Paralelepiped je geometrijski lik, čijih su svih 6 stranica paralelogrami.
Ovisno o vrsti tih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:
- ravno;
- nagnut;
- pravokutan.
Pravi paralelopiped je četverokutna prizma čiji rubovi s ravninom baze zatvaraju kut od 90°.
Pravokutni paralelopiped je četverokutna prizma čije su sve plohe pravokutnici. Kocka je vrsta četverokutne prizme u kojoj su sve plohe i bridovi međusobno jednaki.
Značajke figure unaprijed određuju njezina svojstva. To uključuje sljedeće 4 izjave:
Sva navedena svojstva je jednostavno zapamtiti, lako su razumljiva i logički se izvode na temelju vrste i karakteristika geometrijskog tijela. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerojatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za prolazak testa.
Formule paralelopipeda
Za pronalaženje odgovora na problem nije dovoljno poznavati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule za pronalaženje površine i volumena geometrijskog tijela.
Područje baza nalazi se na isti način kao i odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Osnovicu paralelograma možete odabrati sami. U pravilu je pri rješavanju problema lakše raditi s prizmom čija je baza pravokutnik.
Formula za pronalaženje bočne površine paralelopipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.
Primjeri rješavanja tipičnih zadataka Jedinstvenog državnog ispita
Vježba 1.
S obzirom: pravokutni paralelopiped dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno nađi duljinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Riješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izgradnjom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačena “zadana” i željena vrijednost. Slika ispod prikazuje primjer ispravan dizajn uvjeti zadatka.
Nakon što smo pregledali napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog ispravnog načina rješenja. Primjenom 4. svojstva paralelopipeda dobivamo sljedeći izraz:
Nakon jednostavnih izračuna dobivamo izraz b2=169, dakle b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, ne trebate potrošiti više od 5 minuta na njegovo traženje i crtanje.
Zadatak 2.
S obzirom: nagnuti paralelopiped s bočnim rubom 10 cm, pravokutnik KLNM dimenzija 5 i 7 cm, koji je presjek lika paralelan s navedenim rubom.
Neophodno pronađite bočnu površinu četverokutne prizme.
Riješenje: Prvo treba skicirati zadano.
Za rješavanje ovog zadatka potrebno je upotrijebiti domišljatost. Slika pokazuje da su stranice KL i AD nejednake, kao i par ML i DC. Međutim, opseg tih paralelograma očito je jednak.
Stoga, bočno područje slike bit će jednaka površini poprečnog presjeka pomnoženoj s rubom AA1, budući da je prema uvjetu rub okomit na presjek. Odgovor: 240 cm2.
Ciljevi lekcije:
1. Obrazovni:
Upoznati pojam paralelopipeda i njegove vrste;
- formulirati (pomoću analogije s paralelogramom i pravokutnikom) i dokazati svojstva paralelopipeda i kvadra;
- ponoviti pitanja vezana uz paralelnost i okomitost u prostoru.
2. Razvojni:
Nastavite razvijati takve vještine kod učenika kognitivne procese kao opažanje, shvaćanje, mišljenje, pažnja, pamćenje;
- promicati razvoj elemenata kod učenika kreativna aktivnost kao kvalitete mišljenja (intuicija, prostorno mišljenje);
- razviti kod učenika sposobnost zaključivanja, uključujući analogiju, što pomaže u razumijevanju unutarpredmetnih veza u geometriji.
3. Obrazovni:
Doprinijeti razvoju organiziranosti i navika sustavnog rada;
- doprinijeti formiranju estetskih vještina pri bilježenju i izradi crteža.
Vrsta lekcije: lekcija - učenje novog materijala (2 sata).
Struktura lekcije:
1. Organizacijski trenutak.
2. Obnavljanje znanja.
3. Učenje novog gradiva.
4. Sažimanje i postavljanje domaće zadaće.
Oprema: plakati (slajdovi) s dokazima, modeli raznih geometrijskih tijela, uključujući sve vrste paralelopipeda, grafoprojektor.
Tijekom nastave.
1. Organizacijski trenutak.
2. Obnavljanje znanja.
Priopćavanje teme lekcije, formuliranje ciljeva i zadataka zajedno s učenicima, pokazivanje praktičnog značaja proučavanja teme, ponavljanje prethodno proučenih pitanja vezanih uz ovu temu.
3. Učenje novog gradiva.
3.1. Paralelepiped i njegove vrste.
Prikazuju se modeli paralelopipeda, identificiraju se njihove značajke, što pomaže u formuliranju definicije paralelepipeda pomoću koncepta prizme.
Definicija:
paralelopiped zove se prizma čija je baza paralelogram.
Izrađen je crtež paralelopipeda (slika 1), navedeni su elementi paralelopipeda kao posebnog slučaja prizme. Prikazan je slajd 1.
Shematski zapis definicije:
Zaključci iz definicije su formulirani:
1) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped.
2) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD je paralelogram.
3) Ako ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram, tada
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nije paralelopiped.
4) . Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nije paralelopiped, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram.
Zatim se razmatraju posebni slučajevi paralelopipeda uz konstrukciju klasifikacijske sheme (vidi sliku 3), demonstriraju se modeli, ističu se karakteristična svojstva ravnih i pravokutnih paralelopipeda i formuliraju se njihove definicije.
Definicija:
Paralelepiped se naziva ravnim ako je bočna rebra okomito na bazu.
Definicija:
Paralelepiped se zove pravokutan, ako su njegovi bočni rubovi okomiti na bazu, a baza je pravokutnik (vidi sliku 2).
Nakon snimanja definicija u shematski oblik, formuliraju se zaključci iz njih.
3.2. Svojstva paralelopipeda.
Traženje planimetrijskih figura čiji su prostorni analozi paralelopiped i kvadar (paralelogram i pravokutnik). U ovom slučaju radi se o vizualnoj sličnosti figura. Pomoću pravila zaključivanja po analogiji popunjavaju se tablice.
Pravilo zaključivanja po analogiji:
1. Odaberite nešto od prethodno proučenog figure figure, sličan ovome.
2. Formulirajte svojstvo odabrane figure.
3. Formulirajte slično svojstvo izvorne figure.
4. Dokažite ili opovrgnite formuliranu tvrdnju.
Nakon formuliranja svojstava, dokaz svakog od njih provodi se prema sljedećoj shemi:
- rasprava o planu dokazivanja;
- demonstracija slajda s dokazima (slajdovi 2 – 6);
- učenici popunjavaju dokaze u svojim bilježnicama.
3.3 Kocka i njena svojstva.
Definicija: Kocka je pravokutni paralelopiped u kojem su sve tri dimenzije jednake.
Po analogiji s paralelopipedom učenici samostalno shematski bilježe definiciju, iz nje izvode posljedice i formuliraju svojstva kocke.
4. Sažimanje i postavljanje domaće zadaće.
Domaća zadaća:
- Koristeći bilješke iz lekcija iz udžbenika geometrije za 10.-11. razred, L.S. Atanasyan i drugi, proučite Poglavlje 1, §4, paragraf 13, Poglavlje 2, §3, paragraf 24.
- Dokažite ili opovrgnite svojstvo paralelopipeda, točka 2. tablice.
- Odgovori na sigurna pitanja.
Kontrolna pitanja.
1. Poznato je da samo dva bočna lica paralelepipeda su okomiti na osnovicu. Koja je vrsta paralelopipeda?
2. Koliko bočnih stranica pravokutnog oblika može imati paralelopiped?
3. Je li moguće imati paralelopiped sa samo jednom bočnom stranom:
1) okomito na bazu;
2) ima oblik pravokutnika.
4. U pravom paralelopipedu sve su dijagonale jednake. Je li pravokutan?
5. Je li točno da su u pravom paralelopipedu dijagonalni presjeci okomiti na ravnine baze?
6. Navedite teorem suprotan teoremu o kvadratu dijagonale pravokutnog paralelopipeda.
7. Koje dodatne značajke razlikuju kocku od pravokutnog paralelopipeda?
8. Hoće li paralelopiped biti kocka kojoj su svi bridovi na jednom od vrhova jednaki?
9. Navedite teorem o kvadratu dijagonale kvadra za slučaj kocke.
Paralelepiped je četverokutna prizma s paralelogramima u osnovi. Visina paralelopipeda je udaljenost između ravnina njegovih baza. Na slici je visina prikazana segmentom 
. Postoje dvije vrste paralelopipeda: ravni i nagnuti. U pravilu, učitelj matematike prvo daje odgovarajuće definicije za prizmu, a zatim ih prenosi na paralelepiped. Mi ćemo učiniti isto.
Dopustite mi da vas podsjetim da se prizma naziva ravnom ako su joj bočni rubovi okomiti na baze; ako nema okomitosti, prizma se naziva nagnutom. Tu terminologiju nasljeđuje i paralelopiped. 
Pravi paralelopiped nije ništa drugo do vrsta ravne prizme, čiji se bočni rub podudara s visinom. Sačuvane su definicije pojmova kao što su lice, rub i vrh, koji su zajednički cijeloj obitelji poliedara. Pojavljuje se koncept suprotnih lica. Paralelepiped ima 3 para nasuprotnih stranica, 8 vrhova i 12 bridova.
Dijagonala paralelopipeda (dijagonala prizme) je isječak koji povezuje dva vrha poliedra i ne leži ni na jednom od njegovih lica.
Dijagonalni presjek - presjek paralelopipeda koji prolazi njegovom dijagonalom i dijagonalom njegove baze.
Svojstva nagnutog paralelopipeda:
1) Sve njegove plohe su paralelogrami, a suprotne plohe su jednaki paralelogrami.
2)
Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki iu toj točki raspolavljaju.
3)
Svaki paralelopiped sastoji se od šest trokutastih piramida jednakog volumena. Da bi ih pokazao učeniku, učitelj matematike mora odrezati polovicu paralelepeda s njegovim dijagonalnim presjekom i zasebno ga podijeliti na 3 piramide. Njihove baze moraju ležati na različitim stranama izvornog paralelopipeda. Učitelj matematike će naći primjenu ovog svojstva u analitičkoj geometriji. Koristi se za prikaz volumena piramide kroz mješoviti rad vektori.
Formule za volumen paralelopipeda:
1), gdje je površina baze, h je visina.
2) Volumen paralelopipeda jednak umnošku površina poprečnog presjeka po bočnom rebru.
Učitelj matematike: Kao što znate, formula je zajednička za sve prizme i ako ju je mentor već dokazao, nema smisla ponavljati istu stvar za paralelepiped. Međutim, kada se radi s prosječnim učenikom (formula nije korisna slabom učeniku), preporučljivo je da učitelj postupi upravo suprotno. Ostavite prizmu na miru i pažljivo provedite dokaz za paralelopiped.
3) , gdje je volumen jednog od šest trokutasta piramida od kojih se sastoji paralelopiped.
4) Ako je , tada
Površina bočne površine paralelopipeda je zbroj površina svih njegovih lica:
Ukupna površina paralelopipeda je zbroj površina svih njegovih stranica, odnosno površina + dvije površine baze: .
O radu učitelja s nagnutim paralelopipedom:
Instruktori matematike ne rade često na problemima koji uključuju nagnute paralelopipede. Vjerojatnost da će se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu prilično je mala, a didaktika je nepristojno loša. Više ili manje pristojan problem volumena nagnutog paralelopipeda izaziva ozbiljne probleme povezane s određivanjem položaja točke H - baze njegove visine. U ovom slučaju, učitelju matematike može se savjetovati da prereže paralelopiped na jednu od njegovih šest piramida (o kojima se govori u svojstvu br. 3), pokuša pronaći njegov volumen i pomnoži ga sa 6.
Ako bočni brid paralelopipeda ima jednaki kutovi sa stranicama osnovice, tada H leži na simetrali kuta A osnovice ABCD. A ako je, na primjer, ABCD romb, onda
Zadaci nastavnika matematike:
1) Stranice paralelopipeda su međusobno jednake sa stranicom 2 cm i oštar kut. Nađi obujam paralelopipeda.
2) U kosom paralelopipedu bočni brid je 5 cm. Na njega okomit presjek je četverokut s međusobno okomitim dijagonalama duljina 6 cm i 8 cm. Izračunaj obujam paralelopipeda.
3) Kod kosog paralelopipeda poznato je da je , a kod ABCD osnovica je romb sa stranicom 2 cm i kutom . Odredi obujam paralelopipeda.
Učitelj matematike, Alexander Kolpakov
TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:
Razmotrite ove stavke:
Cigle za zidanje, kocke, mikrovalna pećnica. Ti su predmeti objedinjeni oblikom.
Ploha koja se sastoji od dva jednaka paralelograma ABCD i A1B1C1D1
i četiri paralelograma AA1B1B i BB1C1C, SS1D1D, AA1D1D naziva se paralelopiped.
Paralelogrami koji čine paralelopiped nazivaju se plohama. Lice A1V1S1D1. Rub VV1S1S. Rub ABCD.
U ovom slučaju, lica ABCD i A1B1C1D1 češće se nazivaju bazama, a preostala lica su bočna.
Stranice paralelograma nazivamo bridovima paralelopipeda. Rebro A1B1. Rebro CC1. Rebro AD.
Brid CC1 ne pripada bazama; naziva se bočni brid.
Vrhovi paralelograma nazivaju se vrhovima paralelopipeda.
Vrh D1. Veršina B. Veršina S.
Vrhovi D1 i B
ne pripadaju istom licu i nazivaju se suprotnim.
Paralelepiped se može prikazati na različite načine
Paralelepiped u čijoj osnovi leži romb, a slike lica su paralelogrami.
Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat. Nevidljivi rubovi AA1, AB, AD prikazani su isprekidanim linijama.
Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat
Paralelepiped u čijoj osnovi leži pravokutnik ili paralelogram
Paralelepiped sa svim kvadratnim stranama. Češće se naziva kocka.
Svi razmatrani paralelopipedi imaju svojstva. Formulirajmo ih i dokažimo.
Svojstvo 1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
Promotrimo paralelopiped ABCDA1B1C1D1 i dokažimo, na primjer, paralelnost i jednakost stranica BB1C1C i AA1D1D.
Po definiciji paralelopipeda, stranica ABCD je paralelogram, što znači da je po svojstvu paralelograma brid BC paralelan s bridom AD.
Lice ABB1A1 je također paralelogram, što znači da su bridovi BB1 i AA1 paralelni.
To znači da su dvije ravnine BC i BB1 jedne ravnine koje se sijeku paralelne s dvjema ravninama AD odnosno AA1 druge ravnine, što znači da su ravnine ABB1A1 i BCC1D1 paralelne.
Sve plohe paralelopipeda su paralelogrami, što znači BC = AD, BB1 = AA1.
U tom su slučaju stranice kutova B1BC i A1AD suusmjerene, što znači da su jednake.
Dakle, dvije susjedne stranice i kut između njih paralelograma ABB1A1 jednaki su dvjema susjednim stranicama i kutu između njih paralelograma BCC1D1, što znači da su ti paralelogrami jednaki.
Paralelepiped također ima svojstvo dijagonala. Dijagonala paralelopipeda je segment koji povezuje nesusjedne vrhove. Isprekidana linija na crtežu prikazuje dijagonale B1D, BD1, A1C.
Dakle, svojstvo 2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.
Da bismo dokazali to svojstvo, razmotrimo četverokut BB1D1D. Njegove dijagonale B1D, BD1 su dijagonale paralelopipeda ABCDA1B1C1D1.
U prvom svojstvu smo već otkrili da je rub BB1 paralelan i jednak rubu AA1, ali rub AA1 je paralelan i jednak rubu DD1. Dakle, bridovi BB1 i DD1 su paralelni i jednaki, što dokazuje da je četverokut BB1D1D paralelogram. A u paralelogramu, prema svojstvu, dijagonale B1D, BD1 sijeku se u nekoj točki O i tom su točkom podijeljene popola.
Četverokut BC1D1A je također paralelogram i njegove se dijagonale C1A sijeku u jednoj točki i tom točkom raspolavljaju. Dijagonale paralelograma C1A, VD1 su dijagonale paralelopipeda, što znači da je formulirano svojstvo dokazano.
Kako bismo učvrstili teorijsko znanje o paralelopipedu, razmotrimo problem s dokazom.
Označeno na rubovima paralelopipeda točke L,M,N,P tako da je BL=CM=A1N=D1P. Dokažite da je ALMDNB1C1P paralelopiped.
Lice BB1A1A je paralelogram, što znači da je rub BB1 jednak i paralelan s rubom AA1, ali prema uvjetu segmenti BL i A1N, što znači da su segmenti LB1 i NA jednaki i paralelni.
3) Dakle, četverokut LB1NA je paralelogram.
4) Kako je CC1D1D paralelogram, to znači da je rub CC1 jednak i paralelan s rubom D1D, a CM jednak D1P prema uvjetu, što znači da su segmenti MC1 i DP jednaki i paralelni
Stoga je i četverokut MC1PD paralelogram.
5) Kutovi LB1N i MC1P jednaki su kutovi s redom paralelnim i identično usmjerenim stranicama.
6) Utvrdili smo da paralelogrami i MC1PD imaju jednake odgovarajuće stranice i kutove između njih, što znači da su paralelogrami jednaki.
7) Segmenti su jednaki prema uvjetu, što znači da je BLMC paralelogram i stranica BC je paralelna sa stranicom LM je paralelna sa stranicom B1C1.
8) Slično, iz paralelograma NA1D1P slijedi da je stranica A1D1 paralelna sa stranicom NP i paralelna sa stranicom AD.
9) Nasuprotne plohe ABB1A1 i DCC1D1 paralelepipeda su po svojstvu paralelne, a odsječci paralelnih ravnina zatvoreni između paralelnih ravnina su jednaki, što znači da su odsječci B1C1, LM, AD, NP jednaki.
Utvrđeno je da su u četverokutima ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dvije stranice paralelne i jednake, što znači da su paralelogrami. Tada se naša ploha ALMDNB1C1P sastoji od šest paralelograma od kojih su dva jednaka i po definiciji je paralelopiped.
Prizma se zove paralelopiped, ako su njegove baze paralelogrami. Cm. Sl. 1.
Svojstva paralelopipeda:
Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne (to jest, leže u paralelnim ravninama) i jednake.
Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i tom se točkom dijele na pola.
Susjedna lica paralelopipeda– dvije plohe koje imaju zajednički rub.
Nasuprotna lica paralelopipeda– plohe koje nemaju zajedničke bridove.
Nasuprotni vrhovi paralelopipeda– dva vrha koji ne pripadaju istoj plohi.
Dijagonala paralelopipeda– segment koji spaja suprotne vrhove.
Ako su bočni bridovi okomiti na ravnine baza, tada se paralelopiped naziva direktno.
Pravi paralelopiped čije su osnovice pravokutnici nazivamo pravokutan. Zove se prizma čije su sve plohe kvadrati kocka.
Paralelopiped- prizma čije su baze paralelogrami.
Pravi paralelopiped- paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na ravninu baze.
Pravokutni paralelopiped je pravi paralelopiped čije su osnovice pravokutnici.
Kocka– pravokutni paralelopiped jednakih bridova.
paralelopiped zove se prizma čija je baza paralelogram; Dakle, paralelopiped ima šest stranica i sve su paralelogrami.
Nasuprotna lica su po paru jednaka i paralelna. Paralelepiped ima četiri dijagonale; svi se sijeku u jednoj točki i u njoj se dijele na pola. Bilo koje lice može se uzeti kao baza; volumen je jednak proizvodu površine baze i visine: V = Sh.
Paralelepiped čije su četiri bočne strane pravokutnici naziva se ravnim paralelopipedom.
Pravokutni paralelopiped čije su šest stranica pravokutnici naziva se pravokutnik. Cm. sl.2.
Volumen (V) pravog paralelopipeda jednak je umnošku površine baze (S) i visine (h): V = Š .
Za pravokutni paralelopiped, osim toga, vrijedi formula V=abc, gdje su a,b,c bridovi.
Dijagonala (d) pravokutnog paralelopipeda povezana je s njegovim bridovima relacijom d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Pravokutni paralelopiped- paralelopiped čiji su bočni bridovi okomiti na osnovice, a baze su pravokutnici.
Svojstva pravokutnog paralelopipeda:
U pravokutnom paralelopipedu svih šest stranica su pravokutnici.
Svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda su pravi.
Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (duljine triju bridova koji imaju zajednički vrh).
Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake.
Pravokutni paralelopiped, čija su sva lica kvadrati, naziva se kocka. Svi rubovi kocke su jednaki; volumen (V) kocke izražava se formulom V=a 3, gdje je a rub kocke.