U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski produkt vektora I mješoviti produkt vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, osim toga skalarni produkt vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. To je pogrešno. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - teško da je kompliciraniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, jest NE POGRIJEŠITI U RAČUNANJU. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama; pokušao sam prikupiti što potpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Što će vas odmah usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije ili čak tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nećete morati žonglirati, jer ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni umnožak, uključuje dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označen sa na sljedeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao vektorski produkt vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni produkt vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Očita razlika je prije svega u REZULTATU:

Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:

Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, odatle i potječe naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati;

Definicija unakrsnog umnoška

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearni vektori, uzeti ovim redom, pod nazivom VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju:

Razdvojimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaknuti sljedeće značajne točke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, prema definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Uzimaju se vektori po strogo određenom redoslijedu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" s "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako vektore pomnožimo obrnutim redoslijedom, dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je istinita .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (a time i grimiznog vektora) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crno.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:

Naglašavam da se formula odnosi na DUŽINU vektora, a ne na sam vektor. Koje je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijmo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonalan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (malinasta strelica) također je okomit na izvorne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti što je prostorna orijentacija. Objasnit ću ti na prstima desna ruka. Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat palac– vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat će se palac okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijeliti" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito govoreći, ove baze “izvijaju” ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se najobičnijim zrcalom, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", onda u općem slučaju to neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, držite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro da sada znaš desno i lijevo orijentirani baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Umnožak kolinearnih vektora

Definicija je detaljno raspravljena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi iz formule - sinus nula ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda I . Napominjemo da je sam vektorski produkt jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je umnožak vektora sa samim sobom:

Pomoću vektorskog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako

b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u rečenicama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema stanju, trebate pronaći duljina vektor (križni produkt). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Ako ste upitani o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema stanju, trebate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini vektorskog proizvoda:

Odgovor:

Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom produktu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTO trebamo pronaći prema stanju i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dosta bukvalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako se ne radi o nekoj pretjeranoj zamjerki - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovu točku uvijek treba držati pod kontrolom pri rješavanju bilo kojeg problema iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu se moglo dodatno priložiti rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to napravio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za DIY rješenje:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je stvarno vrlo čest; trokuti vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog produkta vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.

2) – svojstvo se također raspravlja gore, ponekad se zove antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.

3) – asocijativni odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog produkta. Stvarno, što bi tamo trebali raditi?

4) – raspodjela odn distributivni zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.

Za demonstraciju, pogledajmo kratki primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Riješenje: Uvjet ponovno zahtijeva pronalaženje duljine vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog produkta.

(2) Konstantu pomaknemo izvan modula, a modul “pojede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je da dodamo još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule . Kvaka je u tome što su sami vektori "tse" i "de" predstavljeni kao zbrojevi vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije Točkasti umnožak vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izrazimo vektor pomoću vektora. Još nema riječi o duljinama!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, koraci 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:

(5) Predstavljamo slične uvjete.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je trebalo postići:

2) U drugom koraku pronalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja mogle su se napisati u jednom redu.

Odgovor:

Razmatrani problem prilično je čest u testovima, evo primjera kako ga sami riješiti:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Umnožak vektora u koordinatama

, navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:

Formula je doista jednostavna: u gornji red determinante upišemo koordinatne vektore, u drugi i treći red “stavimo” koordinate vektora, te stavimo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, zatim koordinate vektora “double-ve”. Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, redove treba zamijeniti:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski produkt jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski produkt:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski produkt:

Odgovor: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti velik, jer postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti umnožak vektora je umnožak triju vektora:

Pa su se poredali kao vlak i jedva čekaju da ih se identificira.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, nazvao volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom “+” ako je baza desna, i znakom “–” ako je baza lijevo.

Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Uzimaju se vektori određenim redoslijedom, odnosno preuređivanje vektora u umnošku, kao što pretpostavljate, ne događa se bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji; ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat izračuna slovom "pe".

A-priorat mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak volumenu danog paralelopipeda.

Bilješka : Crtež je shematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima.

Mješoviti (ili vektorsko-skalarni) produkt tri vektora a, b, c (uzeta navedenim redoslijedom) naziva se skalarni umnožak vektora a i vektorskog umnoška b x c, odnosno broja a(b x c), ili, što je isto, (b x c)a.
Oznaka: abc.

Svrha. Mrežni kalkulator dizajniran je za izračunavanje mješovitog umnoška vektora. Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku. Osim toga, predložak rješenja izrađuje se u Excelu.

Znakovi koplanarnosti vektora

Tri vektora (ili veći broj) nazivaju se komplanarnima ako, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravnini.
Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se tri vektora također smatraju koplanarnima.

Znak komplanarnosti. Ako je sustav a, b, c desnokretan, tada je abc>0 ; ako lijevo, onda abc Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Mješoviti umnožak abc triju nekomplanarnih vektora a, b, c jednak je volumenu paralelopipeda izgrađenog na vektorima a, b, c, uzetom s predznakom plus ako je sustav a, b, c desnokretan , a s predznakom minus ako je ovaj sustav lijevokretan.

Svojstva miješanog proizvoda

1. Kada se faktori preuređuju kružno, mješoviti umnožak se ne mijenja kada se dva faktora preuređuju, predznak je obrnut: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   To proizlazi iz geometrijskog značenja.
2. (a+b)cd=acd+bcd (svojstvo distribucije). Proširuje se na bilo koji broj pojmova.
   Slijedi iz definicije mješovitog proizvoda.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinativno svojstvo u odnosu na skalarni faktor).
   Slijedi iz definicije mješovitog proizvoda. Ova svojstva omogućuju primjenu transformacija na mješovite produkte koji se razlikuju od običnih algebarskih samo po tome što se redoslijed faktora može mijenjati samo uzimajući u obzir znak proizvoda.
4. Mješoviti umnožak koji ima najmanje dva jednaka faktora jednak je nuli: aab=0.

Primjer br. 1. Pronađite mješoviti proizvod. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Primjer br. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Svi članovi osim dva krajnja jednaki su nuli. Također, bca=abc . Prema tome (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Primjer br. 3. Izračunajte mješoviti umnožak tri vektora a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Riješenje. Za izračun mješovitog umnoška vektora potrebno je pronaći determinantu sustava sastavljenog od vektorskih koordinata. Zapišimo sustav u obliku.

Definicija. Broj [, ] naziva se mješoviti umnožak uređene trojke vektora, .

Označavamo: (,) = = [, ].

Budući da su vektorski i skalarni produkt uključeni u definiciju mješovitog produkta, njihova zajednička svojstva su svojstva mješovitog produkta.

Na primjer, () = ().

Teorem 1. Mješoviti produkt tri koplanarna vektora je nula.

Dokaz. Ako je dana trojka vektora komplanarna, tada je za vektore zadovoljen jedan od sljedećih uvjeta.

• 1. U zadanoj trojci vektora postoji barem jedan nulti vektor. U ovom slučaju dokaz teorema je očit.
• 2. U zadanoj trojci vektora postoji barem jedan par kolinearnih vektora. Ako je ||, tada je [, ] = 0, budući da je [, ]= . Ako

|| , tada [, ] i [, ] = 0. Slično, ako je || .

3. Neka je ova trojka vektora komplanarna, ali slučajevi 1 i 2 ne vrijede. Tada će vektor [, ] biti okomit na ravninu s kojom su sva tri vektora paralelna.

Prema tome, [, ] i (,) = 0.

Teorem 2. Neka su vektori (), (), () navedeni u bazi (). Zatim

Dokaz. Prema definiciji mješovitog proizvoda

(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .

Zbog svojstava determinante imamo:

Teorem je dokazan.

Teorem 3. (,) = [, ].

Dokaz. Jer

a zbog svojstava determinante imamo:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorem je dokazan.

Teorem 4. Modul mješovitog umnoška nekoplanarne trojke vektora brojčano je jednak volumenu paralelopipeda izgrađenog od predstavnika tih vektora sa zajedničkim ishodištem.

Dokaz. Odaberimo proizvoljnu točku O i iz nje izdvojimo predstavnike ovih vektora, : , . U ravnini OAB konstruirat ćemo paralelogram OADB, a dodavanjem brida OS konstruirati ćemo paralelopiped OADBCADB. Volumen V ovog paralelopipeda jednak je umnošku površine baze OADB i duljine visine paralelopipeda OO.

Površina paralelograma OADB je |[, ]|. Na drugoj strani

|OO| = || |cos |, gdje je kut između vektora i [, ].

Razmotrite modul mješovitog proizvoda:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorem je dokazan.

Napomena 1. Ako je mješoviti umnožak trojke vektora jednak nuli, tada je ta trojka vektora linearno ovisna.

Napomena 2. Ako je mješoviti umnožak zadane trojke vektora pozitivan, tada je trojka vektora desnokretna, a ako je negativan, tada je trojka vektora lijevokretna. Doista, predznak mješovitog umnoška podudara se s predznakom cos, a veličina kuta određuje orijentaciju trojke, . Ako je kut oštar, onda je trojka pravi, a ako je tup, onda je trojka lijevi.

Primjer 1. Zadan je paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i koordinate sljedećih vektora u ortonormiranoj bazi: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Nađi: 1) obujam paralelopipeda;

• 2) površine stranica ABCD i CDD 1 C;
• 3) kosinus diedarskog kuta između ravnina ABC i CDD 1.

Riješenje.

Ovaj paralelopiped je izgrađen na vektorima

Dakle, njegov volumen je jednak modulu mješovitog proizvoda ovih vektora, tj.

Dakle, V para = 12 kubičnih jedinica.

Podsjetimo se da je površina paralelograma jednaka duljini vektorskog proizvoda vektora na kojima je konstruiran.

Uvedimo oznaku: , dakle

Prema tome, (6; - 8; - 2), odakle

Da. četvornih jedinica

Također,

Neka bude onda

odakle (15; - 20; 1) i

To znači kvadratne jedinice.

Uvedimo sljedeću oznaku: pl. (ABC)=, mn. (DCC 1)=.

Prema definiciji vektorskog proizvoda imamo:

To znači da je istinita sljedeća jednakost:

Iz druge točke rješenja imamo:

Dokažite da ako su i međusobno okomiti jedinični vektori, tada za bilo koje vektore i vrijedi sljedeća jednakost:

Riješenje.

Neka su koordinate vektora zadane u ortonormalnoj bazi: ; . Budući da po svojstvu mješovitog proizvoda imamo:

Dakle, jednakost (1) se može napisati u sljedećem obliku: , a to je jedno od dokazanih svojstava vektorskog umnoška vektora i. Time je valjanost jednakosti (1) dokazana.

Rješavanje nulte verzije testa

Zadatak br. 1

Vektor tvori kutove i s osnovnim vektorima i, respektivno. Odredite kut koji vektor zatvara s vektorom.

Riješenje.

Konstruirajmo paralelopiped na vektore i na dijagonalu, tako da su vektori i jednaki.

Tada je u pravokutnom trokutu s pravim kutom veličina kuta jednaka gdje.

Slično, u pravokutnom trokutu s pravim kutom, veličina je jednaka, odakle.

U pravokutnom trokutu, koristeći Pitagorin teorem nalazimo:

U pravokutnom trokutu kateta i hipotenuza su pravi kutovi. Dakle, kut je jednak. Ali kut je jednak kutu između vektora i. Time je problem riješen.

Zadatak br. 2.

U bazi su data tri vektora. Dokaži da je četverokut ravan. Pronađite njegovu površinu.

Riješenje.

1. Ako su vektori i komplanarni, tada je to ravni četverokut. Izračunajmo determinantu koju čine koordinate tih vektora.

Budući da je determinanta jednaka nuli, vektori i su komplanarni, što znači da je četverokut ravan.

2. Uočimo da je, stoga i stoga, četverokut trapez s osnovicama AB i CD.

Po svojstvu vektorskog produkta imamo:

Pronalaženje vektorskog produkta

Zadatak br. 3. Nađi vektor kolinearan vektoru (2; 1; -2), čija je duljina 5.

Riješenje.

Označimo koordinate vektora (x, y, z). Kao što znate, kolinearni vektori imaju proporcionalne koordinate, pa stoga imamo:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Prema uvjetima zadatka || = 5, au koordinatnom obliku:

Izražavajući varijable kroz parametar t, dobivamo:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25,

Tako,

x = , y = , z = .

Dobili smo dva rješenja.

8.1. Definicije mješovitog proizvoda, njegovo geometrijsko značenje

Razmotrimo proizvod vektora a, b i c, sastavljen na sljedeći način: (a xb) c. Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a njihov rezultat skalarno množi trećim vektorom. Takav umnožak naziva se vektorsko-skalarni ili mješoviti umnožak triju vektora. Mješoviti umnožak predstavlja broj.

Saznajmo geometrijsko značenje izraza (a xb)*c. Izgradimo paralelopiped čiji su rubovi vektori a, b, c i vektor d = a x b(vidi sliku 22).

Imamo: (a x b) c = d c = |d | itd d sa, |d |=|a x b | =S, gdje je S površina paralelograma izgrađenog na vektorima a i b, pr d sa= N Za desnu trojku vektora itd. d sa= - H za lijevu stranu, gdje je H visina paralelopipeda. Dobivamo: ( axb)*c =S *(±H), tj. ( axb)*c =±V, gdje je V volumen paralelopipeda kojeg čine vektori a, b i s.

Dakle, mješoviti umnožak triju vektora jednak je volumenu paralelopipeda izgrađenog na tim vektorima, uzetom s predznakom plus ako ti vektori čine desnu trojku, odnosno s predznakom minus ako čine lijevu trojku.

8.2. Svojstva miješanog proizvoda

1. Mješoviti proizvod se ne mijenja kada se njegovi faktori ciklički preuređuju, tj. (a x b) c =( b x c) a = (c x a) b.

Doista, u ovom se slučaju ne mijenja niti volumen paralelopipeda niti orijentacija njegovih rubova

2. Mješoviti umnožak se ne mijenja kada se zamijene predznaci vektorskog i skalarnog množenja, tj. (a xb) c =a *( b x s ).

Doista, (a xb) c =±V i a (b xc)=(b xc) a =±V. Uzimamo isti predznak s desne strane ovih jednakosti, jer su trojke vektora a, b, c i b, c, a iste orijentacije.

Prema tome, (a xb) c =a (b xc). To vam omogućuje da zapišete mješoviti umnožak vektora (a x b)c u obliku abc bez vektorskih i skalarnih predznaka za množenje.

3. Mješoviti umnožak mijenja predznak kada se mijenjaju mjesta bilo koja dva faktor vektora, tj. abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.

Doista, takvo preuređivanje je ekvivalentno preuređenju faktora u vektorskom umnošku, mijenjajući predznak umnoška.

4. Mješoviti umnožak vektora a, b i c koji nisu nula jednak je nuli kad god i samo ako su komplanarni.

Ako je abc =0, tada su a, b i c komplanarni.

Pretpostavimo da to nije slučaj. Bilo bi moguće izgraditi paralelepiped volumena V ¹ 0. Ali budući da je abc =±V , dobili bismo taj abc ¹ 0 . To je u suprotnosti s uvjetom: abc =0 .

Obrnuto, neka su vektori a, b, c komplanarni. Tada je vektor d =a x b bit će okomita na ravninu u kojoj leže vektori a, b, c, pa prema tome d ^ c. Stoga je d c =0, tj. abc =0.

8.3. Izražavanje mješovitog umnoška preko koordinata

Neka su zadani vektori a =a x i +a y j+a z k, b = b x ja+b g j+b z k, s =c x ja+c y j+c z k. Nađimo njihov mješoviti produkt koristeći izraze u koordinatama za vektorske i skalarne produkte:

Rezultirajuća formula može se ukratko napisati:

budući da desna strana jednakosti (8.1) predstavlja proširenje determinante trećeg reda na elemente trećeg reda.

Dakle, mješoviti umnožak vektora jednak je determinanti trećeg reda, sastavljenoj od koordinata umnoženih vektora.

8.4. Neke mješovite primjene proizvoda

Određivanje relativne orijentacije vektora u prostoru

Određivanje relativne orijentacije vektora a, b i c se temelji na sljedećim razmatranjima. Ako je abc > 0, tada su a, b, c desna trojka; ako je abc<0 , то а , b , с - левая тройка.

Uspostavljanje koplanarnosti vektora

Vektori a, b i c su komplanarni ako i samo ako je njihov mješoviti umnožak jednak nuli

Određivanje obujma paralelopipeda i trokutaste piramide

Lako je pokazati da je volumen paralelopipeda izgrađen na vektorima a, b a c se izračunava kao V =|abc |, a volumen trokutaste piramide izgrađene na istim vektorima jednak je V =1/6*|abc |.

Primjer 6.3.

Vrhovi piramide su točke A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) i D (3; 0; -2). Nađi obujam piramide.

Riješenje: Nalazimo vektore a, b je:

a=AB =(-1;-3;-2), b =AC=(1;3;-1), c=AD =(2; -2; -5).

Pronašli smo b i sa:

=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.

Prema tome, V =1/6*24=4

MJEŠOVITI PRODUKT TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

Mješoviti rad tri vektora naziva se broj jednak . Određeni . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor skalarno množi trećim vektorom. Očito, takav proizvod je određeni broj.

Razmotrimo svojstva miješanog proizvoda.

1. Geometrijsko značenje mješoviti rad. Mješoviti umnožak 3 vektora, do predznaka, jednak je volumenu paralelopipeda izgrađenog na tim vektorima, kao na bridovima, tj. .

   Dakle, i .

   

   Dokaz. Odvojimo vektore iz zajedničkog ishodišta i na njima izgradimo paralelopiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog produkta

   Pretpostavljajući to i označavajući sa h nađi visinu paralelopipeda.

   Dakle, kada

   Ako, onda je tako. Stoga, .

   Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

   Iz dokaza ovog svojstva, posebice, slijedi da ako je trojka vektora desnokretna, tada je mješoviti produkt , a ako je lijevokretan, tada je .

2. Za sve vektore , , jednakost je istinita

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štoviše, znakovi "+" i "–" uzimaju se istovremeno, jer kutovi između vektora i i i su i šiljasti i tupi.

3. Kada se bilo koja dva faktora preurede, mješoviti umnožak mijenja predznak.

   Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, tada, na primjer, ili

4. Mješoviti produkt ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, nužan i dovoljan uvjet za koplanarnost 3 vektora je da je njihov mješoviti produkt jednak nuli. Osim toga, slijedi da tri vektora čine bazu u prostoru ako .

   Ako su vektori dani u koordinatnom obliku, tada se može pokazati da se njihov mješoviti produkt nalazi pomoću formule:

   .

   Dakle, mješoviti umnožak jednak je determinanti trećeg reda, koja ima koordinate prvog vektora u prvom retku, koordinate drugog vektora u drugom retku i koordinate trećeg vektora u trećem retku.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednadžba F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. geometrijsko mjesto točaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednadžbu. Ova se jednadžba naziva jednadžba površine, i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često površina nije određena jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine na temelju njezinih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI VEKTOR U RAVNINI.

JEDNADŽBA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TOČKU

Promotrimo proizvoljnu ravninu σ u prostoru. Njegov položaj se određuje zadavanjem vektora okomitog na tu ravninu i neke fiksne točke M0(x 0, y 0, z 0), koji leži u σ ravnini.

Vektor okomit na ravninu σ naziva se normalan vektor ove ravnine. Neka vektor ima koordinate .

Izvedimo jednadžbu ravnine σ koja prolazi ovom točkom M0 i ima normalni vektor. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku na ravnini σ M(x, y, z) i razmotriti vektor .

Za bilo koju točku M O σ je vektor. Stoga je njihov skalarni produkt jednak nuli. Ova jednakost je uvjet da točka M O σ. Ona vrijedi za sve točke ove ravnine i krši se čim točka M bit će izvan ravnine σ.

Označimo li točke radijus vektorom M, – radijus vektor točke M0, onda se jednadžba može napisati u obliku

Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravnine. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tad

Dakle, dobili smo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ovu točku. Dakle, da biste izradili jednadžbu ravnine, trebate znati koordinate vektora normale i koordinate neke točke koja leži na ravnini.

Uočimo da je jednadžba ravnine jednadžba 1. stupnja s obzirom na trenutne koordinate x, y I z.

Primjeri.

OPĆA JEDNADŽBA RAVNINE

Može se pokazati da svaka jednadžba prvog stupnja s obzirom na Kartezijeve koordinate x, y, z predstavlja jednadžbu određene ravnine. Ova jednadžba se piše kao:

Sjekira+Po+Cz+D=0

i zove se opća jednadžba ravnina i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravnine.

Razmotrimo posebne slučajeve opće jednadžbe. Otkrijmo kako se ravnina nalazi u odnosu na koordinatni sustav ako jedan ili više koeficijenata jednadžbe postanu nula.

A je duljina segmenta odsječenog ravninom na osi Vol. Slično se može pokazati da b I c– duljine segmenata odsječenih ravninom koja se razmatra na osi Joj I Oz.

Za konstruiranje ravnina zgodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima.