Na kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.
U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.
Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:
Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije – i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.
Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.
! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.
Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:
Primjer 1
Pronađite izvod funkcije
Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:
U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.
Prvi korak ono što trebate učiniti kada nalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.
U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.
Zamislimo da trebamo kalkulatorom izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedan može biti bilo koji broj).
Što ćemo prvo izračunati? Prije svega morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija: 
Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija: 
Nakon što smo RASPRODAN s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila razlikovanja složenih funkcija 
.
Počnimo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:
Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:
Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.
Pa, to je sasvim očito
Rezultat primjene formule 
u konačnom obliku izgleda ovako:
Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:
Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije
Primjer 3
Pronađite izvod funkcije
Kao i uvijek, zapisujemo: 
Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, morate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija: 
I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija: 
Prema formuli 
, prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat je primjene pravila za razlikovanje složene funkcije 
sljedeći:
Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša se unutarnja funkcija ne mijenja: 
Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:
Primjer 4
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?
Primjer 5
a) Pronađite izvod funkcije
b) Pronađite izvod funkcije
Primjer 6
Pronađite izvod funkcije 
Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:
Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija 
:
Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:
Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i zapisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).
Primjer 7
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta 
, ali takvo će rješenje izgledati kao neobična izopačenost. Evo tipičnog primjera:
Primjer 8
Pronađite izvod funkcije
Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta 
, ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:
Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:
Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo 
:
Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:
Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila 
, odgovori se moraju podudarati.
Primjer 9
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).
Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.
Primjer 10
Pronađite izvod funkcije
Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?
Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:
Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:
I na kraju, dižemo sedam na potenciju: 
To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.
Počnimo odlučivati
Prema pravilu 
Prvo morate uzeti izvod vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i pronalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat je primjene pravila za diferenciranje složene funkcije 
sljedeći.
Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?
Geometrijsko i fizičko značenje derivacije
Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:
derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.
Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.
Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:
Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: postavite konstantu
Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija
Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite izvod funkcije:
Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija
Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite izvod funkcije:
Otopina: 
Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:
Pokušali smo ispočetka razgovarati o izvedenicama za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.
Sadržaj članka
MATEMATIČKA ANALIZA, grana matematike koja pruža metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjene; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem duljina krivulja, površina i obujma likova omeđenih zakrivljenim konturama i plohama (integralni račun). Za probleme matematičke analize karakteristično je da se njihovo rješavanje povezuje s pojmom limita.
Početak matematičke analize stavili su 1665. I. Newton i (oko 1675.) neovisno G. Leibniz, iako su važne pripremne radove izvršili I. Kepler (1571.–1630.), F. Cavalieri (1598.–1647.), P. Fermat (1601– 1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).
Da bi prezentacija bila živopisnija, poslužit ćemo se jezikom grafike. Stoga bi moglo biti korisno da čitatelj pogleda članak ANALITIČKA GEOMETRIJA prije nego što počne čitati ovaj članak.
DIFERENCIJALNI RAČUN
Tangente.
Na sl. 1 prikazuje fragment krivulje g = 2x – x 2, zatvoreno između x= –1 i x= 3. Dovoljno mali segmenti ove krivulje izgledaju ravno. Drugim riječima, ako R je proizvoljna točka ove krivulje, tada kroz tu točku prolazi određena ravna linija koja je aproksimacija krivulje u malom susjedstvu točke R, a što je susjedstvo manje, to je bolja aproksimacija. Takva se linija naziva tangentom na krivulju u točki R. Glavna zadaća diferencijalnog računa je konstruirati opću metodu koja omogućuje pronalaženje smjera tangente u bilo kojoj točki na krivulji u kojoj tangenta postoji. Nije teško zamisliti krivulju s oštrim lomom (slika 2). Ako R je vrh takvog prijeloma, tada možemo konstruirati aproksimiranu ravnu liniju P.T. 1 – desno od točke R a druga aproksimirajuća ravna linija RT 2 – lijevo od točke R. Ali ne postoji niti jedna ravna linija koja prolazi kroz točku R, koji se jednako dobro približio krivulji u blizini točke P i s desne i s lijeve strane, dakle tangenta u točki P ne postoji.
Na sl. 1 tangenta IZ povučen kroz ishodište OKO= (0,0). Nagib ove linije je 2, tj. kada se apscisa promijeni za 1, ordinata se poveća za 2. Ako x I g– koordinate proizvoljne točke na IZ, zatim, udaljavajući se od OKO na daljinu X jedinice desno, udaljavamo se od OKO prema 2 g jedinice gore. Stoga, g/x= 2, ili g = 2x. Ovo je jednadžba tangente IZ do krivulje g = 2x – x 2 u točki OKO.
Sada je potrebno objasniti zašto, iz skupa pravaca koji prolaze kroz točku OKO, odabrana je ravna linija IZ. Po čemu se pravac s nagibom 2 razlikuje od ostalih ravnih linija? Postoji jedan jednostavan odgovor i teško je odoljeti iskušenju da ga damo koristeći analogiju tangente na kružnicu: tangenta IZ ima samo jednu zajedničku točku s krivuljom, dok svaka druga linija koja nije okomita prolazi kroz točku OKO, dva puta siječe krivulju. To se može provjeriti na sljedeći način.
Budući da je izraz g = 2x – x 2 se može dobiti oduzimanjem X 2 od g = 2x(jednadžbe ravne linije IZ), zatim vrijednosti g manje je znanja za graf g za ravnu liniju u svim točkama osim točke x= 0. Dakle, graf je svugdje osim u točki OKO, koji se nalazi ispod IZ, a ovaj pravac i graf imaju samo jednu zajedničku točku. Štoviše, ako g = mx- jednadžba nekog drugog pravca koji prolazi točkom OKO, tada će definitivno postojati dvije točke presjeka. Stvarno, mx = 2x – x 2 ne samo kada x= 0, ali i na x = 2 – m. I tek kada m= 2 obje sjecišne točke se podudaraju. Na sl. 3 prikazuje slučaj kada m je manji od 2, dakle desno od OKO pojavljuje se druga sjecišna točka.
Što IZ– jedini neokomit pravac koji prolazi točkom OKO i ima samo jednu zajedničku točku s grafom, a ne njegovo najvažnije svojstvo. Doista, ako se okrenemo drugim grafovima, uskoro će postati jasno da svojstvo tangente koje smo primijetili nije zadovoljeno u općem slučaju. Na primjer, sa Sl. 4 jasno je da je blizu točke (1,1) graf krivulje g = x 3 je dobro aproksimirana ravnom linijom RT koji doduše s njim ima više dodirnih točaka. Međutim, željeli bismo razmotriti RT tangenta na ovaj graf u točki R. Stoga je potrebno pronaći neki drugi način za isticanje tangente od onog koji nam je tako dobro poslužio u prvom primjeru.
Pretpostavimo da kroz točku OKO i proizvoljna točka Q = (h,k) na grafu krivulje g = 2x – x 2 (sl. 5) nacrtana je ravna linija (koja se naziva sekanta). Zamjena vrijednosti u jednadžbu krivulje x = h I g = k, shvaćamo to k = 2h – h 2, dakle, kutni koeficijent sekante je jednak
Na vrlo malom h značenje m blizu 2. Štoviše, birajući h dovoljno blizu 0 možemo učiniti m proizvoljno blizu 2. Možemo reći da m"teži granici" jednako 2 kada h teži nuli ili bilo kojoj granici m jednako 2 at h teži nuli. Simbolično je napisano ovako:
Zatim tangenta na graf u točki OKO se definira kao pravac koji prolazi kroz točku OKO, s nagibom jednakim ovoj granici. Ova definicija tangente primjenjiva je u općem slučaju.
Pokažimo prednosti ovog pristupa na još jednom primjeru: nađimo nagib tangente na graf krivulje g = 2x – x 2 u bilo kojoj točki P = (x,g), nije ograničeno na najjednostavniji slučaj kada P = (0,0).
Neka Q = (x + h, g + k) – druga točka na grafikonu, koja se nalazi na udaljenosti h desno od R(slika 6). Moramo pronaći nagib k/h sječna PQ. Točka Q je na daljinu
iznad osi X.
Otvaranjem zagrada nalazimo:
Oduzimajući od ove jednadžbe g = 2x – x 2, pronađite okomitu udaljenost od točke R do točke Q:
Prema tome, nagib m sječna PQ jednaki
Sada to h teži nuli, m teži 2-2 x; Zadnju vrijednost uzet ćemo kao kutni koeficijent tangente P.T.. (Isti rezultat će se dogoditi ako h uzima negativne vrijednosti, što odgovara odabiru točke Q lijevo od P.) Imajte na umu da kada x= 0 dobiveni rezultat se podudara s prethodnim.
Izraz 2 – 2 x naziva se izvod od 2 x – x 2. U starim danima derivat se također nazivao "diferencijalni omjer" i "diferencijalni koeficijent". Ako je prema izrazu 2 x – x 2 odrediti f(x), tj.
tada se izvod može označiti
Kako bismo saznali nagib tangente na graf funkcije g = f(x) u nekom trenutku potrebno je zamijeniti in fў ( x) vrijednost koja odgovara ovoj točki X. Dakle, nagib f u (0) = 2 at X = 0, f u (0) = 0 at X= 1 i f u (2) = –2 at X = 2.
Označava se i izvedenica naў , dy/dx, D x y I Du.
Činjenica da krivulja g = 2x – x 2 u blizini dane točke praktički se ne razlikuje od svoje tangente u ovoj točki, omogućuje nam da govorimo o kutnom koeficijentu tangente kao o "kutnom koeficijentu krivulje" u točki dodirivanja. Dakle, možemo reći da nagib krivulje koju razmatramo ima nagib 2 u točki (0,0). x= 0 stopa promjene g relativno x jednak je 2. U točki (2,0) nagib tangente (i krivulje) je –2. (Znak minus znači da kako se povećavamo x varijabla g opada.) U točki (1,1) tangenta je vodoravna. Kažemo da je krivulja g = 2x – x 2 ima stacionarnu vrijednost u ovoj točki.
Usponi i padovi.
Upravo smo pokazali da krivulja f(x) = 2x – x 2 miruje u točki (1,1). Jer fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasno je da kada x, manje od 1, fў ( x) je pozitivan, i stoga g povećava; na x, velika 1, fў ( x) je negativan, i stoga g smanjuje se. Dakle, u blizini točke (1,1), označene na Sl. 6 pismo M, što znači na raste do točke M, nepomičan u točki M a opada nakon točke M. Ova se točka naziva "maksimum" jer vrijednost na u ovoj točki premašuje bilo koju od svojih vrijednosti u dovoljno malom susjedstvu. Slično tome, “minimum” je definiran kao točka u čijoj blizini sve vrijednosti g premašiti vrijednost na baš u ovom trenutku. Također se može dogoditi da iako izvedenica od f(x) u određenoj točki i nestaje mu predznak u blizini te točke. Takva točka, koja nije ni maksimum ni minimum, naziva se točka infleksije.
Kao primjer, pronađimo stacionarnu točku krivulje
Derivacija ove funkcije jednaka je
i ide na nulu na x = 0, X= 1 i X= –1; one. u točkama (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Ako X malo manje od –1, dakle fў ( x) je negativan; Ako X malo više od –1, dakle fў ( x) je pozitivan. Stoga je bod (–1, 2/15) maksimum. Slično se može pokazati da je točka (1, –2/15) minimum. Ali izvedenica fў ( x) je negativan i prije točke (0,0) i iza nje. Stoga je (0,0) točka infleksije.
Proučavanje oblika krivulje, kao i činjenice da krivulja siječe os X na f(x) = 0 (tj. kada X= 0 ili ) omogućuju nam da njegov graf predstavimo približno kao što je prikazano na sl. 7.
Općenito, ako izuzmemo neobične slučajeve (krivulje koje sadrže ravne segmente ili beskonačan broj zavoja), postoje četiri opcije za relativni položaj krivulje i tangente u blizini tangente. R. (Cm. riža. 8, na kojoj tangenta ima pozitivan nagib.)
1) S obje strane točke R krivulja se nalazi iznad tangente (sl. 8, A). U ovom slučaju kažu da je krivulja u točki R konveksan prema dolje ili konkavan.
2) S obje strane točke R krivulja se nalazi ispod tangente (sl. 8, b). U tom slučaju se kaže da je krivulja konveksna prema gore ili jednostavno konveksna.
3) i 4) Krivulja se nalazi iznad tangente s jedne strane točke R a ispod - s druge strane. U ovom slučaju R– točka infleksije.
Uspoređujući vrijednosti fў ( x) s obje strane R sa svojom vrijednošću u točki R, može se odrediti s kojim se od ova četiri slučaja treba nositi u određenom problemu.
Prijave.
Sve navedeno ima važne primjene u raznim područjima. Na primjer, ako se tijelo baci okomito prema gore početnom brzinom od 200 stopa u sekundi, tada visina s, na kojem će se nalaziti kroz t sekundi u odnosu na početnu točku bit će
Postupajući na isti način kao u primjerima koje smo razmatrali, nalazimo
ova količina ide na nulu na c. Izvedenica fў ( x) pozitivan je do vrijednosti c i negativan nakon tog vremena. Stoga, s povećava se na , zatim postaje stacionaran, a zatim opada. Ovo je opći opis kretanja tijela bačenog uvis. Iz njega znamo kada tijelo doseže svoju najvišu točku. Dalje, zamjena t= 25/4 V f(t), dobivamo 625 stopa, maksimalnu visinu dizanja. U ovom problemu fў ( t) ima fizičko značenje. Ova derivacija pokazuje brzinu kojom se tijelo giba u trenutku t.
Razmotrimo sada aplikaciju drugog tipa (slika 9). Od lista kartona površine 75 cm2 morate napraviti kutiju s kvadratnim dnom. Kolike bi trebale biti dimenzije te kutije da bi imala maksimalan volumen? Ako X– strana baze kutije i h je njegova visina, tada je volumen kutije V = x 2 h, a površina je 75 = x 2 + 4xh. Transformacijom jednadžbe dobivamo:
Izvedenica iz V ispadne jednaka
i ide na nulu na X= 5. Zatim
I V= 125/2. Graf funkcije V = (75x – x 3)/4 prikazano je na sl. 10 (negativne vrijednosti X izostavljeno jer nema fizičko značenje u ovom problemu).
Derivati.
Važan zadatak diferencijalnog računa je stvaranje metoda koje vam omogućuju brzo i jednostavno pronalaženje derivata. Na primjer, to je lako izračunati
(Derivacija konstante je, naravno, nula.) Nije teško izvesti opće pravilo:
Gdje n– bilo koji cijeli broj ili razlomak. Na primjer,
(Ovaj primjer pokazuje koliko su razlomački eksponenti korisni.)
Ovdje su neke od najvažnijih formula:
Postoje i sljedeća pravila: 1) ako svaka od dvije funkcije g(x) I f(x) ima derivacije, tada je derivacija njihovog zbroja jednaka zbroju derivacija tih funkcija, a derivacija razlike jednaka je razlici derivacija, tj.
2) derivacija umnoška dviju funkcija izračunava se po formuli:
3) derivacija omjera dviju funkcija ima oblik
4) derivacija funkcije pomnožena konstantom jednaka je konstanti pomnoženoj derivacijom te funkcije, tj.
Često se događa da se vrijednosti funkcije moraju izračunati korak po korak. Na primjer, za izračunavanje grijeha x 2, prvo moramo pronaći u = x 2, a zatim izračunajte sinus broja u. Derivaciju tako složenih funkcija nalazimo pomoću takozvanog "lančanog pravila":
U našem primjeru f(u) = grijeh u, fў ( u) = cos u, dakle,
Ova i druga slična pravila omogućuju vam da odmah zapišete izvode mnogih funkcija.
Linearne aproksimacije.
Činjenica da, poznavajući derivaciju, možemo u mnogim slučajevima zamijeniti graf funkcije u blizini određene točke s njezinom tangentom u ovoj točki je od velike važnosti, jer je lakše raditi s ravnim linijama.
Ova ideja nalazi izravnu primjenu u izračunavanju približnih vrijednosti funkcija. Na primjer, prilično je teško izračunati vrijednost kada x= 1,033. Ali možete koristiti činjenicu da je broj 1,033 blizu 1 i to . Izbliza x= 1 možemo zamijeniti graf tangentnom krivuljom bez ozbiljnih pogrešaka. Kutni koeficijent takve tangente jednak je vrijednosti derivacije ( x 1/3)ŭ = (1/3) x–2/3 pri x = 1, tj. 1/3. Budući da točka (1,1) leži na krivulji i da je kutni koeficijent tangente na krivulju u ovoj točki jednak 1/3, jednadžba tangente ima oblik
Na ovoj ravnoj liniji X = 1,033
Primljena vrijednost g treba biti vrlo blizu prave vrijednosti g; i doista, samo je 0,00012 više od pravog. U matematičkoj analizi razvijene su metode koje omogućuju povećanje točnosti ove vrste linearnih aproksimacija. Ove metode osiguravaju pouzdanost naših približnih izračuna.
Upravo opisani postupak sugerira korisnu napomenu. Neka P– točka koja odgovara grafu funkcije f varijabla X, i neka funkcija f(x) je diferencijabilan. Zamijenimo graf krivulje u blizini točke R tangenta na njega povučena u ovoj točki. Ako X promijeniti po vrijednosti h, tada će se ordinata tangente promijeniti za iznos h H f ў ( x). Ako h je vrlo mala, tada potonja vrijednost služi kao dobra aproksimacija stvarne promjene ordinate g grafika. Ako umjesto toga h napisat ćemo simbol dx(ovo nije proizvod!), već promjena ordinate g označimo dy, onda dobivamo dy = f ў ( x)dx, ili dy/dx = f ў ( x) (cm. riža. 11). Stoga, umjesto Dy ili f ў ( x) simbol se često koristi za označavanje izvedenice dy/dx. Pogodnost ove notacije ovisi uglavnom o eksplicitnom izgledu lančanog pravila (diferencijacija složene funkcije); u novoj notaciji ova formula izgleda ovako:
gdje se podrazumijeva da na ovisi o u, A u zauzvrat ovisi o X.
Veličina dy naziva se diferencijal na; u stvarnosti ovisi o dva varijable, i to: od X i povećanja dx. Kada se prirast dx vrlo male veličine dy je blizu odgovarajuće promjene vrijednosti g. Ali pretpostavimo da prirast dx malo, nema potrebe.
Derivacija funkcije g = f(x) odredili smo f ў ( x) ili dy/dx. Često je moguće uzeti derivat derivata. Rezultat se naziva drugi izvod od f (x) i označava se f ўў ( x) ili d 2 g/dx 2. Na primjer, ako f(x) = x 3 – 3x 2, dakle f ў ( x) = 3x 2 – 6x I f ўў ( x) = 6x– 6. Slična oznaka se koristi za derivacije višeg reda. Međutim, kako bi se izbjegao veliki broj poteza (jednak redoslijedu izvoda), četvrti izvod (na primjer) može se napisati kao f (4) (x), i izvedenica n-th poredak kao f (n) (x).
Može se pokazati da je krivulja u točki konveksna prema dolje ako je druga derivacija pozitivna, a konveksna prema gore ako je druga derivacija negativna.
Ako funkcija ima drugu derivaciju, tada je promjena vrijednosti g, što odgovara prirastu dx varijabla X, može se približno izračunati pomoću formule
Ta je aproksimacija obično bolja od one koju daje diferencijal fў ( x)dx. Odgovara zamjeni dijela krivulje ne ravnom linijom, već parabolom.
Ako funkcija f(x) postoje dakle izvodnice viših redova
Preostali član ima oblik
Gdje x- neki broj između x I x + dx. Gornji rezultat naziva se Taylorova formula s ostatkom. Ako f(x) ima izvedenice svih redova, zatim obično Rn® 0 pri n ® Ґ .
INTEGRALNI RAČUN
Trgovi.
Pri proučavanju područja krivocrtnih ravnih figura otkrivaju se novi aspekti matematičke analize. Probleme ove vrste pokušavali su riješiti stari Grci, za koje je određivanje, primjerice, površine kruga bio jedan od najtežih zadataka. Veliki uspjeh u rješavanju ovog problema postigao je Arhimed, koji je također uspio pronaći područje paraboličnog segmenta (slika 12). Koristeći vrlo složeno razmišljanje, Arhimed je dokazao da je površina paraboličnog segmenta 2/3 površine opisanog pravokutnika i stoga je u ovom slučaju jednaka (2/3)(16) = 32/ 3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj se rezultat može lako dobiti pomoću metoda matematičke analize.
Prethodnici Newtona i Leibniza, uglavnom Kepler i Cavalieri, rješavali su probleme izračunavanja površina krivocrtnih likova metodom koja se teško može nazvati logički ispravnom, ali koja se pokazala izuzetno plodnom. Kada je Wallis 1655. kombinirao metode Keplera i Cavalierija s metodama Descartesa (analitička geometrija) i iskoristio prednost novonastale algebre, pozornica je bila potpuno spremna za pojavu Newtona.
Wallis je podijelio lik, čiju je površinu trebalo izračunati, u vrlo uske trake, od kojih je svaku približno smatrao pravokutnikom. Zatim je zbrojio površine aproksimirajućih pravokutnika i, u najjednostavnijim slučajevima, dobio vrijednost kojoj je težio zbroj površina pravokutnika kada je broj traka težio beskonačnosti. Na sl. Slika 13 prikazuje pravokutnike koji odgovaraju nekoj podjeli na trake površine ispod krivulje g = x 2 .
Glavni teorem.
Veliko otkriće Newtona i Leibniza omogućilo je eliminiranje mukotrpnog procesa odlaska do granice zbroja površina. To je učinjeno zahvaljujući novom pogledu na koncept područja. Poanta je u tome da moramo zamisliti površinu ispod krivulje koju stvara ordinata koja se kreće slijeva nadesno i zapitati se kojom brzinom se mijenja površina koju prekrivaju ordinate. Ključ za odgovor na ovo pitanje dobit ćemo ako razmotrimo dva posebna slučaja u kojima je područje unaprijed poznato.
Počnimo s površinom ispod grafa linearne funkcije g = 1 + x, budući da se u ovom slučaju površina može izračunati pomoću elementarne geometrije.
Neka A(x) – dio ravnine zatvoren između pravca g = 1 + x i segment OQ(slika 14). Prilikom vožnje QP desno područje A(x) povećava. Kojom brzinom? Nije teško odgovoriti na ovo pitanje, jer znamo da je površina trapeza jednaka umnošku njegove visine i polovine zbroja njegovih baza. Stoga,
Brzina promjene površine A(x) određena je svojom derivacijom
Vidimo to Aў ( x) poklapa se s ordinatom na bodova R. Je li ovo slučajnost? Pokušajmo provjeriti parabolu prikazanu na sl. 15. Područje A (x) ispod parabole na = X 2 u rasponu od 0 do X jednako A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Brzina promjene ovog područja određena je izrazom
koja se točno poklapa s ordinatom na pokretna točka R.
Ako pretpostavimo da ovo pravilo vrijedi u općem slučaju tako da
je brzina promjene površine ispod grafa funkcije g = f(x), onda se to može koristiti za izračune i druga područja. Zapravo, omjer Aў ( x) = f(x) izražava temeljni teorem koji bi se mogao formulirati na sljedeći način: derivacija ili stopa promjene površine kao funkcija X, jednako vrijednosti funkcije f (x) u točki X.
Na primjer, pronaći površinu ispod grafa funkcije g = x 3 od 0 do X(Sl. 16), stavimo
Mogući odgovor glasi:
budući da je izvedenica od X 4/4 je stvarno jednako X 3. Osim toga, A(x) jednaka je nuli pri X= 0, kao što bi trebalo biti ako A(x) doista je područje.
Matematička analiza dokazuje da nema drugog odgovora osim gornjeg izraza za A(x), ne postoji. Pokažimo da je ova izjava vjerojatna korištenjem sljedećeg heurističkog (nerigoroznog) razmišljanja. Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje U(x). Ako A(x) I U(x) "početi" istovremeno od nulte vrijednosti na X= 0 i stalno se mijenjaju istom brzinom, tada njihove vrijednosti neće nikada X ne može postati drugačiji. Moraju se posvuda podudarati; dakle, postoji jedinstveno rješenje.
Kako možete opravdati vezu? Aў ( x) = f(x) u općem slučaju? Na ovo se pitanje može odgovoriti samo proučavanjem brzine promjene površine kao funkcije X u općem slučaju. Neka m– najmanja vrijednost funkcije f (x) u rasponu od X do ( x + h), A M– najveća vrijednost ove funkcije u istom intervalu. Zatim povećanje površine kada se ide od X Za ( x + h) mora biti zatvoren između površina dvaju pravokutnika (slika 17). Osnovice oba pravokutnika su jednake h. Manji pravokutnik ima visinu m i područje mh, veći, odnosno M I Mh. Na grafu površine prema X(slika 18) jasno je da kada se apscisa promijeni u h, vrijednost ordinate (tj. površina) povećava se za iznos između mh I Mh. Nagib sekante na ovom grafikonu je između m I M. Što se događa kada h teži nuli? Ako graf funkcije g = f(x) kontinuirano (tj. ne sadrži diskontinuitete), tada M, I m težiti za f(x). Prema tome, nagib Aў ( x) graf površine kao funkcije X jednaki f(x). Upravo je to zaključak do kojeg je trebalo doći.
Leibniz je predložio za područje ispod krivulje g = f(x) od 0 do A oznaka
U rigoroznom pristupu, ovaj takozvani definitivni integral trebao bi se definirati kao granica određenih suma na Wallisov način. Uzimajući u obzir gore dobiveni rezultat, jasno je da se ovaj integral izračunava pod uvjetom da možemo pronaći takvu funkciju A(x), koji nestaje kada X= 0 i ima derivaciju Aў ( x), jednako f (x). Pronalaženje takve funkcije obično se naziva integracija, iako bi bilo prikladnije ovu operaciju nazvati antidiferencijacijom, što znači da je ona na neki način inverzna od diferencijacije. U slučaju polinoma, integracija je jednostavna. Na primjer, ako
što je lako provjeriti razlikovanjem A(x).
Za izračunavanje površine A 1 ispod krivulje g = 1 + x + x 2 /2, zatvoren između ordinata 0 i 1, jednostavno pišemo
i, zamjena X= 1, dobivamo A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Kvadrat A(x) od 0 do 2 jednako je A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Kao što se može vidjeti sa Sl. 19, površina između ordinata 1 i 2 jednaka je A 2 – A 1 = 11/3. Obično se piše kao određeni integral
svezaci.
Slično razmišljanje čini iznenađujuće lakim izračunavanje volumena rotacijskih tijela. Pokažimo to na primjeru izračunavanja obujma kugle, još jednog klasičnog problema koji su stari Grci, njima poznatim metodama, teškom mukom uspjeli riješiti.
Zarotirajmo dio ravnine unutar četvrtine kruga radijusa r, pod kutom od 360° oko osi X. Kao rezultat toga, dobivamo hemisferu (slika 20), čiji volumen označavamo V(x). Moramo odrediti stopu kojom se povećava V(x) s povećanjem x. Krećući se iz X Do X + h, lako je provjeriti da je povećanje volumena manje od volumena str(r 2 – x 2)h kružni cilindar s radijusom i visinom h, i više od volumena str[r 2 – (x + h) 2 ]h radijus i visina cilindra h. Stoga se na grafu funkcije V(x) kutni koeficijent sekante je između str(r 2 – x 2) i str[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h teži nuli, nagib teži
Na x = r dobivamo
za volumen hemisfere, pa prema tome 4 p r 3/3 za volumen cijele lopte.
Slična metoda omogućuje pronalaženje duljina krivulja i površina zakrivljenih površina. Na primjer, ako a(x) – duljina luka PR na sl. 21, onda je naš zadatak izračunati aў( x). Na heurističkoj razini koristit ćemo se tehnikom koja nam omogućuje da ne pribjegavamo uobičajenom prijelazu do granice, što je neophodno za rigorozan dokaz rezultata. Pretpostavimo da je brzina promjene funkcije A(x) u točki R isto kao što bi bilo da je krivulja zamijenjena svojom tangentom P.T. u točki P. Ali iz Sl. 21 izravno se vidi pri koračanju h desno ili lijevo od točke X uz RT značenje A(x) mijenja se u
Prema tome, brzina promjene funkcije a(x) je
Da bismo pronašli samu funkciju a(x), samo trebate integrirati izraz s desne strane jednakosti. Ispada da je integracija prilično teška za većinu funkcija. Stoga razvoj metoda integralnog računa čini veliki dio matematičke analize.
Antiderivati.
Svaka funkcija čija je derivacija jednaka zadanoj funkciji f(x), naziva se antiderivacija (ili primitivna) for f(x). Na primjer, X 3 /3 – antiderivacija za funkciju X 2 od ( x 3 /3)ŭ = x 2. Naravno X 3/3 nije jedina antiderivacija funkcije X 2 jer x 3 /3 + C također je izvedenica za X 2 za bilo koju konstantu S. Međutim, u onome što slijedi slažemo se izostaviti takve aditivne konstante. općenito
Gdje n je pozitivan cijeli broj, jer ( x n + 1/(n+ 1))ŭ = x n. Relacija (1) je zadovoljena u još općenitijem smislu ako n zamijeniti bilo kojim racionalnim brojem k, osim –1.
Proizvoljna antiderivativna funkcija za zadanu funkciju f(x) obično se naziva neodređeni integral od f(x) i označite ga u obliku
Na primjer, budući (grijeh x)ŭ = cos x, formula je važeća
U mnogim slučajevima gdje postoji formula za neodređeni integral dane funkcije, ona se može pronaći u brojnim široko objavljenim tablicama neodređenih integrala. Integrali iz elementarnih funkcija su tablični (uključuju potencije, logaritme, eksponencijalne funkcije, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, kao i njihove konačne kombinacije dobivene operacijama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja). Pomoću tabličnih integrala možete izračunati integrale složenijih funkcija. Postoji mnogo načina za izračunavanje neodređenih integrala; Najčešći od njih je varijabilna supstitucija ili metoda supstitucije. Sastoji se u tome da ako želimo zamijeniti u neodređenom integralu (2) x na neku diferencijabilnu funkciju x = g(u), tada je potrebno da bi integral ostao nepromijenjen x zamijeniti sa gў ( u)du. Drugim riječima, jednakost
(zamjena 2 x = u, odakle 2 dx = du).
Predstavimo još jednu metodu integracije - metodu integracije po dijelovima. Temelji se na već poznatoj formuli
Integracijom lijeve i desne strane i vodeći računa o tome
Ova se formula naziva formula integracije po dijelovima.
Primjer 2. Morate pronaći . Od cos x= (grijeh x)ŭ , možemo to napisati
Iz (5), pod pretpostavkom u = x I v= grijeh x, dobivamo
A budući da (–cos x)ŭ = grijeh x nalazimo da
Treba naglasiti da smo se ograničili na samo vrlo kratak uvod u vrlo opsežnu temu u kojoj su akumulirane brojne genijalne tehnike.
Funkcije dviju varijabli.
Zbog krivulje g = f(x) razmatrali smo dva problema.
1) Odredite kutni koeficijent tangente na krivulju u zadanoj točki. Ovaj problem se rješava izračunavanjem vrijednosti derivata fў ( x) na navedenoj točki.
2) Pronađite površinu ispod krivulje iznad segmenta osi X, omeđen okomitim crtama X = A I X = b. Ovaj problem se rješava izračunavanjem određenog integrala.
Svaki od ovih problema ima analogiju u slučaju površine z = f(x,g).
1) Odredite ravninu tangente na površinu u zadanoj točki.
2) Nađi volumen ispod površine iznad dijela ravnine xy, omeđen krivuljom S, a sa strane – okomito na ravninu xy prolazeći kroz točke granične krivulje S (cm. riža. 22).
Sljedeći primjeri pokazuju kako se ti problemi rješavaju.
Primjer 4. Odredite ravninu tangente na površinu
u točki (0,0,2).
Ravnina je definirana ako su zadane dvije pravce koje se sijeku u njoj. Jedna od ovih ravnih linija ( l 1) ulazimo u avion xz (na= 0), sekunda ( l 2) – u ravnini yz (x = 0) (cm. riža. 23).
Prije svega, ako na= 0, tada z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivacija s obzirom na X, označeno fў x(x,0) = –2 – 6x, na X= 0 ima vrijednost –2. Ravno l 1 dan jednadžbama z = 2 – 2x, na= 0 – tangenta na S 1, linije presjeka površine s ravninom na= 0. Slično, ako X= 0, tada f(0,g) = 2 – g – g 2 , i izvod u odnosu na na izgleda kao
Jer fў g(0,0) = –1, krivulja S 2 – linija presjeka plohe s ravninom yz– ima tangentu l 2 zadan jednadžbama z = 2 – g, X= 0. Željena tangentna ravnina sadrži oba pravca l 1 i l 2 i zapisuje se jednadžbom
Ovo je jednadžba ravnine. Osim toga, primamo izravne l 1 i l 2, uz pretpostavku, respektivno, na= 0 i X = 0.
Činjenica da jednadžba (7) stvarno definira tangentnu ravninu može se provjeriti na heurističkoj razini primjećujući da ova jednadžba sadrži članove prvog reda uključene u jednadžbu (6), te da se članovi drugog reda mogu predstaviti kao –. Budući da je ovaj izraz negativan za sve vrijednosti X I na, osim X = na= 0, ploha (6) leži ispod ravnine (7) posvuda, osim u točki R= (0,0,0). Možemo reći da je površina (6) u točki konveksna prema gore R.
Primjer 5. Odredite ravninu tangente na površinu z = f(x,g) = x 2 – g 2 na početku 0.
U avionu na= 0 imamo: z = f(x,0) = x 2 i fў x(x,0) = 2x. Na S 1, crte sjecišta, z = x 2. U točki O nagib je jednak fў x(0,0) = 0. Na ravnini X= 0 imamo: z = f(0,g) = –g 2 i fў g(0,g) = –2g. Na S 2, linije presjeka, z = –g 2. U točki O nagib krivulje S 2 je jednako fў g(0,0) = 0. Budući da su tangente na S 1 i S 2 su sjekire X I na, tangentna ravnina koja ih sadrži je ravnina z = 0.
Međutim, u blizini ishodišta, naša površina nije na istoj strani tangentne ravnine. Doista, krivulja S 1 svugdje, osim točke 0, leži iznad tangentne ravnine, a krivulja S 2 – odnosno ispod njega. Ploha siječe tangentnu ravninu z= 0 u ravnim crtama na = X I na = –X. Kaže se da takva površina ima sedlo u ishodištu (slika 24).
Parcijalne derivacije.
U prethodnim primjerima koristili smo izvedenice od f (x,g) Autor X i po na. Razmotrimo sada takve izvedenice u općenitijem smislu. Ako imamo funkciju dviju varijabli, npr. F(x,g) = x 2 – xy, tada u svakoj točki možemo odrediti njezine dvije "parcijalne derivacije", jednu diferenciranjem funkcije s obzirom na X i popravljajući na, drugi – razlikovanje po na i popravljajući X. Prva od ovih izvedenica označava se kao fў x(x,g) ili ¶ f/¶ x; drugo - kako f f u g. Ako su obje mješovite izvedenice (po X I na, Autor na I X) su neprekidne, tada ¶ 2 f/¶ x¶ g= ¶ 2 f/¶ g¶ x; u našem primjeru ¶ 2 f/¶ x¶ g= ¶ 2 f/¶ g¶ x = –1.
Parcijalna derivacija fў x(x,g) označava brzinu promjene funkcije f u točki ( x,g) u smjeru povećanja X, A fў g(x,g) – brzina promjene funkcije f u smjeru povećanja na. Stopa promjene funkcije f u točki ( X,na) u smjeru pravca koji čini kut q s pozitivnim smjerom osi X, naziva se derivacija funkcije f u smjeru; njegova vrijednost je kombinacija dviju parcijalnih derivacija funkcije f u tangentnoj ravnini gotovo jednaka (kod male dx I dy) istinska promjena z na površini, ali izračunavanje diferencijala obično je lakše.
Formula iz metode promjene varijable koju smo već razmatrali, poznata kao derivacija složene funkcije ili lančano pravilo, u jednodimenzionalnom slučaju kada na ovisi o X, A X ovisi o t, ima oblik:
Za funkcije dviju varijabli slična formula ima oblik:
Koncepte i oznake parcijalnog diferenciranja lako je generalizirati na više dimenzije. Osobito, ako je površina navedena implicitno jednadžbom f(x,g,z) = 0, jednadžbi tangentne ravnine na površinu može se dati simetričniji oblik: jednadžba tangentne ravnine u točki ( x(x 2 /4)], zatim integrirani preko X od 0 do 1. Konačni rezultat je 3/4.
Formula (10) se također može tumačiti kao tzv. dvostruki integral, tj. kao granica zbroja volumena elementarnih “stanica”. Svaka takva stanica ima bazu D x D g i visinu koja je jednaka visini plohe iznad neke točke pravokutne baze ( cm. riža. 26). Može se pokazati da su oba gledišta na formulu (10) ekvivalentna. Dvostruki integrali koriste se za pronalaženje težišta i brojnih momenata koji se susreću u mehanici.
Strože opravdanje matematičkog aparata.
Do sada smo predstavili koncepte i metode matematičke analize na intuitivnoj razini i nismo oklijevali pribjeći geometrijskim figurama. Ostaje nam da se ukratko osvrnemo na rigoroznije metode koje su se pojavile u 19. i 20. stoljeću.
Početkom 19. stoljeća, kada je završila era bure i pritiska u “stvaranju matematičke analize”, aktualizirala su se pitanja njezine opravdanosti. U djelima Abela, Cauchyja i niza drugih izvrsnih matematičara precizno su definirani pojmovi "limit", "kontinuirana funkcija", "konvergentni niz". To je bilo potrebno kako bi se uveo logički red u osnovu matematičke analize kako bi ona postala pouzdan istraživački alat. Potreba za temeljitim opravdanjem postala je još očitija nakon što je 1872. Weierstrass otkrio funkcije koje su posvuda kontinuirane, ali nigdje diferencijabilne (graf takvih funkcija ima prelom u svakoj točki). Ovaj je rezultat imao zapanjujući učinak na matematičare, jer je jasno proturječio njihovoj geometrijskoj intuiciji. Još upečatljiviji primjer nepouzdanosti geometrijske intuicije bila je kontinuirana krivulja koju je konstruirao D. Peano, koja potpuno ispunjava određeni kvadrat, t j . prolazeći kroz sve njegove točke. Ova i druga otkrića dovela su do programa "aritmetizacije" matematike, tj. čineći ga pouzdanijim utemeljujući sve matematičke koncepte koristeći koncept broja. Gotovo puritanska apstinencija od jasnoće u radovima o temeljima matematike imala je svoje povijesno opravdanje.
Prema suvremenim kanonima logičke strogosti, neprihvatljivo je govoriti o području ispod krivulje g = f(x) i iznad segmenta osi X, čak i ako f- kontinuiranu funkciju, a da prethodno nije definirano točno značenje pojma “područje” i bez da je utvrđeno da tako definirano područje stvarno postoji. Ovaj problem uspješno je riješio 1854. B. Riemann, koji je dao preciznu definiciju pojma određenog integrala. Od tada je ideja zbrajanja iza koncepta određenog integrala bila predmet mnogih dubinskih studija i generalizacija. Kao rezultat toga, danas je moguće dati značenje određenom integralu, čak i ako je integrand svugdje diskontinuiran. Novi koncepti integracije, čijem su stvaranju veliki doprinos dali A. Lebesgue (1875–1941) i drugi matematičari, povećali su snagu i ljepotu moderne matematičke analize.
Teško da bi bilo primjereno ulaziti u detalje o svim ovim i drugim pojmovima. Ograničit ćemo se samo na davanje strogih definicija limita i određenog integrala.
Zaključno, recimo da matematička analiza, kao iznimno vrijedan alat u rukama znanstvenika i inženjera, i danas privlači pažnju matematičara kao izvor plodnih ideja. U isto vrijeme, čini se da suvremeni razvoj ukazuje na to da matematičku analizu sve više apsorbiraju one dominantne u 20. stoljeću. grane matematike kao što su apstraktna algebra i topologija.
Matematička analiza.
Radionica.
Za sveučilišne studente u specijalnosti:
"Državna i općinska uprava"
T.Z. Pavlova
Kolpaševo 2008
Poglavlje 1: Uvod u analizu
1.1 Funkcije. Opća svojstva
1.2 Teorija granica
1.3 Kontinuitet funkcije
2.1 Definicija derivacije
2.4 Istraživanje funkcija
2.4.1 Dizajn studije pune funkcije
2.4.2 Primjeri proučavanja funkcija
2.4.3. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu
2.5 L'Hopitalovo pravilo
3.1 Neodređeni integral
3.1.1 Definicije i svojstva
3.1.2 Tablica integrala
3.1.3 Osnovne metode integracije
3.2 Određeni integral
3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala
Poglavlje 4. Funkcije više varijabli
4.1 Osnovni pojmovi
4.2 Granice i kontinuitet funkcija više varijabli
4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune
Poglavlje 5. Klasične metode optimizacije
6.1 Funkcija korisnosti.
6.2 Linije ravnodušnosti
6.3 Određeni proračun
Domaći ispitni zadaci
1.1 Funkcije. Opća svojstva
Numerička funkcija je definirana na skupu D realnih brojeva ako je svakoj vrijednosti varijable pridružena neka dobro definirana realna vrijednost varijable y, gdje je D domena definiranja funkcije.
Analitički prikaz funkcije:
izričito: ;
implicitno: ;
u parametarskom obliku:
različite formule u području definicije:
Svojstva.
Parna funkcija: . Na primjer, funkcija je parna, jer .
Čudna funkcija: 
. Na primjer, funkcija je neparna, jer .
Periodična funkcija: 
, gdje je T period funkcije, . Na primjer, trigonometrijske funkcije.
Monotona funkcija. Ako je za bilo koju domenu definicije funkcija rastuća, onda je ona padajuća. Na primjer, - raste, i - smanjuje.
Ograničena funkcija. Ako postoji broj M takav da je . Na primjer, funkcije i , jer 
.
Primjer 1. Odredite domenu definicije funkcija.
+ 2 – 3 +
1.2 Teorija granica
Definicija 1. Limit funkcije na je broj b ako se za bilo koji (je proizvoljno mali pozitivan broj) može pronaći vrijednost argumenta počevši od koje nejednakost vrijedi.
Oznaka: .
Definicija 2. Limit funkcije at je broj b ako za bilo koji (- proizvoljno mali pozitivan broj) postoji pozitivan broj takav da je za sve vrijednosti x koje zadovoljavaju nejednakost nejednakost zadovoljena.
Oznaka: .
Definicija 3. Za funkciju se kaže da je infinitezimalna za ili ako ili.
Svojstva.
1. Algebarski zbroj konačnog broja infinitezimalnih veličina je infinitezimalna veličina.
2. Umnožak infinitezimalne veličine i ograničene funkcije (konstante, druge infinitezimalne veličine) je infinitezimalna veličina.
3. Kvocijent dijeljenja infinitezimalne veličine s funkcijom čija je granica različita od nule je infinitezimalna veličina.
Definicija 4. Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako .
Svojstva.
1. Umnožak beskonačno velike veličine i funkcije čija je granica različita od nule je beskonačno velika veličina.
2. Zbroj beskonačno velike veličine i ograničene funkcije je beskonačno velika veličina.
3. Kvocijent dijeljenja beskonačno velike veličine s funkcijom koja ima limit je beskonačno velika veličina.
Teorema.(Odnos između infinitezimalne količine i beskonačno velike količine.) Ako je funkcija infinitezimalna u (), tada je funkcija beskonačno velika veličina u (). I obrnuto, ako je funkcija beskonačno velika na (), tada je funkcija infinitezimalna vrijednost na ().
Granični teoremi.
1. Funkcija ne može imati više od jednog limita.
2. Limes algebarskog zbroja više funkcija jednak je algebarskom zbroju limesa tih funkcija:
3. Limes umnoška više funkcija jednak je umnošku limesa tih funkcija:
4. Granica stupnja jednaka je stupnju granice:
5. Granica količnika jednaka je kvocijentu granica ako postoji granica djelitelja:
.
6. Prva divna granica.
Posljedice:
7. Drugo značajno ograničenje:
Posljedice:
Ekvivalentne infinitezimalne količine na:
Izračun granica.
Pri izračunavanju limesa koriste se osnovni teoremi o limesima, svojstvima neprekidnih funkcija i pravila koja proizlaze iz tih teorema i svojstava.
Pravilo 1. Da biste pronašli granicu u točki funkcije koja je kontinuirana u ovoj točki, trebate zamijeniti njezinu graničnu vrijednost u funkciju ispod znaka granice umjesto argumenta x.
Primjer 2. Pronađite
Pravilo 2. Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka nuli, a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka .
Primjer 3. Pronađite
Pravilo 3. Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka , a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka nuli.
Primjer 4. Nađi
Često zamjena granične vrijednosti argumenta rezultira nedefiniranim izrazima obrasca
.
Pronalaženje limita funkcije u tim slučajevima naziva se otkrivanje nesigurnosti. Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je transformirati ovaj izraz prije pomicanja do granice. Za otkrivanje nesigurnosti koriste se različite tehnike.
Pravilo 4. Neodređenost tipa otkriva se transformacijom sublimit funkcije, tako da se u brojniku i nazivniku izabere faktor čija je granica jednaka nuli, te se, smanjujući razlomak za nju, nađe granica kvocijenta. Da biste to učinili, brojnik i nazivnik rastavljaju se na faktore ili množe s izrazima koji su konjugirani s brojnikom i nazivnikom.
Pravilo 5. Ako sublimit izraz sadrži trigonometrijske funkcije, tada se prva značajna granica koristi za rješavanje nesigurnosti oblika.
.
Pravilo 6. Da bi se otkrila nesigurnost oblika na , brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se podijeliti s najvećom potencijom argumenta, a zatim se mora pronaći granica kvocijenta.
Mogući rezultati:
1) tražena granica jednaka je omjeru koeficijenata najvećih potencija argumenta brojnika i nazivnika, ako su te potencije jednake;
2) granica je beskonačno jednaka ako je stupanj argumenta brojnika veći od stupnja argumenta nazivnika;
3) granica je jednaka nuli ako je stupanj argumenta brojnika manji od stupnja argumenta nazivnika.
A) 
jer 
Potence su jednake, što znači da je granica jednaka omjeru koeficijenata viših potencija, tj. .
b) 
Stupanj brojnika i nazivnika je 1, što znači da je granica
V) 
Stupanj brojnika je 1, nazivnika je , što znači da je granica 0.
Pravilo 7. Da bi se otkrila nesigurnost oblika, brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se pomnožiti s konjugiranim izrazom.
Primjer 10.
Pravilo 8. Da bi se otkrila nesigurnost vrste, koristi se druga izvanredna granica i njezine posljedice.
Može se dokazati da
Primjer 11.
Primjer 12.
Primjer 13.
Pravilo 9. Kod objave nesigurnosti čija podgranična funkcija sadrži b.m.v., potrebno je zamijeniti granice tih b.m.v. do granica b.m.
Primjer 14.
Primjer 15.
Pravilo 10. L'Hopitalovo pravilo (vidi 2.6).
1.3 Kontinuitet funkcije
Funkcija je kontinuirana u točki ako granica funkcije, dok argument teži a, postoji i jednaka je vrijednosti funkcije u toj točki.
Ekvivalentni uvjeti:
1. 
;
3. 
Klasifikacija točaka prekida:
1. vrsta rupture
Uklonjivi – jednostrana ograničenja postoje i jednaka su;
Nesvodljiv (skok) – jednostrane granice nisu jednake;
diskontinuitet druge vrste: limit funkcije u točki ne postoji.
Primjer 16. Utvrditi prirodu diskontinuiteta funkcije u točki ili dokazati neprekidnost funkcije u ovoj točki.
na funkcija nije definirana, stoga u ovoj točki nije kontinuirana. Jer i, prema tome, 
, tada je točka uklonjivog diskontinuiteta prve vrste.
b) 
U usporedbi sa zadatkom (a), funkcija je dalje definirana u točki tako da 
, što znači da je ova funkcija kontinuirana u ovoj točki.
Kada funkcija nije definirana;
.
Jer jedna od jednostranih limesa je beskonačna, onda je to točka diskontinuiteta druge vrste.
Poglavlje 2. Diferencijalni račun
2.1 Definicija derivacije
Definicija derivata
Derivacija ili dane funkcije je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta argumenta, kada priraštaj argumenta teži nuli:
Ili 
.
Mehaničko značenje derivacije je brzina promjene funkcije. Geometrijsko značenje derivacije je tangens kuta nagiba tangente na graf funkcije:
2.2 Osnovna pravila razlikovanja
| Ime | Funkcija | Izvedenica |
| Množenje konstantnim faktorom | ||
| Algebarski zbroj dviju funkcija | ||
| Proizvod dvije funkcije | ||
| Kvocijent dviju funkcija | ||
| Složena funkcija |  |
Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija
| Ne. | Naziv funkcije | Funkcija i njezina derivacija |
| 1 | konstanta | |
| 2 | funkcija snage posebni slučajevi |
|
| 3 | eksponencijalna funkcija poseban slučaj |
|
| 4 | logaritamska funkcija poseban slučaj |
|
| 5 | trigonometrijske funkcije |
|
| 6 | obrnuti trigonometrijski |
|
b) 
2.3 Izvodnice višeg reda
Derivacija funkcije drugog reda
Derivacija funkcije drugog reda:
Primjer 18.
a) Nađite derivaciju drugog reda funkcije.
Otopina. Najprije pronađimo izvod prvog reda 
.
Iz derivacije prvog reda, uzmimo opet derivaciju.
Primjer 19. Naći derivaciju trećeg reda funkcije.
2.4 Istraživanje funkcija
2.4.1 Plan studije pune funkcije:
Puni funkcionalni plan studija:
1. Osnovna istraživanja:
Naći domenu definicije i raspon vrijednosti;
Upoznati opća svojstva: parnost (neparnost), periodičnost;
Pronađite točke sjecišta s koordinatnim osima;
Odredite područja konstantnog predznaka.
2. Asimptote:
Pronađite vertikalne asimptote ako je ;
Odredite kose asimptote: .
Ako bilo koji broj, onda – horizontalne asimptote.
3. Istraživanje pomoću:
Pronađite kritične točke, one. točke na kojima ili ne postoji;
Odredite intervale povećanja, one. intervali na kojima funkcija opada – ;
Odredite ekstreme: točke kroz koje se predznak mijenja od “+” do “–” su točke maksimuma, od “–” do “+” su točke minimuma.
4. Istraživanje pomoću:
Pronađite točke u kojima ili ne postoji;
Pronađite područja konveksnosti, tj. intervali na kojima i konkavnosti – ;
Pronađite točke infleksije, tj. točke pri prolasku kroz koje se mijenja predznak.
1. Pojedinačni elementi studije ucrtavaju se na grafikon postupno, kako su pronađeni.
2. Ako se pojave poteškoće s izgradnjom grafa funkcije, tada se vrijednosti funkcije nalaze u nekim dodatnim točkama.
3. Svrha studije je opisati prirodu ponašanja funkcije. Stoga se ne gradi točan graf, već njegova aproksimacija, na kojoj su jasno označeni pronađeni elementi (ekstremumi, točke infleksije, asimptote itd.).
4. Nije potrebno strogo se pridržavati zadanog plana; Važno je ne propustiti karakteristične elemente ponašanja funkcije.
2.4.2 Primjeri istraživanja funkcija:
1) 
2) Neparna funkcija:
.
3) Asimptote.
– vertikalne asimptote, jer
Kosa asimptota.
5) 
– točka infleksije.
2) Neparna funkcija:
3) Asimptote: nema okomitih asimptota.
Koso:
– kose asimptote
4) 
– povećava se funkcija.
– točka infleksije.
Shematski grafikon ove funkcije:
2) Opća funkcija
3) Asimptote
– nema kosih asimptota
– horizontalna asimptota pri
– točka infleksije
Shematski grafikon ove funkcije:
2) Asimptote.
– vertikalna asimptota, jer
– nema kosih asimptota
, – horizontalna asimptota
Shematski grafikon ove funkcije:
2) Asimptote
– vertikalna asimptota na , jer
– nema kosih asimptota
, – horizontalna asimptota
3) 
– funkcija opada na svakom od intervala.
Shematski grafikon ove funkcije:
Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu, možete koristiti sljedeći dijagram:
1. Nađi izvod funkcije.
2. Pronađite kritične točke funkcije u kojoj ili ne postoji.
3. Odredite vrijednost funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju zadanom segmentu i na njegovim krajevima te od njih odaberite najveću i najmanju.
Primjer. Odredi najmanju i najveću vrijednost funkcije na zadanom segmentu.
25. 
između
2) – kritične točke
26. u intervalu.
Derivacija ne postoji za , ali 1 ne pripada ovom intervalu. Funkcija opada na intervalu, što znači da ne postoji najveća vrijednost, već je najmanja vrijednost .
2.5 L'Hopitalovo pravilo
Teorema. Granica omjera dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija jednaka je granici omjera njihovih izvodnica (konačnih ili beskonačnih), ako potonje postoje u navedenom smislu.
one. kada otkrivate nesigurnosti tipa ili možete koristiti formulu:
.
27. 
Poglavlje 3. Integralni račun
3.1 Neodređeni integral
3.1.1 Definicije i svojstva
Definicija 1. Funkcija se naziva antiderivacija za if .
Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih antiderivacija te funkcije.
Oznaka: 
, gdje je c proizvoljna konstanta.
Svojstva neodređenog integrala
1. Derivacija neodređenog integrala: 
2. Diferencijal neodređenog integrala: 
3. Neodređeni integral diferencijala: 
4. Neodređeni integral zbroja (razlike) dviju funkcija:
5. Proširenje konstantnog faktora preko predznaka neodređenog integrala:
3.1.2 Tablica integrala
.1.3 Osnovne metode integracije
1. Korištenje svojstava neodređenog integrala.
Primjer 29.
2. Podnošenje predznaka razlike.
Primjer 30.
3. Metoda zamjene varijable:
a) zamjena u integralu
Gdje 
- funkcija koju je lakše integrirati od originalne; - funkcija inverzna funkciji; - antiderivat funkcije.
Primjer 31.
b) zamjena u integralu oblika:
Primjer 32.
Primjer 33.
4. Način integracije po dijelovima:
Primjer 34.
Primjer 35.
Uzmimo posebno integral
Vratimo se našem integralu:
3.2 Određeni integral
3.2.1 Pojam određenog integrala i njegova svojstva
Definicija. Neka je dana kontinuirana funkcija na nekom intervalu. Izgradimo graf toga.
Lik omeđen gore krivuljom, lijevo i desno ravnim crtama, a dolje odsječkom apscisne osi između točaka a i b naziva se krivocrtni trapez.
S – površina – krivolinijski trapez.
Podijelite interval točkicama i dobijete:
Kumulativni zbroj:
Definicija. Određeni integral je limes integralnog zbroja.
Svojstva određenog integrala:
1. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
2. Integral algebarskog zbroja dviju funkcija jednak je algebarskom zbroju integrala tih funkcija:
3. Ako je segment integracije podijeljen na dijelove, tada je integral na cijelom segmentu jednak zbroju integrala za svaki od rezultirajućih dijelova, tj. za bilo koje a, b, c:
4. Ako je na segmentu , onda
5. Granice integracije se mogu mijenjati, a predznak integrala se mijenja:
6. 
7. Integral u točki jednak je 0:
8. 
9. (“o sredini”) Neka je y = f(x) funkcija integrabilna na . Zatim 
, gdje je , f(c) – prosječna vrijednost f(x) na:
10. Newton-Leibnizova formula
,
gdje je F(x) antiderivacija f(x).
3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala.
1. Izravna integracija
Primjer 35.
A) 
b) 
V) 
d) 
2. Promjena varijabli pod određenim predznakom integrala .
Primjer 36.
2. Integracija po dijelovima u određenom integralu .
Primjer 37.
A) 
b) 
d) 
3.2.3 Primjene određenog integrala
| Karakteristično | Vrsta funkcije | Formula |
| u kartezijevim koordinatama | ||
| područje krivuljastog sektora | u polarnim koordinatama | |
| površina zakrivljenog trapeza | u parametarskom obliku |  |
duljina luka |
u kartezijevim koordinatama |  |
duljina luka |
u polarnim koordinatama |  |
duljina luka |
u parametarskom obliku |  |
volumen tijela rotacija |
u kartezijevim koordinatama |  |
obujam tijela sa zadanim poprečnim poprečni presjek |
Primjer 38. Izračunajte površinu figure omeđene linijama: 
i .
Otopina: Nađimo sjecišta grafova ovih funkcija. Da bismo to učinili, izjednačimo funkcije i riješimo jednadžbu
Dakle, točke presjeka i .
Pronađite površinu figure pomoću formule
.
U našem slučaju
Odgovor: Površina je (kvadratne jedinice).
4.1 Osnovni pojmovi
Definicija. Ako se svakom paru međusobno neovisnih brojeva iz određenog skupa, prema nekom pravilu, dodijeli jedna ili više vrijednosti varijable z, tada se varijabla z naziva funkcija dviju varijabli.
Definicija. Područje definiranja funkcije z je skup parova za koje funkcija z postoji.
Područje definiranja funkcije dviju varijabli je određeni skup točaka na Oxy koordinatnoj ravnini. Z koordinata se naziva aplikatom, a zatim se sama funkcija prikazuje kao ploha u prostoru E 3 . Na primjer:
Primjer 39. Odredi domenu funkcije.
A) 
Izraz s desne strane ima smisla samo kada . To znači da je područje definicije ove funkcije skup svih točaka koje leže unutar i na granici kružnice polumjera R sa središtem u ishodištu.
Područje definiranja ove funkcije su sve točke ravnine, osim točaka ravnih linija, tj. koordinatne osi.
Definicija. Pravci funkcionalne razine su skup krivulja na koordinatnoj ravnini, opisanih jednadžbama oblika.
Primjer 40. Pronađite crte razine funkcije 
.
Otopina. Linije razine dane funkcije su skup krivulja na ravnini, opisanih jednadžbom
Posljednja jednadžba opisuje obitelj krugova sa središtem u točki O 1 (1, 1) polumjera . Okretna ploha (paraboloid) opisana ovom funkcijom postaje “strmija” kako se udaljava od osi, što je dano jednadžbama x = 1, y = 1. (Sl. 4)
4.2 Granice i kontinuitet funkcija više varijabli.
1. Granice.
Definicija. Broj A naziva se limitom funkcije dok točka teži točki ako za svaki proizvoljno mali broj postoji broj takav da je za bilo koju točku uvjet istinit, a uvjet je također istinit 
. Zapiši: 
.
Primjer 41. Pronađite granice:
one. granica ovisi o , što znači da ne postoji.
2. Kontinuitet.
Definicija. Neka točka pripada domeni definiranosti funkcije. Tada se funkcija naziva kontinuiranom u točki ako
(1)
a točka teži točki na proizvoljan način.
Ako u bilo kojoj točki uvjet (1) nije zadovoljen, tada se ta točka naziva prijelomna točka funkcije. To može biti u sljedećim slučajevima:
1) Funkcija nije definirana u točki .
2) Nema ograničenja.
3) Ova granica postoji, ali nije jednaka .
Primjer 42. Odredite je li zadana funkcija kontinuirana u točki ako je .
Kužim to 
To znači da je ova funkcija kontinuirana u točki.
granica ovisi o k, tj. ne postoji u ovoj točki, što znači da funkcija ima diskontinuitet u ovoj točki.
4.3. Derivacije i diferencijali funkcija više varijabli
4.3.1 Parcijalne derivacije prvog reda
Parcijalna derivacija funkcije s obzirom na argument x obična je derivacija funkcije jedne varijable x za fiksnu vrijednost varijable y i označava se:
Parcijalna derivacija funkcije s obzirom na argument y obična je derivacija funkcije jedne varijable y za fiksnu vrijednost varijable x i označava se:
Primjer 43. Odredi parcijalne derivacije funkcija.
4.3.2 Parcijalne derivacije drugog reda
Parcijalne derivacije drugog reda su parcijalne derivacije parcijalnih derivacija prvog reda. Za funkciju dviju varijabli oblika moguće su četiri vrste parcijalnih derivacija drugog reda:
Parcijalne derivacije drugog reda, kod kojih se diferencijacija provodi s obzirom na različite varijable, nazivaju se mješovite derivacije. Mješovite derivacije drugog reda dvaput diferencijabilne funkcije su jednake.
Primjer 44. Odredi parcijalne derivacije drugog reda.
4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune.
Definicija. Diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli nalazi se formulom
.
Primjer 45. Nađi potpuni diferencijal za funkciju.
Otopina. Nađimo parcijalne derivacije:
.
Za male inkremente argumenata x i y, funkcija dobiva inkrement približno jednak dz, tj. .
Formula za pronalaženje približne vrijednosti funkcije u točki ako je poznata njezina točna vrijednost u točki:
Primjer 46. Nađi 
.
Otopina. Neka
Zatim koristimo formulu
Odgovor. 
.
Primjer 47. Izračunaj približno .
Otopina. Razmotrimo funkciju. imamo
Primjer 48. Izračunaj približno .
Otopina. Razmotrite funkciju 
. Dobivamo:
Odgovor. 
.
4.3.4 Diferenciranje implicitne funkcije
Definicija. Funkcija se naziva implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije rješiva u odnosu na z.
Parcijalne derivacije takve funkcije nalaze se formulama:
Primjer 49: Odredite parcijalne derivacije funkcije z dane jednadžbom 
.
Otopina. 
Definicija. Funkcija se naziva implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije rješiva u odnosu na y.
Derivacija takve funkcije nalazi se formulom:
.
Primjer 50. Odredite izvodnice ovih funkcija.
5.1 Lokalni ekstrem funkcije više varijabli
Definicija 1. Funkcija ima maksimum u točki if 
Definicija 2. Funkcija ima minimum u točki if 
za sve točke dovoljno blizu točke i različite od nje.
Nužan uvjet za ekstrem. Ako funkcija dosegne ekstrem u nekoj točki, tada parcijalne derivacije funkcije nestaju ili ne postoje u toj točki.
Točke u kojima parcijalne derivacije nestaju ili ne postoje nazivaju se kritičnim.
Dovoljan znak ekstrema. Neka je funkcija definirana u nekoj okolini kritične točke i neka ima kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda u ovoj točki
1) ima lokalni maksimum u točki ako je i ;
2) ima lokalni minimum u točki ako je i ;
3) nema lokalni ekstrem u točki ako ;
Shema istraživanja ekstremuma funkcije dviju varijabli.
1. Odredite parcijalne derivacije funkcija: i.
2. Riješite sustav jednadžbi i pronađite kritične točke funkcije.
3. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda, izračunajte njihove vrijednosti u kritičnim točkama i, koristeći dovoljan uvjet, izvucite zaključak o prisutnosti ekstrema.
4. Pronađite ekstreme funkcije.
Primjer 51. Pronađite ekstreme funkcije 
.
1) Nađimo parcijalne derivacije.
2) Riješimo sustav jednadžbi
4) Nađimo parcijalne derivacije drugog reda i njihove vrijednosti u kritičnim točkama: . U trenutku dobivamo:
To znači da u točki nema ekstrema. U trenutku dobivamo:
to znači da postoji minimum u točki.
5.2 Globalni ekstrem (najveća i najmanja vrijednost funkcije)
Najveće i najmanje vrijednosti funkcije više varijabli, kontinuirane na nekom zatvorenom skupu, postižu se ili u točkama ekstrema ili na granici skupa.
Shema za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.
1) Pronađite kritične točke koje leže unutar regije, izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama.
2) Istražiti funkciju na granici regije; ako se granica sastoji od nekoliko različitih linija, tada se studija mora provesti za svaki odjeljak zasebno.
3) Usporedite dobivene vrijednosti funkcije i odaberite najveću i najmanju.
Primjer 52. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u pravokutniku.
Otopina. 1) Nađimo kritične točke funkcije, za to ćemo pronaći parcijalne derivacije: , i riješimo sustav jednadžbi:
Dobili smo kritičnu točku A. Rezultirajuća točka leži unutar zadane regije,
Granica regije sastoji se od četiri segmenta: i. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na svakom segmentu.
4) Usporedimo dobivene rezultate i utvrdimo da u točkama 
.
Poglavlje 6. Model potrošačkog izbora
Pretpostavit ćemo da postoji n različitih dobara. Zatim ćemo određeni skup dobara označiti n-dimenzionalnim vektorom 
, gdje je količina i-tog proizvoda. Skup svih skupova dobara X naziva se prostor.
Izbor pojedinog potrošača karakterizira odnos preferencija: smatra se da potrošač za bilo koja dva skupa može reći koji je poželjniji ili ne vidi razliku među njima. Relacija preferencija je tranzitivna: ako je skup bolji od skupa, a skup je bolji od skupa, tada je skup bolji od skupa. Pretpostavit ćemo da je ponašanje potrošača u potpunosti opisano aksiomom individualnog potrošača: svaki pojedinačni potrošač donosi odluke o potrošnji, kupnji itd., na temelju svog sustava preferencija.
6.1 Funkcija korisnosti
Funkcija je definirana na skupu potrošačkih skupova X 
, čija je vrijednost na skupu potrošača jednaka procjeni potrošača pojedinca za ovaj skup. Funkcija se naziva funkcija potrošačeve korisnosti ili funkcija preferencija potrošača. one. Svaki potrošač ima svoju funkciju korisnosti. Ali cijeli skup potrošača može se podijeliti u određene klase potrošača (po dobi, imovinskom statusu itd.) i svakoj klasi može se pripisati određena, možda prosječna, funkcija korisnosti.
Dakle, funkcija je procjena potrošača ili razina zadovoljenja potreba pojedinca pri kupnji određenog seta. Ako je skup bolji od skupa za danog pojedinca, tada .
Svojstva funkcije korisnosti.
1. 
Prve parcijalne derivacije funkcije korisnosti nazivaju se granične korisnosti proizvoda. Iz ovog svojstva proizlazi da povećanje potrošnje jednog proizvoda, dok potrošnja ostalih proizvoda ostaje nepromijenjena, dovodi do povećanja ocjene potrošača. Vektor 
je gradijent funkcije, pokazuje smjer najvećeg rasta funkcije. Za funkciju, njezin gradijent je vektor graničnih korisnosti proizvoda.
2. 
one. Granična korisnost svakog dobra opada kako se potrošnja povećava.
3. 
one. Granična korisnost svakog proizvoda raste kako se povećava količina drugog proizvoda.
Neke vrste funkcija korisnosti.
1) Neoklasični: .
2) Kvadratni: 
, gdje je matrica negativno određena i 
za .
3) Logaritamska funkcija: .
6.2 Linije ravnodušnosti
U primijenjenim problemima i modelima izbora potrošača često se koristi poseban slučaj skupa od dva dobra, tj. kada funkcija korisnosti ovisi o dvije varijable. Crta ravnodušnosti je linija koja povezuje potrošačke skupove koji imaju istu razinu zadovoljenja potreba pojedinca. U biti, linije indiferencije su linije funkcionalne razine. Jednadžbe linija indiferencije: 
.
Osnovna svojstva linija indiferencije.
1. Linije ravnodušnosti koje odgovaraju različitim razinama zadovoljenja potreba ne dodiruju se niti sijeku.
2. Linije ravnodušnosti se smanjuju.
3. Linije ravnodušnosti su konveksne prema dolje.
Svojstvo 2 implicira važnu približnu jednakost.
Ovaj omjer pokazuje koliko bi pojedinac trebao povećati (smanjiti) potrošnju drugog proizvoda pri smanjenju (povećanju) potrošnje prvog proizvoda za jednu jedinicu bez promjene razine zadovoljenja svojih potreba. Omjer se naziva stopa zamjene prvog proizvoda drugim, a vrijednost granična stopa zamjene prvog proizvoda drugim.
Primjer 53. Ako je granična korisnost prvog dobra 6, a drugog 2, tada ako se potrošnja prvog dobra smanji za jednu jedinicu, potrošnja drugog dobra mora se povećati za 3 jedinice na istoj razini zadovoljenja potreba.
6.3 Određeni proračun
Neka 
– vektor cijena za skup od n proizvoda; I je prihod pojedinca koji je spreman potrošiti na kupnju skupa proizvoda. Skup skupova dobara koji koštaju ne više od I po danim cijenama naziva se proračunski skup B. Štoviše, skup skupova koji košta I naziva se granica G proračunskog skupa B. Dakle. skup B je omeđen granicom G i prirodnim ograničenjima.
Proračunski skup je opisan sustavom nejednakosti:
Za slučaj skupa od dva dobra, proračunski skup B (slika 1) je trokut u koordinatnom sustavu, ograničen koordinatnim osima i ravnom linijom.
6.4 Teorija potrošačke potražnje
U teoriji potrošnje smatra se da potrošač uvijek teži maksimiziranju svoje korisnosti i jedino ograničenje za njega je ograničeni dohodak I koji može potrošiti na kupnju skupa dobara. Općenito, problem izbora potrošača (problem racionalnog ponašanja potrošača na tržištu) formulira se na sljedeći način: pronađite potrošački skup 
, koji maksimizira svoju funkciju korisnosti pod određenim proračunskim ograničenjem. Matematički model ovog problema:
U slučaju seta od dva proizvoda:
Geometrijski, rješenje ovog problema je dodirna točka između granice proračunskog skupa G i linije indiferencije.
Rješenje ovog problema svodi se na rješavanje sustava jednadžbi:
(1)
Rješenje ovog sustava je rješenje problema izbora potrošača.
Rješenje problema potrošačevog izbora naziva se točka potražnje. Ova točka potražnje ovisi o cijenama i dohotku I. tj. točka potražnje je funkcija potražnje. Zauzvrat, funkcija potražnje je skup od n funkcija, od kojih svaka ovisi o argumentu:
Te se funkcije nazivaju funkcijama potražnje za odgovarajućom robom.
Primjer 54. Za skup od dva dobra na tržištu, poznate cijene za njih i prihod I, pronaći funkcije potražnje ako funkcija korisnosti ima oblik 
.
Otopina. Razlikujmo funkciju korisnosti:
.
Zamijenimo dobivene izraze u (1) i dobijemo sustav jednadžbi:
U tom će slučaju trošak za svaki proizvod biti polovica dohotka potrošača, a količina kupljenog proizvoda jednaka je iznosu koji je na njega potrošen podijeljen s cijenom proizvoda.
Primjer 55. Neka korisnost funkcionira za prvo dobro, drugo,
cijena prvog proizvoda, cijena drugog. Prihodi . Koliko bi potrošač trebao kupiti dobra da bi povećao korisnost?
Otopina. Nađimo derivacije funkcija korisnosti, zamijenimo ih u sustav (1) i riješimo ga:
Ovaj skup dobara je optimalan za potrošača sa stajališta maksimiziranja korisnosti.
Test se mora ispuniti prema odabranoj opciji posljednjom znamenkom broja razredne knjige u posebnoj bilježnici. Svaki zadatak mora sadržavati uvjet, detaljno rješenje i zaključak.
1. Uvod u matematičku analizu
Zadatak 1. Naći domenu definicije funkcije.
5. 
Zadatak 2. Odredi limese funkcija.
.
Zadatak 3. Pronađite točke diskontinuiteta funkcije i odredite njihovu vrstu.
1. 2. 3. 
Poglavlje 2. Diferencijalni račun funkcije jedne varijable
Zadatak 4. Naći derivacije ovih funkcija.
1. a); b) c) y = ;
d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x ;
e) y = 2 x - arcsin x.
2. a) 
; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; e) y = .
3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;
4. a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6 ; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.
5. a) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; c) y = ;
d) y = ; e) y = 2 cos; e) y = .
6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;
d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.
7. a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; e) y = .
8. a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6 ; c) y = sintg;
d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;
e)y = x 2 + arcsin x - x.
9. a); b) 
; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x ; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x 4 + ln.
10. a) 
b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6 ; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.
Zadatak 5. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.
1. a) b) c) .
2. a) b) 
V) .
3. a) b) 
V) .
4. b) 
V)
5. a) b) 
V) .
6. a) b) 
V) .
7. a) b) c) .
8. a) b) c) .
9. a) b) c) .
10. a) b) 
V) .
Zadatak 6. Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.
1. 
.
3. 
.
6. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Poglavlje 3. Integralni račun
Zadatak 7. Naći neodređene integrale.
1. a) 
b);
2. a) 
;b) c) d) .
4. 
G)
5. a) 
; b); V) ; G).
6. a) 
; b); V); G)
7. a) 
; b) 
; V) ; G)
8. a) 
; b); V) 
; G) .
9. a) ; b) c); G).
10. a) 
b) 
V) ; G) .
Zadatak 8. Izračunajte određene integrale.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
.
8. 
9. 
10. 
Zadatak 9. Pronađite neprave integrale ili dokažite da divergiraju.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Zadatak 10. Nađite površinu područja ograničenog krivuljama
1. 
.2. 
.
5. 6. 
7. , 
.8.
.
10. , 
.
Poglavlje 4. Diferencijalni račun funkcija više varijabli.
Zadatak 11. Nađi domenu definiranosti funkcije (prikaži na crtežu).
Zadatak 12. Istražite neprekidnost funkcije at
Zadatak 13. Naći derivaciju implicitno zadane funkcije.
Zadatak 14. Izračunaj približno
1. a) ;b) 
; V) 
2. a) 
; b) ; V) 
.
3. a) 
; b) 
; V) .
4. a) 
; b) 
; V) .
5. a); b) 
; V) .
6. a); b) ; V) .
7. a); b) 
; V) .
8. a) ;b) 
; V)
9. a) 
; b) ; V) 
.
10. a) ;b) 
; V) 
Zadatak 15. Istražite funkciju za ekstreme.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Zadatak 16. Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom zatvorenom području.
1. u pravokutniku 
2. 
3. u pravokutniku
4. u području ograničenom parabolom
I x-os.
5. na kvadrat
6. u trokutu ograničenom koordinatnim osima i pravcem
7. u trokutu ograničenom koordinatnim osima i pravcem
8. 
u trokutu omeđenom koordinatnim osima i pravcem
9. u području ograničenom parabolom
I x-os.
10. u području ograničenom parabolom
I x-os.
Glavni
1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Osnove matematike i njezina primjena u ekonomskom obrazovanju: Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.
2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomske specijalnosti: Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.
3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomskog prvostupnika. Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2005.
4. Viša matematika za ekonomiste. Udžbenik za sveučilišta / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; ur. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izdanje, revidirano. i dodatni – M: JEDINSTVO, 2003.
5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Viša matematika za ekonomske specijalnosti. Udžbenik i radionica (I. i II. dio) / Ured. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izdanje, revidirano. i dodatni – M: Visoko obrazovanje, 2007. – 893 str. – (Osnove znanosti)
6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. M. Viša škola. 1999. godine.
Dodatni
1. I.I. Bavrin, V.L. Mornari. Viša matematika. "Humanitarno izdavački centar Vlados", 2002.
2. I.A. Zajcev. Viša matematika. "Viša škola", 1998.
3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika u ekonomiji /u dva dijela/. M. Financije i statistika. 1999. godine.