, \kut C\). Pronađite \(\kut A, b, c\)
Otopina
1. \(\kut A = 180^\krug -\kut B -\kut C\)
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Rješavanje trokuta pomoću tri stranice
Zadano: \(a, b, c\). Pronađite \(\kut A, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Korištenjem kosinusnog teorema dobivamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Slično nalazimo kut B.
3. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
Rješavanje trokuta pomoću dviju stranica i kuta nasuprot poznate stranice
Dano je: \(a, b, \kut A\). Pronađite \(c, \kut B, \kut C\)
Otopina
1. Koristeći teorem sinusa, nalazimo \(\sin B\) dobivamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Uvedimo oznaku: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Ovisno o broju D mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B\) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\kut B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \kut B = 90^\circ \)
Ako je D Ako je D 2. \(\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B\)
3. Pomoću sinusnog teorema izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Trokut je primitivni poligon omeđen na ravnini s tri točke i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima. Kutovi u trokutu su oštri, tupi i pravi. Zbroj kutova u trokutu je kontinuiran i jednak je 180 stupnjeva.
Trebat će vam
- Osnovna znanja iz geometrije i trigonometrije.
upute
1. Označimo duljine stranica trokuta s a=2, b=3, c=4, a njegove kutove s u, v, w, od kojih svaki leži nasuprot jednoj od stranica. Prema teoremu kosinusa, kvadrat duljine stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata duljina druge 2 stranice minus dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih. Odnosno, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Zamijenimo duljine stranica u ovaj izraz i dobijemo: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).
2. Izrazimo cos(u) iz dobivene jednakosti. Dobivamo sljedeće: cos(u) = 7/8. Zatim ćemo pronaći stvarni kut u. Da bismo to učinili, izračunajmo arccos(7/8). Odnosno, kut u = arccos(7/8).
3. Slično, izražavajući druge strane u odnosu na druge, nalazimo preostale kutove.
Obratiti pažnju!
Vrijednost jednog kuta ne smije biti veća od 180 stupnjeva. Znak arccos() ne može sadržavati broj veći od 1 i manji od -1.
Koristan savjet
Da bi se detektirala sva tri kuta, nije potrebno izraziti sve tri strane, dopušteno je detektirati samo 2 kuta, a treći se dobije oduzimanjem vrijednosti preostala 2 od 180 stupnjeva. To slijedi iz činjenice da je zbroj svih kutova trokuta kontinuiran i jednak 180 stupnjeva.