Najveći negativni korijen trigonometrijske jednadžbe. Sažetak i osnovne formule

Zadatak br. 1

Logika je jednostavna: radit ćemo kao i prije, bez obzira na to što sada trigonometrijske funkcije imaju složeniji argument!

Kad bismo riješili jednadžbu oblika:

Tada bismo zapisali sljedeći odgovor:

Ili (od)

Ali sada našu ulogu igra ovaj izraz:

Tada možemo napisati:

Naš cilj s vama je osigurati da lijeva strana stoji jednostavno, bez ikakvih “nečistoća”!

Postupno ih se riješimo!

Prvo, uklonimo nazivnik na: da bismo to učinili, pomnožimo našu jednakost s:

Sada ga se riješimo tako da podijelimo oba dijela:

Sada se riješimo osmice:

Rezultirajući izraz može se napisati kao 2 serije rješenja (analogno s kvadratnom jednadžbom, gdje ili dodajemo ili oduzimamo diskriminant)

Moramo pronaći najveći negativni korijen! Jasno je da se moramo srediti.

Pogledajmo prvo prvu epizodu:

Jasno je da ćemo, ako uzmemo, završiti s pozitivnim brojkama, ali one nas ne zanimaju.

Dakle, morate ga uzeti negativno. Neka bude.

Kada će korijen biti uži:

I trebamo pronaći najveću negativu!! To znači da ići u negativnom smjeru ovdje više nema smisla. A najveći negativni korijen za ovaj niz bit će jednak.

Sada pogledajmo drugu seriju:

I opet zamjenjujemo: , zatim:

Ne zanima me!

Onda nema smisla više povećavati! Smanjimo to! Neka tada:

Odgovara!

Neka bude. Zatim

Zatim - najveći negativni korijen!

Odgovor:

Zadatak br. 2

Ponovno rješavamo, bez obzira na složeni argument kosinusa:

Sada ponovno izražavamo lijevo:

Pomnožite obje strane s

Podijelite obje strane po

Sve što preostaje je pomaknuti ga udesno, mijenjajući mu znak iz minusa u plus.

Ponovno dobivamo 2 niza korijena, jedan sa i drugi sa.

Moramo pronaći najveći negativni korijen. Pogledajmo prvu epizodu:

Jasno je da ćemo dobiti prvi negativni korijen na, on će biti jednak i bit će najveći negativni korijen u nizu 1.

Za drugu seriju

Prvi negativni korijen također će se dobiti na i bit će jednak. Budući da je tada najveći negativni korijen jednadžbe.

Odgovor: .

Zadatak br. 3

Rješavamo, bez obzira na složeni argument tangente.

Sad, ne čini se komplicirano, zar ne?

Kao i prije, izražavamo na lijevoj strani:

Pa, to je sjajno, ovdje postoji samo jedna serija korijena! Pronađimo ponovno najveći negativ.

Jasno je da ispada ako ga spustite. I ovaj korijen je jednak.

Odgovor:

Sada pokušajte sami riješiti sljedeće probleme.

Domaća zadaća ili 3 zadatka za samostalno rješavanje.

  1. Riješite jednadžbu.
  2. Riješite jednadžbu.
    U odgovoru na pi-shi-th-najmanji-mogući korijen.
  3. Riješite jednadžbu.
    U odgovoru na pi-shi-th-najmanji-mogući korijen.

Spreman? Provjerimo. Neću detaljno opisivati ​​cijeli algoritam rješenja; čini mi se da je već dobio dovoljno pažnje gore.

Pa, je li sve u redu? Oh, ti gadni sinusi, s njima je uvijek neka nevolja!

Pa, sada možete riješiti jednostavne trigonometrijske jednadžbe!

Pogledajte rješenja i odgovore:

Zadatak br. 1

Izrazimo se

Najmanji pozitivni korijen dobivamo ako stavimo, budući da, tada

Odgovor:

Zadatak br. 2

Najmanji pozitivni korijen dobiva se pri.

Bit će ravnopravno.

Odgovor: .

Zadatak br. 3

Kad dobijemo, kad imamo.

Odgovor: .

Ovo znanje pomoći će vam u rješavanju mnogih problema s kojima ćete se susresti na ispitu.

Ako se prijavljujete za ocjenu "5", tada samo trebate nastaviti s čitanjem članka za srednja razina, koji će biti posvećen rješavanju složenijih trigonometrijskih jednadžbi (zadatak C1).

SREDNJA RAZINA

U ovom ću članku opisati rješavanje složenijih trigonometrijskih jednadžbi i kako odabrati svoje korijene. Ovdje ću se osvrnuti na sljedeće teme:

  1. Trigonometrijske jednadžbe za početna razina(vidi gore).

Složenije trigonometrijske jednadžbe osnova su za napredne probleme. Oni zahtijevaju i rješavanje same jednadžbe u općem obliku i pronalaženje korijena te jednadžbe koji pripadaju određenom zadanom intervalu.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi svodi se na dva podzadatka:

  1. Rješavanje jednadžbe
  2. Izbor korijena

Treba napomenuti da drugi nije uvijek potreban, ali u većini primjera odabir je ipak potreban. Ali ako nije potrebno, onda možemo suosjećati s vama - to znači da je jednadžba sama po sebi prilično složena.

Moje iskustvo u analizi C1 problema pokazuje da se oni obično dijele u sljedeće kategorije.

Četiri kategorije zadataka povećane složenosti (ranije C1)

  1. Jednadžbe koje se svode na faktorizaciju.
  2. Jednadžbe svedene na oblik.
  3. Jednadžbe rješavane promjenom varijable.
  4. Jednadžbe koje zahtijevaju dodatni odabir korijena zbog iracionalnosti ili nazivnika.

Jednostavnije rečeno: ako vas uhvate jedna od jednadžbi prve tri vrste, onda se smatrajte sretnim. Za njih, u pravilu, dodatno trebate odabrati korijene koji pripadaju određenom intervalu.

Ako naiđete na jednadžbu tipa 4, onda ste manje sretni: morate se petljati s njom duže i pažljivije, ali prilično često ne zahtijeva dodatni odabir korijena. Ipak, ovu ću vrstu jednadžbi analizirati u sljedećem članku, a ovaj ću posvetiti rješavanju jednadžbi prva tri tipa.

Jednadžbe koje se svode na faktorizaciju

Najvažnija stvar koju trebate zapamtiti da biste riješili ovu vrstu jednadžbe je

Kao što praksa pokazuje, u pravilu je to znanje dovoljno. Pogledajmo neke primjere:

Primjer 1. Jednadžba reducirana na faktorizaciju korištenjem formule redukcije i sinusa dvostrukog kuta

  • Riješite jednadžbu
  • Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže iznad presjeka

Ovdje, kao što sam obećao, formule redukcije rade:

Tada će moja jednadžba izgledati ovako:

Tada će moja jednadžba imati sljedeći oblik:

Kratkovidni student bi mogao reći: sad ću smanjiti obje strane, dobiti najjednostavniju jednadžbu i uživati ​​u životu! I gorko će se prevariti!

ZAPAMTITE: NIKADA NE MOŽETE REDUCIRATI OBIJE STRANE TRIGONOMETRIJSKE JEDNADŽBE FUNKCIJOM KOJA SADRŽI NEPOZNATO! PA TI IZGUBI KORIJENE!

Pa što učiniti? Da, jednostavno je, pomaknite sve na jednu stranu i uklonite zajednički faktor:

Pa, rastavili smo to na faktore, hura! Sada odlučimo:

Prva jednadžba ima korijene:

I drugo:

Time je završen prvi dio problema. Sada morate odabrati korijene:

Razmak je ovakav:

Ili se može napisati i ovako:

Pa, uzmimo korijene:

Prvo, poradimo na prvoj epizodi (a to je u najmanju ruku jednostavnije!)

Budući da je naš interval potpuno negativan, nema potrebe uzimati nenegativne, oni će i dalje dati nenegativne korijene.

Uzmimo, dakle - previše je, ne pogađa.

Neka bude, onda - nisam opet udario.

Još jedan pokušaj - onda - da, shvatio sam! Prvi korijen je pronađen!

Opet pucam: onda opet pogađam!

Pa još jednom: : - ovo je već let.

Dakle, iz prve serije postoje 2 korijena koji pripadaju intervalu: .

Radimo s drugom serijom (gradimo na snagu prema pravilu):

Undershoot!

Opet nedostaje!

Opet nedostaje!

Kužim!

Let!

Dakle, moj interval ima sljedeće korijene:

Ovo je algoritam koji ćemo koristiti za rješavanje svih ostalih primjera. Vježbajmo zajedno s još jednim primjerom.

Primjer 2. Jednadžba reducirana na faktorizaciju pomoću redukcijskih formula

  • Riješite jednadžbu

Otopina:

Opet ozloglašene formule redukcije:

Ne pokušavajte ponovno smanjiti!

Prva jednadžba ima korijene:

I drugo:

Sada opet potraga za korijenima.

Počet ću s drugom epizodom, o njoj već sve znam iz prethodnog primjera! Pogledajte i uvjerite se da su korijeni koji pripadaju intervalu sljedeći:

Sada prva epizoda i jednostavnije je:

Ako - prikladno

Ako je i to u redu

Ako je već let.

Tada će korijeni biti sljedeći:

Samostalni rad. 3 jednadžbe.

Pa jel ti jasna tehnika? Ne čini li se rješavanje trigonometrijskih jednadžbi više tako teškim? Zatim sami brzo riješite sljedeće probleme, a zatim ćemo riješiti ostale primjere:

  1. Riješite jednadžbu
    Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže iznad intervala.
  2. Riješite jednadžbu
    Označite korijene jednadžbe koji leže iznad presjeka
  3. Riješite jednadžbu
    Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže između njih.

Jednadžba 1.

I opet formula redukcije:

Prva serija korijena:

Drugi niz korijena:

Počinjemo odabir za prazninu

Odgovor: , .

Jednadžba 2. Provjera samostalnog rada.

Prilično škakljivo grupiranje u faktore (koristit ću formulu sinusa dvostrukog kuta):

zatim ili

Ovaj opće rješenje. Sada moramo odabrati korijene. Problem je u tome što ne možemo reći točnu vrijednost kuta čiji je kosinus jednak jednoj četvrtini. Stoga se ne mogu jednostavno riješiti arc kosinusa - kakva šteta!

Ono što mogu učiniti je shvatiti da tako, tako, onda.

Kreirajmo tablicu: interval:

Pa, kroz mučna pretraživanja došli smo do razočaravajućeg zaključka da naša jednadžba ima jedan korijen na naznačenom intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Jednadžba 3: Test samostalnog rada.

Jednadžba zastrašujućeg izgleda. Međutim, to se može riješiti prilično jednostavno primjenom formule sinusa dvostrukog kuta:

Smanjimo ga za 2:

Grupirajmo prvi član s drugim i treći s četvrtim i izbacimo zajedničke faktore:

Jasno je da prva jednadžba nema korijene, a sada razmotrimo drugu:

Općenito, namjeravao sam se malo kasnije zadržati na rješavanju takvih jednadžbi, ali budući da se pokazalo, nema što učiniti, moram to riješiti ...

Jednadžbe oblika:

Ova se jednadžba rješava dijeljenjem obje strane s:

Dakle, naša jednadžba ima jedan niz korijena:

Treba pronaći one koje pripadaju intervalu: .

Napravimo tablicu ponovno, kao što sam učinio ranije:

Odgovor: .

Jednadžbe svedene na oblik:

Pa, sada je vrijeme da prijeđemo na drugi dio jednadžbi, pogotovo zato što sam već prosuo bit o tome od čega se sastoji rješenje trigonometrijskih jednadžbi novog tipa. Ali vrijedi ponoviti da je jednadžba oblika

Rješava se dijeljenjem obje strane kosinusom:

  1. Riješite jednadžbu
    Označite korijene jednadžbe koji leže iznad presjeka.
  2. Riješite jednadžbu
    Označite korijene jednadžbe koji leže između njih.

Primjer 1.

Prvi je prilično jednostavan. Pomaknite se udesno i primijenite formulu kosinusa dvostrukog kuta:

Da! Jednadžba oblika: . Oba dijela podijelim na

Vršimo root screening:

praznina:

Odgovor:

Primjer 2.

Sve je također prilično trivijalno: otvorimo zagrade s desne strane:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Sinus dvostrukog kuta:

Na kraju dobivamo:

Probir korijena: interval.

Odgovor: .

Pa, kako vam se sviđa tehnika, nije li previše komplicirana? nadam se da nije. Možemo odmah napraviti rezervu: u svom čistom obliku, jednadžbe koje se odmah svode na jednadžbu za tangentu prilično su rijetke. Obično je ovaj prijelaz (dijeljenje kosinusom) samo dio složenijeg problema. Evo primjera za vježbanje:

  • Riješite jednadžbu
  • Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže iznad presjeka.

Provjerimo:

Jednadžba se može odmah riješiti; dovoljno je obje strane podijeliti sa:

Probir korijena:

Odgovor: .

Na ovaj ili onaj način, tek trebamo susresti jednadžbe tipa koji smo upravo ispitali. Međutim, još je prerano da to nazovemo danom: postoji još jedan "sloj" jednadžbi koje nismo analizirali. Tako:

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi promjenom varijabli

Ovdje je sve transparentno: pažljivo pogledamo jednadžbu, pojednostavimo je što je više moguće, napravimo zamjenu, riješimo je, napravimo obrnutu zamjenu! Riječima je sve vrlo jednostavno. Pogledajmo na djelu:

Primjer.

  • Riješite jednadžbu: .
  • Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže iznad presjeka.

E, tu nam se sama zamjena sugerira!

Tada će se naša jednadžba pretvoriti u ovo:

Prva jednadžba ima korijene:

A druga je ovakva:

Nađimo sad korijene koji pripadaju intervalu

Odgovor: .

Pogledajmo zajedno malo složeniji primjer:

  • Riješite jednadžbu
  • Označite korijene dane jednadžbe koji leže iznad-leže između njih.

Ovdje se zamjena ne vidi odmah, štoviše, nije baš očita. Prvo razmislimo: što možemo učiniti?

Možemo si npr. zamisliti

I to u isto vrijeme

Tada će moja jednadžba imati oblik:

A sada pažnja, fokus:

Podijelimo obje strane jednadžbe sa:

Odjednom smo ti i ja kvadratna jednadžba relativno! Napravimo zamjenu, tada ćemo dobiti:

Jednadžba ima sljedeće korijene:

Neugodna druga serija korijena, ali ništa se ne može učiniti! Odaberemo korijene u intervalu.

Moramo i to uzeti u obzir

Od i, tada

Odgovor:

Kako biste to učvrstili prije nego sami riješite probleme, evo još jedne vježbe za vas:

  • Riješite jednadžbu
  • Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže između njih.

Ovdje morate držati oči otvorene: sada imamo nazivnike koji mogu biti nula! Stoga morate biti posebno pažljivi na korijenje!

Prije svega, moram preurediti jednadžbu tako da mogu napraviti odgovarajuću zamjenu. Sada ne mogu smisliti ništa bolje nego prepisati tangens u smislu sinusa i kosinusa:

Sada ću prijeći s kosinusa na sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

I na kraju, sve ću dovesti pod zajednički nazivnik:

Sada mogu prijeći na jednadžbu:

Ali na (odnosno na).

Sada je sve spremno za zamjenu:

Zatim ili

Međutim, imajte na umu da ako, onda u isto vrijeme!

Tko pati od ovoga? Problem s tangensom je što nije definiran kada je kosinus jednak nuli (dolazi do dijeljenja s nulom).

Dakle, korijeni jednadžbe su:

Sada prosijavamo korijenje u intervalu:

- odgovara
- pretjerano

Dakle, naša jednadžba ima jedan korijen na intervalu i on je jednak.

Vidite: pojava nazivnika (kao i tangenta, dovodi do određenih poteškoća s korijenima! Ovdje morate biti oprezniji!).

Pa, ti i ja smo skoro završili s analizom trigonometrijskih jednadžbi; ostalo je još vrlo malo - da sami riješite dva problema. Evo ih.

  1. Riješite jednadžbu
    Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji leže iznad presjeka.
  2. Riješite jednadžbu
    Označite korijene ove jednadžbe, koji se nalaze iznad reza.

Odlučili? Nije li jako teško? Provjerimo:

  1. Radimo prema formulama redukcije:

    Zamijenite u jednadžbu:

    Prepišimo sve kroz kosinuse kako bismo lakše izvršili zamjenu:

    Sada je lako napraviti zamjenu:

    Jasno je da je riječ o stranom korijenu, jer jednadžba nema rješenja. Zatim:

    U intervalu tražimo korijenje koje trebamo

    Odgovor: .


  2. Ovdje je zamjena odmah vidljiva:

    Zatim ili

    - odgovara! - odgovara!
    - odgovara! - odgovara!
    - puno! - također puno!

    Odgovor:

E, to je sad to! No, rješavanje trigonometrijskih jednadžbi tu nije kraj; zaostali su najteži slučajevi: kada jednadžbe sadrže iracionalnost ili razne vrste “kompleksnih nazivnika”. Kako riješiti takve zadatke pogledat ćemo u članku za naprednu razinu.

NAPREDNI STUPANJ

Uz trigonometrijske jednadžbe o kojima smo govorili u prethodna dva članka, razmotrit ćemo još jednu klasu jednadžbi koje zahtijevaju još pažljiviju analizu. Ovi trigonometrijski primjeri sadrže ili iracionalnost ili nazivnik, što otežava njihovu analizu. Međutim, možete naići na ove jednadžbe u dijelu C ispitni rad. Međutim, svaki oblak ima dobru podlogu: kod takvih jednadžbi se u pravilu više ne postavlja pitanje koji od njezinih korijena pripada određenom intervalu. Nemojmo lupati okolo, nego prijeđimo odmah na trigonometrijske primjere.

Primjer 1.

Riješite jednadžbu i pronađite korijene koji pripadaju segmentu.

Otopina:

Imamo nazivnik koji ne bi trebao biti jednak nuli! Tada je rješavanje ove jednadžbe isto što i rješavanje sustava

Riješimo svaku od jednadžbi:

A sada drugi:

Sada pogledajmo seriju:

Jasno je da nam ova opcija ne odgovara, jer se u ovom slučaju naš nazivnik vraća na nulu (pogledajte formulu za korijene druge jednadžbe)

Ako, onda je sve u redu, a nazivnik nije nula! Tada su korijeni jednadžbe sljedeći: , .

Sada odabiremo korijene koji pripadaju intervalu.

- nije prikladno - odgovara
- odgovara - odgovara
pretjerati pretjerati

Tada su korijeni sljedeći:

Vidite, čak i pojava malog poremećaja u obliku nazivnika značajno je utjecala na rješenje jednadžbe: odbacili smo niz korijena koji su poništili nazivnik. Stvari se mogu još više zakomplicirati ako naiđete na trigonometrijske primjere koji su iracionalni.

Primjer 2.

Riješite jednadžbu:

Otopina:

Pa, barem ne morate oduzimati korijenje, i to je dobro! Najprije riješimo jednadžbu, bez obzira na iracionalnost:

Dakle, je li to sve? Ne, nažalost, bilo bi prelako! Moramo zapamtiti da se ispod korijena mogu pojaviti samo nenegativni brojevi. Zatim:

Rješenje ove nejednakosti je:

Sada ostaje otkriti je li dio korijena prve jednadžbe nehotice završio tamo gdje nejednakost ne vrijedi.

Da biste to učinili, možete ponovno koristiti tablicu:

:, Ali Ne!
Da!
Da!

Tako mi je “ispao” jedan korijen! Ispada ako ga spustite. Tada se odgovor može napisati na sljedeći način:

Odgovor:

Vidite, korijen zahtijeva još više pažnje! Zakomplicirajmo: neka sada stoji pod mojim korijenom trigonometrijska funkcija.

Primjer 3.

Kao i do sada: prvo ćemo riješiti svaku posebno, a onda ćemo razmišljati što smo napravili.

Sada druga jednadžba:

Sada je najteže otkriti dobivaju li se negativne vrijednosti pod aritmetički korijen, ako tamo zamijenimo korijene iz prve jednadžbe:

Broj se mora shvatiti kao radijani. Budući da je radijan približno stupnjeva, onda su radijani reda stupnjeva. Ovo je kut druge četvrtine. Koji je predznak kosinusa druge četvrtine? Minus. Što je sa sinusom? Plus. Dakle, što možemo reći o izrazu:

Manje je od nule!

To znači da to nije korijen jednadžbe.

Sada je vrijeme.

Usporedimo ovaj broj s nulom.

Kotangens je funkcija koja opada u 1 četvrtini (što je manji argument, veći je kotangens). radijani su približno stupnjevi. Istovremeno

pošto, dakle, i stoga
,

Odgovor: .

Može li se još više zakomplicirati? Molim! Bit će teže ako je korijen i dalje trigonometrijska funkcija, a drugi dio jednadžbe opet trigonometrijska funkcija.

Što više trigonometrijskih primjera to bolje, pogledajte dolje:

Primjer 4.

Korijen nije prikladan zbog ograničenog kosinusa

Sada drugi:

U isto vrijeme, prema definiciji korijena:

Moramo zapamtiti jedinični krug: naime, one četvrtine gdje je sinus manji od nule. Što su ove četvrtine? Treći i četvrti. Tada će nas zanimati ona rješenja prve jednadžbe koja leže u trećoj ili četvrtoj četvrtini.

Prva serija daje korijene koji leže na raskrižju treće i četvrte četvrtine. Druga serija - dijametralno suprotna njoj - daje korijene koji leže na granici prve i druge četvrtine. Stoga ova serija nije prikladna za nas.

Odgovor: ,

I opet trigonometrijski primjeri s "teškom iracionalnošću". Ne samo da opet imamo trigonometrijsku funkciju pod korijenom, već je sada i u nazivniku!

Primjer 5.

Pa ništa se ne može - radimo po starom.

Sada radimo s nazivnikom:

Ne želim rješavati trigonometrijsku nejednadžbu, pa ću učiniti nešto pametno: uzet ću i zamijeniti svoj niz korijena u nejednadžbi:

Ako je - paran, tada imamo:

budući da svi kutovi gledanja leže u četvrtoj četvrtini. I opet sveto pitanje: koji je predznak sinusa u četvrtoj četvrtini? Negativan. Zatim nejednakost

Ako je -neparno, tada:

U kojoj četvrtini leži kut? Ovo je kut druge četvrtine. Zatim su svi kutovi opet kutovi druge četvrtine. Tamošnji sinus je pozitivan. Baš ono što vam treba! Dakle serija:

Odgovara!

S drugom serijom korijena postupamo na isti način:

Zamjenjujemo u našu nejednakost:

Ako - čak, onda

Korneri prve četvrtine. Tamošnji sinus je pozitivan, što znači da je niz prikladan. Sada ako - neparno, onda:

odgovara također!

Pa, sada zapisujemo odgovor!

Odgovor:

Pa, ovo je možda bio najintenzivniji slučaj. Sada vam nudim probleme koje možete riješiti sami.

Trening

  1. Riješite i pronađite sve korijene jednadžbe koji pripadaju segmentu.

rješenja:


  1. Prva jednadžba:
    ili
    ODZ korijena:

    Druga jednadžba:

    Izbor korijena koji pripadaju intervalu

    Odgovor:

    2. Ili
    ili
    Ali

    Razmotrimo: . Ako - čak, onda
    - ne odgovara!
    Ako je - neparno, : - prikladno!
    To znači da naša jednadžba ima sljedeći niz korijena:
    ili
    Izbor korijena u intervalu:

    - nije prikladno - odgovara
    - odgovara - puno
    - odgovara mnogi

    Odgovor: , .

    Ili
    Budući da tada tangenta nije definirana. Ovu seriju korijena odmah odbacujemo!

    Drugi dio:

    Ujedno, prema DZ-u potrebno je da

    Provjeravamo korijene pronađene u prvoj jednadžbi:

    Ako znak:

    Prva četvrtina kutova gdje je tangenta pozitivna. Ne odgovara!
    Ako znak:

    Kut četvrte četvrtine. Tamo je tangens negativan. Odgovara. Zapisujemo odgovor:

Odgovor: , .

U ovom smo članku zajedno pogledali složene trigonometrijske primjere, ali trebali biste sami riješiti jednadžbe.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Trigonometrijska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznanica strogo pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Postoje dva načina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi:

Prvi način je korištenje formula.

Drugi način je preko trigonometrijske kružnice.

Omogućuje vam mjerenje kutova, pronalaženje njihovih sinusa, kosinusa itd.

Vrlo često se susrećemo u problemima povećane složenosti trigonometrijske jednadžbe koje sadrže modul. Većina njih zahtijeva heuristički pristup rješavanju, što je većini školaraca potpuno nepoznato.

Problemi predloženi u nastavku imaju za cilj da vas upoznaju s najtipičnijim tehnikama za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi koje sadrže modul.

Zadatak 1. Nađite razliku (u stupnjevima) najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog korijena jednadžbe 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Otopina.

Proširimo modul:

1) Ako je cos x ≥ 0, tada će izvorna jednadžba imati oblik 1 + 2sin x · cos x = 0.

Koristeći formulu sinusa dvostrukog kuta, dobivamo:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Kako je cos x ≥ 0, onda je x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Ako je cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Budući da je cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Najveći negativni korijen jednadžbe: -π/4; najmanji pozitivni korijen jednadžbe: 5π/4.

Tražena razlika: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Odgovor: 270°.

Zadatak 2. Nađite (u stupnjevima) najmanji pozitivni korijen jednadžbe |tg x| + 1/cos x = tan x.

Otopina.

Proširimo modul:

1) Ako je tan x ≥ 0, tada

tan x + 1/cos x = tan x;

Rezultirajuća jednadžba nema korijena.

2) Ako je tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 i cos x ≠ 0.

Koristeći sliku 1 i uvjet tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Najmanji pozitivni korijen jednadžbe je 5π/6. Pretvorimo ovu vrijednost u stupnjeve:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Odgovor: 150°.

Zadatak 3. Odredite broj različitih korijena jednadžbe sin |2x| = cos 2x na intervalu [-π/2; π/2].

Otopina.

Napišimo jednadžbu u obliku sin|2x| – cos 2x = 0 i razmotrimo funkciju y = sin |2x| – jer 2x. Budući da je funkcija parna, pronaći ćemo njezine nule za x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; Podijelimo obje strane jednadžbe s cos 2x ≠ 0, dobivamo:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Koristeći parnost funkcije, nalazimo da su korijeni izvorne jednadžbe brojevi oblika

± (π/8 + πn/2), gdje je n € Z.

Interval [-π/2; π/2] pripadaju brojevima: -π/8; π/8.

Dakle, dva korijena jednadžbe pripadaju zadanom intervalu.

Odgovor: 2.

Ova se jednadžba također može riješiti otvaranjem modula.

Zadatak 4. Odredite broj korijena jednadžbe sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x na intervalu [-π; 2π].

Otopina.

1) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1 > 0, tj. cos x > 1/2, tada jednadžba ima oblik:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 ili 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 ili sin x = 1/2.

Koristeći sliku 2 i uvjet cos x > 1/2, nalazimo korijene jednadžbe:

x = π/6 + 2πn ili x = 2πn, n € Z.

2) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Koristeći sliku 2 i uvjet cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Kombinirajući ova dva slučaja, dobivamo:

x = π/6 + 2πn ili x = πn.

3) Interval [-π; 2π] pripadaju korijenima: π/6; -π; 0; π; 2π.

Dakle, zadani interval sadrži pet korijena jednadžbe.

Odgovor: 5.

Zadatak 5. Odredite broj korijena jednadžbe (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na intervalu [-π; 2π].

Otopina.

1) Ako je sin x ≥ 0, tada izvorna jednadžba ima oblik (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Nakon uzimanja zajedničkog faktora sin x iz zagrada, dobivamo:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; budući da je (x – 0,7) 2 + 1 > 0 za sve realne x, tada je sinx = 0, tj. x = πn, n € Z.

2) Ako je sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 ili (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Budući da je sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем kvadratni korijen s lijeve i desne strane posljednje jednadžbe dobivamo:

x – 0,7 = 1 ili x – 0,7 = -1, što znači x = 1,7 ili x = -0,3.

Uzimajući u obzir uvjet sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, što znači da je samo broj -0,3 korijen izvorne jednadžbe.

3) Interval [-π; 2π] pripadaju brojevima: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Dakle, jednadžba ima pet korijena na danom intervalu.

Odgovor: 5.

Možete se pripremiti za lekcije ili ispite koristeći različite obrazovni resursi, koji se nalaze na internetu. Trenutno bilo tko osoba samo treba koristiti nove informacijske tehnologije, jer će njihova ispravna, i što je najvažnije prikladna uporaba pomoći povećati motivaciju u proučavanju predmeta, povećati interes i pomoći u boljoj asimilaciji potrebnog materijala. Ali ne zaboravite da vas računalo ne uči razmišljanju; primljene informacije morate obraditi, razumjeti i zapamtiti. Stoga se za pomoć možete obratiti našim online tutorima koji će vam pomoći da shvatite kako riješiti probleme koji vas zanimaju.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.