Prizma. Paralelopiped
Prizma je poliedar čija su dva lica jednaki n-kuti (baze) , koji leže u paralelnim ravninama, a preostalih n stranica su paralelogrami (bočna lica) . Bočno rebro Stranica prizme koja ne pripada osnovici naziva se stranica prizme.
Zove se prizma čiji su bočni bridovi okomiti na ravnine baza ravno prizma (slika 1). Ako bočni bridovi nisu okomiti na ravnine baza, tada se naziva prizma sklona . Točno Prizma je prava prizma čije su baze pravilni mnogokuti.
Visina prizma je udaljenost između ravnina baza. Dijagonalno Prizma je segment koji spaja dva vrha koji ne pripadaju istoj plohi. Dijagonalni presjek naziva se presjek prizme ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi. Okomit presjek presjek prizme naziva se ravnina okomita na bočno rebro prizme.
Bočna površina prizme je zbroj površina svih bočnih stranica. Ukupna površina naziva se zbroj površina svih stranica prizme (tj. zbroj površina bočnih stranica i površina baza).
Za proizvoljnu prizmu vrijede sljedeće formule::
Gdje l– duljina bočnog rebra;
H- visina;
P
Q
S strana
S puna
S baza– površina baza;
V– volumen prizme.
Za ravnu prizmu sljedeće formule su točne:
Gdje str– osnovni opseg;
l– duljina bočnog rebra;
H- visina.
paralelopiped zove se prizma čija je baza paralelogram. Paralelepiped čiji su bočni bridovi okomiti na osnovice nazivamo direktno (slika 2). Ako bočni bridovi nisu okomiti na baze, tada se naziva paralelopiped sklona . Pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik naziva se pravokutan. Pravokutni paralelopiped, koji ima sve bridove jednake, zove se kocka
Lica paralelopipeda koja nemaju zajednički vrhovi, se zovu suprotan . Duljine bridova koji izlaze iz jednog vrha nazivaju se mjerenja paralelopiped. Budući da je paralelepiped prizma, njegovi glavni elementi definirani su na isti način kao što su definirani za prizme.
Teoremi.
1. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i njome se raspolavljaju.
2. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat duljine dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije: 
3. 
Sve četiri dijagonale pravokutnog paralelopipeda su međusobno jednake.
Za proizvoljni paralelopiped vrijede sljedeće formule:
Gdje l– duljina bočnog rebra;
H- visina;
P– perimetar okomitog presjeka;
Q– Površina okomitog presjeka;
S strana– površina bočne površine;
S puna– ukupna površina;
S baza– površina baza;
V– volumen prizme.
Za pravi paralelopiped točne su sljedeće formule:
Gdje str– osnovni opseg;
l– duljina bočnog rebra;
H– visina pravog paralelopipeda.
Za pravokutni paralelopiped sljedeće formule su točne:
(3)
Gdje str– osnovni opseg;
H- visina;
d– dijagonala;
a,b,c– mjere paralelopipeda.
Za kocku su točne sljedeće formule:
Gdje a– duljina rebra;
d- dijagonala kocke.
Primjer 1. Dijagonala pravokutnog paralelopipeda je 33 dm, a njegove mjere su u omjeru 2 : 6 : 9. Odredite mjere paralelopipeda.
Riješenje. Da bismo pronašli dimenzije paralelopipeda, koristimo se formulom (3), tj. činjenicom da je kvadrat hipotenuze kvadra jednak zbroju kvadrata njegovih dimenzija. Označimo sa k faktor proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelopipeda biti jednake 2 k, 6k i 9 k. Napišimo formulu (3) za podatke problema:
Rješavanje ove jednadžbe za k, dobivamo:
To znači da su dimenzije paralelopipeda 6 dm, 18 dm i 27 dm.
Odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Primjer 2. Odredite obujam nagnute trokutaste prizme čija je baza jednakostranični trokut sa stranicom 8 cm, ako je bočni brid jednak stranici baze i nagnut pod kutom od 60º prema bazi.
Riješenje
.
Napravimo crtež (slika 3).
Da biste pronašli volumen nagnute prizme, morate znati područje njezine baze i visine. Površina baze ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 8 cm:
Visina prizme je udaljenost između njezinih baza. Od vrha A 1 gornje baze, spustite okomicu na ravninu donje baze A 1 D. Njegova duljina bit će visina prizme. Razmotrite D A 1 OGLAS: budući da je to kut nagiba bočnog ruba A 1 A na osnovnu ravninu, A 1 A= 8 cm Iz ovog trokuta nalazimo A 1 D:
Sada izračunavamo volumen pomoću formule (1):
Odgovor: 192 cm 3.
Primjer 3. Bočni rub pravilne šesterokutne prizme je 14 cm površine najvećeg dijagonalnog presjeka 168 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.
Riješenje. Napravimo crtež (Sl. 4)
Najveći dijagonalni presjek je pravokutnik A.A. 1 dd 1 od dijagonale OGLAS pravilan šesterokut A B C D E F je najveći. Da bi se izračunala bočna površina prizme, potrebno je znati stranicu baze i duljinu bočnog ruba.
Poznavajući područje dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.
Od tad 
Od tad AB= 6 cm.
Tada je opseg baze:
Nađimo područje bočne površine prizme:
Površina pravilnog šesterokuta sa stranicom 6 cm je:
Pronađite ukupnu površinu prizme:
Odgovor: 
Primjer 4. Osnovica pravog paralelopipeda je romb. Površine dijagonalnih presjeka su 300 cm2 i 875 cm2. Pronađite površinu bočne površine paralelopipeda.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 5).
Označimo stranicu romba sa A, dijagonale romba d 1 i d 2, visina paralelopipeda h. Da biste pronašli područje bočne površine pravog paralelopipeda, potrebno je pomnožiti opseg baze s visinom: (formula (2)). Osnovni opseg p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jer ABCD- romb H = AA 1 = h. Da. Treba pronaći A I h.
Razmotrimo dijagonalne presjeke. AA 1 SS 1 – pravokutnik čija je jedna stranica dijagonala romba AC = d 1, drugi – bočni rub AA 1 = h, Zatim
Slično za odjeljak BB 1 dd 1 dobivamo:
Koristeći svojstvo paralelograma tako da je zbroj kvadrata dijagonala jednak zbroju kvadrata svih njegovih stranica, dobivamo jednakost Dobivamo sljedeće.
Opće informacije o ravnoj prizmi
Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos područja bočnih lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.
Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.
Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
gdje su a 1 i n duljine osnovnih bridova, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih bridova. Teorem je dokazan.
Praktičan zadatak
Problem (22) . U kosoj prizmi provodi se odjeljak, okomito na bočna rebra i sijeku sva bočna rebra. Pronaći bočna površina prizme ako je opseg presjeka jednak p, a bočni bridovi jednaki l.
Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jednu od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.
Sažetak obrađene teme
Pokušajmo sada sažeti temu koju smo obradili o prizmama i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.
Svojstva prizme
Prvo, prizma ima sve svoje baze kao jednake poligone;
Drugo, u prizmi su sve njene bočne strane paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;
Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni ili nagnuti.
Koja se prizma naziva ravnom prizmom?
Ako je bočni rub prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom.
Ne bi bilo suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.
Koja se vrsta prizme naziva kosom?
Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je to nagnuta prizma.
Koja se prizma naziva ispravnom?
Ako na bazi ravne prizme leži pravilan poligon, onda je takva prizma ispravna.
Prisjetimo se sada koja svojstva ima pravilna prizma.
Svojstva pravilne prizme
Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedite veličine bočnih rebara, tada su u pravilnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, ispravna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako u pravilnoj prizmi bočne strane imaju oblik kvadrata, tada se takva figura obično naziva polupravilni poligon.
Presjek prizme
Sada pogledajmo presjek prizme:
Domaća zadaća
Pokušajmo sada rješavanjem zadataka učvrstiti naučeno.
Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu čiji će razmak bridova biti jednak: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna ploha te prizme bit će jednaka 60 cm2. Imajući ove parametre, pronađite bočni rub ove prizme.
Znaš li to geometrijske figure stalno nas okružuju ne samo na satovima geometrije, već iu Svakidašnjica Postoje objekti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.
Svaki dom, škola ili posao ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.
Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.
Šetajući središnjom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove
Definicija 1. Prizmatična ploha
Teorem 1. O paralelnim presjecima prizmatične plohe
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične plohe
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Prava prizma
Teorem 2. Površina bočne površine prizme
Paralelopiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorem 3. O sjecištu dijagonala paralelopipeda
Definicija 7. Pravi paralelopiped
Definicija 8. Pravokutni paralelopiped
Definicija 9. Mjere paralelopipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorem 4. O dijagonalama pravokutnog paralelopipeda
Teorem 5. Volumen prizme
Teorem 6. Volumen ravne prizme
Teorem 7. Volumen pravokutnog paralelopipeda
Prizma je poliedar čije dvije plohe (baze) leže u paralelnim ravninama, a bridovi koji ne leže u tim plohama međusobno su paralelni.
Lica osim baza nazivaju se bočno.
Stranice bočnih lica i baze nazivaju se rebra prizme, nazivaju se krajevi rubova vrhovi prizme. Bočna rebra bridovi koji ne pripadaju bazama nazivaju se. Spoj bočnih stranica naziva se bočna površina prizme, a spoj svih lica naziva se punu površinu prizme. Visina prizme zove se okomica spuštena iz točke gornje osnovice na ravninu donje osnovice ili duljina ove okomice. 
Ravna prizma naziva se prizma čija su bočna rebra okomita na ravnine baza. 
Točno naziva se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.
Oznake:
l - bočno rebro;
P - opseg baze;
S o - osnovna površina;
H - visina;
P^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - volumen;
S p je površina ukupne površine prizme.
|
V=SH |
*Pretpostavlja se da se svake dvije uzastopne ravnine sijeku i da zadnja ravnina siječe prvu
Teorem 1 . Odsječci prizmatične površine ravninama koje su međusobno paralelne (ali ne paralelne s njezinim bridovima) jednaki su poligoni.
Neka su ABCDE i A"B"C"D"E" presjeci prizmatične plohe dvjema paralelnim ravninama. Da bismo bili sigurni da su ta dva poligona jednaki, dovoljno je pokazati da su trokuti ABC i A"B"C" jednaki i imaju isti smjer rotacije te da isto vrijedi i za trokute ABD i A"B"D", ABE i A"B"E". Ali odgovarajuće stranice tih trokuta su paralelne (na primjer, AC je paralelan s AC) poput presjecišta određene ravnine s dvije paralelne ravnine; slijedi da su te stranice jednake (na primjer, AC je jednak A"C"), poput suprotnih stranica paralelograma, te da su kutovi koje čine te stranice jednaki i imaju isti smjer.
Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične plohe je presjek te plohe ravninom okomitom na njezine bridove. Na temelju prethodnog teorema, svi okomiti presjeci iste prizmatične plohe bit će jednaki poligoni.
Definicija 3
. Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom plohom i dvije ravnine koje su međusobno paralelne (ali ne paralelne s rubovima prizmatične plohe)
Lica koja leže u ovim posljednjim ravninama nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočna lica; rubovi prizmatične površine - bočna rebra prizme. Na temelju prethodnog teorema, baza prizme je jednaki poligoni. Sve bočne strane prizme - paralelogrami; sva bočna rebra su međusobno jednaka.
Očito, ako su zadane osnovica prizme ABCDE i jedan od bridova AA" veličine i smjera, tada je moguće konstruirati prizmu crtanjem bridova BB", CC", ... jednakih i paralelnih s bridom AA" .
Definicija 4 . Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza (HH").
Definicija 5
. Prizma se naziva ravnom ako su joj osnovice okomiti odsječci prizmatične površine. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njegova bočno rebro; bočni rubovi bit će pravokutnici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih strana, jednak broj strane poligona koji mu služi kao baza. Dakle, prizme mogu biti trokutaste, četverokutne, peterokutne itd.
Teorem 2
. Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočnog ruba i opsega okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" dana prizma i abcde njezin okomiti presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njezine bočne bridove. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je proizvodu baze AA " do visine koja se podudara s ab; površina lica VSV "S" jednaka je umnošku baze VV" s visinom bc, itd. Prema tome, bočna površina (tj. zbroj površina bočnih stranica) jednaka je umnošku bočnog ruba, drugim riječima, ukupna duljina segmenata AA", VV", .., za iznos ab+bc+cd+de+ea.
Definicija. Prizma je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravnine, au te iste dvije ravnine leže dvije plohe prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, a svi bridovi koji ne leže u tim ravninama su paralelni.
Dva jednaka lica nazivaju se baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Sve bočne strane čine bočna površina prizme .
Sve bočne strane prizme su paralelogrami .
Bridovi koji ne leže na bazama nazivaju se bočnim bridovima prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Dijagonala prizme je segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na istoj plohi (AD 1).
Duljina isječka koji spaja osnovice prizme i okomita je na obje osnovice u isto vrijeme naziva se visina prizme .
Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu obilaska, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog brida označeni su istim slovima, označeni su samo vrhovi koji leže u jednoj bazi slovima bez indeksa, au drugom - s indeksom)
Naziv prizme povezan je s brojem kutova u liku koji leži u njezinoj osnovi, na primjer, na slici 1 nalazi se peterokut u bazi, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali zbog takva prizma ima 7 lica, onda ga heptaedar(2 lica - baze prizme, 5 lica - paralelogrami, - njegove bočne strane)
Među ravnim prizmama ističe se posebna vrsta: pravilne prizme.
Ravna prizma naziva se točno, ako su mu osnovice pravilni mnogokuti.
Paralelopiped
Paralelopiped je četverokutna prizma u čijoj osnovi leži paralelogram (nagnuti paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na ravnine baze.Pravokutni paralelopiped- pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik.
Svojstva i teoremi:
Neka svojstva paralelopipeda slična su poznatim svojstvima paralelograma. Naziva se pravokutni paralelopiped jednakih dimenzija kocka
.Sve plohe kocke su jednaki kvadrati dijagonale jednaki zbroju kvadrata njezinih triju dimenzija 
,
gdje je d dijagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.
Ideju prizme daje:
- razne arhitektonske strukture;
- Dječje igračke;
- kutije za pakiranje;
- dizajnerski predmeti itd.
Površina ukupne i bočne površine prizme
Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbroj površina njegovih bočnih strana. Osnovice prizme su jednaki mnogokuti, tada su im površine jednake. ZatoS puni = S bočni + 2S glavni,
Gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S baza- osnovna površina
Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme..
S strana= P osnovni * h,
Gdje S strana- površina bočne površine ravne prizme,
P main - opseg baze ravne prizme,
h je visina ravne prizme, jednaka bočnom bridu.
Volumen prizme
Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.
Baza prizme može biti bilo koji poligon - trokut, četverokut itd. Obje baze su apsolutno identične, i prema tome, s kojima su kutovi paralelnih bridova međusobno povezani, uvijek su paralelni. U podnožju pravilne prizme leži pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve stranice jednake. U ravnoj prizmi su rebra između bočnih ploha okomita na bazu. U tom slučaju baza ravne prizme može sadržavati mnogokut s bilo kojim brojem kutova. Prizma čija je baza paralelogram naziva se paralelopiped. Pravokutnik je poseban slučaj paralelograma. Ako ova figura leži u podnožju, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na podnožje, paralelopiped se naziva pravokutnim. Drugi naziv za ovo geometrijsko tijelo je pravokutnik.