Ova svojstva se koriste za transformaciju integrala u cilju njegove redukcije na jedan od elementarnih integrala i daljnje izračunavanje.

1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:

2. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu:

3. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je zbroju te funkcije i proizvoljne konstante:

4. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:

Štoviše, a ≠ 0

5. Integral zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlici) integrala:

6. Svojstvo je kombinacija svojstava 4 i 5:

Štoviše, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Svojstvo invarijantnosti neodređenog integrala:

Ako, onda

8. Svojstvo:

Ako, onda

Zapravo, ovo svojstvo je poseban slučaj integracije korištenjem metode promjene varijable, o čemu se detaljnije raspravlja u sljedećem odjeljku.

Pogledajmo primjer:

Prvo smo primijenili svojstvo 5, zatim svojstvo 4, zatim smo upotrijebili tablicu antiderivacija i dobili rezultat.

Algoritam našeg online integralnog kalkulatora podržava sva gore navedena svojstva i lako će pronaći detaljno rješenje za vaš integral.

Neka funkcija g = f(x) definiran je na intervalu [ a, b ], a < b. Izvršimo sljedeće operacije:

1) razdvojimo se [ a, b] točkice a = x 0 < x 1 < ... < x ja- 1 < x ja < ... < x n = b na n djelomični segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ja- 1 , x ja ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) u svakom od parcijalnih segmenata [ x ja- 1 , x ja ], ja = 1, 2, ... n, odaberite proizvoljnu točku i izračunajte vrijednost funkcije u ovoj točki: f(z i ) ;

3) pronaći radove f(z i ) · Δ x ja , gdje je duljina djelomičnog segmenta [ x ja- 1 , x ja ], ja = 1, 2, ... n;

4) pomirimo se integralni zbroj funkcije g = f(x) na segmentu [ a, b ]:

S geometrijskog gledišta, ovaj zbroj σ je zbroj površina pravokutnika čije su baze parcijalni segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ja- 1 , x ja ], ..., [x n- 1 , x n ], a visine su jednake f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) prema tome (slika 1). Označimo sa λ duljina najduljeg djelomičnog segmenta:

5) naći limes integralnog zbroja kada λ → 0.

Definicija. Ako postoji konačna granica integralnog zbroja (1) i ne ovisi o načinu podjele segmenta [ a, b] do parcijalnih segmenata, niti od odabira točaka z i u njih, onda se ova granica zove određeni integral od funkcije g = f(x) na segmentu [ a, b] i označava se

dakle,

U ovom slučaju funkcija f(x) se zove integrabilan dana [ a, b]. Brojke a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, f(x) – funkcija integranda, f(x ) dx– izraz integranda, x– integracijska varijabla; segment [ a, b] naziva se integracijski interval.

Teorem 1. Ako funkcija g = f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b], tada je integrabilan na tom intervalu.

Određeni integral s istim granicama integracije jednak je nuli:

Ako a > b, tada, po definiciji, pretpostavljamo

2. Geometrijsko značenje određenog integrala

Neka na segmentu [ a, b] određena je kontinuirana nenegativna funkcija g = f(x ) . Krivolinijski trapez je lik omeđen odozgo grafom funkcije g = f(x), odozdo - duž osi Ox, lijevo i desno - ravne linije x = a I x = b(slika 2).

Određeni integral od nenegativna funkcija g = f(x) s geometrijskog gledišta jednako površini krivolinijski trapez omeđen odozgo grafom funkcije g = f(x) , lijevo i desno – odsječci x = a I x = b, odozdo - segment osi Ox.

3. Osnovna svojstva određenog integrala

1. Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable:

2. Konstantni množitelj može se izdvojiti kao određeni integralni znak:

3. Određeni integral algebarskog zbroja dviju funkcija jednak je algebarskom zbroju određenih integrala tih funkcija:

4.If funkcija g = f(x) je integrabilan na [ a, b] I a < b < c, To

5. (teorem srednje vrijednosti). Ako funkcija g = f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b], tada na ovom segmentu postoji točka takva da

4. Newton–Leibnizova formula

Teorem 2. Ako funkcija g = f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b] I F(x) je bilo koji od njegovih antiderivata na ovom segmentu, tada vrijedi sljedeća formula:

koji se zove Newton–Leibnizova formula. Razlika F(b) - F(a) se obično piše na sljedeći način:

gdje se simbol naziva dvostruki zamjenski znak.

Stoga se formula (2) može napisati kao:

Primjer 1. Izračunaj integral

Otopina. Za integrand f(x ) = x 2 proizvoljna antiderivat ima oblik

Budući da se bilo koja antiderivacija može koristiti u Newton-Leibnizovoj formuli, za izračun integrala uzimamo antiderivaciju koja ima najjednostavniji oblik:

5. Promjena varijable u određenom integralu

Teorem 3. Neka funkcija g = f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b]. Ako:

1) funkcija x = φ ( t) i njegova derivacija φ "( t) su kontinuirani za ;

2) skup vrijednosti funkcije x = φ ( t) za je segment [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, tada je formula valjana

koji se zove formula za promjenu varijable u određenom integralu .

Za razliku od neodređenog integrala, u ovom slučaju nema potrebe za povratak na izvornu varijablu integracije - dovoljno je samo pronaći nove granice integracije α i β (za ovo morate riješiti varijablu t jednadžbe φ ( t) = a i φ ( t) = b).

Umjesto zamjene x = φ ( t) možete koristiti zamjenu t = g(x) . U ovom slučaju, pronalaženje novih granica integracije nad varijablom t pojednostavljuje: α = g(a) , β = g(b) .

Primjer 2. Izračunaj integral

Otopina. Uvedimo novu varijablu pomoću formule. Kvadriranjem obje strane jednakosti dobivamo 1 + x = t 2 , gdje x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Nalazimo nove granice integracije. Da bismo to učinili, zamijenimo stare granice u formulu x = 3 i x = 8. Dobivamo: , odakle t= 2 i α = 2; , gdje t= 3 i β = 3. Dakle,

Primjer 3. Izračunati

Otopina. Neka u= log x, zatim , v = x. Prema formuli (4)

Ovaj članak detaljno govori o glavnim svojstvima određenog integrala. Oni se dokazuju korištenjem koncepta Riemannova i Darbouxova integrala. Izračun određenog integrala odvija se zahvaljujući 5 svojstava. Preostali se koriste za procjenu raznih izraza.

Prije nego prijeđemo na glavna svojstva određenog integrala, potrebno je osigurati da a ne prelazi b.

Osnovna svojstva određenog integrala

Definicija 1

Funkcija y = f (x) definirana na x = a slična je pravednoj jednakosti ∫ a a f (x) d x = 0.

Dokazi 1

Iz ovoga vidimo da je vrijednost integrala s podudarnim granicama jednaka nuli. Ovo je posljedica Riemannova integrala, jer svaki integralni zbroj σ za bilo koju particiju na intervalu [ a ; a ] i svaki izbor točaka ζ i jednak je nuli, jer je x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , što znači da nalazimo da je granica integralnih funkcija nula.

Definicija 2

Za funkciju koja je integrabilna na intervalu [a; b ] , uvjet ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x je zadovoljen.

Dokazi 2

Drugim riječima, ako zamijenite gornju i donju granicu integracije, vrijednost integrala će se promijeniti u suprotnu vrijednost. Ova nekretnina preuzeto iz Riemannova integrala. Međutim, numeriranje particije segmenta počinje od točke x = b.

Definicija 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x primjenjuje se na integrabilne funkcije tipa y = f (x) i y = g (x) definirane na intervalu [ a ; b ] .

Dokazi 3

Zapišite integralni zbroj funkcije y = f (x) ± g (x) za rastavljanje na segmente sa zadanim izborom točaka ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

gdje su σ f i σ g integralni zbroji funkcija y = f (x) i y = g (x) za particioniranje segmenta. Nakon prelaska na granicu pri λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dobivamo da je lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Prema Riemannovoj definiciji, ovaj izraz je ekvivalentan.

Definicija 4

Proširenje konstantnog faktora preko predznaka određenog integrala. Integrirana funkcija iz intervala [a; b ] s proizvoljnom vrijednošću k ima pravednu nejednakost oblika ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 4

Dokaz svojstva određenog integrala sličan je prethodnom:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Definicija 5

Ako je funkcija oblika y = f (x) integrabilna na intervalu x s ​​a ∈ x, b ∈ x, dobivamo da je ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Dokaz 5

Svojstvo se smatra valjanim za c ∈ a; b, za c ≤ a i c ≥ b. Dokaz je sličan prethodnim svojstvima.

Definicija 6

Kada se funkcija može integrirati iz segmenta [a; b ], onda je to izvedivo za bilo koji unutarnji segment c; d ∈ a ; b.

Dokaz 6

Dokaz se temelji na Darbouxovom svojstvu: ako se postojećoj particiji segmenta dodaju točke, tada se donji Darbouxov zbroj neće smanjivati, a gornji neće povećavati.

Definicija 7

Kada je funkcija integrabilna na [a; b ] iz f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b , tada dobivamo da je ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Svojstvo se može dokazati pomoću definicije Riemannovog integrala: svaki integralni zbroj za bilo koji izbor točaka razdiobe segmenta i točaka ζ i uz uvjet da je f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nenegativan. .

Dokazi 7

Ako su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne na intervalu [ a ; b ], tada se sljedeće nejednakosti smatraju važećim:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Zahvaljujući izjavi, znamo da je integracija dopuštena. Ovaj korolar će se koristiti u dokazu drugih svojstava.

Definicija 8

Za integrabilnu funkciju y = f (x) iz intervala [ a ; b ] imamo poštenu nejednakost oblika ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 8

Imamo da je - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Iz prethodnog svojstva pronašli smo da se nejednadžba može integrirati član po član i odgovara nejednadžbi oblika - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ova dvostruka nejednakost može se napisati u drugom obliku: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definicija 9

Kada se funkcije y = f (x) i y = g (x) integriraju iz intervala [ a ; b ] za g (x) ≥ 0 za bilo koji x ∈ a ; b , dobivamo nejednadžbu oblika m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , gdje je m = m i n x ∈ a ; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Dokazi 9

Dokaz se provodi na sličan način. M i m smatraju se najvećim i najniža vrijednost funkcija y = f (x) definirana iz segmenta [ a ; b ], tada je m ≤ f (x) ≤ M . Dvostruku nejednadžbu potrebno je pomnožiti s funkcijom y = g (x) čime ćemo dobiti vrijednost dvostruke nejednadžbe oblika m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Potrebno ga je integrirati na interval [a; b ] , tada dobivamo tvrdnju koju treba dokazati.

Posljedica: Za g (x) = 1, nejednadžba ima oblik m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Prva prosječna formula

Definicija 10

Za y = f (x) integrabilan na intervalu [ a ; b] s m = m i n x ∈ a; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) postoji broj μ ∈ m; M, koji odgovara ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.

Posljedica: Kada je funkcija y = f (x) neprekidna iz intervala [ a ; b ], tada postoji broj c ∈ a; b, koji zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prva prosječna formula u općenitom obliku

Definicija 11

Kada su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne iz intervala [ a ; b] s m = m i n x ∈ a; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) , i g (x) > 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b. Odavde imamo da postoji broj μ ∈ m; M , koji zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druga formula za prosjek

Definicija 12

Kada je funkcija y = f (x) integrabilna iz intervala [ a ; b ], a y = g (x) je monoton, tada postoji broj koji c ∈ a; b , gdje dobivamo poštenu jednakost oblika ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za odabrane. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba integrala za koju znaš da kukicom u obliku ikone integrala izvlačiš nešto korisno s teško dostupnih mjesta, onda dobrodošli! Doznaj kako rješavati najjednostavnije i ostale integrale i zašto se bez toga u matematici ne može.

Proučavamo koncept « sastavni »

Integracija je bila poznata još u Stari Egipat. Naravno ne unutra moderni oblik, ali ipak. Od tada su matematičari napisali mnogo knjiga o ovoj temi. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali se bit stvari nije promijenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje ćete trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Na našem blogu već imamo informacije o limitima i derivacijama, potrebnim za razumijevanje integrala.

Neodređeni integral

Neka nam bude neka funkcija f(x) .

Funkcija neodređenog integrala f(x) ova funkcija se zove F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte naš članak o tome kako izračunati izvedenice.

Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Da ne bi stalno kalkulirali antiderivati elementarne funkcije, prikladno ih je sažeti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tablica integrala za studente

Određeni integral

Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu neuniformnog tijela, prijeđenu udaljenost tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral beskonačna suma velika količina infinitezimalni pojmovi.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije? Korištenje integrala! Podijelimo krivuljasti trapez, ograničen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na taj način će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je određeni integral koji se piše ovako:

Točke a i b nazivamo limesima integracije.

« Sastavni »

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na bilo koju vrstu posla

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo se osvrnuti na svojstva neodređenog integrala, što će nam biti od koristi pri rješavanju primjera.

• Derivacija integrala jednaka je integrandu:

• Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:

• Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Ovo vrijedi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• Na bilo koji bodova a, b I S:

Već smo saznali da je određeni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti neodređeni integral i primjere s rješenjima. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Za učvršćivanje gradiva pogledajte video kako se integrali rješavaju u praksi. Nemojte očajavati ako integral nije zadan odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral po zatvorenoj plohi bit će u vašoj moći.