Jednadžba koja sadrži nepoznatu varijablu naziva se jednadžba.
Poziva se svaka vrijednost varijable pri kojoj izrazi poprimaju jednake numeričke vrijednosti korijen jednadžbe.
Riješite jednadžbu- znači pronaći sve njegove korijene ili utvrditi da ih nema.
Korijeni jednadžbe neće se promijeniti ako se obje strane pomnože ili podijele istim brojem koji nije jednak nuli.
Korijeni jednadžbe neće se promijeniti ako se bilo koji član pomakne iz jednog dijela jednadžbe u drugi, mijenjajući mu predznak.

Primjer 1
6x – 7= 11
6x = 11 + 7
6x = 18
x = 3

Primjer 2
22 + 3x = 37
3x = 37 – 22
3x =15
x = 5

Ako u jednadžbi ima sličnih članova, treba sve slične prenijeti u jedan dio jednadžbe, a brojčane članove u drugi i dovesti slične, pa pronaći korijene.
5x + 13= 3x – 3
5x – 3x = – 3 – 13
2x = – 16
x = - 8

Linearna jednadžba s jednom varijablom x je jednadžba oblika ax + b = 0. Gdje su a i b bilo koji brojevi (koeficijenti).
Rješavanje linearne jednadžbe znači pronalaženje svih vrijednosti varijable (nepoznate), za svaku od kojih se jednadžba pretvara u točnu numeričku jednakost. Svaka takva vrijednost varijable naziva se korijen jednadžbe.
Ako je a = 0 i b = 0, odnosno jednadžba ima oblik 0 * x + 0 = 0, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj (beskonačan broj korijena).
Ako je a = 0 i b ≠ 0, odnosno jednadžba ima oblik 0 * x + b = 0, tada niti jedan broj ne zadovoljava ovu jednadžbu, jednadžba nema korijena.

Algoritam za rješavanje linearne jednadžbe ax + b = 0 u slučaju kada je a ≠ 0
1. Pretvorite jednadžbu u oblik ax = - b.
2. Napišite korijen jednadžbe u obliku x = (-b) : a

Dvije jednadžbe nazivaju se ekvivalent, ako imaju isti korijen ili oba nemaju korijena.
PRIMJER: jednadžbe 4x-2=0 i 2x – 1 = 0 su ekvivalentne.
Svaki od njih ima korijen x = 0,5
Postupak rješavanja jednadžbe je njezina zamjena s više jednostavna jednadžba, ekvivalentan originalnom.
Ekvivalencija jednadžbi označena je simbolom ⇔;
Ekvivalentne transformacije jednadžbe su transformacije koje vode do ekvivalentne jednadžbe:
1) dodavanje bilo kojeg broja na obje strane jednadžbe istovremeno (osobito, prijenos članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka);
2) množenje (i dijeljenje) obje strane jednadžbe istovremeno s bilo kojim brojem osim nule (osobito s -1); osim toga, za jednadžbe u domeni realnih brojeva:
3) podizanje obje strane jednadžbe na bilo koju neparnu prirodnu potenciju (na primjer, na kocku);

Algoritam za rješavanje jednadžbe ax + b = cx + d (a ≠ c)
1. Prenesite sve nepoznate članove jednadžbe s desne strane jednadžbe na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a poznate članove s lijeve na desnu stranu sa suprotnim predznakom
2. Dovedite slične članove, što rezultira jednadžbom oblika kx = m = 0, gdje je k ≠ 0.
3. Zapiši njegov korijen: x = -m: k.
Na primjer:
3x+5=2x-7
3x-2x= -7 -5
x = -12

Pitanja za bilješke

Pronađite broj (-11x + 5) 2 + x, gdje je x korijen jednadžbe

Pronaći korijen jednadžbe: (5,3 - 2,8)x + 2,5x = 1:

Riješite jednadžbu: 1,6(x - 3) = 0,8(x - 5)

Riješite jednadžbu:

Riješite jednadžbu:

Riješite jednadžbu: -13,7 - (-x) = -4,9

Riješite jednadžbu:

Tema lekcije:

Linearna jednadžba s jednom varijablom

Kudelko Marina

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: učvrstiti pojam jednadžbe, korijena jednadžbe, prisjetiti se što znači riješiti jednadžbu, uvesti i ovladati pojmom ekvivalentne jednadžbe, linearne jednadžbe, znati pronaći linearne jednadžbe i naučiti ih rješavati, učenici bi trebali znati koliko korijena može imati linearna jednadžba.

Razvojni: Razvijati točnost učenika u pisanju bilješki, računalne vještine učenika, razvijati interes i ljubav prema predmetu, pamćenje i mentalne operacije, razviti sposobnost jasnog i jasnog izražavanja svojih misli, jasno formulirati pitanja.

Obrazovni: Pomoć u prepoznavanju i razvoju sposobnosti učenika, usađivanje neovisnosti.

Vrsta lekcije: učenje novog materijala.

Plan lekcije:

.Ispitivanje domaća zadaća(5 minuta)

Budući da je današnja lekcija lekcija učenja novog gradiva, nema vremena za provjeru domaće zadaće, skupit ću bilježnice za provjeru, upozoravajući učenike unaprijed. Učenici će staviti svoje bilježnice na rub svojih stolova.

.Aktualizacija referentnog znanja

Na početku sata zajedno s učenicima treba se prisjetiti već poznatih pojmova jednadžbe, korijena jednadžbe te se prisjetiti značenja zahtjeva za rješavanje jednadžbe. Nastavnik provodi frontalno ispitivanje. Nastavnik je također unaprijed pripremio male primjere na ploči za ova pitanja, učenici izlaze na ploču i odlučuju sami, po mogućnosti bez pomoći nastavnika, jer je to već obrađeno gradivo.

Dokažite da je svaki od brojeva -5, 0,3 korijen jednadžbe:

A) z(z-3)(z+5)=0;

Riješite jednadžbu:

Pronađite korijen jednadžbe:

Budući da u ovoj temi trebamo raditi s pojmom nepoznatim učenicima, prvo ga moramo predstaviti. Ovaj koncept su ekvivalentne jednadžbe. Prvo možete dati nekoliko jednadžbi i zamoliti učenike da ih riješe. Zatim pitajte što jednadžbe imaju zajedničko. Ispada da su jednadžbama zajednički njihovi identični korijeni. Ako učenici ne razumiju odmah, trebate dati još nekoliko primjera. I recite da se ova vrsta jednadžbe naziva ekvivalentnom. one. ekvivalentne jednadžbe su jednadžbe koje imaju iste korijene.

Jesu li jednadžbe ekvivalentne???

Možete staviti znakove na ploču (ili na interaktivna ploča):

3. Učenje novog gradiva

Sada to potrebni pojmovi su zapamćeni, neki pojmovi su uspješno uvedeni, počnimo proučavati novo gradivo.

Učitelj je unaprijed pripremio crtež na ploči (ili prezentaciju na ovu temu, što je puno bolje).

Učitelj učenicima nudi zadatak.

Riješimo jednadžbu, koja se jasno može prikazati na slikama: linearni korijen je ekvivalentan jednadžbi

Uvjet jednadžbe prikazali smo u obliku slike koja je mnogo zornija i učenicima razumljivija. Dobili smo vagu na kojoj su šalice čaja i utezi, a one se međusobno uravnotežuju.

Sada ćemo razgovarati o tome što će se dogoditi s našom vagom ako oduzmemo ili dodamo isti broj pakiranja čaja.

Možeš razmišljati i ovako. Ravnoteža na satu neće se poremetiti ako se iz svake šalice uklone 3 pakiranja čaja. (To se može vidjeti na slici 2.) Ako 2 pakiranja čaja (!!iste težine!!) teže 150g, onda jedno pakiranje čaja teži 150g. : 2 = 75g.

Ovi argumenti pokazuju takav način rješavanja ove jednadžbe. Oduzmite izraz od lijeve i desne strane jednadžbe. Dobivamo:

Izrazi i - na desnoj strani daju nulu. Stoga dobivamo:

Dakle, odgovor: Učitelj radi ove radnje zajedno s učenicima, oni bi ga trebali potaknuti i pomoći mu. Nastavnik može zamoliti da ponovite ono što je rečeno ili, još bolje, taj zadatak objasnite jedni drugima u paru, a zatim jedan ili par učenika za pločom. Učitelj ne zaboravlja pohvaliti učenike.

Zatim zajedno, frontalno, rješavamo sljedeći primjer.

Riješimo jednadžbu:

Ako svakom dijelu jednadžbe dodamo izraz, tada nakon zbrajanja sličnih s desne strane neće biti članova s ​​varijablom, učinimo to (nastavnik traži od učenika da radnje izgovore naglas, može pitati pojedinačni učenik da govori ili objašnjava):

(Predstavimo slične i primijetimo da će se 3x i -3x međusobno poništiti.)

Uspoređujući dobivenu jednadžbu sa zadanom, uočavamo da se član - pomaknuo s desne strane na lijevu stranu sa suprotnim predznakom. Predstavljamo slične na lijevoj strani:

Primjećujemo da se jednadžba dobiva iz jednadžbe nakon prijenosa broja s lijeve strane jednadžbe na desnu sa suprotnim predznakom.

Konačno nalazimo:

Napominjemo da ako se u jednadžbi bilo koji izraz prenese iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu znak, tada će se dobiti jednadžba ekvivalentna danoj.

Pomiču članove s razlogom, ali tako da s lijeve strane budu članovi s varijablom, a s druge - poznati brojevi. S lijeve strane su nepoznati, s desne poznati.

Ako jednadžba sadrži zagrade, prvo ih morate otvoriti.

Podučavanje

Trebate li pomoć u proučavanju teme?

Naši stručnjaci savjetovat će vam ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite svoju prijavu naznačite temu upravo sada kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konzultacija.

§ 1 Što je jednadžba

Jednadžba je jednakost koja sadrži nepoznanicu čiju vrijednost treba pronaći. Na primjer, unosi:

nisu jednadžbe. Nema jednakosti, a vrijednost varijable ne treba pronaći. Ovo su samo doslovni izrazi. A evo i bilješki:

13x - 14 = 2x + 4

su jednadžbe.

Jednadžbe su algebarski modeli situacija iz stvarnog života. U procesu rada s modelom rješavamo jednadžbu.

Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili pokazati da ih nema. Korijen jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava numerička jednakost. Na primjer, razmotrite jednadžbu:

Ako je x = 4, tada jednadžba ima oblik numeričke jednakosti:

2∙4 - 1 = 5 ili 7 = 5

Ovo je netočna numerička jednadžba, što znači da broj 4 nije korijen jednadžbe. Ako je x = 3, tada jednadžba ima oblik numeričke jednakosti:

2∙3 - 1 = 5 ili 5 = 5

Ovo je prava numerička jednakost, što znači da je broj 3 korijen jednadžbe. Štoviše, nema drugih korijena.

§ 2 Linearne jednadžbe s jednom varijablom

Jednadžba oblika ax + b = 0 naziva se linearna jednadžba s jednom varijablom.

Ovdje su a i b koeficijenti, mogu se izraziti bilo kojim brojevima.

Pogledajmo različite slučajeve.

1) Ako je a = 0 i b = 0, tada će jednadžba imati oblik 0 ∙ x + 0 = 0. Očito, ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, jer svaki broj kada se pomnoži s nulom daje 0. Što znači da će rezultat uvijek biti točna numerička jednakost.

2) Ako je a = 0, b ≠0. Tada će jednadžba poprimiti oblik 0 ∙ x + b = 0. Možete primijetiti da takva jednadžba neće imati jedan korijen. Zapravo, pri množenju bilo kojeg broja s 0, rezultat će uvijek biti 0, ali kada se doda broju koji nije nula, rezultat će biti različit od nule, što znači da će u svakom slučaju rezultat biti netočna numerička jednakost.

3) Koeficijent a je različit od nule; Rezoniramo ovako:

Prvo pomičemo poznati član na b na desnoj strani jednadžbe, mijenjajući predznak. Dobivamo:

Zatim obje strane jednadžbe podijelite s brojem a. Dobivamo:

To znači da u ovom slučaju jednadžba ima samo jedan korijen, naime:

Rezimirajući gore navedeno, možemo zaključiti:

Linearne jednadžbe s jednom nepoznatom mogu imati jedan korijen, beskonačno mnogo korijena ili bez korijena.

Ali što ako je jednadžba napisana u više složeni oblik? Na primjer, u obliku:

4(x - 4) = 2x + 6

U ovom slučaju, prvo ćemo morati provesti niz transformacija.

Prvo, otvorimo zagrade. Dobivamo:

4x - 16 = 2x + 6

Zatim nepoznate članove prenosimo na lijevu stranu jednadžbe, a poznate na desnu, ne zaboravljajući pri prijenosu promijeniti predznak člana. Dobivamo:

4x - 2x = 6 + 16

Sada predstavimo slične pojmove. Dobivamo:

Podijelimo li obje strane jednadžbe s 2, dobit ćemo x = 11.

§ 3 Primjeri korištenja koncepta "linearne jednadžbe"

Pogledajmo još nekoliko primjera koristeći koncept "linearne jednadžbe".

Primjer 1. Odredite broj korijena jednadžbe 3x + 15 = 3(x +2) + 9.

Ovo je linearna jednadžba s jednom varijablom. Da biste odgovorili na pitanje, prvo morate transformirati ovu jednadžbu. Da biste to učinili, otvorite zagrade i dobijte:

3x + 15 = 3x + 6 + 9

Premjestimo poznate članove na desnu stranu jednadžbe, a nepoznate na lijevu. Dobivamo:

3x - 3x = 6 + 9 - 15

Dodajmo slične izraze i dobijemo:

Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost x, tako da jednadžba ima beskonačno mnogo korijena.

Primjer 2. Pri kojoj je vrijednosti varijable vrijednost izraza 4y - 1 jednaka vrijednosti izraza 3y + 5?

Ovdje je eksplicitno postavljen uvjet jednakosti dvaju izraza. Zapišimo ovu jednakost i dobijemo:

4y - 1 = 3y + 5

Rješavajući ovu jednadžbu metodom iz primjera 1, dobivamo y = 6.

Odgovor: vrijednosti izraza su jednake kada je y = 6.

Primjer 3. Majka i kći zajedno imaju 35 godina. Koliko kći ima godina ako je 25 godina mlađa od majke?

Kreirajmo algebarski model ove stvarne situacije. Neka kći ima x godina, tada majka ima x + 25 godina. Budući da prema stanju zajedno imaju 35 godina, napravit ćemo jednadžbu:

x + (x + 25) = 35

Rješavanjem ove jednadžbe nalazimo:

Budući da smo dob kćeri označili slovom x, pronađeni broj je odgovor na pitanje u zadatku. Odgovor: Moja kći ima 5 godina.

Popis korištene literature:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dijela, 1. dio, Udžbenik za općeobrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. – 10. izd., revidirano – Moskva, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dijela, 2. dio, Zadatnica za obrazovne ustanove / [A.G. Mordkovich i drugi]; uredio A.G. Mordkovich - 10. izdanje, revidirano - Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
3. NJENA. Tulchinskaya, Algebra 7. razred. Blitz anketa: priručnik za učenike općeobrazovnih ustanova, 4. izdanje, revidirano i prošireno, Moskva, “Mnemosyne”, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. razred. Tematski rad na testiranju u novom obliku za učenike općeobrazovnih ustanova, uredio A.G. Mordkovich, Moskva, “Mnemosyne”, 2011
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. razred. Samostalni rad za učenike općeobrazovnih ustanova, uredio A.G. Mordkovich - 6. izdanje, stereotipno, Moskva, “Mnemosyne”, 2010.

Itd., logično je upoznati se s jednadžbama drugih vrsta. Sljedeći na redu su linearne jednadžbe, čije ciljano učenje počinje na nastavi algebre u 7. razredu.

Jasno je da prvo treba objasniti što je linearna jednadžba, dati definiciju linearne jednadžbe, njene koeficijente i pokazati njen opći oblik. Tada možete odrediti koliko rješenja ima linearna jednadžba ovisno o vrijednostima koeficijenata i načinu pronalaženja korijena. To će vam omogućiti da prijeđete na rješavanje primjera, a time i učvrstite naučenu teoriju. U ovom članku ćemo učiniti ovo: detaljno ćemo se zadržati na svim teorijskim i praktičnim točkama koje se odnose na linearne jednadžbe i njihova rješenja.

Recimo odmah da ćemo ovdje razmotriti samo linearne jednadžbe s jednom varijablom, au zasebnom ćemo članku proučiti principe rješenja linearne jednadžbe s dvije varijable.

Navigacija po stranici.

Što je linearna jednadžba?

Definicija linearne jednadžbe dana je načinom na koji je napisana. Štoviše, u različitim udžbenicima matematike i algebre, formulacije definicija linearnih jednadžbi imaju neke razlike koje ne utječu na bit pitanja.

Na primjer, u udžbeniku algebre za 7. razred Yu N. Makarycheva i dr., linearna jednadžba definirana je na sljedeći način:

Definicija.

Jednadžba oblika a x=b, gdje je x varijabla, a i b neki brojevi, poziva se linearna jednadžba s jednom varijablom.

Navedimo primjere linearnih jednadžbi koje zadovoljavaju navedenu definiciju. Na primjer, 5 x = 10 je linearna jednadžba s jednom varijablom x, ovdje je koeficijent a 5, a broj b 10. Drugi primjer: −2,3·y=0 također je linearna jednadžba, ali s varijablom y, u kojoj je a=−2,3 i b=0. A u linearnim jednadžbama x=−2 i −x=3,33 a nisu eksplicitno prisutni i jednaki su 1 odnosno −1, dok je u prvoj jednadžbi b=−2, au drugoj b=3,33.

A godinu dana ranije, u udžbeniku matematike N. Ya Vilenkina, linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom, osim jednadžbi oblika a x = b, razmatrale su i jednadžbe koje se mogu dovesti u ovaj oblik prijenosom članova iz jednog dijela. jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i pomoću lijevanja slični pojmovi. Prema ovoj definiciji, jednadžbe oblika 5 x = 2 x + 6 itd. također linearno.

Zauzvrat, u udžbeniku algebre za 7. razred A. G. Mordkovich dana je sljedeća definicija:

Definicija.

Linearna jednadžba s jednom varijablom x je jednadžba oblika a·x+b=0, gdje su a i b neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti linearne jednadžbe.

Na primjer, linearne jednadžbe ovog tipa su 2 x−12=0, ovdje je koeficijent a 2, a b je jednak −12, i 0,2 y+4,6=0 s koeficijentima a=0,2 i b =4,6. Ali u isto vrijeme, postoje primjeri linearnih jednadžbi koje imaju oblik ne a·x+b=0, već a·x=b, na primjer, 3·x=12.

Neka, kako ubuduće ne bismo imali odstupanja, pod linearnom jednadžbom s jednom varijablom x i koeficijentima a i b podrazumijevamo jednadžbu oblika a x + b = 0. Ovaj tip linearne jednadžbe čini se najopravdanijim, budući da su linearne jednadžbe algebarske jednadžbe prvi stupanj. A sve ostale gore navedene jednadžbe, kao i jednadžbe koje se pomoću ekvivalentnih transformacija svode na oblik a x + b = 0, nazvat ćemo jednadžbe koje se svode na linearne jednadžbe. Ovim pristupom, jednadžba 2 x+6=0 je linearna jednadžba, a 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, itd. - To su jednadžbe koje se svode na linearne.

Kako riješiti linearne jednadžbe?

Sada je vrijeme da shvatimo kako se rješavaju linearne jednadžbe a·x+b=0. Drugim riječima, vrijeme je da saznate ima li linearna jednadžba korijene, i ako ima, koliko ih ima i kako ih pronaći.

Prisutnost korijena linearne jednadžbe ovisi o vrijednostima koeficijenata a i b. U ovom slučaju linearna jednadžba a x+b=0 ima

• jedini korijen za a≠0,
• nema korijena za a=0 i b≠0,
• ima beskonačno mnogo korijena za a=0 i b=0, u kojem slučaju je bilo koji broj korijen linearne jednadžbe.

Objasnimo kako je došlo do ovih rezultata.

Znamo da za rješavanje jednadžbi možemo prijeći s izvorne jednadžbe na ekvivalentne jednadžbe, odnosno na jednadžbe s istim korijenima ili, poput izvorne, bez korijena. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeće ekvivalentne transformacije:

• prijenos člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom,
• kao i množenje ili dijeljenje obje strane jednadžbe s istim brojem koji nije nula.

Dakle, u linearnoj jednadžbi s jedan varijabla oblika a·x+b=0 možemo pomaknuti član b s lijeve strane na desnu stranu sa suprotnim predznakom. U ovom slučaju, jednadžba će imati oblik a·x=−b.

A onda se postavlja pitanje dijeljenja obje strane jednadžbe s brojem a. Ali postoji jedna stvar: broj a može biti jednak nuli, u kojem slučaju je takvo dijeljenje nemoguće. Da bismo se pozabavili ovim problemom, prvo ćemo pretpostaviti da je broj a različit od nule, a slučaj da je a jednak nuli razmotrit ćemo zasebno malo kasnije.

Dakle, kada a nije jednako nuli, tada obje strane jednadžbe a·x=−b možemo podijeliti s a, nakon čega će se transformirati u oblik x=(−b):a, ovaj rezultat može biti napisano korištenjem razlomačke kose crte kao.

Dakle, za a≠0, linearna jednadžba a·x+b=0 je ekvivalentna jednadžbi iz koje je vidljiv njezin korijen.

Lako je pokazati da je taj korijen jedinstven, odnosno da linearna jednadžba nema drugih korijena. To vam omogućuje da učinite suprotnu metodu.

Označimo korijen kao x 1. Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe, koji označavamo kao x 2, i x 2 ≠x 1, koji, zbog definicije jednaki brojevi kroz razliku ekvivalentan je uvjetu x 1 −x 2 ≠0. Kako su x 1 i x 2 korijeni linearne jednadžbe a·x+b=0, tada vrijede numeričke jednakosti a·x 1 +b=0 i a·x 2 +b=0. Možemo oduzeti odgovarajuće dijelove ovih jednakosti, što nam svojstva numeričkih jednakosti dopuštaju, imamo a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, iz čega je a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 i tada je a·(x 1 −x 2)=0 . Ali ova jednakost je nemoguća, budući da su i a≠0 i x 1 − x 2 ≠0. Tako smo došli do kontradikcije, koja dokazuje jedinstvenost korijena linearne jednadžbe a·x+b=0 za a≠0.

Ovako smo riješili linearnu jednadžbu a·x+b=0 za a≠0. Prvi rezultat dat na početku ovog paragrafa je opravdan. Ostala su još dva koja ispunjavaju uvjet a=0.

Kada je a=0, linearna jednadžba a·x+b=0 ima oblik 0·x+b=0. Iz ove jednadžbe i svojstva množenja brojeva nulom proizlazi da bez obzira koji broj uzmemo kao x, kada ga zamijenimo u jednadžbu 0 x + b=0, dobit ćemo brojčanu jednakost b=0. Ova jednakost je istinita kada je b=0, au ostalim slučajevima kada je b≠0 ova jednakost je lažna.

Posljedično, s a=0 i b=0, bilo koji broj je korijen linearne jednadžbe a·x+b=0, jer pod ovim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x daje ispravnu numeričku jednakost 0=0. A kada je a=0 i b≠0, linearna jednadžba a·x+b=0 nema korijene, jer pod tim uvjetima, zamjena bilo kojeg broja umjesto x dovodi do netočne numeričke jednakosti b=0.

Dana opravdanja omogućuju nam formuliranje slijeda radnji koje nam omogućuju rješavanje bilo koje linearne jednadžbe. Tako, algoritam za rješavanje linearne jednadžbe je:

• Prvo, zapisujući linearnu jednadžbu, nalazimo vrijednosti koeficijenata a i b.
• Ako je a=0 i b=0, onda ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, naime svaki broj je korijen ove linearne jednadžbe.
• Ako a nije nula, onda
• koeficijent b se prenosi na desnu stranu sa suprotnim predznakom, a linearna jednadžba se transformira u oblik a·x=−b,
• nakon čega se obje strane dobivene jednadžbe dijele s brojem a različitim od nule, što daje željeni korijen izvorne linearne jednadžbe.

Napisani algoritam opsežan je odgovor na pitanje kako riješiti linearne jednadžbe.

U zaključku ove točke, vrijedi reći da se sličan algoritam koristi za rješavanje jednadžbi oblika a·x=b. Njegova razlika je u tome što kada je a≠0, obje strane jednadžbe se odmah dijele s ovim brojem; ovdje je b već u traženom dijelu jednadžbe i nema potrebe za njegovim prijenosom.

Za rješavanje jednadžbi oblika a x = b koristi se sljedeći algoritam:

• Ako je a=0 i b=0, onda jednadžba ima beskonačno mnogo korijena, koji su bilo koji brojevi.
• Ako je a=0 i b≠0, tada izvorna jednadžba nema korijena.
• Ako a nije nula, tada su obje strane jednadžbe podijeljene s brojem a koji nije nula, iz čega se nalazi jedini korijen jednadžbe, jednak b/a.

Primjeri rješavanja linearnih jednadžbi

Prijeđimo na praksu. Pogledajmo kako se koristi algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi. Evo rješenja tipični primjeri, što odgovara različitim vrijednostima koeficijenata linearnih jednadžbi.

Primjer.

Riješite linearnu jednadžbu 0·x−0=0.

Otopina.

U ovoj linearnoj jednadžbi, a=0 i b=−0 , što je isto što i b=0 . Stoga ova jednadžba ima beskonačno mnogo korijena; bilo koji broj je korijen ove jednadžbe.

Odgovor:

x – bilo koji broj.

Primjer.

Ima li linearna jednadžba 0 x + 2,7 = 0 rješenja?

Otopina.

U ovom slučaju koeficijent a je jednak nuli, a koeficijent b ove linearne jednadžbe je jednak 2,7, odnosno različit je od nule. Prema tome, linearna jednadžba nema korijena.