Promjene bilo koje količine opisuju se sinusnim ili kosinusnim zakonima, a tada se takve oscilacije nazivaju harmoničkim. Razmotrimo strujni krug koji se sastoji od kondenzatora (koji je bio nabijen prije uključivanja u strujni krug) i prigušnice (slika 1).
Slika 1.
Jednadžba harmonijske vibracije može se napisati na sljedeći način:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
gdje je $t$ vrijeme; $q$ naboj, $q_0$-- maksimalno odstupanje naboja od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tijekom promjena; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscilacije; $(\alpha )_0$- početna faza; $(\omega )_0$ - ciklička frekvencija. Tijekom razdoblja faza se mijenja za $2\pi $.
Jednadžba oblika:
jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalnom obliku za titrajni krug koji neće sadržavati aktivni otpor.
Svaka vrsta periodičkih oscilacija može se točno prikazati kao zbroj harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.
Za period titranja kruga koji se sastoji od zavojnice i kondenzatora dobivamo Thomsonovu formulu:
Ako diferenciramo izraz (1) s obzirom na vrijeme, možemo dobiti formulu za funkciju $I(t)$:
Napon preko kondenzatora može se pronaći kao:
Iz formula (5) i (6) proizlazi da je jakost struje ispred napona na kondenzatoru za $\frac(\pi )(2).$
Harmonijske oscilacije mogu se prikazati u obliku jednadžbi, funkcija i vektorskih dijagrama.
Jednadžba (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.
Jednadžba prigušenih oscilacija
Promjena naboja ($q$) na pločama kondenzatora u krugu, uzimajući u obzir otpor (sl. 2), opisat će se diferencijalnom jednadžbom oblika:
Slika 2.
Ako je otpor koji je dio kruga $R\
gdje je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ ciklička frekvencija oscilacija. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficijent prigušenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:
Ako je pri $t=0$ naboj na kondenzatoru jednak $q=q_0$ i nema struje u krugu, tada za $A_0$ možemo napisati:
Faza oscilacija u početnom trenutku vremena ($(\alpha )_0$) jednaka je:
Kada $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora naziva se aperiodično.
Primjer 1
Vježba: Maksimalna vrijednost naplate je $q_0=10\ C$. Harmonijski varira s periodom od $T= 5 s$. Odredite najveću moguću struju.
Otopina:
Kao osnovu za rješavanje problema koristimo:
Da bismo pronašli jakost struje, izraz (1.1) treba diferencirati s obzirom na vrijeme:
gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jakosti struje izraz:
Iz uvjeta zadatka znamo vrijednost amplitude naboja ($q_0=10\ C$). Trebali biste pronaći prirodnu frekvenciju oscilacija. Izrazimo to kao:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\lijevo(1,4\desno).\]
U ovom slučaju, željena vrijednost će se pronaći pomoću jednadžbi (1.3) i (1.2) kao:
Budući da su sve veličine u uvjetima problema prikazane u SI sustavu, izvršit ćemo izračune:
Odgovor:$I_0=12,56\ A.$
Primjer 2
Vježba: Koliki je period titranja u krugu koji sadrži zavojnicu $L=1$H i kondenzator ako se jakost struje u krugu mijenja po zakonu: $I\lijevo(t\desno)=-0,1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?
Otopina:
Iz jednadžbe strujnih fluktuacija, koja je dana u uvjetima problema:
vidimo da je $(\omega )_0=20\pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije pomoću formule:
\ \
Prema Thomsonovoj formuli za krug koji sadrži induktor i kondenzator, imamo:
Izračunajmo kapacitet:
Odgovor:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacijski procesi su rašireni u prirodi i tehnici, na primjer, njihanje klatna sata, izmjenično električna struja itd. Pri osciliranju njihala mijenja se koordinata njegova središta mase, kod izmjenične struje napon i struja u krugu fluktuiraju. Fizička priroda vibracije mogu biti različite, pa postoje mehaničke, elektromagnetske i dr. vibracije, međutim, različiti oscilatorni procesi opisuju se istim karakteristikama i istim jednadžbama. Otuda svrhovitost zajednički pristup proučavanju vibracija različite fizičke prirode.
Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod utjecajem unutarnjih sila koje djeluju između elemenata sustava, nakon što je sustav izbačen iz ravnoteže vanjske sile i prepuštena sama sebi. Slobodne vibracije uvijek prigušene oscilacije , jer su u stvarnim sustavima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sustava bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje traju onoliko koliko se želi) nazivaju se vlastiti.
Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnici često imaju karakter blizak harmonijskom.
Harmonijske oscilacije opisuju se jednadžbom koja se naziva jednadžba harmonijskih oscilacija:
Gdje A- amplituda oscilacija, najveća vrijednost oscilirajuće veličine X; - kružna (ciklička) frekvencija vlastitih oscilacija; - početna faza oscilacije u trenutku vremena t= 0; - faza titranja u trenutku vremena t. Faza titranja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u određenom trenutku. Budući da kosinus varira od +1 do -1, onda X može uzeti vrijednosti od + A do - A.
Vrijeme T tijekom kojeg sustav izvrši jedan potpuni titraj naziva se period oscilacije. Tijekom vremena T faza oscilacije se povećava za 2 π , tj.
Gdje . (14.2)
Recipročna vrijednost perioda titranja
tj. Broj potpunih titraja izvršenih u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja. Usporedbom (14.2) i (14.3) dobivamo
Jedinica frekvencije je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se dogodi jedan potpuni titraj u 1 s.
Sustavi u kojima se mogu pojaviti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sustav da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sustav mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ovaj položaj odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sustava. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sustava koji zadovoljavaju navedena svojstva.
Kako bi se pobudio oscilacijski krug, kondenzator je prethodno nabijen, prenoseći naboj na svoje ploče ±q. Zatim u početnom trenutku vremena t= 0 (Sl. 19, A) Između ploča kondenzatora nastat će električno polje. Ako spojite kondenzator na induktor, kondenzator će se početi prazniti, a struja će teći u krugu, povećavajući se tijekom vremena. ja. Kada se kondenzator potpuno isprazni, energija električnog polja kondenzatora će se potpuno pretvoriti u energiju magnetsko polje zavojnice (Sl. 19, b). Počevši od tog trenutka, struja u krugu će se smanjivati, a prema tome, magnetsko polje svitka će početi slabiti, tada se, prema Faradayevom zakonu, u njemu inducira struja koja teče u skladu s Lenzovim pravilom istog smjera kao i struja pražnjenja kondenzatora. Kondenzator će se početi ponovno puniti, pojavit će se električno polje koje teži oslabiti struju, koja će na kraju pasti na nulu, a naboj na pločama kondenzatora dosegnut će maksimum (slika 19, V). Zatim će se isti procesi početi odvijati u suprotnom smjeru (Sl. 19, G), i tadašnji sustav t=T (T– period oscilacije) će se vratiti u prvobitno stanje (Sl. 19, A). Nakon toga će započeti ponavljanje razmatranog ciklusa pražnjenja i punjenja kondenzatora, odnosno započet će periodične neprigušene oscilacije količine naboja. q na pločama kondenzatora, napon U C na kondenzatoru i struji ja, koja teče kroz induktor. Prema Faradayevom zakonu napon U C na kondenzatoru određena je brzinom promjene struje u induktoru idealnog kruga, to jest:
Na temelju činjenice da U C =q/C, A I=dq/dt, dobivamo diferencijalna jednadžba slobodnih neprigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
ili 
.
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je funkcija q(t), tj jednadžba slobodnih neprigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
Gdje q(tt;
q 0 – amplituda oscilacija naboja na pločama kondenzatora;
– kružna (ili ciklička) frekvencija osciliranja () ;
2 /T(T– period oscilacije, 
–Thomsonova formula);
– faza oscilacija u trenutku vremena t;
– početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u trenutku vremena t=0.
Jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija. U stvarnom oscilatorni krug uzima se u obzir da osim zavojnice induktiviteta L, kondenzator s kapacitetom S, krug također sadrži otpornik s otporom R,različit od nule, što je razlog prigušenja oscilacija u realnom titrajnom krugu. na raspolaganju prigušene oscilacije– oscilacije, čija amplituda opada tijekom vremena zbog gubitaka energije stvarnog oscilatornog sustava.
Za krug stvarnog oscilatornog naponskog kruga na serijski spojenom kondenzatoru s kapacitetom S a otpornik s otporom R presavijati se. Zatim, uzimajući u obzir Faradayev zakon za krug realnog oscilatornog kruga, možemo napisati:
,
gdje je elektromotorna sila samoindukcije u zavojnici;
U C– napon na kondenzatoru ( U C =q/C);
IR– napon na otporniku.
Na temelju činjenice da I=dq/dt, dobivamo diferencijalna jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
ili 
,
gdje je koeficijent prigušenja oscilacija () , .
q(t), tj jednadžba slobodnih prigušenih harmonijskih oscilacija veličina naboja q na pločama kondenzatora:
Gdje q(t) – količina naboja na pločama kondenzatora u trenutku vremena t;
– amplituda prigušenih oscilacija naboja u trenutku vremena t;
q 0 – početna amplituda prigušenih oscilacija naboja;
– kružna (ili ciklička) frekvencija osciliranja ( 
);
– faza prigušenih oscilacija u trenutku vremena t;
– početna faza prigušenih oscilacija.
Period slobodnih prigušenih oscilacija u stvarnom oscilatornom krugu:
.
Prisilne elektromagnetske oscilacije. Da bi se dobile neprigušene oscilacije u realnom oscilatornom sustavu, potrebno je nadoknaditi gubitke energije tijekom procesa osciliranja. Takva kompenzacija u stvarnom oscilatornom krugu moguća je uz pomoć vanjskog periodički promjenjivog prema harmonijskom zakonu izmjenični napon U(t):
.
U ovom slučaju diferencijalna jednadžba prisilnih elektromagnetskih oscilacija poprimit će oblik:
ili 
.
Rješenje rezultirajuće diferencijalne jednadžbe je funkcija q(t):
U ustaljenom stanju dolazi do prisilnih oscilacija s frekvencijom w i su harmonični, a amplituda i faza oscilacija određene su sljedećim izrazima:
; 
.
Iz toga slijedi da amplituda oscilacija vrijednosti naboja ima maksimum na rezonantnoj frekvenciji vanjski izvor :
.
Pojava naglog porasta amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija prisilnog izmjeničnog napona približava frekvenciji bliskoj frekvenciji naziva se rezonancija.
Tema 10. Elektromagnetski valovi
Prema Maxwellovoj teoriji elektromagnetska polja može postojati u obliku elektromagnetskih valova, fazna brzina čija je raspodjela određena izrazom:
,
gdje su i električna i magnetska konstanta, redom,
e I m– električna i magnetska propusnost medija,
S– brzina svjetlosti u vakuumu () .
U vakuumu ( e= 1, m= l) brzina širenja elektromagnetskih valova poklapa se s brzinom svjetlosti( S), što je u skladu s Maxwellovom teorijom da
ta svjetlost su elektromagnetski valovi.
Prema Maxwellovoj teoriji elektromagnetski valovi su poprečno, odnosno vektori i intenziteti električnog i magnetskog polja međusobno su okomiti i leže u ravnini okomitoj na vektor
brzinu širenja valova i vektore , i tvore sustav desnog vijka (slika 20).
Iz Maxwellove teorije također slijedi da u elektromagnetskom valu vektori i osciliraju u istim fazama (slika 20), odnosno vrijednostima jakosti E I N električno i magnetsko polje istodobno dostižu maksimum i istodobno se okreću na nulu, a trenutne vrijednosti E I N povezani relacijom: 
.
Jednadžba monokromatske ravnine elektromagnetski val (indeksi na I z na E I N Oni samo naglašavaju da su vektori i usmjereni duž međusobno okomitih osi u skladu sa sl. 20).