Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
Otopina
2. Izračunajte granicu niza brojeva:
3. Izračunajte granicu niza brojeva:
4. Izračunajte granicu niza brojeva:
5. Izračunajte granicu niza brojeva:
6. Izračunajte granicu niza brojeva:
7. Izračunajte granicu niza brojeva:
8. Izračunajte granicu niza brojeva:
9. Izračunajte granicu niza brojeva:
10. Izračunajte granicu niza brojeva:
11. Izračunajte granicu niza brojeva:
1) Iz brojnika i nazivnika odaberite faktor koji daje najveći doprinos i smanjite za njega
2) U ovom tipu primjera morate ukloniti faktor u najvećoj mjeri ispod korijena u nazivniku
3) Potrebno je proširiti na najveći zajednički faktorijel
4) U ovom primjeru raste puno brže, pa ga izdvajamo kao najveći faktor
5) Količine i teže nuli pri . Na temelju toga izračunavamo granicu
Rješenje većine ovih primjera je pronaći dominantni faktor. Ako je u brojniku, tada granica ide u beskonačnost, u nazivniku - na nulu. I samo kada u oba slučaja možemo smanjiti razlomak ovim faktorom i dobiti granicu u obliku konstante.
Vježba:
1. Analizirajte rješenja razmatranih primjera
2. Izračunajte sljedeće granice:
Odjeljak 2. Počeci matematičke analize
(Samostalan rad 48 sati.)
2.1. Izvod implicitne funkcije (4 sata).
Primjer 1. Naći derivaciju implicitne funkcije
Otopina. Budući da je y funkcija od X, onda ćemo razmotriti y 2 kao složena funkcija X. Stoga, . Razlikovanje po X obje strane ove jednadžbe, dobivamo, tj.
Primjer 2. Naći derivaciju implicitne funkcije
Otopina. Razlikovanje po X
Primjer 3. Naći derivaciju implicitne funkcije
Otopina. Razlikovanje po X obje strane ove jednadžbe, dobivamo
1. Nađite derivaciju f ’(x).
2. Naći stacionarne točke ove funkcije, t.j. točke na kojima
3. Nađite drugu derivaciju f ’’(x).
4. Istražite predznak druge derivacije u svakoj stacionarnoj točki. Ako se druga derivacija pokaže negativnom, tada funkcija u takvoj točki ima maksimum, a ako je pozitivna, tada ima minimum. Ako je druga derivacija jednaka nuli, tada se ekstrem funkcije mora tražiti pomoću prve derivacije.
5. Izračunajte vrijednosti funkcije u točkama ekstrema.
Primjer. Ispitajte ekstremum koristeći drugu derivaciju funkcije: f(x) = x 2 – 2x - 3.
Rješenje: Nađite derivaciju: f ‘(x) = 2x - 2.
Rješavanjem jednadžbe f ’(x) = 0 dobivamo stacionarnu točku x =1. Nađimo sada drugu derivaciju: f ’’(x) = 2.
Kako je druga derivacija pri) = x 2 – 2x - 3. u stacionarnoj točki pozitivna, f''(1) = 2 > 0, tada pri x = 1 funkcija ima minimum: f min = f(1) = -4.
Odgovor: Najmanja točka ima koordinate (1; -4).
Zadaci.
1. Razmotrite i analizirajte razmatrana rješenja primjera na ove teme.
2. Istražite ekstremum koristeći drugu derivaciju funkcije:
a) f(x) = 1 – x 4;
b) f(x) = x 3 - 1;
2.3. Primjena derivata na rješavanje fizikalnih problema (11 sati).
2.4. Sastavljanje križnih brojeva na temu "Određeni integral"
2.5 Izračun volumena tijela i duljine luka krivulje (12 sati)
Prvo značajno ograničenje je sljedeća jednakost:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Budući da za $\alpha\to(0)$ imamo $\sin\alpha\to(0)$, kažu da prva značajna granica otkriva nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Općenito govoreći, u formuli (1) umjesto varijable $\alpha$ ispod znaka sinusa i nazivnika može se staviti bilo koji izraz, ako su ispunjena dva uvjeta:
- Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku istovremeno teže nuli, tj. postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.
- Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku su isti.
Korolari iz prve izvanredne granice također se često koriste:
\begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \kraj(jednadžba)
Na ovoj stranici riješeno je jedanaest primjera. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2)-(4). Primjeri br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 sadrže rješenja s detaljnim komentarima. Primjeri br. 6-10 sadrže rješenja praktički bez komentara, jer su detaljna objašnjenja data u prethodnim primjerima. Rješenje koristi neke trigonometrijske formule koje se mogu pronaći.
Dopustite mi da primijetim da prisutnost trigonometrijskih funkcija zajedno s nesigurnošću $\frac (0) (0)$ ne znači nužno primjenu prve značajne granice. Ponekad su dovoljne jednostavne trigonometrijske transformacije - na primjer, vidi.
Primjer br. 1
Dokažite da je $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Budući da je $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Budući da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Da:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Napravimo promjenu $\alpha=\sin(y)$. Budući da je $\sin(0)=0$, tada iz uvjeta $\alpha\to(0)$ imamo $y\to(0)$. Osim toga, postoji okolina nule u kojoj je $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, pa je:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Dokazana je jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.
c) Napravimo zamjenu $\alpha=\tg(y)$. Budući da je $\tg(0)=0$, tada su uvjeti $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ ekvivalentni. Osim toga, postoji okolina nule u kojoj $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prema tome, na temelju rezultata točke a), imat ćemo:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Dokazana je jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
Jednakosti a), b), c) često se koriste uz prvu značajnu granicu.
Primjer br. 2
Izračunajte granicu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Budući da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno)=\sin(0)=0$, tj. a brojnik i nazivnik razlomka istovremeno teže nuli, onda se ovdje radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$, tj. Gotovo. Osim toga, jasno je da se izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku podudaraju (tj. i da je zadovoljeno):
Dakle, ispunjena su oba uvjeta navedena na početku stranice. Iz ovoga slijedi da je formula primjenjiva, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Odgovor: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Primjer br. 3
Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, tada imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac (0 )(0)$, tj. Gotovo. Međutim, izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku se ne podudaraju. Ovdje je potrebno prilagoditi izraz u nazivniku željenom obliku. Trebamo izraz $9x$ da bude u nazivniku, tada će postati istina. U biti, nedostaje nam faktor od 9$ u nazivniku, koji nije tako teško unijeti—samo pomnožite izraz u nazivniku s 9$. Naravno, da biste kompenzirali množenje s 9$, morat ćete odmah podijeliti s 9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Sada se izrazi u nazivniku i pod znakom sinusa podudaraju. Oba uvjeta za granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ su zadovoljena. Prema tome, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znači da:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Primjer br. 4
Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ovdje se radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, forma prve izvanredne granice je prekršena. Brojnik koji sadrži $\sin(5x)$ zahtijeva nazivnik $5x$. U ovoj situaciji, najlakši način je podijeliti brojnik s $5x$ i odmah pomnožiti s $5x$. Osim toga, izvršit ćemo sličnu operaciju s nazivnikom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ s $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Smanjujući za $x$ i uzimajući konstantu $\frac(5)(8)$ izvan graničnog znaka, dobivamo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Imajte na umu da $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ u potpunosti zadovoljava zahtjeve za prvu značajnu granicu. Za pronalaženje $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ primjenjiva je sljedeća formula:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Primjer br. 5
Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Budući da je $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (zapamtite da $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, kako biste primijenili prvu značajnu granicu, trebali biste se riješiti kosinusa u brojniku i prijeći na sinuse (kako biste zatim primijenili formulu) ili tangente (kako biste zatim primijenili formulu). To se može učiniti sljedećom transformacijom:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Vratimo se na limit:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\lijevo(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$
Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ već je blizu oblika potrebnog za prvu značajnu granicu. Poradimo malo s razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, prilagođavajući ga prvoj značajnoj granici (imajte na umu da se izrazi u brojniku i ispod sinusa moraju podudarati):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2$$
Vratimo se na ograničenje koje razmatramo:
$$ \lim_(x\to(0))\lijevo(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ))\lijevo(25\cos(5x)\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2\desno)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Primjer br. 6
Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Budući da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, tada imamo posla s neizvjesnošću $\frac(0)(0)$. Otkrijmo to uz pomoć prve značajne granice. Da bismo to učinili, prijeđimo s kosinusa na sinuse. Budući da je $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Prelazeći na sinuse u zadanoj granici, imat ćemo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\lijevo(\ frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Primjer br. 7
Izračunajte granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ podložno $\alpha\neq \ beta$.
Detaljna objašnjenja dana su ranije, ali ovdje jednostavno napominjemo da ponovno postoji nesigurnost $\frac(0)(0)$. Prijeđimo s kosinusa na sinuse pomoću formule
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Pomoću ove formule dobivamo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\lijevo|\frac(0)( 0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\desno)\cdot\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x)\cdot\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\desno)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Primjer br. 8
Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Budući da je $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, onda se ovdje radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$. Raščlanimo to na sljedeći način:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\lijevo(\frac(1)(\cos(x))-1\desno))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\lijevo(1-\cos(x)\desno))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\cdot\lijevo(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\desno) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Primjer br. 9
Pronađite granicu $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Budući da je $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njezino širenje, zgodno je napraviti promjenu varijable na takav način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha \to 0$). Najlakši način je uvesti varijablu $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti daljnjih transformacija (ova se korist može vidjeti u tijeku rješenja danog u nastavku), vrijedi izvršiti sljedeću zamjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Napominjem da su obje zamjene primjenjive u ovom slučaju, samo što će vam druga zamjena omogućiti manje rada s razlomcima. Budući da je $x\to(3)$, onda $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\lijevo|\frac (0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\lijevo(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Odgovor: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Primjer br. 10
Pronađite granicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^ 2 )$.
Opet imamo posla s neizvjesnošću $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njeno proširenje, zgodno je napraviti promjenu varijable na takav način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha\to(0)$). Najlakši način je uvesti varijablu $t=\frac(\pi)(2)-x$. Budući da $x\to\frac(\pi)(2)$, onda $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\lijevo(\frac(\pi)(2)-t\desno))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\desno)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\frac(1)(2)$.
Primjer br. 11
Pronađite granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
U ovom slučaju ne moramo koristiti prvu divnu granicu. Imajte na umu da i prva i druga granica sadrže samo trigonometrijske funkcije i brojeve. Često je u primjerima ove vrste moguće pojednostaviti izraz koji se nalazi ispod znaka granice. Štoviše, nakon spomenutog pojednostavljenja i smanjenja nekih faktora, nesigurnost nestaje. Dao sam ovaj primjer samo s jednom svrhom: da pokažem da prisutnost trigonometrijskih funkcija ispod znaka granice ne znači nužno korištenje prve značajne granice.
Budući da je $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (zapamtite da $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (da vas podsjetim da $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada imamo koji se bave nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, to ne znači da ćemo morati koristiti prvu divnu granicu. Da bi se otkrila nesigurnost, dovoljno je uzeti u obzir da je $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Slično rješenje nalazi se u Demidovičevu rješeniku (br. 475). Što se tiče druge granice, kao u prethodnim primjerima u ovom odjeljku, imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Zašto nastaje? Nastaje jer $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Koristimo ove vrijednosti za transformaciju izraza u brojniku i nazivniku. Cilj našeg djelovanja je da zbroj u brojniku i nazivniku zapišemo kao umnožak. Usput, često je unutar sličnog tipa zgodno promijeniti varijablu, napravljenu na takav način da nova varijabla teži nuli (vidi, na primjer, primjere br. 9 ili br. 10 na ovoj stranici). Međutim, u ovom primjeru nema smisla zamjenjivati, iako po želji zamjenu varijable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nije teško implementirati.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ do\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\lijevo(\cos(x)+\frac(1)(2)\desno )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\lijevo(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\desno))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo( -\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Kao što vidite, nismo morali primijeniti prvo divno ograničenje. Naravno, možete to učiniti ako želite (vidi napomenu ispod), ali nije nužno.
Koje je rješenje korištenjem prve značajne granice? pokazati\sakrij
Korištenjem prve značajne granice dobivamo:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\ desno))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\desno) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Definicija limita niza i funkcije, svojstva limita, prvi i drugi remarkantni limit, primjeri.
Konstantan broj A nazvao ograničiti sekvence(x n ), ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj ε > 0 postoji broj N takav da sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost
Zapišite to na sljedeći način: ili x n → a.
Nejednadžba (6.1) ekvivalentna je dvostrukoj nejednadžbi
a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε , a+ε), tj. padaju u bilo koju malu ε-okolicu točke A.
Niz koji ima limes naziva se konvergentan, inače - divergentan.
Koncept limita funkcije generalizacija je koncepta limita niza, budući da se limit niza može smatrati limitom funkcije x n = f(n) argumenta cijelog broja n.
Neka je dana funkcija f(x) i neka a - granična točka domena definicije ove funkcije D(f), tj. takva točka, čija svaka okolina sadrži točke skupa D(f) osim a. Točka a mogu i ne moraju pripadati skupu D(f).
Definicija 1. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→ a, ako za bilo koji niz (x n ) vrijednosti argumenata teže A, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju isti limit A.
Ova definicija se zove određivanje limita funkcije prema Heineu, ili " u jeziku sekvenci”.
Definicija 2. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→a, ako je zadan proizvoljan, proizvoljno mali pozitivan broj ε, može se naći takav δ >0 (ovisno o ε) da za sve x, koji leži u ε-okolici broja A, tj. Za x, zadovoljavajući nejednakost
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Ova definicija se zove definiranjem limita funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ"
Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako funkcija f(x) pri x → a ima ograničiti, jednako A, ovo je zapisano u obliku
U slučaju da niz (f(x n)) raste (ili opada) bez ograničenja za bilo koju metodu aproksimacije x do svoje granice A, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i zapiši u obliku:
Poziva se varijabla (tj. niz ili funkcija) čija je granica nula beskrajno malen.
Varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti naziva se beskrajno velik.
Za pronalaženje limita u praksi koriste se sljedeći teoremi.
Teorem 1 . Ako svaka granica postoji
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentar. Izrazi u obliku 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ su nesigurni, na primjer, omjer dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih veličina, a pronalaženje granice ovog tipa naziva se "otkrivanje nesigurnosti".
Teorem 2.
one. može se ići do granice na temelju potencije s konstantnim eksponentom, posebno, 
Teorem 3.
(6.11)
Gdje e» 2.7 - baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) nazivaju se prvi izvanredni limit i drugi izvanredni limit.
Posljedice formule (6.11) također se koriste u praksi:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
posebno granica,
Ako je x → a, a istodobno x > a, tada pišemo x → a + 0. Ako je, naime, a = 0, tada umjesto simbola 0+0 pišemo +0. Slično, ako je x→a i istodobno x 
. Poziva se funkcija f(x). stalan u točki x 0 ako je granica
(6.15)
Uvjet (6.15) može se prepisati kao:
odnosno granični prijelaz pod znakom funkcije moguć je ako je ona kontinuirana u danoj točki.
Ako je jednakost (6.15) povrijeđena, onda to kažemo na x = xo funkcija f(x) ima praznina Promotrimo funkciju y = 1/x. Područje definiranja ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Točka x = 0 je granična točka skupa D(f), budući da je u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. u svakom otvorenom intervalu koji sadrži točku 0 postoje točke iz D(f), ali on sam ne pripada tom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) je nedefinirana, pa u točki x o = 0 funkcija ima diskontinuitet.
Poziva se funkcija f(x). kontinuirano s desne strane u točki x o ako granica
I kontinuirano s lijeve strane u točki x o, ako je granica
Kontinuitet funkcije u točki x o je ekvivalentan svom kontinuitetu u ovoj točki i desno i lijevo.
Da bi funkcija bila kontinuirana u točki x o, npr. desno, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica, i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Dakle, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati diskontinuitet.
1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u točki x o ima ruptura prve vrste, ili skok.
2. Ako je granica +∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da in točka x o funkcija ima diskontinuitet druga vrsta.
Na primjer, funkcija y = ctg x pri x → +0 ima limes jednak +∞, što znači da u točki x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio od x) u točkama s cijelim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.
Naziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj točki intervala stalan V . Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivuljom.
Mnogi problemi povezani s kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge značajne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast depozita prema zakonu složenih kamata, rast stanovništva zemlje, raspad radioaktivnih tvari, proliferaciju bakterija itd.
Razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složenih kamata. Broj e postoji granica 
. U štedionicama se kamate godišnje dodaju osnovnom kapitalu. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer veći iznos sudjeluje u formiranju kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka 100 deniera bude položeno u banku. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata pridoda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do tog roka 100 den. jedinice pretvorit će se u 200 novčanih jedinica. Sada da vidimo u što će se pretvoriti 100 denizea. jedinica, ako se novac od kamata dodaje stalnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest mjeseci, 100 den. jedinice će narasti za 100 × 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godinu dana 100 den. jedinice pretvorit će se u 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. jedinice). Povećat ćemo uvjete za dodavanje kamata na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Zatim od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. jedinice),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. jedinice),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. jedinice).
S neograničenim smanjenjem uvjeta za dodavanje kamata, akumulirani kapital ne raste neograničeno, već se približava određenoj granici jednakoj približno 271. Kapital položen uz 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako obračunate kamate dodavali su se kapitalu svake sekunde jer je ograničenje
Primjer 3.1.
Otopina. Koristeći definiciju limita brojevnog niza, dokažite da niz x n =(n-1)/n ima limit jednak 1.< ε
Moramo dokazati da, bez obzira koji ε > 0 uzmemo, za njega postoji prirodan broj N takav da za sve n > N vrijedi nejednakost |x n -1|<ε. Отсюда n>Uzmite bilo koji ε > 0. Budući da je x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednadžbu 1/n
1/ε i stoga se N može uzeti kao cijeli broj od 1/ε N = E(1/ε). Time smo dokazali da granica . Primjer 3.2.
.
Pronađite granicu niza zadanog zajedničkim članom x n Otopina. Primijenimo limit teorema o zbroju i pronađimo limit svakog člana. Kako je n → ∞, brojnik i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo izravno primijeniti teorem o granici kvocijenta. Stoga, prvo transformiramo dijeleći brojnik i nazivnik prvog člana s n 2 n, a drugi na
. Zatim, primjenom granice kvocijenta i granice teorema zbroja, nalazimo:. 
Primjer 3.3
. pronaći .
Ovdje smo upotrijebili teorem granice stupnja: granica stupnja jednaka je stupnju granice baze. Primjer 3.4 
).
. Pronađite (
Otopina. Nemoguće je primijeniti teorem granice razlike jer imamo nesigurnost oblika ∞-∞. Transformirajmo formulu općeg pojma: Primjer 3.5
Otopina.. Dana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokažite da granica ne postoji. 
Upotrijebimo definiciju 1 limita funkcije kroz niz. Uzmimo niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očito, tada granica x n Izaberimo sada kao 
niz sa zajedničkim članom x n = -1/n, koji također teži nuli.
Stoga nema ograničenja. Primjer 3.6
Otopina.. Dokažite da granica ne postoji.
Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞ Ako je x n = p n, tada je sin x n = sin (str n n) = 0 za sve
a granica Ako x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p n/2 = 1 za sve
Ograničenja svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili ograničenje, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz niza metoda rješenja upravo onu koja je prikladna za određeni primjer.
U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih mogućnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati nekoliko detaljnih primjera rješavanja granica s objašnjenjima.
Pojam limita u matematici
Prvo pitanje je: koja je to granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limesa funkcije jer se s njim učenici najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija ograničenja:
Recimo da postoji neka promjenjiva vrijednost. Ako se ta vrijednost u procesu promjene neograničeno približava određenom broju a , To a – granica ove vrijednosti.
Za funkciju definiranu u određenom intervalu f(x)=y takav se broj naziva limitom A , kojoj funkcija teži kada X , težeći određenoj točki A . Točka A pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.
Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:
Lim- s engleskog ograničiti- granica.
Postoji i geometrijsko objašnjenje za određivanje granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo X teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.
Navedimo konkretan primjer. Zadatak je pronaći granicu.
Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:
Usput, ako vas zanimaju osnovne operacije na matricama, pročitajte poseban članak o ovoj temi.
U primjerima X može težiti bilo kojoj vrijednosti. To može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada X teži beskonačnosti:
Intuitivno, što je veći broj u nazivniku, to će funkcija imati manju vrijednost. Dakle, s neograničenim rastom X značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.
Kao što vidite, da biste riješili granicu, samo trebate zamijeniti vrijednost kojoj težite u funkciju X . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar granica postoje neizvjesnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Pribjegavajte trikovima!
Neizvjesnosti unutar
Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost
Neka postoji granica:
Pokušamo li u funkciju zamijeniti beskonačnost, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s X u višem stupnju. Što će se dogoditi?
Iz primjera o kojem smo već raspravljali, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:
Za rješavanje nesigurnosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa X do najvišeg stupnja.
Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na bilo koju vrstu posla
Druga vrsta nesigurnosti: 0/0
Kao i uvijek, zamjena vrijednosti u funkciju x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Pronađimo korijene i napišimo:
Smanjimo i dobijemo:
Dakle, ako ste suočeni s nesigurnošću tipa 0/0 – rastavljaju brojnik i nazivnik.
Kako bismo vam olakšali rješavanje primjera, donosimo tablicu s ograničenjima nekih funkcija:
L'Hopitalova vladavina unutar
Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?
Ako postoji nesigurnost u granici, uzimajte derivaciju brojnika i nazivnika dok nesigurnost ne nestane.
L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:
Važna točka : granica u kojoj umjesto brojnika i nazivnika moraju postojati izvedenice brojnika i nazivnika.
A sada - pravi primjer:
Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmimo izvodnice brojnika i nazivnika:
Voila, neizvjesnost se rješava brzo i elegantno.
Nadamo se da ćete ove informacije moći korisno primijeniti u praksi i pronaći odgovor na pitanje “kako riješiti granice u višoj matematici”. Ako trebate izračunati limes niza ili limes funkcije u točki, a nemate vremena za taj posao, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.
Elementarne funkcije i njihovi grafovi.
Glavne elementarne funkcije su: potencijska funkcija, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije, te polinom i racionalna funkcija, koja je omjer dvaju polinoma.
U elementarne funkcije ubrajaju se i one funkcije koje se dobivaju iz elementarnih primjenom osnovne četiri računske operacije i formiranjem složene funkcije.
Grafovi elementarnih funkcija
| Ravna linija- graf linearne funkcije y = sjekira + b. Funkcija y monotono raste za a > 0 i opada za a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
 | Parabola- graf kvadratne trinomske funkcije y = ax 2 + bx + c. Ima okomitu os simetrije. Ako je a > 0, ima minimum ako je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0 |
 | Hiperbola- graf funkcije. Kada je a > O nalazi se u I i III četvrtini, kada je a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ili y - - x(a< 0). |
 | Eksponencijalna funkcija. Izlagač(eksponencijalna funkcija prema bazi e) y = e x. (Drugi pravopis y = exp(x)). Asimptota je apscisna os. |
| Logaritamska funkcija y = log a x(a > 0) | |
 | y = sinx. Sinusni val- periodička funkcija s periodom T = 2π |
Ograničenje funkcije.
Funkcija y=f(x) ima broj A kao limit dok x teži a, ako za bilo koji broj ε › 0 postoji broj δ › 0 takav da je | y – A | ‹ ε ako je |x - a| ‹ δ,
ili lim y = A
Kontinuitet funkcije.
Funkcija y=f(x) je neprekidna u točki x = a ako je lim f(x) = f(a), tj.
limit funkcije u točki x = a jednak je vrijednosti funkcije u danoj točki.
Pronalaženje limita funkcija.
Osnovni teoremi o granicama funkcija.
1. Granica konstantne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti:
2. Limes algebarskog zbroja jednak je algebarskom zbroju limesa ovih funkcija:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. Limes umnoška više funkcija jednak je umnošku limesa tih funkcija:
lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. Limes kvocijenta dviju funkcija jednak je kvocijentu limesa tih funkcija ako limes nazivnika nije jednak 0:
lim------- = ----------
Prva značajna granica: lim --------- = 1
Druga značajna granica: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
Primjeri nalaženja limesa funkcija.
5.1. Primjer:
Svaki limit sastoji se od tri dijela:
1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja. Unos glasi "X ima tendenciju na jedan." Najčešće je to x, iako umjesto “x” može biti bilo koja druga varijabla. Umjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačno 0 ili .
3) Funkcije pod znakom granice, u ovom slučaju .
Sama snimka glasi ovako: "granica funkcije dok x teži jedinici."
Vrlo važno pitanje - što znači izraz "x"? nastoji do jednog"? Izraz "x" nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se jedinstvu približavaju beskonačno blizu i praktički koincidiraju s njim.
Kako riješiti gornji primjer? Na temelju gore navedenog, trebate samo zamijeniti jedan u funkciju ispod znaka granice:
Dakle, prvo pravilo : Kada dobijete ograničenje, prvo jednostavno uključite broj u funkciju.
5.2. Primjer s beskonačnošću:
Hajdemo shvatiti što je to? To je slučaj kada raste bez ograničenja.
Dakle: ako , zatim funkcija teži minus beskonačno:
Prema našem prvom pravilu, umjesto "X" zamijenimo funkciju beskonačnost i dobivamo odgovor.
5.3. Još jedan primjer s beskonačnošću:
Opet počinjemo povećavati do beskonačnosti i promatramo ponašanje funkcije.
Zaključak: funkcija se neograničeno povećava
5.4. Niz primjera:
Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće primjere i riješiti najjednostavnije vrste granica:
, , , , 
, , , , 
,
Što trebate zapamtiti i razumjeti od navedenog?
Kada dobijete bilo kakvo ograničenje, prvo jednostavno uključite broj u funkciju. U isto vrijeme, morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao što su 
,
,
itd.
6. Granice s nesigurnošću tipa i metoda za njihovo rješavanje.
Sada ćemo razmotriti grupu granica kada je , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome.
6.1. Primjer:
Izračunajte granicu 
Prema našem pravilu, pokušavamo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove neizvjesnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je = 1 i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neku tehniku rješenja koju ćemo sada razmotriti.
Kako riješiti limite ove vrste?
Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu:
Vodeća potencija u brojniku je dvojka.
Sada gledamo nazivnik i također ga nalazimo na najveću potenciju:
Najviši stupanj nazivnika je dva.
Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki su dva.
Dakle, metoda rješenja je sljedeća: otkriti neizvjesnost morate brojnik i nazivnik podijeliti sa u višem stupnju.
Dakle, odgovor nije 1.
Primjer
Pronađite granicu 
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju: 
Maksimalni stupanj u brojniku: 3
Maksimalni stupanj u nazivniku: 4
Odaberite najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik s .
Primjer
Pronađite granicu
Maksimalni stupanj "X" u brojniku: 2
Maksimalni stupanj "X" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s . Konačno rješenje može izgledati ovako:
Podijelite brojnik i nazivnik s
