Izvedenica

Izračunavanje derivata matematička funkcija(diferencijacija) vrlo je čest problem pri rješavanju viša matematika. Za jednostavne (elementarne) matematičke funkcije, ovo je prilično jednostavna stvar, budući da tablice derivacija za elementarne funkcije. Međutim, pronalaženje derivacije složene matematičke funkcije nije trivijalan zadatak i često zahtijeva značajan trud i vrijeme.

Pronađite izvedenicu online

Naše online usluga omogućuje vam da se riješite besmislenih dugih izračuna i pronaći izvedenicu online u jednom trenutku. Štoviše, koristeći našu uslugu koja se nalazi na web stranici www.site, možete izračunati online izvedenica kako iz elementarne funkcije tako i iz vrlo složene koja nema analitičko rješenje. Glavne prednosti naše stranice u usporedbi s drugima su: 1) ne postoje strogi zahtjevi za metodu unosa matematičke funkcije za izračun derivacije (na primjer, kada unosite funkciju sinus x, možete je unijeti kao sin x ili sin (x) ili sin[x], itd. d.); 2) online izračun derivata događa se trenutno u načinu rada online i apsolutno besplatno; 3) omogućujemo vam da pronađete izvod funkcije bilo koji red, promjena redoslijeda izvoda vrlo je laka i razumljiva; 4) omogućujemo vam da pronađete izvod gotovo svake matematičke funkcije online, čak i one vrlo složene koje se ne mogu riješiti drugim uslugama. Dani odgovor je uvijek točan i ne može sadržavati pogreške.

Korištenje našeg poslužitelja omogućit će vam da 1) izračunate izvedenicu online za vas, eliminirajući dugotrajne i zamorne izračune tijekom kojih biste mogli napraviti pogrešku ili tipfeler; 2) ako sami izračunate derivaciju matematičke funkcije, tada vam pružamo mogućnost da dobiveni rezultat usporedite s izračunima našeg servisa i uvjerite se u točnost rješenja ili pronađete potkralu grešku; 3) koristite našu uslugu umjesto korištenja tablica izvedenica jednostavnih funkcija, gdje je često potrebno vrijeme da se pronađe željena funkcija.

Sve što trebate učiniti je pronaći izvedenicu online- je koristiti našu uslugu na

Derivacija funkcije jedna je od teških tema u školski plan i program. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Derivacija je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafovi triju funkcija. Što mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću derivaciju.

Evo još jedan primjer.

Kostya, Grisha i Matvey su se zaposlili u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihovi prihodi mijenjali tijekom godine:

Grafikon pokazuje sve odjednom, zar ne? Kostjin prihod više se nego udvostručio u šest mjeseci. I Grishini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matvejev prihod pao je na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, tj izvedenica, - drugačije. Što se Matveya tiče, njegov derivat prihoda općenito je negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja kako se x mijenja? Očito, ista funkcija u različite točke svibanj imati drugačije značenje izvedenica – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Derivacija funkcije označava se .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo točku na kojoj je apscisa. Povucimo tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo ide graf funkcije prema gore. Prikladna veličina za ovo - tangenta tangente kuta.

Derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu tangentnog kuta povučenog na graf funkcije u toj točki.

Napominjemo da kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.

Ponekad učenici pitaju što je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna crta koja ima jednu zajedničku točku s grafikonom u ovom odjeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na krug.

Pronađimo ga. Sjećamo se da je tangens oštrog kuta u pravokutni trokut jednak omjeru suprotne strane prema susjednoj strani. Iz trokuta:

Derivaciju smo pronašli pomoću grafa, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se problemi često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo se da je ravna crta dana jednadžbom

Veličina u ovoj jednadžbi zove se nagib ravne linije. Jednak je tangensu kuta nagiba pravca prema osi.

.

Shvaćamo to

Zapamtimo ovu formulu. Ona izražava geometrijsko značenje izvedenica.

Derivacija funkcije u točki jednaka je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangensu tangentnog kuta.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvodnice u različitim točkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima i smanjuje u drugim, i to različitim stopama. I neka ova funkcija ima maksimalne i minimalne točke.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Oblikuje se tangenta na graf nacrtana u točki oštar kut s pozitivnim smjerom osi. To znači da je derivacija u točki pozitivna.

U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut s pozitivnim smjerom osi. Od tangente tupi kut je negativan, u točki je izvod negativan.

Evo što se događa:

Ako je funkcija rastuća, njezina je derivacija pozitivna.

Ako se smanjuje, njegova derivacija je negativna.

Što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u točkama (točka maksimuma) i (točka minimuma) tangenta vodoravna. Prema tome, tangenta tangente u tim točkama je nula, a izvodnica je također nula.

Bod - maksimalni bod. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".

U točki - točki minimuma - derivat je također nula, ali se njen predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: pomoću derivacije možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je derivacija pozitivna, tada funkcija raste.

Ako je derivacija negativna, tada funkcija opada.

U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak iz "plus" u "minus".

U točki minimuma derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Napišimo ove zaključke u obliku tablice:

Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja Problemi s jedinstvenim državnim ispitom. Ostalo - u prvoj godini, s više ozbiljno proučavanje funkcije i izvodnice.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekom trenutku jednaka nuli, ali funkcija u tom trenutku nema ni maksimum ni minimum. Ovo je tzv :

U točki je tangenta na graf vodoravna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija je rasla - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvoda se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je i bio.

Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom lomu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj točki.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju vrijedi

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju eksponencijala (e na x potenciju) i eksponencijalne funkcije (a na x potenciju). Primjeri izračuna derivacija e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivacije viših redova.

Vidi također: Eksponencijalna funkcija - svojstva, formule, graf
Eksponent, e na x potenciju - svojstva, formule, graf

Osnovne formule

Derivacija eksponenta jednaka je samom eksponentu (derivacija e na x potenciju jednaka je e na x potenciju):
(1) (e x )′ = e x.

Derivacija eksponencijalne funkcije s bazom a jednaka je samoj funkciji pomnoženoj s prirodnim logaritmom od a:
(2) .

Eksponencijal je eksponencijalna funkcija čija je baza jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje može biti i prirodno i pravi broj. Zatim izvodimo formulu (1) za derivaciju eksponencijala.

Derivacija formule eksponencijalne derivacije

Razmotrimo eksponencijal, e na x potenciju:
y = e x.
Ova je funkcija definirana za sve.
(3) .

Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x.
Po definiciji, derivat je sljedeća granica: Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za to su nam potrebne sljedeće činjenice:
(4) ;
A) Svojstvo eksponenta:
(5) ;
B) Svojstvo logaritma:
(6) .
U)
Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju: Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
(7) .

G)
;
.

Značenje druge izvanredne granice:
Primijenimo ove činjenice na našu granicu (3). Koristimo svojstvo (4):
.
Napravimo zamjenu.
.

Zatim ; .
.

Zbog kontinuiteta eksponencijala,
Stoga, kada , .
.

Kao rezultat dobivamo:
.
Napravimo zamjenu.
.

Zatim . U , . A mi imamo:

Primijenimo svojstvo logaritma (5):

Sada izvodimo formulu (2) za derivaciju eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a.
(8)
Vjerujemo da i .

Zatim eksponencijalna funkcija
;
.
Definirano za sve.
.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristit ćemo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.

Dakle, transformirali smo formulu (8) u sljedeći oblik:
(14) .
(1) .

Izvodnice višeg reda od e na x potenciju
;
.

Nađimo sada derivacije viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
.

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferenciranjem (1) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:

Ovo pokazuje da je derivacija n-tog reda također jednaka izvornoj funkciji:
.
Izvodnice višeg reda eksponencijalne funkcije
(15) .

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja a:
;
.

Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:
.

Vidimo da svako diferenciranje dovodi do množenja izvorne funkcije s . Stoga izvod n-tog reda ima sljedeći oblik: Vidi također:

Vjerojatno je koncept derivata poznat svakome od nas iz škole. Obično učenici teško razumiju ovu, nedvojbeno vrlo važnu stvar. Aktivno se koristi u

razna područja živote ljudi, a mnogi inženjerski razvoj temeljio se upravo na matematičkim izračunima dobivenim pomoću derivata. Ali prije nego što prijeđemo na analizu o tome što su izvedenice brojeva, kako ih izračunati i gdje su nam korisne, zaronimo malo u povijest. Priča Kao temelj matematičke analize, otkrio ga je (bolje bi bilo čak reći „izumio“, jer kao takav nije postojao u prirodi) Isaac Newton, kojeg svi znamo po otkriću zakona univerzalna gravitacija

Bilo je i drugih velikih umova. Osim Newtona, na razvoju izvoda i integrala radili su eminentni geniji matematike kao što su Leonard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz. Upravo zahvaljujući njima dobili smo teoriju u obliku u kojem postoji do danas. Usput, Leibniz je otkrio geometrijsko značenje izvoda, za koji se pokazalo da nije ništa drugo do tangens kuta nagiba tangente na graf funkcije.

Što su derivacije brojeva? Ponovimo malo što smo prošli u školi.

Što je derivat?

Ovaj koncept se može definirati na nekoliko načina na različite načine. Najjednostavnije objašnjenje: derivacija je brzina promjene funkcije. Zamislimo graf neke funkcije y prema x. Ako nije ravna linija, onda ima neke zavoje na grafikonu, razdoblja povećanja i opadanja. Ako uzmemo bilo koji infinitezimalni interval ovog grafa, on će predstavljati segment ravne linije. Dakle, omjer veličine ovog infinitezimalnog segmenta duž y koordinate prema veličini duž x koordinate bit će derivacija ove funkcije u danoj točki. Ako promatramo funkciju kao cjelinu, a ne u određenoj točki, tada dobivamo derivaciju funkcije, odnosno određenu ovisnost y o x.

Osim toga, osim brzine promjene funkcije, postoji i geometrijsko značenje. Sada ćemo o tome.

Geometrijsko značenje

Same izvedenice brojeva predstavljaju određeni broj, koji bez pravilnog razumijevanja nema nikakvo značenje. Ispada da derivacija ne samo da pokazuje brzinu kojom funkcija raste ili opada, već i tangentu tangente na graf funkcije u danoj točki. Nije baš jasna definicija. Pogledajmo to detaljnije. Recimo da imamo graf neke funkcije (radi zabave, uzmimo krivulju). Na njoj postoji beskonačan broj točaka, ali postoje područja gdje samo jedna jedina točka ima maksimum ili minimum. Kroz bilo koju takvu točku možete povući ravnu liniju koja bi bila okomita na graf funkcije u ovoj točki. Takav ćemo pravac nazvati tangentom. Recimo da ga nacrtamo do sjecišta s osi OX. Dakle, dobiveni kut između tangente i osi OX bit će određen derivacijom. Točnije, tangens ovog kuta bit će mu jednak.

Razgovarajmo malo o posebnim slučajevima i analizirajmo izvode brojeva.

Posebni slučajevi

Kao što smo već rekli, derivacije brojeva su vrijednosti derivacije u određenoj točki. Na primjer, uzmimo funkciju y=x 2 . Derivacija x je broj, au općem slučaju to je funkcija jednaka 2*x. Ako trebamo izračunati derivaciju, recimo, u točki x 0 = 1, tada dobivamo y"(1)=2*1=2. Sve je vrlo jednostavno. Interesantan slučaj je derivacija. Idite na detaljno objašnjenje onoga što jest složeni broj, nećemo. Recimo samo da se radi o broju koji sadrži takozvanu imaginarnu jedinicu - broj čiji je kvadrat jednak -1. Izračun takvog derivata moguć je samo ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1) Moraju postojati parcijalne derivacije prvog reda realnog i imaginarnog dijela u odnosu na y i x.

2) Cauchy-Riemannovi uvjeti povezani s jednakošću parcijalnih derivacija opisanih u prvom paragrafu su zadovoljeni.

Još jedan zanimljiv slučaj, iako ne tako težak kao prethodni, je izvod negativnog broja. Zapravo, bilo koji negativni broj može se prikazati kao pozitivan broj pomnožen s -1. Pa, derivacija konstante i funkcije jednaka je konstanti pomnoženoj s derivacijom funkcije.

Bit će zanimljivo naučiti o ulozi derivata u svakodnevni život, a upravo o tome ćemo sada razgovarati.

Primjena

Vjerojatno se svatko od nas barem jednom u životu uhvati kako razmišljamo o tome da nam matematika vjerojatno neće biti od koristi. A tako složena stvar kao što je derivat vjerojatno nema nikakvu primjenu. Zapravo, matematiku - i sve njezine plodove - razvijaju uglavnom fizika, kemija, astronomija, pa čak i ekonomija. Izvodnica je bila početak koji nam je dao mogućnost izvlačenja zaključaka iz grafova funkcija, te smo naučili tumačiti zakone prirode i zahvaljujući njoj ih okrenuti u svoju korist.

Zaključak

Naravno, neće svima biti koristan derivat stvarni život. Ali matematika razvija logiku, koja će svakako biti potrebna. Nije uzalud matematika nazvana kraljicom znanosti: ona je osnova za razumijevanje drugih područja znanja.