Razmotrimo beskonačan niz brojeva, tj. skup brojeva u kojem svaki prirodni broj n prema određenom pravilu odgovara određeni broj a n. Izraz oblika naziva se niz brojeva, a sami brojevi se nazivaju članovi niza, - uobičajeni član serije. Ukratko serija je napisana na sljedeći način: .

Količine koje sadrže samo n nazivaju se prvi članovi niza parcijalne sume serije.

Kaže se da je niz brojeva konvergentan ako niz njegovih parcijalnih zbrojeva ima konačnu granicu. Broj S naziva se zbroj niza.

Ako limit ne postoji, onda se kaže da je niz divergentan.

Primjer 1. Dana je beskonačna geometrijska progresija. Napravimo seriju

i ispitati njegovu konvergenciju, na temelju definicije konvergencije niza. Da bismo to učinili, napravimo djelomični zbroj =. Iz školskog tečaja matematike poznato je da. Prisjetimo se kako ovo funkcionira. Da bismo to dokazali, podijelimo

Izračunajmo sada granicu, uzimajući u obzir da su ovdje moguća tri slučaja:

2) ako q= 1, zatim = i ,

3) ako q= -1, tada =, i , a = , i . To znači da niz parcijalnih zbrojeva nema jednu granicu.

Stoga zaključujemo: geometrijska progresija konvergira ako i divergira na .

Primjer 2. Dokažite divergentnost niza

Riješenje. Procijenimo djelomični zbroj niza:

>, tj. > ,

a granica parcijalnog zbroja jednaka je beskonačnosti (prema poznatom teoremu o granicama: ako x n > y n, tada ): = ¥. To znači da se ovaj niz razilazi.

Svojstva konvergentnih nizova

Razmotrimo dva reda i . Drugi red se dobije od prvog odbacivanjem prvih m njezini članovi. Ovaj niz nazivamo ostatak niza i označavamo r n.

Teorem 1. Ako se članovi konvergentnog niza pomnože određenim brojem S, tada konvergencija niza neće biti narušena, a zbroj će se pomnožiti s S.

Teorem 2. Dva konvergentna niza mogu se zbrajati (oduzimati) član po član i zbroj dobivenog niza bit će jednak , gdje je zbroj prvog niza, a zbroj drugog.

Teorem 3. Ako niz konvergira, tada svaki njegov ostatak konvergira. Iz konvergencije ostatka niza slijedi konvergencija samog niza.

Možemo to reći na drugi način: na konvergenciju niza ne utječe odbacivanje (ili dodjeljivanje) konačnog broja članova u nizu. A ovo svojstvo je najznamenitije. Doista, neka je zbroj niza jednak beskonačno (niz divergira). Dodali smo vrlo velik, ali konačan broj članova niza. Taj iznos može biti vrlo velik, ali, opet, to je konačan broj. Dakle, to znači da je zbroj ostatka niza, a tu su članovi niza već zanemarivi brojevi, još uvijek jednak beskonačnosti zbog beskonačnosti broja članova.

Teorem 4. Nužan znak konvergencije.

Ako niz konvergira, onda njegov zajednički član a n teži nuli, tj. .

Dokaz. Stvarno,

A ako niz konvergira, tada i , I stoga za .

Imajte na umu da ovaj znak nije dovoljan, tj. niz može divergirati, a njegov zajednički član teži nuli. U primjeru 2 niz se razilazi, iako je njegov zajednički član .

Ali ako a n ne teži nuli na , tada je niz divergentan ( dovoljan pokazatelj divergentnosti niza).

Konvergencija redova s ​​pozitivnim članovima

Za niz se kaže da je pozitivan ako su svi .

Djelomični zbroji takvog niza S nčine rastući niz, budući da je svaki prethodni manji od sljedećeg, tj. . Iz teorije granica je poznato (Bolzano-Weierstrassov teorem) da ako je rastući niz ograničen odozgo (tj. za sve S n postoji takav broj M, Što S n < M za sve n), onda ima ograničenje. Ovo implicira sljedeći teorem.

Teorema. Niz s pozitivnim članovima konvergira ako su njegovi djelomični zbrojevi ograničeni odozgo, a divergira u suprotnom.

Svi se temelje na ovom svojstvu dovoljni znakovi konvergencije nizova s ​​pozitivnim članovima. Pogledajmo one glavne.

Znak za usporedbu

Razmotrimo dva niza s nenegativnim članovima: - (3) i - (4), i polazeći od nekih n. Tada iz konvergencije niza (4) slijedi konvergencija niza (3). A iz divergencije niza (3) slijedi divergencija niza (4).

Inače: ako niz s većim članovima konvergira, tada konvergira i niz s manjim članovima; ako niz s manjim članovima divergira, tada i niz s većim članovima također divergira.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju.

Riješenje. Opći član niza, a niz je beskonačan zbroj članova geometrijske progresije s nazivnikom< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Znak usporedbe u ekstremnom obliku

Razmotrimo dva niza i , i neka , bude konačan broj. Tada oba niza konvergiraju ili divergiraju istovremeno.

Primjer.

Riješenje. Odaberimo niz za usporedbu, otkrivajući kako se opći izraz niza ponaša za velike n:

Oni. ~ , a kao usporedni niz uzimamo niz koji divergira, kao što je ranije pokazano.

Izračunajmo granicu

a to znači da se oba reda ponašaju na isti način, tj. ovaj niz također divergira.

D'Alembertov znak

Neka je niz zadan i granica postoji. Onda ako l < 1, то ряд сходится, если l> 1, tada niz divergira ako l= 1, onda ovaj znak ne daje odgovor (tj. potrebno je dodatno istraživanje).

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju (prisjetite se da, tj. n-faktorijel je umnožak svih cijelih brojeva od 1 do n).

Riješenje. Za ovu seriju (da biste je pronašli potrebno je umjesto toga u n zamjena n+ 1). Izračunajmo granicu

a budući da je granica manja od 1, ovaj niz konvergira.

Radikalni Cauchyjev znak

Neka je niz zadan i granica postoji. Ako l< 1, то ряд сходится, если l> 1, tada niz divergira ako l= 1, onda ovaj znak ne daje odgovor (potrebno je dodatno istraživanje).

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju

Riješenje. Uobičajeni član serije. Izračunajmo granicu. To znači da niz konvergira.

Integralni Cauchyjev test

Razmotrimo niz i pretpostavimo da je na intervalu x O postoji kontinuirana, pozitivna i monotono opadajuća funkcija takva da je , n= 1, 2, 3…. Tada niz i nepravi integral konvergiraju ili divergiraju istovremeno.

Imajte na umu da ako je dan niz, tada se funkcija razmatra na intervalu.

Podsjetimo da je naznačeno nepravilan integral naziva se konvergentnim ako postoji konačna granica, a tada =. Ako at nema konačnu granicu, onda to kažu nepravilan integral razilazi se

Primjer. Razmotrimo seriju - generalizirani harmonijski niz ili Dirichletov red s eksponentom s. Ako s= 1, tada se niz naziva harmonijski niz.

Ovaj niz ispitujemo pomoću integralnog Cauchyjevog testa: =, a funkcija = ima sva svojstva navedena u testu. Izračunajmo nepravi integral.

Moguća su tri slučaja:

1) s < 1, и тогда

integral divergira.

2) kada s = 1

integral divergira.

3) ako s> 1, dakle

integral konvergira.

Zaključak. Generalizirani harmonijski red konvergira ako s> 1, a divergira ako s ≤ 1.

Ovaj niz se često koristi za usporedbu s drugim nizovima koji sadrže stupnjeve n.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju.

Riješenje. Za ovaj niz ~ =, što znači da uspoređujemo ovaj niz s nizom koji konvergira poput Dirichletovog niza s eksponentom s = 2 > 1.

Koristeći kriterij usporedbe u ograničavajućem obliku, nalazimo granicu omjera zajedničkih članova ovog niza i Dirichletovog niza:

Stoga i ovaj niz konvergira.

Preporuke za korištenjeznakovi konvergencije

Prije svega, trebali biste koristiti potrebni kriterij za konvergenciju niza i izračunati limit zajedničkog člana niza na . Ako je , tada niz očito divergira, a ako je , tada treba koristiti jedan od dovoljnih znakova.

Znakovi usporedbe Korisno ga je koristiti u slučajevima kada je transformacijom izraza za opći član niza moguće prijeći s izvornog niza na niz čija je konvergencija (ili divergencija) poznata. Osobito ako sadrži samo ovlasti n i ne sadrži nikakve druge funkcije, uvijek se može učiniti.

Znakovi usporedbe koriste se kada se izvorni niz može usporediti s generaliziranim harmonijskim nizom ili nizom sastavljenim od članova beskonačne geometrijske progresije.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Stoga, ako brojnik sadrži jednu od ovih funkcija, a nazivnik sadrži funkciju lijevo od njega, tada se niz najvjerojatnije razilazi i obrnuto.

Ovaj članak pruža strukturirane i detaljne informacije koje mogu biti korisne pri analizi vježbi i zadataka. Razmotrit ćemo temu nizova brojeva.

Ovaj članak započinje osnovnim definicijama i pojmovima. Zatim ćemo koristiti standardne opcije i proučiti osnovne formule. Kako bi se gradivo učvrstilo, u članku se daju osnovni primjeri i zadaci.

Osnovne teze

Prvo, zamislimo sustav: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , gdje je a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Na primjer, uzmimo brojeve kao što su: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Definicija 1

Brojevni niz je zbroj članova ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

Da biste bolje razumjeli definiciju, razmotrite zadani slučaj u kojem je q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Definicija 2

a k je opći ili k –thčlan serije.

Izgleda otprilike ovako - 16 · - 1 2 k.

Definicija 3

Djelomični zbroj serija izgleda otprilike ovako S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , u kojem n– bilo koji broj. S n je nth zbroj serije.

Na primjer, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k je S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . čine beskonačan niz brojeva.

Za redom nth zbroj se nalazi po formuli S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. Koristimo sljedeći niz parcijalnih zbrojeva: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Definicija 4

Niz ∑ k = 1 ∞ a k je konvergentan kada niz ima konačnu granicu S = lim S n n → + ∞ . Ako nema granice ili je niz beskonačan, tada se niz ∑ k = 1 ∞ a k naziva odvojit.

Definicija 5

Zbroj konvergentnog niza∑ k = 1 ∞ a k je limes niza ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

U ovom primjeru, lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , red ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k konvergira. Zbroj je 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3.

Primjer 1

Primjer divergentnog niza je zbroj geometrijske progresije s nazivnikom većim od jedan: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

N-ti parcijalni zbroj dan je S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a granica parcijalnih zbroja je beskonačna: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Drugi primjer divergentnog niza brojeva je zbroj oblika ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . U ovom slučaju, n-ti djelomični zbroj može se izračunati kao Sn = 5n. Limit parcijalnih suma je beskonačan lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Definicija 6

Zbroj istog oblika kao ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ovo harmonik serije brojeva.

Definicija 7

Zbroj ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Gdje s– realan broj, je generalizirani harmonijski brojevni niz.

Gore navedene definicije pomoći će vam u rješavanju većine primjera i problema.

Da bi se definicije dovršile, potrebno je dokazati određene jednadžbe.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergentno.

Koristimo obrnutu metodu. Ako konvergira, tada je granica konačna. Jednadžbu možemo napisati kao lim n → + ∞ S n = S i lim n → + ∞ S 2 n = S . Nakon određenih radnji dobivamo jednakost l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

Protiv,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

Vrijede sljedeće nejednakosti: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Dobivamo da je S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Izraz S 2 n - S n > 1 2 označava da lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nije postignuto. Serija je divergentna.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Potrebno je potvrditi da zbroj niza brojeva konvergira na q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Prema navedenim definicijama iznos nčlanova određuje se prema formuli S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Ako je q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Dokazali smo da niz brojeva konvergira.

Za q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Zbrojevi se mogu pronaći pomoću formule S n = b 1 · n, granica je beskonačna lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. U predstavljenoj verziji niz se razilazi.

Ako q = - 1, tada niz izgleda kao b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Djelomični zbrojevi izgledaju kao S n = b 1 za neparne n, a S n = 0 za parne n. Nakon što smo razmotrili ovaj slučaj, uvjerit ćemo se da nema ograničenja i da je niz divergentan.

Za q > 1 vrijedi lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Dokazali smo da niz brojeva divergira.

1. Niz ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergira ako s > 1 i divergira ako je s ≤ 1.

Za s = 1 dobivamo ∑ k = 1 ∞ 1 k , niz divergira.

Kada je s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, prirodni broj. Budući da je niz divergentan ∑ k = 1 ∞ 1 k , nema granice. Slijedom toga niz ∑ k = 1 ∞ 1 k s je neomeđen. Zaključujemo da odabrani niz divergira kada s< 1 .

Potrebno je pružiti dokaze da niz ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergira za s > 1.

Zamislimo S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Pretpostavimo da je 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Zamislimo jednadžbu za brojeve koji su prirodni i parni n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Dobivamo:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Izraz je 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . je zbroj geometrijske progresije q = 1 2 s - 1. Prema prvim podacima na s > 1, zatim 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 raste i ograničen je odozgo 1 1 - 1 2 s - 1 . Zamislimo da postoji limit i da je niz konvergentan ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Definicija 8

Niz ∑ k = 1 ∞ a k je u tom slučaju pozitivna, ako su njegovi članovi > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Niz ∑ k = 1 ∞ b k signalizmjenični, ako su predznaci brojeva različiti. Ovaj primjer predstavljen je kao ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k ili ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , gdje je a k > 0, k = 1, 2,. . . .

Niz ∑ k = 1 ∞ b k naizmjenično, budući da sadrži mnogo brojeva, negativnih i pozitivnih.

Serija druge opcije poseban je slučaj treće opcije.

Evo primjera za svaki slučaj pojedinačno:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Za treću opciju također možete odrediti apsolutnu i uvjetnu konvergenciju.

Definicija 9

Izmjenični niz ∑ k = 1 ∞ b k je apsolutno konvergentan u slučaju kada se ∑ k = 1 ∞ b k također smatra konvergentnim.

Pogledajmo nekoliko tipičnih opcija u detalje.

Primjer 2

Ako su redovi 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . i 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . definirane kao konvergentne, tada je ispravno pretpostaviti da je 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Definicija 10

Izmjenični niz ∑ k = 1 ∞ b k smatra se uvjetno konvergentnim ako je ∑ k = 1 ∞ b k divergentan, a niz ∑ k = 1 ∞ b k smatra se konvergentnim.

Primjer 3

Ispitajmo detaljno opciju ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Niz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, koji se sastoji od apsolutnih vrijednosti, definira se kao divergentan. Ova se opcija smatra konvergentnom jer ju je lako odrediti. Iz ovog primjera doznajemo da je niz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . smatrat ćemo uvjetno konvergentnim.

Značajke konvergentnih nizova

Analizirajmo svojstva za određene slučajeve

1. Ako ∑ k = 1 ∞ a k konvergira, tada se niz ∑ k = m + 1 ∞ a k također smatra konvergentnim. Može se primijetiti da red bez m termini se također smatraju konvergentnim. Ako ∑ k = m + 1 ∞ a k dodamo nekoliko brojeva, tada će rezultirajući rezultat također biti konvergentan.
2. Ako je ∑ k = 1 ∞ a k konvergira i zbroj = S, tada niz ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S također konvergira, gdje je A-konstantno.
3. Ako su ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k konvergentni, zbrojevi A I B također, tada nizovi ∑ k = 1 ∞ a k + b k i ∑ k = 1 ∞ a k - b k također konvergiraju. Iznosi će biti jednaki A+B I A - B odnosno.

Primjer 4

Odredite da niz konvergira ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Promijenimo izraz ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Niz ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 smatra se konvergentnim, jer niz ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergira kada s > 1. Prema drugom svojstvu je ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Primjer 5

Utvrdite da li niz ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 konvergira.

Transformirajmo izvornu verziju ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

Dobivamo zbroj ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 i ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Svaki niz se smatra konvergentnim prema svojstvu. Dakle, kako se serija približava, tako se približava i izvorna verzija.

Primjer 6

Izračunajte da li niz 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konvergira. . . i izračunajte iznos.

Proširimo izvornu verziju:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Svaki niz konvergira jer je jedan od članova niza brojeva. Prema trećem svojstvu možemo izračunati da je i izvorna verzija konvergentna. Računamo zbroj: Prvi član niza ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, a nazivnik = 0. 5, slijedi, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Prvi član je ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , a nazivnik padajućeg brojevnog niza = 1 3 . Dobivamo: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Koristimo gore dobivene izraze za određivanje zbroja 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Nužan uvjet za određivanje je li niz konvergentan

Definicija 11

Ako je niz ∑ k = 1 ∞ a k konvergentan, tada mu je limit kthčlan = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ako označimo bilo koju opciju, ne smijemo zaboraviti na neizostavni uvjet. Ako nije ispunjeno, tada se niz razilazi. Ako je lim k → + ∞ a k ≠ 0, tada je niz divergentan.

Treba pojasniti da je uvjet važan, ali ne i dovoljan. Ako vrijedi jednakost lim k → + ∞ a k = 0, to ne jamči da je ∑ k = 1 ∞ a k konvergentno.

Navedimo primjer. Za harmonijski niz ∑ k = 1 ∞ 1 k uvjet je zadovoljen lim k → + ∞ 1 k = 0 , ali niz i dalje divergira.

Primjer 7

Odredite konvergenciju ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Provjerimo izvorni izraz za ispunjenje uvjeta lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Ograničiti nthčlan nije jednak 0. Dokazali smo da se ovaj niz razilazi.

Kako odrediti konvergenciju pozitivnog niza.

Ako stalno koristite ove karakteristike, morat ćete stalno računati granice. Ovaj odjeljak pomoći će vam da izbjegnete poteškoće pri rješavanju primjera i problema. Da bi se odredila konvergencija pozitivnog niza, postoji određeni uvjet.

Za konvergenciju pozitivnog predznaka ∑ k = 1 ∞ a k vrijedi a k ​​> 0 ∀ k = 1, 2, 3, . . . potrebno je odrediti ograničeni niz suma.

Kako usporediti serije

Postoji nekoliko znakova usporedbe serija. Uspoređujemo niz čija se konvergencija predlaže odrediti s nizom čija je konvergencija poznata.

Prvi znak

∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k nizovi su pozitivnog predznaka. Nejednakost a k ≤ b k vrijedi za k = 1, 2, 3, ... Iz ovoga slijedi da se iz niza ∑ k = 1 ∞ b k može dobiti ∑ k = 1 ∞ a k . Kako je ∑ k = 1 ∞ a k divergentan, niz ∑ k = 1 ∞ b k možemo definirati kao divergentan.

Ovo pravilo se stalno koristi za rješavanje jednadžbi i ozbiljan je argument koji će pomoći u određivanju konvergencije. Poteškoća može biti u činjenici da nije moguće pronaći odgovarajući primjer za usporedbu u svakom slučaju. Vrlo često se niz odabire prema principu da indikator kth izraz će biti jednak rezultatu oduzimanja eksponenata brojnika i nazivnika kthčlan serije. Pretpostavimo da je a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , razlika će biti jednaka 2 – 3 = - 1 . U ovom slučaju možemo utvrditi da je za usporedbu serija s k-tičlan b k = k - 1 = 1 k , koji je harmonijski.

Kako bismo konsolidirali dobiveni materijal, detaljno ćemo razmotriti nekoliko tipičnih opcija.

Primjer 8

Odredite što je niz ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Kako je limit = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, ispunili smo potrebni uvjet. Nejednakost će biti pravedna 1 k< 1 k - 1 2 для k, koji su prirodni. Iz prethodnih odlomaka naučili smo da je harmonijski niz ∑ k = 1 ∞ 1 k divergentan. Prema prvom kriteriju može se dokazati da je izvorna verzija divergentna.

Primjer 9

Odredite je li niz konvergentan ili divergentan ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

U ovom primjeru zadovoljen je nužni uvjet jer je lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Predstavljamo ga kao nejednadžbu 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Red ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 je konvergentan, budući da harmonijski niz ∑ k = 1 ∞ 1 k s konvergira za s > 1. Prema prvom kriteriju možemo zaključiti da je niz brojeva konvergentan.

Primjer 10

Odredite što je niz ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

U ovoj opciji možete označiti ispunjenje željenog uvjeta. Definirajmo niz za usporedbu. Na primjer, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Da biste odredili što je stupanj, razmotrite niz (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Članovi niza ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . povećava do beskonačnosti. Nakon analize jednadžbe, možemo primijetiti da, uzimajući N = 1619 kao vrijednost, tada su članovi niza > 2. Za ovaj niz bit će istinita nejednakost 1 k ln (ln k).< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Drugi znak

Pretpostavimo da su ∑ k = 1 ∞ a k i ∑ k = 1 ∞ b k pozitivni brojevi.

Ako je lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , tada niz ∑ k = 1 ∞ b k konvergira, a konvergira i ∑ k = 1 ∞ a k.

Ako je lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, tada kako niz ∑ k = 1 ∞ b k divergira, tada i ∑ k = 1 ∞ a k također divergira.

Ako je lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, tada konvergencija ili divergencija jednog niza znači konvergenciju ili divergenciju drugog niza.

Promotrimo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 koristeći drugi znak. Za usporedbu ∑ k = 1 ∞ b k uzimamo konvergentni niz ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Definirajmo granicu: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Prema drugom kriteriju može se utvrditi da konvergentni niz ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 znači da konvergira i izvorna verzija.

Primjer 11

Odredi koliki je niz ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Analizirajmo nužni uvjet lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, koji je zadovoljen u ovoj verziji. Prema drugom kriteriju uzmite niz ∑ k = 1 ∞ 1 k . Tražimo granicu: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Prema gornjim tezama, divergentni niz povlači za sobom divergenciju izvornog niza.

Treći znak

Razmotrimo treći znak usporedbe.

Pretpostavimo da su ∑ k = 1 ∞ a k i _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitivni brojevi. Ako je za određeni broj a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k zadovoljen uvjet, tada konvergencija ovog niza ∑ k = 1 ∞ b k znači da je i niz ∑ k = 1 ∞ a k također konvergentan. Divergentni niz ∑ k = 1 ∞ a k povlači za sobom divergenciju ∑ k = 1 ∞ b k .

D'Alembertov znak

Zamislimo da je ∑ k = 1 ∞ a k pozitivan brojčani niz. Ako je lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, zatim divergentno.

Napomena 1

D'Alembertov test vrijedi ako je granica beskonačna.

Ako je lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , tada je niz konvergentan, ako je lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , tada je divergentan.

Ako je lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, tada d’Alembertov znak neće pomoći i bit će potrebna dodatna istraživanja.

Primjer 12

Odredite je li niz konvergentan ili divergentan ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k pomoću d’Alembertova testa.

Potrebno je provjeriti da li je zadovoljen potreban uvjet konvergencije. Izračunajmo granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Vidimo da je uvjet ispunjen. Upotrijebimo d'Alembertov test: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Niz je konvergentan.

Primjer 13

Odredite da li je niz divergentan ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Upotrijebimo d'Alembertov test da odredimo divergenciju niza: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Stoga je serija divergentna.

Radikalni Cauchyjev znak

Pretpostavimo da je ∑ k = 1 ∞ a k niz s pozitivnim predznakom. Ako je lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, zatim divergentno.

Napomena 2

Ako je lim k → + ∞ a k k = 1, tada ovaj znak ne daje nikakvu informaciju - potrebna je dodatna analiza.

Ova značajka može se koristiti u primjerima koje je lako prepoznati. Slučaj će biti tipičan kada je član niza brojeva eksponencijalni potencijski izraz.

Kako bismo konsolidirali dobivene informacije, razmotrimo nekoliko tipičnih primjera.

Primjer 14

Odredite je li niz s pozitivnim predznakom ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k konvergentan.

Smatra se da je nužni uvjet zadovoljen jer je lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Prema gore razmatranom kriteriju, dobivamo lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Primjer 15

Konvergira li brojevni niz ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2?

Koristimo značajku opisanu u prethodnom paragrafu lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integralni Cauchyjev test

Pretpostavimo da je ∑ k = 1 ∞ a k niz s pozitivnim predznakom. Potrebno je označiti funkciju kontinuiranog argumenta y = f(x), što se podudara s a n = f (n) . Ako y = f(x) veći od nule, ne prekida se i smanjuje se za [ a ; + ∞), gdje je a ≥ 1

Tada, ako je nepravi integral ∫ a + ∞ f (x) d x konvergentan, tada niz koji se razmatra također konvergira. Ako se razilazi, tada se u razmatranom primjeru razilazi i niz.

Kada provjeravate je li funkcija opadajuća, možete se poslužiti materijalom obrađenim u prethodnim lekcijama.

Primjer 16

Razmotrimo primjer ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k za konvergenciju.

Uvjet za konvergenciju niza smatra se zadovoljenim jer je lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Uzmite u obzir y = 1 x ln x. Veći je od nule, ne prekida se i smanjuje se za [ 2 ; + ∞) . Prve dvije točke su sigurno poznate, ali treća bi trebala biti raspravljena detaljnije. Nađi derivaciju: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. To je manje od nule na [ 2 ; + ∞). Time je dokazana teza da je funkcija opadajuća.

Zapravo, funkcija y = 1 x ln x odgovara karakteristikama principa koji smo gore razmotrili. Upotrijebimo ga: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Prema dobivenim rezultatima izvorni primjer divergira, jer je nepravi integral divergentan.

Primjer 17

Dokažite konvergenciju niza ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Budući da je lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, tada se uvjet smatra ispunjenim.

Počevši s k = 4, točan izraz je 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ako se niz ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 smatra konvergentnim, tada, prema jednom od principa usporedbe, niz ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 također će se smatrati konvergentnim. Na taj način možemo utvrditi da je izvorni izraz također konvergentan.

Prijeđimo na dokaz: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Budući da je funkcija y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 veća od nule, ona se ne prekida i opada za [ 4 ; + ∞) . Koristimo značajku opisanu u prethodnom paragrafu:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

U rezultirajućem konvergentnom nizu, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, možemo odrediti da je ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 također konvergira.

Raabeov znak

Pretpostavimo da je ∑ k = 1 ∞ a k pozitivan brojčani niz.

Ako je lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, tada konvergira.

Ova metoda određivanja može se koristiti ako gore opisane tehnike ne daju vidljive rezultate.

Studija apsolutne konvergencije

Za studiju uzimamo ∑ k = 1 ∞ b k . Koristimo pozitivni predznak ∑ k = 1 ∞ b k . Možemo koristiti bilo koju prikladnu značajku koju smo gore opisali. Ako niz ∑ k = 1 ∞ b k konvergira, tada je izvorni niz apsolutno konvergentan.

Primjer 18

Istražite niz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 za konvergenciju ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

Uvjet je zadovoljen lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Upotrijebimo ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 i upotrijebimo drugi znak: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Niz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergira. Izvorni niz je također apsolutno konvergentan.

Divergencija izmjeničnih serija

Ako je niz ∑ k = 1 ∞ b k divergentan, tada je odgovarajući izmjenični niz ∑ k = 1 ∞ b k ili divergentan ili uvjetno konvergentan.

Samo će d'Alembertov test i radikalni Cauchyjev test pomoći da se izvuku zaključci o ∑ k = 1 ∞ b k iz divergencije iz modula ∑ k = 1 ∞ b k . Niz ∑ k = 1 ∞ b k također divergira ako nije zadovoljen nužni uvjet konvergencije, odnosno ako je lim k → ∞ + b k ≠ 0.

Primjer 19

Divergencija provjere 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Modul kthčlan je predstavljen kao b k = k ! 7 k.

Ispitajmo niz ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k za konvergenciju pomoću d'Alembertova testa: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k odstupa na isti način kao i izvorna verzija.

Primjer 20

Je li ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergentan.

Razmotrimo nužni uvjet lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Uvjet nije ispunjen, stoga je ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) niz divergentan. Granica je izračunata pomoću L'Hopitalovog pravila.

Uvjetni kriteriji konvergencije

Leibnizov test

Definicija 12

Ako se vrijednosti članova izmjeničnog niza smanjuju b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . i granica modula = 0 kao k → + ∞, tada niz ∑ k = 1 ∞ b k konvergira.

Primjer 17

Razmotrimo ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) za konvergenciju.

Niz je predstavljen kao ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Zadovoljen je potreban uvjet: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Razmotrimo ∑ k = 1 ∞ 1 k prema drugom kriteriju usporedbe lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Nalazimo da ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergira. Niz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konvergira prema Leibnizovom kriteriju: niz 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . opada i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Niz konvergira uvjetno.

Abel-Dirichletov test

Definicija 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergira ako ( u k ) ne raste i niz ∑ k = 1 + ∞ v k je ograničen.

Primjer 17

Istražite 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . za konvergenciju.

Zamislimo se

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

gdje je (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . je nerastući, a niz (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . ograničeno (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Niz se spaja.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Osnovne definicije.

Definicija. Zbroj članova beskonačnog niza brojeva naziva se serije brojeva.

Istovremeno, brojke
nazvat ćemo ih članovima niza, i u n– čest član serije.

Definicija. Iznosi
,n = 1, 2, … se zovu privatni (djelomični) iznosi red.

Dakle, moguće je razmatrati nizove parcijalnih suma niza S 1 , S 2 , …, S n , …

Definicija. Red
nazvao konvergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma konvergira. Zbroj konvergentnih nizova je limit niza njegovih parcijalnih suma.

Definicija. Ako niz parcijalnih suma niza divergira, tj. nema granice, ili ima beskonačnu granicu, tada se niz naziva odvojit i nije mu dodijeljen nikakav iznos.

Svojstva redova.

1) Konvergencija ili divergencija niza neće biti narušena ako promijenite, odbacite ili dodate konačan broj članova niza.

2) Razmotrimo dva reda
I
, gdje je C konstantan broj.

Teorema. Ako redak
konvergira i zbroj mu je jednakS, zatim serija
također konvergira, a njegov zbroj je jednak CS. (C  0)

3) Razmotrimo dva reda
I
.Iznos ili razlika ovih serija nazvat ćemo serijom
, gdje se elementi dobivaju zbrajanjem (oduzimanjem) izvornih elemenata s istim brojevima.

Teorema. Ako redovi
I
konvergiraju i njihovi zbrojevi su redom jednakiSI , zatim serija
također konvergira i njegov je zbroj jednakS +  .

Razlika dvaju konvergentnih nizova također će biti konvergentni niz.

Zbroj konvergentnog i divergentnog niza je divergentni niz.

Nemoguće je dati opću tvrdnju o zbroju dva divergentna niza.

Pri proučavanju nizova uglavnom rješavaju dva problema: proučavanje konvergencije i pronalaženje zbroja niza.

Cauchyjev kriterij.

(potrebni i dovoljni uvjeti za konvergenciju niza)

Kako bi slijed
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji
postojao je takav brojN, to nan > Ni bilo kojistr> 0, gdje je p cijeli broj, vrijedila bi sljedeća nejednakost:

.

Dokaz. (nužnost)

Neka
, zatim za bilo koji broj
postoji broj N takav da nejednakost

je ispunjeno kada je n>N. Za n>N i svaki cijeli broj p>0 nejednakost također vrijedi
. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobivamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dostatnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za niz.

Kako bi za seriju
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji
postojao je brojNtakav da nan> Ni bilo kojistr>0 vrijedila bi nejednakost

.

Međutim, u praksi izravno korištenje Cauchyjevog kriterija nije baš zgodno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji testovi konvergencije:

1) Ako je red
konvergira, tada je potrebno da zajednički pojam u n težio nuli. Međutim, ovaj uvjet nije dovoljan. Možemo samo reći da ako zajednički član ne teži nuli, tada niz definitivno divergira. Na primjer, takozvani harmonijski niz je divergentan, iako njegov zajednički član teži nuli.

Primjer. Istražite konvergenciju niza

Naći ćemo
- potreban kriterij za konvergenciju nije zadovoljen, što znači da niz divergira.

2) Ako niz konvergira, tada je niz njegovih parcijalnih suma ograničen.

Međutim, ni ovaj znak nije dovoljan.

Na primjer, niz 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergira, jer slijed njegovih parcijalnih suma divergira zbog činjenice da

Međutim, slijed parcijalnih zbrojeva je ograničen, jer
na bilo kojem n.

Niz s nenegativnim članovima.

Kada proučavamo nizove konstantnog predznaka, ograničit ćemo se na razmatranje nizova s ​​nenegativnim članovima, jer jednostavno množenje s –1 iz ovih nizova može dati nizove s negativnim članovima.

Teorema. Za konvergenciju niza
s nenegativnim članovima potrebno je i dovoljno da parcijalni zbrojevi nizova budu ograničeni.

Znak za usporedbu serija s nenegativnim članovima.

Neka su dana dva reda
I
na u n , v n  0 .

Teorema. Ako u n  v n na bilo kojem n, zatim iz konvergencije niza
serija konvergira
, te od divergentnosti niza
serija se razilazi
.

Dokaz. Označimo sa S n I  n parcijalne sume serija
I
. Jer prema uvjetima teorema, serija
konvergira, tada su njegovi parcijalni iznosi ograničeni, tj. pred svima n n  M, gdje je M određeni broj. Ali zbog u n  v n, To S n   n zatim parcijalni zbrojevi serija
također su ograničeni, a to je dovoljno za konvergenciju.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju

Jer
, i harmonijski niz razilazi, onda se serija razilazi
.

Primjer.

Jer
, i serija
konvergira (poput padajuće geometrijske progresije), zatim niz
također konvergira.

Također se koristi sljedeći znak konvergencije:

Teorema. Ako
i postoji granica
, Gdjeh– broj različit od nule, zatim niz
I
ponašaju se identično u smislu konvergencije.

D'Alembertov znak.

(Jean Leron d'Alembert (1717. - 1783.) - francuski matematičar)

Ako za seriju
s pozitivnim izrazima postoji takav brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost vrijedi

zatim serija
konvergira, ako za sve postoje dovoljno velikinuvjet je ispunjen

zatim serija
razilazi se.

D'Alembertov ograničavajući znak.

D'Alembertov limitirajući kriterij je posljedica gornjeg D'Alembertovog kriterija.

Ako postoji granica
, onda kada < 1 ряд сходится, а при  > 1 – divergira. Ako = 1, tada se ne može odgovoriti na pitanje konvergencije.

Primjer. Odredite konvergenciju niza .

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odredite konvergenciju niza

Zaključak: niz konvergira.

Cauchyjev znak. (radikalni znak)

Ako za seriju
s nenegativnim članovima postoji takav brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost vrijedi

,

zatim serija
konvergira, ako za sve postoje dovoljno velikinnejednakost vrijedi

zatim serija
razilazi se.

Posljedica. Ako postoji granica
, onda kada<1 ряд сходится, а при >Red 1 divergira.

Primjer. Odredite konvergenciju niza
.

Zaključak: niz konvergira.

Primjer. Odredite konvergenciju niza
.

Oni. Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza. Provjerimo jesu li ispunjeni potrebni uvjeti konvergencije. Kao što je gore spomenuto, ako niz konvergira, tada zajednički član niza teži nuli.

,

Dakle, nužni uvjet za konvergenciju nije zadovoljen, što znači da niz divergira.

Integralni Cauchyjev test.

Ako (x) je kontinuirana pozitivna funkcija koja opada u intervalu I
zatim integrali
I
ponašaju se identično u smislu konvergencije.

Naizmjenične serije.

Naizmjenični redovi.

Izmjenični niz može se napisati kao:

Gdje

Leibnizov znak.

Ako je znak izmjeničnog reda apsolutne vrijednostiu ja se smanjuju
a zajednički član teži nuli
, tada niz konvergira.

Apsolutna i uvjetna konvergencija redova.

Razmotrimo neke izmjenične nizove (s članovima proizvoljnih predznaka).

(1)

i niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova niza (1):

(2)

Teorema. Iz konvergencije reda (2) slijedi konvergencija niza (1).

Dokaz. Niz (2) je niz s nenegativnim članovima. Ako red (2) konvergira, tada prema Cauchyjevom kriteriju za bilo koji >0 postoji broj N takav da za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 vrijedi sljedeća nejednakost:

Prema svojstvu apsolutnih vrijednosti:

Odnosno, prema Cauchyjevom kriteriju, iz konvergencije reda (2) slijedi konvergencija niza (1).

Definicija. Red
nazvao apsolutno konvergentan, ako niz konvergira
.

Očito je da se za nizove konstantnog predznaka pojmovi konvergencije i apsolutne konvergencije podudaraju.

Definicija. Red
nazvao uvjetno konvergentan, ako konvergira i serija
razilazi se.

D'Alembertov i Cauchyjev test za izmjenične serije.

Neka
- naizmjenične serije.

D'Alembertov znak. Ako postoji granica
, onda kada<1 ряд
će biti apsolutno konvergentan, a kada>

Cauchyjev znak. Ako postoji granica
, onda kada<1 ряд
će biti apsolutno konvergentan, a ako je >1 niz će biti divergentan. Kada je =1, znak ne daje odgovor o konvergenciji niza.

Svojstva apsolutno konvergentnih nizova.

1) Teorema. Za apsolutnu konvergenciju niza
potrebno je i dovoljno da se može prikazati kao razlika dvaju konvergentnih nizova s ​​nenegativnim članovima.

Posljedica. Uvjetno konvergentni niz je razlika dvaju divergentnih nizova s ​​nenegativnim članovima koji teže nuli.

2) U konvergentnom nizu, svako grupiranje članova niza koje ne mijenja njihov redoslijed zadržava konvergenciju i veličinu niza.

3) Ako niz apsolutno konvergira, tada i niz dobiven iz njega bilo kojom permutacijom članova također apsolutno konvergira i ima isti zbroj.

Preuređivanjem članova uvjetno konvergentnog niza, može se dobiti uvjetno konvergentni niz koji ima bilo koji unaprijed određeni zbroj, pa čak i divergentni niz.

4) Teorema. Za svako grupiranje članova apsolutno konvergentnog niza (u ovom slučaju broj grupa može biti konačan ili beskonačan, a broj članova u grupi može biti konačan ili beskonačan), dobiva se konvergentni niz, zbroj od čega je jednak zbroju izvorne serije.

5) Ako redovi I apsolutno konvergiraju i njihovi zbrojevi su redom jednaki S i , zatim niz sastavljen od svih proizvoda oblika
uzet bilo kojim redom, također apsolutno konvergira i njegov je zbroj jednak S - umnožak zbroja umnoženih nizova.

Ako pomnožite uvjetno konvergentne nizove, kao rezultat možete dobiti divergentne nizove.

Funkcionalne sekvence.

Definicija. Ako članovi niza nisu brojevi, već funkcije od x, onda se serija zove funkcionalni.

Proučavanje konvergencije funkcionalnih nizova je kompliciranije od proučavanja numeričkih nizova. Isti funkcionalni niz može, s istim vrijednostima varijabli x konvergiraju, a s drugima - razilaze se. Stoga se pitanje konvergencije funkcionalnih nizova svodi na određivanje tih vrijednosti varijable x, kod koje niz konvergira.

Skup takvih vrijednosti naziva se područje konvergencije.

Budući da je granica svake funkcije uključene u područje konvergencije niza određeni broj, granica funkcionalnog niza bit će određena funkcija:

Definicija. Podslijed ( f n (x) } konvergira funkcionirati f(x) na segmentu ako za bilo koji broj >0 i bilo koju točku x iz segmenta koji se razmatra postoji broj N = N(, x), takav da je nejednakost

je ispunjeno kada je n>N.

Uz odabranu vrijednost >0, svaka točka segmenta ima svoj broj i stoga će svim točkama segmenta odgovarati beskonačan broj brojeva. Ako odaberete najveći od svih ovih brojeva, tada će taj broj biti prikladan za sve točke segmenta, tj. bit će zajednički za sve točke.

Definicija. Podslijed ( f n (x) } jednolično konvergira funkcionirati f(x) na segmentu , ako za bilo koji broj >0 postoji broj N = N() takav da vrijedi nejednakost

ispunjeno je za n>N za sve točke segmenta.

Primjer. Razmotrite slijed

Ovaj niz konvergira na cijelom brojevnom pravcu do funkcije f(x)=0 , jer

Izgradimo grafove ovog niza:

sinx

Kao što se vidi, sa povećanjem broja n sekvencijski graf se približava osi x.

Funkcionalna serija.

Definicija. Privatni (djelomični) iznosi funkcionalni raspon
nazivaju se funkcije

Definicija. Funkcionalni raspon
nazvao konvergentan u točki ( x=x 0 ), ako niz njegovih parcijalnih suma konvergira u ovoj točki. Ograničenje niza
nazvao iznos red
u točki x 0 .

Definicija. Skup svih vrijednosti x, za koje serija konvergira
nazvao područje konvergencije red.

Definicija. Red
nazvao uniformno konvergentan na intervalu ako niz parcijalnih suma ovog niza uniformno konvergira na tom intervalu.

Teorema. (Cauchyjev kriterij za uniformnu konvergenciju nizova)

Za uniformnu konvergenciju niza
potrebno je i dovoljno da za bilo koji broj >0 takav broj je postojaoN( ), koji nan> Ni bilo koje cjelinestr>0 nejednakost

vrijedi za sve x na intervalu [a, b].

Teorema. (Weierstrassov test za uniformnu konvergenciju)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. – 1897.) – njemački matematičar)

Red
konvergira uniformno i apsolutno na intervalu [a, b], ako moduli njegovih članova na istom segmentu ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog niza brojeva s pozitivnim članovima:

oni. postoji nejednakost:

.

Također kažu da je u ovom slučaju funkcionalna serija
je majoriziran serije brojeva
.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju
.

Jer
uvijek, očito je da
.

Štoviše, poznato je da opći harmonijski niz kada =3>1 konvergira, tada, u skladu s Weierstrassovim testom, proučavani niz konvergira uniformno i, štoviše, u bilo kojem intervalu.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju .

Na intervalu [-1,1] nejednakost vrijedi
oni. prema Weierstrassovom kriteriju, serija koja se proučava konvergira na ovom segmentu, ali divergira na intervalima (-, -1)  (1, ).

Svojstva uniformno konvergentnih nizova.

1) Teorem o neprekidnosti zbroja niza.

Ako članovi niza
- kontinuirano na segmentu [a, b] funkciju i red konvergira uniformno, zatim njegov zbrojS(x) je kontinuirana funkcija na intervalu [a, b].

2) Teorem o počlanoj integraciji niza.

Jednoliko konvergirajući na segmentu [a, b] niz s kontinuiranim članovima može se integrirati član po član na ovom intervalu, tj. niz sastavljen od integrala njegovih članova nad segmentom [a, b] , konvergira integralu zbroja niza po ovom segmentu.

3) Teorem o diferencijaciji niza po članu.

Ako članovi niza
konvergirajući na segmentu [a, b] predstavljaju neprekidne funkcije koje imaju neprekidne derivacije i niz sastavljen od tih derivacija
konvergira uniformno na ovom segmentu, tada ovaj niz konvergira uniformno i može se razlikovati po članu.

Na temelju činjenice da je zbroj niza neka funkcija varijable x, možete izvesti operaciju predstavljanja funkcije u obliku niza (proširenje funkcije u niz), koja se široko koristi u integraciji, diferencijaciji i drugim operacijama s funkcijama.

U praksi se često koristi proširenje funkcija u redove potencija.

Redovi potencija.

Definicija. Redovi potencija naziva se serija oblika

.

Za proučavanje konvergencije redova potencija prikladno je koristiti D'Alembertov test.

Primjer. Ispitajte niz na konvergenciju

Primjenjujemo d'Alembertov znak:

.

Nalazimo da ovaj niz konvergira na
i razilazi se na
.

Sada odredimo konvergenciju u graničnim točkama 1 i –1.

Za x = 1:
Niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju (vidi Leibnizov znak.).

Na x = -1:
niz se razilazi (harmonijski niz).

Abelovi teoremi.

(Nils Henrik Abel (1802. – 1829.) – norveški matematičar)

Teorema. Ako je red potencije
konvergira ux = x 1 , onda se konvergira i, štoviše, za apsolutno sve
.

Dokaz. Prema uvjetima teorema, budući da su članovi niza ograničeni, dakle

Gdje k- neki stalni broj. Sljedeća nejednakost je istinita:

Iz ove nejednakosti jasno je da kada x< x 1 numeričke vrijednosti članova našeg niza bit će manje (barem ne više) od odgovarajućih članova niza na desnoj strani gore napisane nejednakosti, koji čine geometrijsku progresiju. Nazivnik ove progresije prema uvjetima teorema, manji je od jedan, stoga je ova progresija konvergentan niz.

Stoga, na temelju kriterija usporedbe, zaključujemo da serija
konvergira, što znači serija
apsolutno konvergira.

Dakle, ako je niz potencija
konvergira u točki x 1 , tada konvergira apsolutno u bilo kojoj točki u intervalu duljine 2 centriran u točki x = 0.

Posljedica. Ako na x = x 1 serija se razilazi, onda se razilazi za sve
.

Dakle, za svaki niz potencija postoji pozitivan broj R takav da za sve x takav da
serija je apsolutno konvergentna, i za sve
red se razilazi. U ovom slučaju poziva se broj R radijus konvergencije. Interval (-R, R) se zove interval konvergencije.

Imajte na umu da ovaj interval može biti zatvoren s jedne ili obje strane, ili ne biti zatvoren.

Radijus konvergencije može se pronaći pomoću formule:

Primjer. Pronađite područje konvergencije niza

Određivanje polumjera konvergencije
.

Stoga ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost x. Uobičajeni član ovog niza teži nuli.

Teorema. Ako je red potencije
konvergira za pozitivnu vrijednost x=x 1 , tada jednoliko konvergira u bilo kojem unutarnjem intervalu
.

Akcije s potencijskim redovima.

VIŠA MATEMATIKA

Serije brojeva

Predavanje.Serije brojeva

1. Definicija niza brojeva. Konvergencija

2. Osnovna svojstva brojevnog niza

3. Serije s pozitivnim članovima. Znakovi konvergencije

4. Izmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije

5. Izmjenične serije

Pitanja za samotestiranje

Književnost

Predavanje. BROJČANI NIZOVI

1. Definicija niza brojeva. Konvergencija.

2. Osnovna svojstva brojevnog niza.

3. Serije s pozitivnim članovima. Znakovi konvergencije.

4. Izmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije.

5. Izmjenične serije.

1. Definicija niza brojeva. Konvergencija

U matematičkim primjenama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim područjima, razmatraju se zbrojevi s beskonačnim brojem članova. Ovdje ćemo dati definiciju što se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dan beskonačan niz brojeva

, , …, , …

Definicija 1.1. Serije brojeva ili jednostavno blizu naziva se izraz (zbroj) oblika

. (1.1) nazivaju se članovi nekog broja, – Općenito ili n – mčlan serije.

Za definiranje niza (1.1) dovoljno je navesti funkciju prirodnog argumenta

izračunavanje th člana niza prema njegovom broju

Primjer 1.1. Neka

. Red (1.2)

nazvao harmonijski niz .

Primjer 1.2. Neka

, red (1.3)

nazvao generalizirani harmonijski niz. U posebnom slučaju kada

dobije se harmonijski niz.

Primjer 1.3. Neka

= . Red (1.4)

nazvao blizu geometrijske progresije.

Iz članova niza (1.1) formiramo broj slijed parcijalaiznose Gdje

– zbroj prvih članova niza, koji se zove n-th djelomični iznos, tj. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Niz brojeva

s neograničenim povećanjem broja može:

1) imaju konačnu granicu;

2) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Definicija 1.2. Serija (1.1) se zove konvergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma (1.5) ima konačnu granicu, tj.

U ovom slučaju broj

nazvao iznos serija (1.1) i piše se .

Definicija 1.3.Serija (1.1) se zove odvojit, ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačnu granicu.

Divergentnom nizu nije dodijeljen zbroj.

Stoga je problem pronalaženja zbroja konvergentnog niza (1.1) ekvivalentan izračunavanju limita niza njegovih parcijalnih zbroja.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.4. Dokažite da niz

konvergira i pronađite njegov zbroj.

Naći ćemo n- djelomični zbroj ove serije

.

Generalni član

Predstavimo niz u obliku .

Odavde imamo:

. Stoga ovaj niz konvergira i njegov je zbroj jednak 1:

Primjer 1.5. Ispitajte niz na konvergenciju

(1.6)

Za ovaj red

. Stoga se ovaj niz razilazi.

Komentar. Na

niz (1.6) je zbroj beskonačnog broja nula i očito je konvergentan.

Primjer 1.6. Ispitajte niz na konvergenciju

(1.7)

Za ovaj red

U ovom slučaju limit niza parcijalnih suma je

ne postoji, a niz se razilazi.

Primjer 1.7. Ispitajte konvergenciju niza geometrijske progresije (1.4):

To je lako pokazati n-ti djelomični zbroj niza geometrijske progresije na

daje se formulom.

Razmotrimo slučajeve:

Zatim i.

Stoga niz konvergira i njegov je zbroj jednak

Svojstva zbroja konačnog broja članova razlikuju se od svojstava niza, tj. zbroja beskonačnog broja članova. Dakle, u slučaju konačnog broja članova, oni se mogu grupirati bilo kojim redoslijedom, to neće promijeniti zbroj. Postoje konvergentni nizovi (uvjetno konvergentni, o čemu će biti riječi u odjeljku 5), za koje, kao što je pokazao Riemann Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826. - 1866.), njemački matematičar, odgovarajućom promjenom redoslijeda njihovih članova možete napraviti zbroj niza jednak bilo kojem željenom broju, pa čak i divergentnom nizu.

Primjer 2.1. Promotrimo divergentni niz oblika (1.7)

Grupiranjem njegovih članova u parove dobivamo konvergentni niz brojeva sa zbrojem jednakim nuli:

S druge strane, grupiranjem njegovih članova u parove, počevši od drugog člana, također dobivamo konvergentni niz, ali sa zbrojem jednakim jedan:

Konvergentni nizovi imaju određena svojstva koja ih omogućuju tretirati kao da su konačni zbrojevi. Dakle, mogu se množiti brojevima, zbrajati i oduzimati pojam po pojam. Mogu kombinirati bilo koje susjedne pojmove u grupe.

Teorem 2.1. (Potreban znak konvergencije niza).

Ako niz (1.1) konvergira, onda je njegov zajednički član teži nuli kako n neograničeno raste, tj.

Dokaz teorema slijedi iz činjenice da, i ako

S je zbroj niza (1.1), dakle

Uvjet (2.1) je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za konvergenciju niza. To jest, ako zajednički član niza teži nuli, to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2), međutim, kao što će biti prikazano u nastavku, on divergira.

Korolar (dovoljan znak divergentnosti niza).

Ako je zajednički termin niza ne teži nuli pri, onda se ovaj niz razilazi.

Primjer 2.2. Ispitajte niz na konvergenciju

Za ovaj red

Stoga se ovaj niz razilazi.

Gore razmatrani divergentni nizovi (1.6), (1.7) također su takvi zbog činjenice da za njih nije zadovoljen nužni kriterij konvergencije. Za niz (1.6) granica za niz (1.7) ne postoji.

Svojstvo 2.1 . Konvergencija ili divergencija niza neće se promijeniti ako se konačni broj članova proizvoljno ukloni iz njega, doda mu ili preuredi u njemu (u ovom slučaju, za konvergentni niz, njegov zbroj se može promijeniti).

Dokaz svojstva slijedi iz činjenice da red (1.1) i bilo koji njegov ostatak istovremeno konvergiraju ili divergiraju.

Svojstvo 2.2 . Konvergentni niz se može pomnožiti brojem, tj. ako niz (1.1) konvergira, ima zbroj S i c je određeni broj, tada

Dokaz slijedi iz činjenice da za konačne sume vrijede sljedeće jednakosti:

Svojstvo 2.3. Konvergentni nizovi se mogu zbrajati i oduzimati član po član, tj. ako niz,

konvergirati,

zatim i niz

konvergira i zbroj mu je jednak tj.

Dokaz slijedi iz svojstava limita konačnih suma, tj.

Primjer 2.3. Izračunaj zbroj niza

Predstavimo opći član niza u obliku

Tada se izvorni niz može predstaviti kao razlika po članu dva konvergentna niza geometrijske progresije

Pomoću formule (1.8) izračunavamo zbrojeve odgovarajućih nizova geometrijske progresije.

Za prvi red dakle

Za drugi red dakle

Napokon imamo