Prije početka rada s ovom temom, savjetujem vam da pogledate odjeljak s terminologijom za serije brojeva. Posebno vrijedi obratiti pozornost na koncept zajedničkog pojma u nizu. Ako sumnjate u točan izbor kriterija konvergencije, savjetujem vam da pogledate temu “Odabir kriterija konvergencije za niz brojeva”.

D'Alembertov test (ili d'Alembertov test) koristi se za proučavanje konvergencije nizova čiji je zajednički član striktno veći od nule, tj. $u_n > 0$ strogo pozitivno. U standardnim primjerima, D'Alembertov znak se koristi u svom ekstremnom obliku.

D'Alembertov znak (u svom ekstremnom obliku)

Ako je niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ strogo pozitivan i $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ zatim za $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (i za $L=\infty$) niz divergira.

Formulacija je prilično jednostavna, ali ostaje otvoreno sljedeće pitanje: što će se dogoditi ako je $L=1$? D'Alembertov test ne može dati odgovor na ovo pitanje. Ako je $L=1$, onda niz može i konvergirati i divergirati.

Najčešće se u standardnim primjerima D'Alembertov kriterij koristi ako izraz općeg člana niza sadrži polinom od $n$ (polinom može biti ispod korijena) i stupanj oblika $a^n $ ili $n!$ Na primjer, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (pogledajte primjer br. 1) ili $u_n=\frac(\ sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} posjetnica"D"Alembertov znak.

Što znači izraz "n!" pokazati\sakrij

Snimanje "n!" (čitaj "en factorial") označava proizvod svih prirodni brojevi od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Po definiciji, pretpostavlja se da je $0!=1!=1$. Na primjer, pronađimo 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Osim toga, D'Alembertov test se često koristi za određivanje konvergencije niza čiji zajednički član sadrži umnožak sljedeće strukture: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Primjer br. 1

Ispitajte niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ radi konvergencije.

Budući da je donja granica zbrajanja 1, opći član niza zapisan je ispod znaka zbroja: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Budući da za $n≥ 1$ imamo $3n+7 > 0$, $5^n>0$ i $2n^3-1 > 0$, tada je $u_n > 0$. Stoga je naša serija isključivo pozitivna.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\lijevo(2n^3-1\desno))(\lijevo(2(n+1)^3-1\desno )(3n+7))=\lijevo|\frac(\infty)(\infty)\desno|= 5\cdot\lim_(n\do\infty)\frac(\frac((3n+10)\lijevo (2n^3-1\desno))(n^4))(\frac(\lijevo(2(n+1)^3-1\desno)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\lijevo(2( n+1)^3-1\desno))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ lijevo(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\desno)\cdot\lijevo(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \desno))(\lijevo(2\lijevo(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\desno)^3-\frac(1)(n^3)\desno)\cdot \lijevo(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\desno))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\lijevo(3+\frac(10) (n)\desno)\cdot\lijevo(2-\frac(1)(n^3)\desno))(\lijevo(2\lijevo(1+\frac(1)(n)\desno)^3 -\frac(1)(n^3)\desno)\cdot\lijevo(3+\frac(7)(n)\desno))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Budući da $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, tada prema danom nizu divergira.

Iskreno, D'Alembertov test nije jedina opcija u ovoj situaciji. Međutim, korištenje radikalnog Cauchyjevog testa zahtijevat će poznavanje dodatnih formula D'Alembertov test u ovoj situaciji je prikladniji.

Odgovor: niz se razilazi.

Primjer br. 2

Istražite niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Budući da je donja granica zbrajanja 1, opći član niza zapisan je ispod znaka zbroja: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Zajednički član niza sadrži polinom ispod korijena, tj. $\sqrt(4n+5)$ i faktorijel $(3n-2)!$. Dostupnost faktorijela u standardni primjer- gotovo stopostotno jamstvo korištenja znaka D'Alemberta.

Da bismo primijenili ovaj kriterij, morat ćemo pronaći granicu omjera $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Da biste napisali $u_(n+1)$, trebate u formuli $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Budući da je $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, tada se formula za $u_(n+1)$ može napisati kao drugome:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ova oznaka je zgodna za daljnja rješenja kada moramo smanjiti razlomak ispod granice. Ako jednakost s faktorijelima zahtijeva pojašnjenje, otvorite bilješku u nastavku.

Kako smo dobili jednakost $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? pokazati\sakrij

Oznaka $(3n+1)!$ označava umnožak svih prirodnih brojeva od 1 do $3n+1$. one. ovaj izraz se može napisati na sljedeći način:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Neposredno ispred broja $3n+1$ nalazi se broj koji je za jedan manji, tj. broj $3n+1-1=3n$. A neposredno prije broja $3n$ nalazi se broj $3n-1$. Pa, neposredno prije broja $3n-1$ imamo broj $3n-1-1=3n-2$. Napišimo ponovno formulu za $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Što je proizvod $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Ovaj proizvod je jednak $(3n-2)!$. Stoga se izraz za $(3n+1)!$ može prepisati u sljedećem obliku:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Ova oznaka je zgodna za daljnja rješenja kada moramo smanjiti razlomak ispod granice.

Izračunajmo vrijednost $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Budući da je $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Ovaj članak prikuplja i strukturira informacije potrebne za rješavanje gotovo svakog primjera na temu niza brojeva, od pronalaženja zbroja niza do ispitivanja konvergencije.

Prikaz članka.

Počnimo s definicijama pozitivnih i izmjeničnih nizova i konceptom konvergencije. Zatim ćemo razmotriti standardne nizove, kao što su harmonijski nizovi, generalizirani harmonijski nizovi i prisjetiti se formule za pronalaženje zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Nakon toga ćemo prijeći na svojstva konvergentnih nizova, zadržati se na nužnom uvjetu konvergencije niza i navesti dovoljne kriterije za konvergenciju niza. Teoriju ćemo razrijediti rješenjima tipičnih primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i pojmovi.

Neka nam je niz brojeva gdje .

Evo primjera niza brojeva: .

Serije brojeva je zbroj članova numeričkog niza oblika .

Kao primjer niza brojeva možemo dati zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije s nazivnikom q = -0,5: .

Nazvana zajednički član niza brojeva ili k-ti član niza.

Za prethodni primjer, opći član niza brojeva ima oblik .

Djelomični zbroj niza brojeva je zbroj oblika , gdje je n neki prirodni broj. također se naziva n-ti djelomični zbroj niza brojeva.

Na primjer, četvrti djelomični zbroj niza Postoji .

Djelomični iznosi tvore beskonačni niz parcijalnih zbrojeva niza brojeva.

Za naš niz, n-ti djelomični zbroj nalazi se pomoću formule za zbroj prvih n članova geometrijske progresije , odnosno imat ćemo sljedeći niz parcijalnih suma: .

Brojevni niz se naziva konvergentan, ako postoji konačno ograničenje niza parcijalnih zbrojeva. Ako granica niza parcijalnih zbrojeva brojevnog niza ne postoji ili je beskonačna, tada se niz naziva divergentan.

Zbroj konvergentnog niza brojeva naziva se limit niza njegovih parcijalnih suma, tj. .

U našem primjeru, dakle, serija konvergira, a njegov zbroj je jednak šesnaest trećina: .

Primjer divergentnog niza je zbroj geometrijske progresije s nazivnikom većim od jedan: . N-ti parcijalni zbroj određen je izrazom , a limit parcijalnih suma je beskonačan: .

Drugi primjer divergentnog niza brojeva je zbroj oblika . U ovom slučaju, n-ti djelomični zbroj može se izračunati kao . Limit parcijalnih suma je beskonačan .

Zbroj obrasca nazvao harmonijski brojevni niz.

Zbroj obrasca , gdje je s neki realni broj, zove se generalizirani harmoničkim nizovima brojeva.

Gore navedene definicije dovoljne su da opravdaju sljedeće vrlo često korištene izjave; preporučujemo da ih zapamtite.

HARMONIJSKI NIZ JE DIVERGENTAN.

Dokažimo divergentnost harmonijskog niza.

Pretpostavimo da niz konvergira. Tada postoji konačna granica njegovih parcijalnih suma. U ovom slučaju možemo pisati i , što nas dovodi do jednakosti .

S druge strane,


Sljedeće nejednakosti su nesumnjive. Dakle, . Dobivena nejednakost nam ukazuje da jednakost ne može se postići, što je u suprotnosti s našom pretpostavkom o konvergenciji harmonijskog niza.

Zaključak: harmonijski niz divergira.

ZBROJ GEOMETRIJSKE PROGRESIJE VRSTE S NAZIVNIKOM q JE KONVERGANTNI NUMERIČKI NIZ IF , I DIVERGENTNI NIZ ZA .

Dokažimo to.

Znamo da se zbroj prvih n članova geometrijske progresije nalazi pomoću formule .

Kad pošteno


što ukazuje na konvergenciju niza brojeva.

Za q = 1 imamo niz brojeva . Njegovi parcijalni zbrojevi nalaze se kao , a granica parcijalnih zbrojeva je beskonačna , što ukazuje na divergentnost niza u ovom slučaju.

Ako je q = -1, brojevni niz će imati oblik . Parcijalni zbrojevi imaju vrijednost za neparan n i za parni n. Iz ovoga možemo zaključiti da nema ograničenja na parcijalne zbrojeve i nizovi divergiraju.

Kad pošteno


što ukazuje na divergentnost niza brojeva.

OPĆENITO, HARMONIJSKI NIZ KONVERGIRA NA s > 1, A DIVEGRIRA NA .

Dokaz.

Za s = 1 dobivamo harmonijski niz, a gore smo utvrdili njegovu divergenciju.

Na s nejednakost vrijedi za sve prirodne k. Zbog divergentnosti harmonijskog niza, može se tvrditi da je slijed njegovih parcijalnih zbrojeva neograničen (budući da ne postoji konačni limit). Tada je niz parcijalnih zbrojeva brojevnog niza utoliko neograničeniji (svaki član tog niza veći je od odgovarajućeg člana harmonijskog niza); stoga generalizirani harmonijski niz divergira kao s.

Ostaje još dokazati konvergenciju niza za s > 1.

Zapišimo razliku:



Očito, dakle


Zapišimo dobivenu nejednakost za n = 2, 4, 8, 16, …



Pomoću ovih rezultata možete učiniti sljedeće s izvornim nizom brojeva:



Izraz je zbroj geometrijske progresije čiji je nazivnik . Budući da razmatramo slučaj za s > 1, onda. Eto zašto
. Dakle, niz parcijalnih suma generaliziranog harmonijskog niza za s > 1 je rastući i istovremeno ograničen odozgo vrijednošću , dakle, ima limit, što ukazuje na konvergenciju niza. Dokaz je završen.

Brojevni niz se naziva pozitivan znak, ako su svi njegovi članovi pozitivni, tj. .

Brojevni niz se naziva signalizmjenični, ako su predznaci njegovih susjednih članova različiti. Izmjenični niz brojeva može se napisati kao ili , Gdje .

Brojevni niz se naziva izmjenični znak, ako sadrži beskonačan broj i pozitivnih i negativnih članova.

Izmjenični niz brojeva je poseban slučaj izmjeničnog niza brojeva.

Redovi

su pozitivni, izmjenični i izmjenični.

Za izmjenični niz postoji koncept apsolutne i uvjetne konvergencije.

apsolutno konvergentan, ako niz apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira, odnosno niz pozitivnih brojeva konvergira.

Na primjer, serije brojeva I apsolutno konvergiraju, jer niz konvergira , što je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Poziva se izmjenični niz uvjetno konvergentan, ako niz divergira i red konvergira.

Primjer uvjetno konvergentnog niza brojeva je niz . Serije brojeva , sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova izvorne serije, divergentan, jer je harmoničan. U isto vrijeme, izvorni niz je konvergentan, što se lako utvrđuje pomoću . Dakle, brojčani znak je izmjenični niz uvjetno konvergentan.

Svojstva konvergentnih nizova brojeva.

Primjer.

Dokažite konvergenciju niza brojeva.

Otopina.

Napišimo niz u drugačijem obliku . Brojevni niz konvergira, budući da je generalizirani harmonijski red konvergentan za s > 1, a zbog drugog svojstva konvergentnog brojevnog niza konvergirati će i niz s numeričkim koeficijentom.

Primjer.

Konvergira li niz brojeva?

Otopina.

Preobrazimo izvornu seriju: . Dakle, dobili smo zbroj dva niza brojeva i , a svaki od njih konvergira (vidi prethodni primjer). Posljedično, na temelju trećeg svojstva konvergentnih brojčanih nizova, izvorni niz također konvergira.

Primjer.

Dokažite konvergenciju niza brojeva i izračunati njegov iznos.

Otopina.

Ovaj niz brojeva može se predstaviti kao razlika dva niza:

Svaki od ovih nizova predstavlja zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije i stoga je konvergentan. Treće svojstvo konvergentnih nizova omogućuje nam da tvrdimo da izvorni niz brojeva konvergira. Izračunajmo njegovu količinu.

Prvi član niza je jedan, a nazivnik odgovarajuće geometrijske progresije je jednak 0,5, dakle, .

Prvi član niza je 3, a nazivnik odgovarajuće beskonačno opadajuće geometrijske progresije je 1/3, pa je .

Upotrijebimo dobivene rezultate da pronađemo zbroj izvornog niza brojeva:

Nužan uvjet za konvergenciju niza.

Ako brojevni niz konvergira, tada je limes njegovog k-tog člana jednak nuli: .

Pri ispitivanju konvergencije bilo kojeg niza brojeva, prvo što treba provjeriti je ispunjenje nužnog uvjeta konvergencije. Neispunjavanje ovog uvjeta označava divergentnost niza brojeva, odnosno ako je , tada niz divergira.

S druge strane, morate shvatiti da ovaj uvjet nije dovoljan. Odnosno, ispunjenje jednakosti ne ukazuje na konvergenciju niza brojeva. Na primjer, za harmonijski niz potreban uvjet za konvergenciju je zadovoljen, a niz divergira.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva na konvergenciju.

Otopina.

Provjerimo nužan uvjet konvergencije niza brojeva:

Ograničiti N-ti član niza brojeva nije jednak nuli, stoga se niz razilazi.

Dovoljni znakovi konvergencije pozitivnog niza.

Kada koristite dovoljno značajki za proučavanje nizova brojeva radi konvergencije, stalno nailazite na probleme, stoga preporučujemo da se okrenete ovom odjeljku ako imate bilo kakvih poteškoća.

Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju pozitivnog niza brojeva.

Za konvergenciju pozitivnog niza brojeva potrebno je i dovoljno da niz njegovih parcijalnih suma bude ograničen.

Počnimo sa znakovima usporedbe serija. Njihova bit leži u usporedbi numeričkog niza koji se proučava sa nizom čija je konvergencija ili divergencija poznata.

Prvi, drugi i treći znak usporedbe.

Prvi znak usporedbe serija.

Neka su i dva pozitivna niza brojeva i nejednakost vrijedi za sve k = 1, 2, 3, ... Tada konvergencija niza implicira konvergenciju, a divergencija niza implicira divergenciju .

Prvi kriterij usporedbe koristi se vrlo često i vrlo je moćan alat za proučavanje nizova brojeva radi konvergencije. Glavni problem je odabir odgovarajuće serije za usporedbu. Niz za usporedbu se obično (ali ne uvijek) bira tako da je eksponent njegovog k-tog člana jednak razlici između eksponenata brojnika i nazivnika k-tog člana numeričkog niza koji se proučava. Na primjer, neka je razlika između eksponenata brojnika i nazivnika jednaka 2 – 3 = -1, stoga za usporedbu odabiremo niz s k-tim članom, odnosno harmonijski niz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Utvrditi konvergenciju ili divergenciju niza.

Otopina.

Kako je granica općeg člana niza jednaka nuli, tada je zadovoljen uvjet za konvergenciju niza.

Lako je vidjeti da nejednakost vrijedi za sve prirodne k. Znamo da je harmonijski niz divergentan; prema tome, prema prvom kriteriju usporedbe, izvorni niz je također divergentan.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva radi konvergencije.

Otopina.

Nužni uvjet za konvergenciju niza brojeva je zadovoljen, jer . Nejednakost je očita za bilo koju prirodnu vrijednost k. Red konvergira, budući da je generalizirani harmonijski red konvergentan za s > 1. Dakle, prvi znak usporedbe serija omogućuje nam konstataciju konvergencije izvorne serije brojeva.

Primjer.

Odrediti konvergenciju ili divergenciju niza brojeva.

Otopina.

, dakle, zadovoljen je nužan uvjet za konvergenciju niza brojeva. Koji red odabrati za usporedbu? Niz brojeva se nameće sam od sebe, a da bismo se odlučili za s, pažljivo ispitujemo niz brojeva. Članovi brojevnog niza rastu prema beskonačnosti. Dakle, počevši od nekog broja N (odnosno od N = 1619), članovi ovog niza bit će veći od 2. Polazeći od ovog broja N, nejednakost je točna. Brojevni niz konvergira zbog prvog svojstva konvergentnog niza, jer se dobiva iz konvergentnog niza odbacivanjem prvih N – 1 članova. Prema tome, prema prvom svojstvu usporedbe, niz je konvergentan, a prema prvom svojstvu konvergentnog niza brojeva, niz će također konvergirati.

Drugi znak usporedbe.

Dopustiti i biti pozitivan niz brojeva. Ako , tada konvergencija niza implicira konvergenciju . Ako , tada divergencija niza brojeva podrazumijeva divergenciju .

Posljedica.

Ako je i , tada konvergencija jednog niza implicira konvergenciju drugog, a divergencija implicira divergenciju.

Ispitujemo konvergenciju niza pomoću drugog kriterija usporedbe. Kao niz uzimamo konvergentni niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova niza brojeva:

Dakle, prema drugom kriteriju usporedbe, iz konvergencije niza brojeva slijedi konvergencija izvornog niza.

Primjer.

Ispitajte konvergenciju niza brojeva.

Otopina.

Provjerimo nužan uvjet konvergencije niza . Uvjet je ispunjen. Da primijenimo drugi kriterij usporedbe, uzmimo harmonijski niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova:

Posljedično, iz divergencije harmonijskog niza slijedi divergencija izvornog niza prema drugom kriteriju usporedbe.

Za informaciju donosimo treći kriterij za usporedbu serija.

Treći znak usporedbe.

Dopustiti i biti pozitivan niz brojeva. Ako je uvjet zadovoljen iz nekog broja N, tada konvergencija niza implicira konvergenciju, a divergencija niza implicira divergenciju.

D'Alembertov znak.

Komentar.

D'Alembertov test vrijedi ako je granica beskonačna, odnosno ako , tada niz konvergira ako , onda se serija razilazi.

Ako je , tada d'Alembertov test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji niza i potrebno je dodatno istraživanje.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva na konvergenciju koristeći D'Alembertov kriterij.

Otopina.

Provjerimo ispunjenje potrebnog uvjeta za konvergenciju niza brojeva pomoću:

Uvjet je ispunjen.

Upotrijebimo d'Alembertov znak:

Dakle, niz konvergira.

Radikalni Cauchyjev znak.

Neka je niz pozitivnih brojeva. Ako je , onda niz brojeva konvergira, ako je , tada niz divergira.

Komentar.

Cauchyjev radikalni test vrijedi ako je limit beskonačan, tj. ako , tada niz konvergira ako , onda se serija razilazi.

Ako je , tada radikalni Cauchyjev test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji niza i potrebno je dodatno istraživanje.

Obično je prilično lako uočiti slučajeve u kojima je najbolje koristiti radikalni Cauchyjev test. Tipičan slučaj je kada je opći član niza brojeva eksponencijalni potencijski izraz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Ispitajte niz pozitivnih brojeva na konvergenciju pomoću radikalnog Cauchyjevog testa.

Otopina.

. Korištenjem radikalnog Cauchyjevog testa dobivamo .

Stoga niz konvergira.

Primjer.

Konvergira li niz brojeva? .

Otopina.

Upotrijebimo radikalni Cauchyjev test , dakle, niz brojeva konvergira.

Integralni Cauchyjev test.

Neka je niz pozitivnih brojeva. Kreirajmo funkciju kontinuiranog argumenta y = f(x) sličnu funkciji. Neka je funkcija y = f(x) pozitivna, kontinuirana i padajuća na intervalu , gdje je ). Zatim u slučaju konvergencije nepravilan integral proučavani niz brojeva konvergira. Ako nepravilan integral razilazi, tada se razilazi i originalna serija.

Kod provjere opadanja funkcije y = f(x) na intervalu može vam biti od koristi teorija iz odjeljka.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva s pozitivnim članovima za konvergenciju.

Otopina.

Potreban uvjet za konvergenciju niza je zadovoljen, jer . Razmotrimo funkciju. Pozitivna je, kontinuirana i opadajuća na intervalu. Kontinuitet i pozitivnost ove funkcije je nedvojbena, ali zadržimo se malo detaljnije na smanjenju. Nađimo izvod:
. Negativan je na intervalu, dakle funkcija opada na tom intervalu.

D'Alembertov test konvergencije Radikalni Cauchyjev test konvergencije Integralni Cauchyjev test konvergencije

Jedan od uobičajenih znakova usporedbe koji se javlja u praktični primjeri, d'Alembertov je znak. Cauchyjevi znakovi su rjeđi, ali također vrlo popularni. Kao i uvijek, pokušat ću prezentirati materijal jednostavno, pristupačno i razumljivo. Tema nije najteža, a svi su zadaci donekle standardni.

Jean Leron d'Alembert bio je poznati francuski matematičar iz 18. stoljeća. Općenito, d’Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i na temelju svojih istraživanja proučavao balistiku kako bi topovska zrna Njegovog Veličanstva bolje letjela. U isto vrijeme, nisam zaboravio na niz brojeva; nisu se uzalud redovi Napoleonovih trupa kasnije tako jasno približili i razišli.

Prije formuliranja samog znaka, razmotrimo važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Počnimo prvo s recenzijom. Sjetimo se slučajeva kada trebate koristiti najpopularnije granica usporedbe. Ograničavajući kriterij za usporedbu primjenjuje se kada je u općem smislu niza:
1) Nazivnik sadrži polinom.
2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku.
3) Ispod korijena mogu biti jedan ili oba polinoma.

Glavni preduvjeti za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam niza ("punjenje" niza) uključuje neki broj do određenog stupnja, na primjer, i tako dalje. Štoviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - bitno je da je tu prisutna.

2) Zajednički član niza uključuje faktorijel. Ukrstili smo koplja s faktorijalima još u razredu Brojevni niz i njegova granica. Međutim, neće škoditi ponovno raširiti stolnjak koji ste sami sastavili:





…


…

! Kada koristimo d'Alembertov test, morat ćemo detaljno opisati faktorijel. Kao iu prethodnom odlomku, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili dnu razlomka.

3) Ako u općem članu serije postoji “lanac faktora”, npr. . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se napravi pogreška - vidi primjer 6.

Uz potencije i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - trebate koristiti D'Alembertov znak.

Osim toga, u zajedničkom članu niza i stupanj i faktorijel mogu se pojaviti istovremeno; mogu postojati dva faktorijala, dva stupnja, važno je da postoje barem nešto razmatrane točke - a upravo je to preduvjet za korištenje D'Alembertovog znaka.

D'Alembertov znak: Razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina prema prethodnom: , tada:
a) Kad vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kad vesla razilazi se. Konkretno, serija se razlikuje na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se dobije u slučaju kada se pokuša primijeniti D'Alembertov test gdje je potrebno koristiti limitirajući test usporedbe.

Za one koji još uvijek imaju problema s ograničenjima ili neshvaćanjem ograničenja, pogledajte lekciju Ograničenja. Primjeri rješenja. Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se ići naprijed.

A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1

Vidimo da u općem članu niza imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertova testa. Prvo, potpuno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alembertov znak:

konvergira.

(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom: . Iz uvjeta vidimo da je opći član niza . Da bi se dobio sljedeći član niza potrebno je umjesto zamjene: .
(2) Riješimo se četverokatnice. Ako imate iskustva s rješenjem, možete preskočiti ovaj korak.
(3) Otvorite zagrade u brojniku. U nazivniku četiri oduzimamo na potenciji.
(4) Smanjite za . Uzimamo konstantu iza znaka granice. U brojniku u zagradi navodimo slični pojmovi.
(5) Neodređenost se otklanja na standardni način - dijeljenjem brojnika i nazivnika s en na najveću potenciju.
(6) Brojnike član po član dijelimo s nazivnicima i označavamo članove koji teže nuli.
(7) Pojednostavljujemo odgovor i napominjemo da uz zaključak da, prema D’Alembertovom kriteriju, niz koji proučavamo konvergira.

U razmatranom primjeru u općem članu niza naišli smo na polinom 2. stupnja. Što učiniti ako postoji polinom 3., 4. ili višeg stupnja? Činjenica je da ako je dan polinom višeg stupnja, tada će se pojaviti poteškoće s otvaranjem zagrada. U ovom slučaju možete koristiti "turbo" metodu rješenja.

Primjer 2

Uzmimo sličan niz i ispitajmo njegovu konvergenciju

Prvo cjelovito rješenje, a zatim komentari:

Koristimo d'Alembertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Mi stvaramo relaciju .
(2) Riješimo se četverokatnice.
(3) Razmotrimo izraz u brojniku i izraz u nazivniku. Vidimo da u brojniku trebamo otvoriti zagrade i podići ih na četvrtu potenciju: , što nikako ne želimo učiniti. Osim toga, za one koji nisu upoznati s Newtonovim binomom, ovaj zadatak možda uopće neće biti izvediv. Analizirajmo više stupnjeve: otvorimo li zagrade na vrhu, dobit ćemo najviši stupanj. Dolje imamo istu višu diplomu: . Analogno prethodnom primjeru, očito je da kada dijelimo brojnik i nazivnik član po član, na kraju imamo jedan u limitu. Ili, kako matematičari kažu, polinomi i - isti red rasta. Dakle, sasvim je moguće zaokružiti omjer jednostavnom olovkom i odmah naznačiti da ova stvar teži jedinici. S drugim parom polinoma postupamo na isti način: i , oni također isti red rasta, a njihov omjer teži jedinici.

Zapravo, takav se “hack” mogao izvesti u primjeru broj 1, ali za polinom 2. stupnja takvo rješenje ipak izgleda nekako nedostojno. Osobno radim ovako: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stupnja, koristim "dugi" način rješavanja primjera 1. Ako naiđem na polinom 3. ili više visoki stupnjevi, koristim "turbo" metodu sličnu primjeru 2.

Primjer 3

Ispitajte niz na konvergenciju

Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije nizovi brojeva.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo preko graničnog znaka. Otvorite zagrade u brojniku.
(6) Neodređenost otklanjamo na standardni način - dijeljenjem brojnika i nazivnika s “en” na najveću potenciju.

Primjer 5

Ispitajte niz na konvergenciju

Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije

Primjer 6

Ispitajte niz na konvergenciju

Ponekad postoje serije koje sadrže "lanac" faktora u svom popunjavanju; ovu vrstu serije još nismo razmatrali. Kako proučavati niz s "lancem" faktora? Koristite d'Alembertov znak. Ali prvo, da bismo razumjeli što se događa, opišimo seriju u detalje:

Iz proširenja vidimo da svaki sljedeći član niza ima dodatni faktor dodan nazivniku, dakle, ako je zajednički član niza , tada je sljedeći član niza:
. Tu često automatski griješe, formalno pišući po algoritmu koji

Primjer rješenja može izgledati ovako:

Koristimo d'Alembertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Znakovi konvergencije nizova.
D'Alembertov znak. Cauchyjevi znakovi

Radite, radite - a razumijevanje će doći kasnije
J.L. d'Alemberta

Čestitke svima na startu akademske godine! Danas je 1. rujna i u čast blagdana odlučila sam čitatelje upoznati s onim čemu ste se već dugo veselili i jedva čekali saznati - znakovi konvergencije numeričkih pozitivnih nizova. Prvorujanski praznici i moje čestitke uvijek su aktualni, u redu je ako je vani pravo ljeto, sada polažete ispit po treći put, učite ako ste posjetili ovu stranicu!

Za one koji tek počinju proučavati serije, preporučujem da prvo pročitaju članak Serije brojeva za lutke . Zapravo, ova kolica su nastavak banketa. Dakle, danas ćemo u lekciji pogledati primjere i rješenja na teme:

Jedan od uobičajenih usporednih znakova koji se nalazi u praktičnim primjerima je D'Alembertov znak. Cauchyjevi znakovi su rjeđi, ali također vrlo popularni. Kao i uvijek, pokušat ću prezentirati materijal jednostavno, pristupačno i razumljivo. Tema nije najteža, a svi su zadaci donekle standardni.

D'Alembertov test konvergencije

Jean Leron d'Alembert bio je poznati francuski matematičar iz 18. stoljeća. Općenito, d’Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i na temelju svojih istraživanja proučavao balistiku kako bi topovska zrna Njegovog Veličanstva bolje letjela. U isto vrijeme, nisam zaboravio na niz brojeva; nisu se uzalud redovi Napoleonovih trupa kasnije tako jasno približili i razišli.

Prije formuliranja samog znaka, razmotrimo važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Počnimo prvo s recenzijom. Sjetimo se slučajeva kada trebate koristiti najpopularnije granica usporedbe . Ograničavajući kriterij za usporedbu primjenjuje se kada je u općem smislu niza:

1) Nazivnik sadrži polinom.
2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku.
3) Ispod korijena mogu biti jedan ili oba polinoma.
4) Naravno, polinoma i korijena može biti više.

Glavni preduvjeti za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam niza („punjenje” niza) uključuje neki broj do određenog stupnja, na primjer, , i tako dalje. Štoviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - bitno je da je tu prisutna.

2) Zajednički član niza uključuje faktorijel. Ukrstili smo koplja s faktorijalima još u razredu Brojevni niz i njegova granica. Međutim, neće škoditi ponovno raširiti stolnjak koji ste sami sastavili:





…


…

! Kada koristimo d'Alembertov test, morat ćemo detaljno opisati faktorijel. Kao iu prethodnom odlomku, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili dnu razlomka.

3) Ako u općem članu niza postoji “lanac faktora”, npr. . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se napravi pogreška - vidi primjer 6.

Uz potencije i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - trebate koristiti D'Alembertov znak.

Osim toga, u zajedničkom članu niza i stupanj i faktorijel mogu se pojaviti istovremeno; mogu postojati dva faktorijala, dva stupnja, važno je da postoje barem nešto iz razmatranih točaka – a upravo je to preduvjet za korištenje d'Alembertova znaka.

D'Alembertov znak: Razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina prema prethodnom: , tada:
a) Kad vesla konvergira
b) Kad vesla razilazi se
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se jedinica dobije kada pokušaju primijeniti D’Alembertov znak tamo gdje bi trebao biti korišten granica usporedbe.

Za one koji još uvijek imaju problema s ograničenjima ili neshvaćanjem ograničenja, pogledajte lekciju Ograničenja. Primjeri rješenja . Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se ići naprijed.

A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1

Vidimo da u općem članu niza imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertova testa. Prvo, potpuno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alembertov znak:


konvergira.
(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom: . Iz uvjeta vidimo da je opći član niza . Kako biste dobili sljedećeg člana serije koji vam je potreban UMJESTO zamjene: .
(2) Riješiti se četverokatna frakcija. Ako imate iskustva s rješenjem, možete preskočiti ovaj korak.
(3) Otvorite zagrade u brojniku. U nazivniku četiri oduzimamo na potenciji.
(4) Smanjite za . Uzimamo konstantu iza znaka granice. U brojniku navodimo slične pojmove u zagradama.
(5) Neizvjesnost se rješava na standardni način - dijeljenje brojnika i nazivnika na "en" u višem stupnju.
(6) Brojnike član po član dijelimo s nazivnicima i označavamo članove koji teže nuli.
(7) Pojednostavljujemo odgovor i napominjemo da uz zaključak da, prema D’Alembertovom kriteriju, niz koji proučavamo konvergira.

U razmatranom primjeru u općem članu niza naišli smo na polinom 2. stupnja. Što učiniti ako postoji polinom 3., 4. ili višeg stupnja? Činjenica je da ako je dan polinom višeg stupnja, tada će se pojaviti poteškoće s otvaranjem zagrada. U ovom slučaju možete koristiti "turbo" metodu rješenja.

Primjer 2

Uzmimo sličan niz i ispitajmo njegovu konvergenciju

Prvo cjelovito rješenje, a zatim komentari:

Koristimo d'Alembertov znak:


Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Mi stvaramo relaciju .

(3) Razmotrimo izraz u brojniku i izrazu u nazivniku. Vidimo da u brojniku trebamo otvoriti zagrade i podići ih na četvrtu potenciju: , što nikako ne želimo učiniti. I za one koji nisu upoznati Newtonov binom, ovaj će zadatak biti još teži. Analizirajmo više stupnjeve: otvorimo li zagrade na vrhu , tada ćemo dobiti višu diplomu. Dolje imamo istu višu diplomu: . Analogno prethodnom primjeru, očito je da kada dijelimo brojnik i nazivnik član po član, na kraju imamo jedan u limitu. Ili, kako matematičari kažu, polinomi i - isti red rasta. Dakle, sasvim je moguće ocrtati odnos jednostavnom olovkom i odmah označite da ova stvar teži jednom. S drugim parom polinoma postupamo na isti način: i , oni također isti red rasta, a njihov omjer teži jedinici.

Zapravo, takav se “hack” mogao izvesti u primjeru broj 1, ali za polinom 2. stupnja takvo rješenje ipak izgleda nekako nedostojno. Osobno radim ovako: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stupnja, koristim "dugu" metodu za rješavanje primjera 1. Ako naiđem na polinom 3. ili viših stupnjeva, koristim “turbo” metoda slična primjeru 2.

Primjer 3

Ispitajte niz na konvergenciju

Razmotrimo tipični primjeri s faktorijelima:

Primjer 4

Ispitajte niz na konvergenciju

Uobičajeni član niza uključuje i stupanj i faktorijel. Jasno je kao dan da se ovdje mora koristiti d'Alembertov znak. Odlučimo se.

Dakle, serija koja se proučava razilazi se.
(1) Mi stvaramo relaciju . Opet ponavljamo. Prema uvjetu, uobičajeni član niza je: . Kako bi dobili sljedeći termin u nizu, umjesto toga trebate zamijeniti, dakle: .
(2) Riješimo se četverokatnice.
(3) Odvojite sedam od stupnja. Detaljno opisujemo faktorijele. Kako to učiniti - pogledajte početak lekcije ili članka o nizovima brojeva.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo preko graničnog znaka. Otvorite zagrade u brojniku.
(6) Neodređenost eliminiramo na standardni način - dijeljenjem brojnika i nazivnika s “en” na najveću potenciju.

Primjer 5

Ispitajte niz na konvergenciju

Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije

Primjer 6

Ispitajte niz na konvergenciju

Ponekad postoje serije koje sadrže "lanac" faktora u svom popunjavanju; ovu vrstu serije još nismo razmatrali. Kako proučavati niz s "lancem" faktora? Koristite d'Alembertov znak. Ali prvo, da bismo razumjeli što se događa, opišimo seriju u detalje:

Iz proširenja vidimo da svaki sljedeći član niza ima dodatni faktor dodan nazivniku, dakle, ako zajednički član niza , zatim sljedeći član niza:
. Tu često automatski griješe, formalno pišući po algoritmu koji

Primjer rješenja može izgledati ovako:

Koristimo d'Alembertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Radikalni Cauchyjev znak

Augustin Louis Cauchy je još poznatiji francuski matematičar. Svaki student može vam ispričati Cauchyjevu biografiju. tehnička specijalnost. U najslikovitijim bojama. Nije slučajno što je ovo ime uklesano na prvom katu Eiffelovog tornja.

Cauchyjev test konvergencije za niz pozitivnih brojeva donekle je sličan D'Alembertovom testu o kojem smo upravo raspravljali.

Radikalni Cauchyjev znak: Razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: , tada:
a) Kad vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kad vesla razilazi se. Konkretno, serija se razlikuje na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Zanimljivo je primijetiti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda nam ni D'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d’Alembertov znak ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev znak mogao "raditi". Odnosno, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

Kada biste trebali koristiti radikalni Cauchyjev znak? Radikalni Cauchyjev test obično se koristi u slučajevima kada se korijen "dobro" izdvaja iz zajedničkog člana niza. U pravilu, ova paprika je u stupnju što ovisi o. Ima i egzotičnih slučajeva, ali o njima se nećemo brinuti.

Primjer 7

Ispitajte niz na konvergenciju

Vidimo da je razlomak potpuno pod potencijom koja ovisi o "en", što znači da moramo koristiti radikalni Cauchyjev test:


Dakle, serija koja se proučava razilazi se.

(1) Zajednički član niza formuliramo pod korijenom.

(2) Prepisujemo istu stvar, samo bez korijena, koristeći svojstvo stupnjeva.
(3) U indikatoru dijelimo brojnik s nazivnikom pojam po pojam, označavajući to
(4) Kao rezultat toga, imamo neizvjesnost. Ovdje možete ići dugim putem: kocka, kocka, dakle podijeliti brojnik i nazivnik na "en" u kocki. Ali u ovom slučaju postoji učinkovitije rješenje: ova se tehnika može koristiti izravno pod konstantnim stupnjem. Da biste uklonili nesigurnost, podijelite brojnik i nazivnik s (najvećom potencijom polinoma).

(5) Vršimo počlano dijeljenje i označavamo članove koji teže nuli.
(6) Sjetimo se odgovora, označimo što imamo i zaključimo da se niz razilazi.

Evo jednostavnijeg primjera koji možete riješiti sami:

Primjer 8

Ispitajte niz na konvergenciju

I još par tipičnih primjera.

Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije

Primjer 9

Ispitajte niz na konvergenciju
Koristimo radikalni Cauchyjev test:


Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Stavite zajednički član niza ispod korijena.

(2) Prepisujemo istu stvar, ali bez korijena, dok otvaramo zagrade pomoću formule za skraćeno množenje: .
(3) U indikatoru brojnik nazivnikom dijelimo pojam po pojam i označavamo da .
(4) Dobiva se nesigurnost oblika, a i tu se podjela može izvršiti neposredno pod stupnjem. Ali uz jedan uvjet: koeficijenti viših potencija polinoma moraju biti različiti. Naše su različite (5 i 6), te je stoga moguće (i potrebno) obje etaže podijeliti na . Ako ovi koeficijenti su isti, na primjer (1 i 1): , onda takav trik ne funkcionira i trebate ga koristiti druga divna granica . Ako se sjećate, o ovim suptilnostima raspravljalo se u posljednjem odlomku članka Metode rješavanja granica .

(5) Mi zapravo vršimo diobu po članu i označavamo koji članovi teže nuli.
(6) Neodređenost je eliminirana, ostaje nam najjednostavnija granica: . Zašto u beskrajno velik teži nuli? Budući da baza stupnja zadovoljava nejednakost. Ako netko sumnja u pravednost limita , onda neću biti lijen, uzet ću kalkulator:
Ako, onda
Ako, onda
Ako, onda
Ako, onda
Ako, onda
...itd. do beskonačnosti - odnosno u granici:

Tek tako beskonačno padajuća geometrijska progresija na prste =)
! Nikada ne koristite ovu tehniku ​​kao dokaz! Jer samo zato što je nešto očito, to ne znači da je ispravno.

(7) Označavamo da zaključujemo da niz konvergira.

Primjer 10

Ispitajte niz na konvergenciju

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Ponekad se za rješenje nudi provokativan primjer, npr.:. Ovdje u eksponentu nema "en", samo konstanta. Ovdje treba kvadrirati brojnik i nazivnik (dobiju se polinomi), a zatim slijediti algoritam iz članka Redovi za lutke . U takvom bi primjeru trebao funkcionirati ili nužni test za konvergenciju niza ili ograničavajući test za usporedbu.

Integralni Cauchyjev test

Ili samo integralni znak. Razočarat ću one koji nisu dobro razumjeli gradivo prvog tečaja. Da biste primijenili Cauchyjev integralni test, morate biti više ili manje sigurni u pronalaženju izvodnica, integrala, a također i imati vještinu računanja nepravilan integral prve vrste.

U udžbenicima matematičke analize integralni Cauchyjev test dan matematički strogo, ali previše zbunjujuće, pa ću znak formulirati ne previše strogo, ali jasno:

Razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji nepravilan integral, tada niz konvergira ili divergira zajedno s tim integralom.

I samo nekoliko primjera za pojašnjenje:

Primjer 11

Ispitajte niz na konvergenciju

Skoro pa klasika. Prirodni logaritam i neka sranja.

Glavni preduvjet za korištenje Cauchyjevog integralnog testa je je činjenica da opći član niza sadrži faktore slične određenoj funkciji i njezinoj derivaciji. Iz teme