Danas ćemo u razredu pogledati strogi redoslijed I stroga definicija limita funkcije, te naučiti rješavati relevantne probleme teorijske prirode. Članak je prvenstveno namijenjen studentima 1. godine prirodnih znanosti i tehničkih specijalnosti koji su započeli proučavanje teorije matematičke analize i naišli su na poteškoće u razumijevanju ovog dijela viša matematika. Osim toga, materijal je prilično dostupan srednjoškolcima.

Tijekom godina postojanja stranice dobio sam desetak pisama otprilike sljedećeg sadržaja: “Ne razumijem se dobro u matematičku analizu, što da radim?”, “Uopće se ne razumijem u matematiku, ja sam razmišljam o prekidu studija” itd. I doista, matan je taj koji često prorijedi studentsku grupu nakon prve sesije. Zašto je to tako? Zato što je predmet nezamislivo složen? Nimalo! Teorija matematičke analize nije toliko teška koliko je osebujna. I trebate je prihvatiti i voljeti takvu kakva jest =)

Počnimo s najtežim slučajem. Prva i najvažnija stvar je da ne morate odustati od studija. Shvatite dobro, uvijek možete odustati;-) Naravno, ako vam nakon godinu ili dvije bude muka od odabrane specijalnosti, onda da, trebali biste razmisliti o tome (i nemoj se ljutiti!) o promjeni djelatnosti. Ali za sada vrijedi nastaviti. I molim vas, zaboravite rečenicu "Ništa ne razumijem" - ne događa se da UOPĆE ništa ne razumijete.

Što učiniti ako je teorija loša? Ovo se, usput, ne odnosi samo na matematičku analizu. Ako je teorija loša, onda se prvo treba OZBILJNO posvetiti praksi. U ovom slučaju rješavaju se dva strateška zadatka odjednom:

– Prvo, značajan udio teorijskog znanja nastao je kroz praksu. I zato mnogi ljudi razumiju teoriju kroz... – tako je! Ne, ne, ne razmišljaš o tome =)

– I, drugo, praktične vještine će vas vrlo vjerojatno “izvući” kroz ispit, čak i ako... ali nemojmo se toliko uzbuđivati! Sve je pravo i sve se može "podići" u prilično kratkom vremenu. Matematička analiza je moj omiljeni dio više matematike i stoga jednostavno nisam mogao a da vam ne pružim ruku pomoći:

Na početku 1. semestra obično se obrađuju granice slijeda i funkcije. Ne razumijete što je to i ne znate kako ih riješiti? Počnite s člankom Ograničenja funkcija, u kojem se “na prste” ispituje sam pojam i analiziraju najjednostavniji primjeri. Zatim, obradite druge lekcije na tu temu, uključujući lekciju o unutar sekvenci, o čemu sam zapravo već formulirao strogu definiciju.

Koje simbole osim znakova nejednakosti i modula poznajete?

– duga okomita palica glasi ovako: “takvo to”, “takvo to”, “takvo to” ili “takvo to”, u našem slučaju, očito, govorimo o broju - dakle “takvom”;

– za sve “en” veće od ;

– znak modula znači udaljenost, tj. ovaj unos nam govori da je udaljenost između vrijednosti manja od epsilon.

Pa, je li smrtno teško? =)

Nakon savladavanja prakse, veselim se što ću vas vidjeti u sljedećem odlomku:

I zapravo, razmislimo malo – kako formulirati strogu definiciju niza? ...Prvo što mi pada na pamet na svijetu praktična nastava: “granica niza je broj kojem se članovi niza beskonačno približavaju.”

U redu, zapišimo podslijed :

Nije to teško razumjeti podslijed približavaju se beskonačno blizu broju –1 i parnim članovima – na “jedan”.

Ili možda postoje dvije granice? Ali zašto ih onda nijedan niz ne može imati deset ili dvadeset? Ovako možete daleko dogurati. S tim u vezi logično je pretpostaviti da ako niz ima granicu, onda je jedinstven.

Bilješka : niz nema ograničenja, ali se iz njega mogu razlikovati dva podniza (vidi gore), od kojih svaki ima svoj limit.

Stoga se gornja definicija pokazuje neodrživom. Da, radi za slučajeve poput (što nisam sasvim ispravno upotrijebio u pojednostavljenim objašnjenjima praktičnih primjera), ali sada moramo pronaći strogu definiciju.

Pokušaj drugi: “granica niza je broj kojem se približavaju SVI članovi niza, osim možda njihovih konačni količine." Ovo je bliže istini, ali ipak nije sasvim točno. Tako, na primjer, niz polovica članova uopće se ne približava nuli - jednostavno su joj jednaki =) Usput, "trepereće svjetlo" općenito ima dvije fiksne vrijednosti.

Formulaciju nije teško razjasniti, ali onda se postavlja još jedno pitanje: kako napisati definiciju matematičkim simbolima? Znanstveni svijet Dugo sam se borio s tim problemom dok nisam riješio situaciju slavni maestro, koji je, u biti, formalizirao klasičnu matematičku analizu u svoj njezinoj strogosti. Cauchy je predložio operaciju okruženje , koji je značajno unaprijedio teoriju.

Razmotrite neku točku i njezinu proizvoljan-okruženje:

Vrijednost "epsilon" je uvijek pozitivna, i, štoviše, imamo ga pravo sami izabrati. Pretpostavimo da u ovom susjedstvu ima mnogo članova (ne nužno sve) neki slijed. Kako zapisati činjenicu da je, primjerice, deseti termin u susjedstvu? Neka bude s njegove desne strane. Tada bi udaljenost između točaka i trebala biti manja od “epsilon”: . Međutim, ako se "x desetina" nalazi lijevo od točke "a", tada će razlika biti negativna, pa joj se mora dodati znak modul: .

Definicija: broj se naziva limitom niza ako za bilo koji njegovu okolinu (unaprijed odabrano) postoji prirodan broj TAKAV da SVEčlanovi niza s većim brojevima bit će unutar susjedstva:

Ili ukratko: ako

Drugim riječima, koliko god malu "epsilon" vrijednost koju uzmemo, prije ili kasnije "beskonačni rep" niza će POTPUNO biti u ovom susjedstvu.

Na primjer, "beskonačni rep" niza će POTPUNO ući u bilo koju proizvoljno malu okolinu točke. Dakle, ova vrijednost je granica niza po definiciji. Dopustite mi da vas podsjetim da se niz čija je granica nula naziva infinitezimalnog.

Treba napomenuti da za niz više nije moguće reći "beskrajni rep" će ući“- članovi s neparnim brojevima zapravo su jednaki nuli i “nikamo ne idu” =) Zato je u definiciji korišten glagol “pojaviti se”. I, naravno, članovi ovakvog niza također "nigdje ne idu". Usput, provjerite je li broj njegova granica.

Sada ćemo pokazati da niz nema ograničenja. Razmotrimo, na primjer, susjedstvo točke . Potpuno je jasno da ne postoji taj broj nakon kojeg će SVI pojmovi završiti u datom susjedstvu - neparni pojmovi će uvijek “iskočiti” na “minus jedan”. Iz sličnog razloga, u točki nema ograničenja.

Učvrstimo gradivo vježbom:

Primjer 1

Dokažite da je limit niza nula. Specificirajte broj nakon kojeg će svi članovi niza zajamčeno biti unutar proizvoljno male okoline točke.

Bilješka : Za mnoge nizove, traženi prirodni broj ovisi o vrijednosti - otuda zapis .

Otopina: razmotriti proizvoljan ima li ikakvih broj – tako da će SVI članovi s višim brojevima biti unutar ovog susjedstva:

Da bismo pokazali postojanje traženog broja, izražavamo ga kroz .

Budući da se za bilo koju vrijednost "en", znak modula može ukloniti:

Koristimo „školske“ radnje s nejednakostima koje sam ponavljao u razredu Linearne nejednadžbe I Funkcijska domena. U ovom slučaju, važna okolnost je da su "epsilon" i "en" pozitivni:

Budući da je riječ o prirodnim brojevima s lijeve strane, a desna strana je uglavnom razlomak, potrebno ju je zaokružiti:

Bilješka : ponekad se jedinica doda s desne strane radi sigurnosti, ali u stvarnosti je to pretjerano. Relativno govoreći, ako oslabimo rezultat zaokruživanjem prema dolje, tada će najbliži odgovarajući broj ("tri") i dalje zadovoljavati izvornu nejednakost.

Sada gledamo nejednakost i prisjećamo se što smo u početku razmatrali proizvoljan- susjedstvo, tj. "epsilon" može biti jednako bilo tko pozitivan broj.

Zaključak: za bilo koju proizvoljno malu -okolicu točke, vrijednost je pronađena . Dakle, broj je granica niza po definiciji. Q.E.D.

Usput, iz dobivenog rezultata prirodni obrazac je jasno vidljiv: što je susjedstvo manje, to je broj veći, nakon čega će SVI članovi niza biti u ovom susjedstvu. Ali bez obzira na to koliko malen bio "epsilon", uvijek će postojati "beskonačni rep" unutra, a izvana - čak i ako je velik, međutim konačni broj članova.

Kakvi su vaši dojmovi? =) Slažem se da je malo čudno. Ali strogo! Molim vas ponovno pročitajte i razmislite o svemu.

Pogledajmo sličan primjer i upoznajmo se s drugim tehničkim tehnikama:

Primjer 2

Otopina: po definiciji niza potrebno je dokazati da (reci to naglas!!!).

Razmotrimo proizvoljan- susjedstvo točke i čeka, postoji li prirodni broj – takav da za sve veće brojeve vrijedi nejednakost:

Da biste pokazali postojanje takvog, trebate izraziti "en" kroz "epsilon". Izraz pojednostavljujemo pod znakom modula:

Modul uništava znak minus:

Nazivnik je pozitivan za bilo koji "en", stoga se štapići mogu ukloniti:

Nasumično:

Sada moramo ekstrahirati kvadratni korijen, ali kvaka je u tome što će za neki "epsilon" desna strana biti negativna. Da biste izbjegli ovu nevolju ojačajmo nejednakost po modulu:

Zašto se to može učiniti? Ako se, relativno gledano, pokaže da je , tada će i uvjet biti zadovoljen. Modul može samo povećaj traženi broj, a i to će nam odgovarati! Grubo rečeno, ako odgovara stoti, onda odgovara i dvjestoti! Prema definiciji, trebate pokazati sama činjenica postojanja broja(barem neki), nakon čega će svi članovi niza biti u -susjedstvu. Usput, zato se ne bojimo konačnog zaokruživanja desne strane prema gore.

Vađenje korijena:

I zaokružite rezultat:

Zaključak: jer vrijednost "epsilon" odabrana je proizvoljno, tada je vrijednost pronađena za bilo koju proizvoljno malu okolinu točke , tako da za sve veće brojeve vrijedi nejednakost . dakle, po definiciji. Q.E.D.

savjetujem posebno razumijevanje jačanja i slabljenja nejednakosti tipične su i vrlo uobičajene tehnike matematičke analize. Jedino što trebate pratiti je ispravnost ove ili one akcije. Tako, na primjer, nejednakost ni pod kojim uvjetima nije moguće popustiti, oduzimajući, recimo, jedan:

Opet, uvjetno: ako broj točno odgovara, onda prethodni možda više ne odgovara.

Sljedeći primjer za neovisno rješenje:

Primjer 3

Dokažite to pomoću definicije niza

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ako slijed beskrajno velik, tada se definicija granice formulira na sličan način: točka se naziva granica niza ako za bilo koji, velik koliko hoćeš broj postoji broj takav da će za sve veće brojeve nejednakost biti zadovoljena. Broj je pozvan blizina točke “plus beskonačnost”:

Drugim riječima, kako god velika vrijednost Bez obzira na sve, "beskonačni rep" niza definitivno će ići u -blizinu točke, ostavljajući samo konačan broj članova s ​​lijeve strane.

Standardni primjer:

I stenografski: ako

Za slučaj sami zapišite definiciju. Točna verzija je na kraju lekcije.

Nakon što ste se dočepali praktični primjeri i shvatili ste definiciju limita niza, možete se obratiti literaturi o matematičkoj analizi i/ili svojoj bilježnici za predavanja. Preporučujem preuzimanje prvog sveska Bohana (jednostavnije - za dopisne studente) i Fichtenholtz (opširnije i detaljnije). Među ostalim autorima preporučujem Piskunova, čiji je tečaj namijenjen tehničkim sveučilištima.

Pokušajte savjesno proučavati teoreme koji se tiču ​​limita niza, njihove dokaze, posljedice. U početku se teorija može činiti "mutnom", ali to je normalno - samo se trebate naviknuti. A mnogi će ga i kušati!

Stroga definicija limita funkcije

Počnimo s istom stvari - kako formulirati ovaj koncept? Verbalna definicija limita funkcije formulirana je mnogo jednostavnije: “broj je limit funkcije ako s “x” teži (i lijevo i desno), odgovarajuće vrijednosti funkcije teže » (vidi crtež). Čini se da je sve normalno, ali riječi su riječi, značenje je značenje, ikona je ikona, a strogih matematičkih zapisa nema dovoljno. A u drugom odlomku ćemo se upoznati s dva pristupa rješavanju ovog pitanja.

Neka je funkcija definirana na nekom intervalu, uz moguću iznimku točke. U obrazovnoj literaturi opće je prihvaćeno da funkcija postoji Ne definirano:

Ovaj izbor naglašava bit limita funkcije: "x" beskrajno blizu pristupa, a odgovarajuće vrijednosti funkcije su beskrajno blizu Za . Drugim riječima, pojam limita ne podrazumijeva “točan pristup” točkama, već naime beskonačno bliska aproksimacija, nije bitno je li funkcija definirana u točki ili ne.

Prva definicija limita funkcije, ne iznenađuje, formulirana je pomoću dva niza. Prvo, pojmovi su povezani, a drugo, granice funkcija se obično proučavaju nakon granica nizova.

Razmotrite slijed bodova (nije na crtežu), koji pripada intervalu i različito od, koji konvergira Za . Tada odgovarajuće vrijednosti funkcije također tvore numerički niz, čiji se članovi nalaze na ordinatnoj osi.

Limit funkcije prema Heineu za bilo koji nizovi točaka (pripada i razlikuje se od), koji konvergira u točku, odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira u .

Eduard Heine je njemački matematičar. ...I nema potrebe tako nešto misliti, postoji samo jedan gay u Europi - Gay-Lussac =)

Nastala je druga definicija granice... da, da, u pravu ste. Ali prvo, shvatimo njegov dizajn. Promotrimo proizvoljnu -okolicu točke (“crno” susjedstvo). Na temelju prethodnog stavka zapis znači da neku vrijednost funkcija se nalazi unutar "epsilon" susjedstva.

Sada nalazimo -susjedstvo koje odgovara zadanom -susjedstvu (mentalno nacrtajte crne točkaste linije s lijeva na desno, a zatim odozgo prema dolje). Imajte na umu da je odabrana vrijednost duž duljine manjeg segmenta, u ovom slučaju - duž duljine kraćeg lijevog segmenta. Štoviše, "malina" -susjedstvo točke može se čak i reducirati, jer u sljedećoj definiciji važna je sama činjenica postojanja ovo susjedstvo. I, slično, notacija znači da je neka vrijednost unutar "delta" susjedstva.

Granica Cauchyjeve funkcije: broj se naziva limitom funkcije u točki if za bilo koji unaprijed odabrani susjedstvo (malo koliko želite), postoji-okolica točke, TAKVA, to: KAO SAMO vrijednosti (pripada) uključeno u ovo područje: (crvene strelice)– DAKLE ODMAH je zajamčeno da će odgovarajuće vrijednosti funkcije ući u -susjedstvo: (plave strelice).

Moram vas upozoriti da sam radi jasnoće malo improvizirao, pa nemojte pretjerivati ​​=)

Kratki zapis: , ako

Što je bit definicije? Slikovito govoreći, beskonačnim smanjenjem -susjedstva, "pratimo" vrijednosti funkcije do njihove granice, ne ostavljajući im alternativu pristupu negdje drugdje. Dosta neobično, ali opet strogo! Da biste u potpunosti razumjeli ideju, ponovno pročitajte tekst.

! Pažnja: ako trebate samo formulirati Heineova definicija ili samo Cauchyjeva definicija molim te ne zaboravi na značajan preliminarni komentari: "Razmotrite funkciju koja je definirana na određenom intervalu, uz moguću iznimku točke". Ovo sam jednom rekao na samom početku i nisam svaki put ponavljao.

Prema odgovarajućem teoremu matematičke analize, Heineova i Cauchyjeva definicija su ekvivalentne, ali je druga opcija najpoznatija (naravno!), koja se također naziva "jezično ograničenje":

Primjer 4

Dokažite to pomoću definicije limita

Otopina: funkcija je definirana na cijelom brojevnom pravcu osim točke. Pomoću definicije dokazujemo postojanje limita u danoj točki.

Bilješka : vrijednost susjedstva "delta" ovisi o "epsilon", otuda oznaka

Razmotrimo proizvoljan-okruženje. Zadatak je pomoću te vrijednosti provjeriti je li postoji li-okruženje, TAKVA, što iz nejednakosti slijedi nejednakost .

Pretpostavljajući da , transformiramo posljednju nejednadžbu:
(proširio kvadratni trinom)

Xn su elementi ili članovi niza, n je član niza. Ako je funkcija f(n) dana analitički, tj. formulom, onda se xn=f(n) naziva formula člana niza.

Broj a nazivamo limesom niza (xn) ako za bilo koje ε>0 postoji broj n=n(ε), polazeći od kojeg vrijedi nejednakost |xn-a |

Primjer 2. Dokažite da pod uvjetima primjera 1 broj a=1 nije granica niza prethodnog primjera. Otopina. Ponovno pojednostavite uobičajeni član niza. Uzmimo ε=1 (ovo je bilo koji broj >

Problemi izravnog izračunavanja limita niza prilično su monotoni. Svi oni sadrže relacije polinoma s obzirom na n ili iracionalne izraze s obzirom na te polinome. Na početku rješavanja stavite komponentu najvišeg stupnja izvan zagrade (predznak radikala). Neka to dovede do pojave množitelja a^p za brojnik izvornog izraza i b^q za nazivnik. Očito, svi preostali članovi imaju oblik C/(n-k) i teže nuli pri n>

Prvi način za izračunavanje limita niza temelji se na njegovoj definiciji. Međutim, treba imati na umu da ne pruža načine za izravno traženje granice, već vam samo omogućuje da dokažete da je bilo koji broj a (ili nije) granica. Primjer 1. Dokažite da je niz (xn)=(. (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) ima limit a=3.Rješenje. Provedite dokaz obrnutom primjenom definicije. Odnosno s desna na lijevo. Prvo provjerite je li moguće pojednostaviti formulu za xn.hn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(( n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) Razmotrimo nejednakost |(3n+1)/(n+2)-3|0, možete pronaći bilo koju prirodnu. broj nε veći od -2+ 5/ε.

Primjer 2. Dokažite da pod uvjetima iz primjera 1 broj a=1 nije granica niza iz prethodnog primjera. Otopina. Ponovno pojednostavite zajednički član niza. Uzmimo ε=1 (ovo je bilo koji broj >0). opća definicija|(3n+1)/(n+2)-1|

Problemi izravnog izračunavanja limita niza prilično su monotoni. Svi oni sadrže relacije polinoma s obzirom na n ili iracionalne izraze s obzirom na te polinome. Na početku rješavanja stavite komponentu najvišeg stupnja izvan zagrade (predznak radikala). Neka to dovede do pojave množitelja a^p za brojnik izvornog izraza i b^q za nazivnik. Očito, svi preostali članovi imaju oblik C/(n-k) i teže nuli kao n>k (n teži beskonačnosti). Nakon toga zapišite odgovor: 0 ako je pq.

Naznačimo netradicionalnu metodu za pronalaženje limita niza i beskonačnih suma. Koristit ćemo funkcionalne nizove (njihove funkcijske članove definirane na nekom intervalu (a,b)). Primjer 3. Nađi zbroj oblika 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Rješenje. Bilo koji broj a^0=1. Postavite 1=exp(0) i razmotrite funkcionalni niz (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Ograničenje niza brojeva je granica niza elemenata brojevnog prostora. Brojevni prostor je metrički prostor u kojem je udaljenost definirana kao modul razlike između elemenata. Stoga se broj zove granica niza, Ako za bilo koji postoji broj koji ovisi o takav da za bilo koji nejednakost .

Koncept limita niza realnih brojeva formuliran je prilično jednostavno, i to u slučaju kompleksni brojevi postojanje limita niza je ekvivalentno postojanju limita odgovarajućih nizova realnih i imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva.

Limit (numeričkog niza) jedan je od osnovnih pojmova matematičke analize. Svaki realni broj može se predstaviti kao granica niza aproksimacija do željenu vrijednost. Brojevni sustav osigurava takav niz usavršavanja. Iracionalni cijeli brojevi opisuju se periodičkim nizovima aproksimacija, dok se iracionalni brojevi opisuju neperiodičnim nizovima aproksimacija.

U numeričkim metodama gdje se koristi prikaz brojeva s konačnim brojem predznaka posebnu ulogu ima izbor aproksimacijskog sustava. Kriterij kvalitete aproksimacijskog sustava je brzina konvergencije. U tom smislu, predstavljanje brojeva u obliku kontinuiranih razlomaka pokazalo se učinkovitim.

Definicija

Broj je pozvan granica niza brojeva, ako je niz infinitezimalan, tj. svi njegovi elementi, počevši od određenog, manji su po apsolutnoj vrijednosti od bilo kojeg unaprijed određenog pozitivnog broja.

Ako brojčani niz ima granicu u obliku realnog broja, naziva se konvergentan na ovaj broj. U protivnom se sekvenca zove divergentan . Ako je, osim toga, neograničen, tada se pretpostavlja da je njegova granica jednaka beskonačnosti.

Osim toga, ako svi elementi neograničenog niza, počevši od određenog broja, imaju pozitivan predznak, tada se granica takvog niza kaže da je plus beskonačnost .

Ako elementi neograničenog niza, počevši od određenog broja, imaju negativan predznak, onda se kaže da je limit takvog niza jednak minus beskonačnost .

Ova definicija ima kobnu grešku: objašnjava što je granica, ali ne daje ni metodu za njezino izračunavanje niti informacije o njezinom postojanju. Sve je to izvedeno iz svojstava limita dokazanih u nastavku.

Niz brojeva.
Kako?

U ovoj lekciji naučit ćemo puno zanimljivih stvari iz života članova velike zajednice zvane Vkontakte nizovi brojeva. Tema koja se razmatra ne odnosi se samo na tijek matematičke analize, već se dotiče i osnova diskretna matematika. Osim toga, materijal će biti potreban za svladavanje drugih dijelova tornja, posebno tijekom studija serije brojeva I funkcionalne serije. Možeš otrcano reći da je ovo važno, možeš ohrabrujuće reći da je jednostavno, možeš izgovoriti još puno rutinskih fraza, ali danas je prvi, neobično lijeni tjedan škole, pa me užasno lomi napisati prvi odlomak =) Već sam spremio datoteku u svoja srca i spremio se za spavanje, kad odjednom... glavu mi je obasjala ideja o iskrenom priznanju, što mi je nevjerojatno olakšalo dušu i nagnalo me da nastavim lupkati prstima po tipkovnici. .

Odmorimo se od ljetnih sjećanja i zavirimo u ovaj fascinantan i pozitivan svijet novoga društvena mreža:

Pojam brojevnog niza

Prvo, razmislimo o samoj riječi: što je slijed? Slijed je kada nešto slijedi nešto. Na primjer, slijed radnji, slijed godišnjih doba. Ili kada se netko nalazi iza nekoga. Na primjer, niz ljudi u redu, niz slonova na stazi do pojilišta.

Odmah da razjasnimo karakteristične značajke sekvence. Prvo, članovi niza nalaze se strogo određenim redoslijedom. Dakle, ako se dvije osobe u redu zamijene, onda će to već biti drugo podslijed. Drugo, svi član niza Možete dodijeliti serijski broj:

Isto je i s brojevima. Neka svakome prirodna vrijednost prema nekom pravilu popustljiv pravi broj. Zatim kažu da je zadan brojčani niz.

Da, u matematičkim problemima, za razliku životne situacije niz gotovo uvijek sadrži beskrajno mnogo brojevima.

U ovom slučaju:
nazvao prvi član sekvence;
– drugi član sekvence;
– treći član sekvence;
…
– nth ili zajednički član sekvence;
…

U praksi se redoslijed obično daje formula zajedničkog pojma, Na primjer:
– niz pozitivnih parnih brojeva:

Dakle, zapis jednoznačno određuje sve članove niza - to je pravilo (formula) prema kojoj prirodne vrijednosti brojevi se stavljaju u korespondenciju. Stoga se niz često kratko označava zajedničkim izrazom, a umjesto "x" mogu se koristiti druga latinična slova, na primjer:

Slijed pozitivnih neparni brojevi :

Još jedan uobičajeni slijed:

Kao što su mnogi vjerojatno primijetili, varijabla "en" igra ulogu svojevrsnog brojača.

Zapravo, bavili smo se nizovima brojeva još u srednjoj školi. Prisjetimo se aritmetička progresija. Neću prepisivati ​​definiciju, dotaknimo se suštine na konkretnom primjeru. Neka je prvi član, i – korak aritmetička progresija. Zatim:
– drugi član ove progresije;
– treći član ove progresije;
- četvrti;
- peti;
…
I, očito, dan je n-ti član ponavljajući formula

Bilješka : u rekurentnoj formuli, svaki sljedeći član izražen je u odnosu na prethodni izraz ili čak u smislu čitavog niza prethodnih izraza.

Dobivena formula malo je korisna u praksi - da biste dobili, recimo, do , morate proći kroz sve prethodne uvjete. A u matematici je izveden prikladniji izraz za n-ti član aritmetičke progresije: . U našem slučaju:

Zamijenite prirodne brojeve u formulu i provjerite ispravnost gore konstruiranog numeričkog niza.

Slični izračuni mogu se napraviti za geometrijska progresija, čiji je n-ti član dan formulom , gdje je prvi član, a – nazivnik napredovanje. U matematičkim zadacima prvi član je često jednak jedan.

progresija postavlja slijed ;
napredovanje postavlja slijed;
napredovanje postavlja redoslijed ;
napredovanje postavlja redoslijed .

Nadam se da svi znaju da je –1 na neparnu potenciju jednako –1, a na parnu potenciju – jedan.

Progresija se zove beskonačno opadajući, ako (zadnja dva slučaja).

Dodajmo na našu listu dva nova prijatelja od kojih je jedan upravo pokucao na matricu monitora:

Sekvenca se u matematičkom žargonu naziva "blinker":

dakle, članovi niza mogu se ponavljati. Dakle, u razmatranom primjeru niz se sastoji od dva beskonačno izmjenična broja.

Događa li se da se niz sastoji od istih brojeva? Sigurno. Na primjer, postavlja beskonačan broj "trojki". Za estete postoji slučaj kada se "en" još uvijek formalno pojavljuje u formuli:

Pozovimo jednostavnog prijatelja na ples:

Što se događa kada se "en" povećava do beskonačnosti? Očito će članovi niza biti beskrajno blizu pristup nuli. Ovo je granica ovog niza, koja je napisana na sljedeći način:

Ako je limit niza nula, tada se on poziva infinitezimalnog.

U teoriji matematičke analize daje se stroga definicija granice niza kroz takozvano ipsilon susjedstvo. Sljedeći članak bit će posvećen ovoj definiciji, ali za sada pogledajmo njezino značenje:

Oslikajmo na brojevnom pravcu članove niza i susjedstvo simetrično u odnosu na nulu (limit):


Sada stisnite plavo područje rubovima dlanova i počnite ga smanjivati, povlačeći ga prema granici (crvena točka). Broj je granica niza ako ZA BILO KAKVO prethodno odabrano -susjedstvo (malo koliko želite) bit će unutar njega beskrajno mnogočlanovi niza, a IZVAN njega - samo konačni broj članova (ili niti jedan). To jest, epsilon susjedstvo može biti mikroskopsko, pa čak i manje, ali "beskonačni rep" niza prije ili kasnije mora potpuno ući u područje.

Niz je također infiniteziman: s tom razlikom što njegovi članovi ne skaču naprijed-natrag, već granici prilaze isključivo s desne strane.

Naravno, granica može biti jednaka bilo kojem drugom konačnom broju, elementarni primjer:

Ovdje ulomak teži nuli, pa je prema tome granica jednaka "dva".

Ako slijed postoji konačna granica, onda se zove konvergentan(posebno, infinitezimalnog na ). Inače - divergentan, u ovom slučaju moguće su dvije opcije: ili ograničenje uopće ne postoji, ili je beskonačno. U potonjem slučaju, niz se poziva beskrajno velik. Progalopirajmo kroz primjere prvog odlomka:

Nizovi su beskrajno velik, dok se njihovi članovi samouvjereno kreću prema “plus beskonačnosti”:

Aritmetička progresija s prvim članom i korakom također je beskonačno velika:

Usput, svaka aritmetička progresija se razlikuje, s izuzetkom slučaja s nultim korakom - kada . Limit takvog niza postoji i podudara se s prvim članom.

Nizovi imaju sličnu sudbinu:

Svaka beskonačno padajuća geometrijska progresija, kao što je jasno iz naziva, beskrajno malen:

Ako je nazivnik geometrijske progresije , tada je niz beskonačno velik:

Ako, na primjer, onda granica uopće ne postoji, jer članovi neumorno skaču ili u “plus beskonačno” ili u “minus beskonačno”. A zdrav razum i Matanovi teoremi sugeriraju da ako nešto negdje stremi, onda je to jedino drago mjesto.

Nakon malog otkrića postaje jasno da je za nekontrolirano bacanje krivo "bljeskajuće svjetlo", koje se, usput, samo od sebe razilazi.
Doista, za niz je lako odabrati -susjedstvo koje, recimo, samo spaja broj -1. Kao rezultat toga, beskonačan broj članova niza ("plus jedan") ostat će izvan danog susjedstva. Ali po definiciji, “beskonačni rep” niza iz određenog trenutka (prirodnog broja) mora potpuno idite u BILO KOJU blizinu vašeg ograničenja. Zaključak: nebo je granica.

Faktorijel je beskrajno velik slijed:

Štoviše, vrtoglavo raste, pa je riječ o broju koji ima više od 100 znamenki (znamenki)! Zašto baš 70? Na njemu moj inženjerski mikrokalkulator moli za milost.

Kod kontrolnog hica sve je malo kompliciranije, a upravo smo došli do praktičnog dijela predavanja u kojem ćemo analizirati borbene primjere:

Ali sada morate znati riješiti granice funkcija, barem na razini dvije osnovne lekcije: Ograničenja. Primjeri rješenja I Divna ograničenja. Budući da će mnoge metode rješenja biti slične. No, prije svega, analizirajmo temeljne razlike između limita niza i limita funkcije:

U granici niza, "dinamička" varijabla "en" može težiti samo do "plus beskonačno"– prema rastućim prirodnim brojevima .
U limitu funkcije, "x" može biti usmjeren bilo gdje - na "plus/minus beskonačno" ili na proizvoljan realni broj.

Naknadna slijed diskretan(diskontinuiran), odnosno sastoji se od pojedinačnih izoliranih članova. Jedan, dva, tri, četiri, pet, zeko je izašao u šetnju. Argument funkcije karakterizira kontinuitet, to jest, "X" glatko, bez incidenta, teži jednoj ili drugoj vrijednosti. I, sukladno tome, vrijednosti funkcije također će se kontinuirano približavati svojoj granici.

Iz razloga diskretnost unutar sekvenci postoje vlastite prepoznatljive stvari, kao što su faktorijeli, "bljeskajuća svjetla", progresije itd. A sada ću pokušati analizirati ograničenja koja su specifična za sekvence.

Počnimo s progresijama:

Primjer 1

Pronađite granicu niza

Otopina: nešto slično beskonačno padajućoj geometrijskoj progresiji, ali je li to stvarno to? Radi jasnoće, zapišimo prvih nekoliko izraza:

Od tada govorimo o iznositičlanovima beskonačno padajuće geometrijske progresije, koja se izračunava formulom.

Donosimo odluku:

Koristimo se formulom za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije: . U ovom slučaju: – prvi član, – nazivnik progresije.

Primjer 2

Napiši prva četiri člana niza i pronađi njegovu granicu

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Da biste uklonili nesigurnost u brojniku, morat ćete primijeniti formulu za zbroj prvih članova aritmetičke progresije:
, gdje je prvi, a a n-ti član progresije.

Budući da unutar sekvenci "en" uvijek teži "plus beskonačnosti", ne čudi da je nesigurnost jedna od najpopularnijih.
Mnogi primjeri se rješavaju na potpuno isti način kao granice funkcija!

Ili možda nešto kompliciranije ? Pogledajte primjer br. 3 članka Metode rješavanja granica.

S formalne točke gledišta, razlika će biti samo u jednom slovu - ovdje "x", a ovdje "en".
Tehnika je ista - brojnik i nazivnik moraju se podijeliti s "en" do najvišeg stupnja.

Također, nesigurnost unutar sekvenci je prilično česta. Kako riješiti granice možete naučiti iz primjera br. 11-13 istog članka.

Da biste razumjeli ograničenje, pogledajte primjer br. 7 lekcije Divna ograničenja(drugo značajno ograničenje također vrijedi za diskretni slučaj). Rješenje će opet biti poput kopije s razlikom u jednom slovu.

Sljedeća četiri primjera (br. 3-6) također su “dvolična”, ali su u praksi iz nekog razloga tipičnija za limite nizova nego za limite funkcija:

Primjer 3

Pronađite granicu niza

Otopina: prvo cjelovito rješenje, zatim komentari korak po korak:

(1) U brojniku koristimo formulu dva puta.

(2) Predstavljamo slični pojmovi u brojniku.

(3) Kako biste uklonili nesigurnost, podijelite brojnik i nazivnik s ("en" na najviši stupanj).

Kao što vidite, ništa komplicirano.

Primjer 4

Pronađite granicu niza

Ovo je primjer koji trebate riješiti sami, formule skraćenog množenja pomoći.

Unutar s indikativan Nizovi koriste sličnu metodu dijeljenja brojnika i nazivnika:

Primjer 5

Pronađite granicu niza

Otopina Uredimo ga prema istoj shemi:

Usput, sličan teorem vrijedi i za funkcije: umnožak ograničene funkcije s beskonačnim mala funkcija- je infinitezimalna funkcija.

Primjer 9

Pronađite granicu niza

Dane su formulacije glavnih teorema i svojstva numeričkih nizova koji imaju limit. Sadrži definiciju niza i njegovu granicu. Razmatraju se aritmetičke operacije s nizovima, svojstva vezana uz nejednadžbe, kriteriji konvergencije, svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih nizova.

Sadržaj

Svojstva konačnih limita nizova

Osnovna svojstva

Točka a je limit niza ako i samo ako postoji izvan bilo koje okoline te točke konačan broj elemenata sekvence ili prazan skup.

Ako broj a nije granica niza, tada postoji okolina točke a iza koje postoji beskonačan broj elemenata niza.

Teorem o jedinstvenosti limita brojevnog niza. Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Ako niz ima konačnu granicu, onda je ograničeno.

Ako svaki element niza jednak istom broju C : tada ovaj niz ima granicu, jednak broju C.

Ako slijed dodati, odbaciti ili promijeniti prvih m elemenata, onda to neće utjecati na njegovu konvergenciju.

Dokazi osnovnih svojstava dati su na stranici
Osnovna svojstva konačnih limesa nizova >>>.

Aritmetičke operacije s granicama

Neka postoje konačne granice oba niza i . I neka je C konstanta, tj dati broj
;
;
;
. Zatim
, Ako .

U slučaju kvocijenta, pretpostavlja se da za sve n.

Ako, onda. Dokaz dati su na stranici
aritmetička svojstva

Aritmetička svojstva konačnih limesa nizova >>>.

Svojstva vezana uz nejednakosti

Ako elementi niza, počevši od određenog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada limes a ovog niza također zadovoljava nejednakost .

Ako elementi niza, počevši od određenog broja, pripadaju zatvorenom intervalu (segmentu), tada tom intervalu pripada i limes a: .

Ako i i elementi nizova, počevši od određenog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada .
Ako je i, počevši od nekog broja, , tada .
Konkretno, ako je, počevši od nekog broja, , tada
ako, onda;

ako, onda.

Ako i, onda. < b Neka bude. Ako a, tada postoji prirodan broj N takav da za sve n

> N dati su na stranici
nejednakost vrijedi.

Dokazi svojstava vezanih uz nejednadžbe

Svojstva limita niza povezanih s nejednakostima >>>.

Beskonačno veliki i infinitezimalni nizovi
.

Infinitezimalni niz Infinitezimalni niz je niz čija je granica nula:

Zbroj i razlika konačnog broja infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz.

Produkt ograničenog niza do infinitezimalnog je infinitezimalni niz.

Da bi niz imao limit a, potrebno je i dovoljno da , gdje je infinitezimalni niz.

Dokazi svojstava infinitezimalnih nizova dati su na stranici
Infinitezimalni nizovi - definicija i svojstva >>>.

Beskonačno veliki niz

Beskonačno veliki niz je niz koji ima beskonačno veliki limit. To jest, ako za bilo koji pozitivan broj postoji prirodan broj N koji ovisi o tako da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost
.
U ovom slučaju pišu
.
Ili u .
Kažu da teži beskonačnosti.

Ako, polazeći od nekog broja N, tada
.
Ako tada
.

Ako je niz beskonačno velik, tada se, počevši od nekog broja N, definira niz koji je infinitezimalan. Ako je infinitezimalni niz s elementima različitim od nule, tada je niz beskonačno velik.

Ako je niz beskonačno velik i niz ograničen, tada
.

Ako su apsolutne vrijednosti elemenata niza ograničene odozdo pozitivnim brojem (), te je infinitezimalna s elementima koji nisu jednaki nuli, tada
.

Više detalja definicija beskonačno velikog niza s primjerima dano je na stranici
Definicija beskonačno velikog niza >>>.
Dokazi svojstava beskonačno velikih nizova dati su na stranici
Svojstva beskonačno velikih nizova >>> .

Kriteriji konvergencije niza

Monotone sekvence

Strogo rastući niz je niz čiji svi elementi zadovoljavaju sljedeće nejednakosti:
.

Slične nejednakosti definiraju druge monotone nizove.

Strogo silazni niz:
.
Neopadajući niz:
.
Nerastući niz:
.

Slijedi da je strogo rastući niz također neopadajući. Strogo padajući niz je također nerastući.

Monotoni niz je neopadajući ili nerastući niz.

Monotoni niz ograničen je barem s jedne strane vrijednošću .

Neopadajući niz je ograničen ispod: . Nerastući niz je omeđen odozgo: .

Budući da je svaki neopadajući (nerastući) niz ograničen odozdo (odozgo), Weierstrassov teorem može se preformulirati na sljedeći način:

Da bi monotoni niz imao konačnu granicu potrebno je i dovoljno da on bude ograničen: .

Monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu, jednaku za neopadajući i nerastući niz.

Dokaz Weierstrassovog teorema dati na stranici
Weierstrassov teorem o limitu monotonog niza >>>.

Cauchyjev kriterij konvergencije niza

Cauchyjevo stanje
Konzistencija zadovoljava Cauchyjevo stanje, ako za bilo koji postoji prirodan broj takav da za sve prirodni brojevi n i m koji zadovoljavaju uvjet, nejednakost je zadovoljena
.

Fundamentalni niz je niz koji zadovoljava Cauchyjevo stanje.

Cauchyjev kriterij konvergencije niza. Da bi niz imao konačnu granicu, potrebno je i dovoljno da zadovoljava Cauchyjev uvjet.

Dokaz Cauchyjevog kriterija konvergencije dati na stranici
Cauchyjev kriterij konvergencije niza >>>.

Naknadne sekvence

Bolzano-Weierstrassov teorem. Iz svakog ograničenog niza može se izdvojiti konvergentni podniz. A iz bilo kojeg neograničenog niza - beskonačno veliki podniz koji konvergira u ili u .

Dokaz Bolzano-Weierstrassovog teorema dati na stranici
Bolzano–Weierstrassov teorem >>> .

Na stranici se raspravlja o definicijama, teoremima i svojstvima podnizova i parcijalnih limita
Podnizovi i djelomični limiti nizova >>>.

Korištena literatura:
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
V.A. Zorich. Matematička analiza. Dio 1. Moskva, 1997.
V.A. Iljin, E.G. Poznjak. Osnove matematičke analize. Dio 1. Moskva, 2005.

Vidi također: